第五章 二元一次方程组总结

第五章 二元一次方程组总结

首席金牌讲师：马蚁会飞

摘要：1、最全面的易理解的易记忆的知识结构；

2、4个重要数学思想；

3、3个重要解决问题的方法；

4、5大知识点，15个小知识点；

5、11个易错点；

6、8大考点；

7、2大重点题型；

一、知识结构

二元一次方程 二元一次方程组 定义

二元一次方程的解

二元一次方程组的解

基本思想：消元 解法 代入消元法 基本方法

加减消元法

方程的解与相应函数图像上的点的坐标一一对应 关系

两条直线的交点坐标就是相应的方程组的解，反之亦然

基本思想：把未知转化为已知，找出等量关系列方程。

基本步骤：审、设、找、列、解、（验、）答

图形求面积型（模型法）

传统文化古算型（模型法）

应用 鸡兔同笼

配套型（比例法）

和差倍分型（总分法）

销售型

增（降）率型

基本应用 增收节支 储蓄型

工程型

行程型

数字问题型 相遇 里程碑上的数 行程问题型

追击：分开是直线或环形追击

年龄问题型

二、重要数学思想--4大数学思想

1、建模思想---二元一次方程（组）模型

2、转化思想

3、数形结合思想

4、整体思想

三、重要解决问题方法--3个重要解决问题的方法

1、代入消元法

2、加减消元法

3、待定系数法：先设出函数的表达式，再根据所给条件确定表达式中未知数的系数，从而得到

函数表达式的方法，叫做待敌系数法。

四、具体知识点--5大知识点，15个小知识点

知识点一：几个定义

1、二元一次方程定义：含有两个未知数，并且所含未知数的的项的次数都是1的方程叫做---

2、二元一次方程组定义：含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫做---

3、二元一次方程的一次解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做---

4、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做---

知识点二：几点理解

5、二元一次方程的四个必备条件

1）、“元”是指未知数，“二元”就是指有且只有两个未知数；

2）、次数为“1”是指含有未知数的项的次数，而不是两个未知数的次数；

3）、方程的左右两边都是整式；

4）、含未知数的项的系数不能为0

6、二元一次方程组两个必备条件

1）、含有两个未知数；

2）、每个方程都是一次整式方程；

7、二元一次方程的解

1）、都是一对数值，而不是一个数值；

2）、一般情况下，方程有无数个解，但若对其未知数的取值范围附加限制条件，那么，解就可能只有有限个解了，也就是方程的特殊解，如方程的正整数解等，求方程的正整数解的方

法是变形-划界-试值-确定，其中划界要特别注意；

3）、解必须用大括号括起来；

4）、验证一组数值是不是方程的解或者每组数值是不是方程组的解，用代入检验法即可，满足每一个方程的就是方程组的解；

8、二元一次方程（组）的应用

1）、实际应用中，解实际问题的步骤是审、设（一般求谁设谁，并注明单位）、找、列、解、（验、）答（注意单位），其关键是通过审题找到数量关系，数量关系一般会隐藏在‘事情变化的

结果中’或‘常见的数量关系中’或‘常用的公式中’，紧紧抓住关键字、词、句大都可

找到，实在不好找时就用列表或图解的方法帮助找；

2）、验证一步可以不写出来，但一定要验证，既要看是否符合所列方程（组），又要看是否符合题意，如结果大都不能为负数；

3）、在应用中多体现了建模思想、数相结合思想，特别是二元一次方程（组）模型，运用极多；

4）、运用二元一次方程（组）模型解题的11种题型

a.几何图形型：求面积的、求长和宽的等等；找到关系是关键，特别是隐含的关系；

b.传统文化古算型；

c.配套型（比例法）；

d.和差倍分型（总分法）；

e.销售型

注意几个数量关系：销售额=售价×销量

总利润=总销售额-总成本

=单件利润×销量

=（售价-进价）×销量

利润率=利润÷进价×100%

1

折后的价格=原价×折数×

10

售价=进价+利润=标价×折扣

f.增（降）率型

注意几个数量关系：增（降）率=增（降）量÷基数×100%

增（降）后的量=基数×（1±增（降）率）

g.储蓄型

注意几个数量关系：利息=本金×利率×期数

本息和=本金+本息

h.工程型（常常设工程量为1）

注意几个数量关系：工作量=工作效率×工作时间

合作工作量=工作效率和×合作时间

工作量总和=各部分的工作量之和

i.行程型

注意：行程型中又可分为相遇行程和追击行程，追击行程中有分为直线追击和曲线追击；

速度和（差）=路程÷时间和（差）

j.纯数字型：注意位数的表示；

k.年龄型

注意3（个基本规律）律1法：时增年就增，且增幅相同；年龄差不变；人之间的年龄和差倍分关系式变化的量；解题方法：从年龄差入手，抓住变化量列方程；

L.图、表信息型：关键在通过图表找信息；

知识点三、两个关系

9、二元一次方程与一次函数的关系：方程的解与对应函数图像上的点的坐标一一对应；

另需注意：

1）、任何一个二元一次方程都可化成一次函数的形式；

2）、以解为坐标的点组成的图像与相应的一次函数的图像相同，是一条直线；

3）、方程中的x.y是未知数，而一次函数中的x.y是变量；

4）、方程用等式表示两个未知数的关系，一次函数可用等式、表格或图像表示两个变量的关系；

5）、从数的角度，方程有无数个解；从形的角度，一次函数图像上右无数个点；

10、二元一次方程组和对应的两条直线的关系：方程的解是两条直线交点的坐标，即：当方程组有

解时，两条直线相交；无解时，两直线平行；方程有无数个解时，两直线重合；

另需注意：

1）、用代数法求两条直线交点坐标的实质是求由两条直线的函数表达式所组成的二元一

次方程组的解；

2）、二者关系的用处是：用关系求函数的表达式和函数图像与方程组的关系应用；

知识点四、方程与一次函数的应用

11、利用分段函数解决实际问题

1）、什么是分段函数：对于同一函数关系，当自变量的取值范围不同时，函数的表达式也不同，这样的函数叫做分段函数；

2）、分段函数仍是同一函数，只不过因取值不同而有不同的表达式；

3）、利用分段函数解决的题型

a、收费型