高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位
数学建模2021a题
数学建模2021a题
2021年数学建模竞赛A题《太阳影子定位》答案如下：
1. 建立影子长度变化的数学模型
根据日出和日落时间，确定太阳的高度角变化范围，再根据影子的长度变化，得到太阳高度角与影子长度之间的关系。
利用这个模型，可以预测任何给定时间点的影子长度。
2. 建立基于深度学习的模型
使用深度学习技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理大量的历史数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
3. 建立基于时间序列分析的模型
利用时间序列分析技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理时间序列数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
4. 建立基于神经网络的模型
利用神经网络技术，建立一个能够预测影子长度的模型。
该模型可以处理非线性数据，并使用历史数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
5. 综合以上三种方法
结合深度学习、时间序列分析和神经网络技术，建立一个综合性的模型。
该模型可以处理大量的历史数据，并使用这些数据来训练模型，使其能够准确预测未来的影子长度。
以上答案仅供参考，如有疑问，建议咨询专业人士。
太阳影子定位-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题太阳影子定位如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化，利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点和日期的模型。
针对问题一，首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为：当地的经度λ、纬度ϕ、时刻t、直杆长度l、季节J（日期N)等，引入地理学参数：太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0，建立一个能够刻画影子长度变化和各个参数间关系的模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan)cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ；其次以实例对模型进行检验，在误差可允许的范围内，认为模型正确；进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律；然后求解出满足条件影子长度12时15分是最短，大约3.674米（表3）。
A题 太阳影子定位
A题太阳影子定位摘要一.问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？二.问题分析本题第一问是研究太阳影子长度随各个参数的变化规律，影响太阳影子长度的因素主要有时间以及地点，也就是当地的经纬度和时间来影响太阳高度角来影响太阳影子长度。
太阳高度角：对于地球上的某个地点，太阳高度角是指太阳光的入射方向和地平面之间的夹角，专业上讲太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角。
根据太阳高度角的计算公式：sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t即求出太阳高度角就能算出太阳影子长度。
本题第二问是根据第一问的模型通过最小二乘法拟合来判断大致的经纬度，从而确定地点。
三．模型的建立与求解第一问，求出太阳高度角就可以求出太阳影子长度。
太阳高度角随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。
太阳赤纬（与太阳直射点纬度相等）以δ表示，观测地地理纬度用φ表示（太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正，南纬为负），地方时(时角)以t表示，有太阳高度角的计算公式：sin h=sin φ sin δ+cos φ cosδ cos t即一般时间的太阳高度角，由日期可求出太阳直射点，即太阳赤纬角。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位（一）摘要根据影子的形成原理和影子随时间的变化规律，可以建立时间、太阳位置和影子轨迹的数学模型，利用影子轨迹图和时间可以推算出地点等信息，从而进行视频数据分析可以确定视频的拍摄地点。
本文根据此模型求解确定时间地点影子的运动轨迹和对于已知运动求解地点或日期。
直立杆的影子的位置在一天中随太阳的位置不断变化，而其自身的所在的经纬度以及时间都会影响到影子的变化。
但是影子的变化是一个连续的轨迹，可以用一个连续的函数来表达。
我们可以利用这根长直杆顶端的影子的变化轨迹来描述直立杆的影子。
众所周知，地球是围绕太阳进行公转的，但是我们可以利用相对运动的原理，将地球围绕太阳的运动看成是太阳围绕地球转动。
我们在解决问题一的时候，利用题目中所给出的日期、经纬度和时间，来解出太阳高度角ｈ，太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，直杆高度Ｈ和影子端点位置（x0，y o），从而建立数学模型。
影子的端点坐标是属于时间的函数，所以可以借助时间写出参数方程来描述影子轨迹的变化。
问题二中给出了日期和随时间影子端点的坐标变化，可以根据坐标变化求出运用软件拟合出曲线找到在正午时纵坐标最小，横坐标最大，影子最短的北京时间，根据时差与经度的关系，求出测量地点的经度。
根据太阳方位角Α，赤纬角δ，时角Ω，可以求出太阳高度角ｈ。
再结合问题一中的表达式，建立方程求解测量地点的纬度Ф。
我们在求解第三问的思路也是沿用之间的模型，但第三问上需要解出日期。
对于问题四的求解，先获取自然图像序列或者视频帧，并对每一帧图像检测出影子的轨迹点；然后确定多个灭点，并拟合出地平线；拟合互相垂直的灭点，计算出仿射纠正和投影纠正矩阵；进而还原出经过度量纠正的世界坐标；在拟合出经过度量纠正世界坐标中的影子点的轨迹，利用前面几问中的关系求出经纬度。
关键字：太阳影子轨迹Matlab曲线拟合（二）问题重述确定视频拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
太阳影子定位-2015年全国数学建模比赛a题全国二等奖论文
太阳影子定位摘要本文研究的问题是分析直杆在太阳的照射下，影子的角度和长度的变化，再结合相关地理知识和数学几何模型，推算出具体的所在地点和具体日期。
该模型可以用于太阳影子定位技术中，根据物体在阳光照射下影子的变化进行定位。
对于问题一，我们首先根据地球与太阳的位置关系列出太阳赤纬角，太阳高度角，太阳时角的计算式，其中需对较粗略的太阳赤纬角计算式进行修正，得出精准的计算式。
再建立数学几何模型，根据太阳高度角，影长与杆长形成的角边关系，列出影长的计算式。
最后建立一个太阳日照影长模型，该模型以太阳高度角计算式，太阳赤纬角计算式，太阳时角计算式为子函数，以太阳赤纬角，太阳日角，太阳时角，时间初值为中间变量，以当地经纬度，从1月1日到测量日的天数，时间，杆长，年份为自变量的复合函数数学模型。
然后采用由内到外计算法对此复合函数进行求解，计算出从九点到十五点的影长和太阳高度角的变化，得出直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二，我们首先分析因为时间日期已给出，所以根据太阳赤纬角计算式可知太阳赤纬角为已知量，接着我们将影长的计算式进行等式移项变换，得到一个拟合杆长及经纬度的非线性最小二乘模型，该模型将问题一中太阳日照影长模型作为参数拟合对象，以杆长和影长与太阳高度角正切值之积的差值最小误差平方和为目标函数，以太阳高度角计算式，太阳时角计算式为约束条件，以测量时间，天数，影长为已知量。
将该模型在1stopt 软件中运行，采用麦夸尔特算法和通用全局最优化法对该模型进行迭代计算，对实验结果统计分析后得出该直杆相应的北纬为19.29392848度，东经为108.7225248度（海南岛的西海岸）。
对于问题三，除了需要拟合杆长和经纬度以外，还需拟合日期，同样参照影长等式移项变换公式，得到一个拟合杆长、经纬度及日期的非线性最小二乘模型。
同样采用问题二的计算方法得到多组结果，其中附件二最优解地点为新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县(40.0025°N,79.6587°E)，附件三最优解地点为湖北省十堰市郧西县（32.9638°N,110.277°E ）。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题
太阳影子定位技术问题的数学模型摘要本文涉及的是太阳影子定位技术问题。
在已知视频中物体的太阳影子变化的情况下，要确定视频的拍摄地点和拍摄日期。
首先，分析了文中四个问题的关系，发现前三个问题的已知条件逐步减少，问题难度依次递进。
第四问则给出一个实际问题，该问题需要转化成数学模型利用前三问的方法求解；随后，建立了L-G模型、MinZ-模型等，并应用非线性最小二乘法、遗传算法等算法对模型求解。
得到基于模型的合理结果。
最后，将第四问的实际问题转化数学模型并求解，进而解决问题。
对于问题一，要解决的问题是杆长与影子长度的关系，根据天文、几何知识，我们建立了模型来刻画问题给出的参数之间联系，如赤纬角模型、时角模型、太阳高度角模型、影子长度模型（L-G模型）等；分析了各参数对影子长度的影响；最后运用MATLAB绘制出具体给定参数下的3米高直杆的影子变化曲线；从曲线可以看出在9:00到15:00这段时间里，影子长度先变短后变长，最短为3.627米，最长为7.182米。
问题二提供了一个关于时间、影子坐标的附件1，杆长未知，为了确定直杆所处的地点，本问建立了MinZ-模型，首先将经度、纬度、杆长离散化，搜索出大概的可行解，然后运用非线性最小二乘算法，选取matlab中的lsqcurvefit命令，以可行解为初值，再运用非线性最小二乘算法，选取MATLAB中的lsqcurvefit命令，在控制残差在10−8之内范围的情况下得到了三个可能地点皆在海南省昌江县内，最小误差的地点为海南省江黎族自治县，北纬19.3025°，东经108.6988°，此时对应直杆高度为2.0219m。
同时，将结果代入问题一的模型进行检验，验证了模型的稳定性和算法的合理性。
问题三沿用问题一的模型和问题二的算法，由于一个已知量变成一个变量，根据算法特点，在增加一个变量的情况下，算法搜索影长差时只需要增加一重循环。
关于附件2数据，残差最小对应的位置为北纬39.8926°，东经79.7438°，具体地点在新疆维吾尔自治区喀什地区巴楚县。
2015年全国大学生数学建模竞赛A题优秀论文太阳影子定位模型教程
我们依据太阳位置算法[2]（ SPA）得到太阳位置的几何模型图如图 1 所示：
图 1 太阳位置的几何模型
图中 为高度角， 为方位角， 为纬度角， 为赤纬角， 为太阳时角， 和 能由下列式子计算得到(公式来源:/1GU1iS)：
（1.2）
其中 为一个参数，能通过如下公式得到
2 (d 1) 365
（1.3）
式中， h 为北京时间， 为当地经度， d 为日期，即 1 月 1 日就用 d 1来表
示，假设一年为 365 天，则 d 365表示 12 月 31 日。由式（1.1）可知，相邻两天的赤
纬角 差值几乎为 0，因此当闰年时，我们设定 2 月 28 日的 d 59 ，29 日时 d 59 ，
g( ) (0.006918 - 0.399912 cos( ) 0.070257 sin( ) - 0.006758 cos(2 ) 0.000907 sin(2 ) - 0.002697 cos(3 ) 0.00148 sin(3 ))
（1.1 ）
h15 300
关键词：太阳位置算法 最小二乘法 遗传算法 太阳影子定位模型
一． 问题重述
1.1. 问题背景 如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位
技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化来确定视频拍摄的地点和日期的一种方 法。 1.2. 问题提出 1. 建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建
5.1.2. 模型求解
首先根据问题分析和模型，我们将观测日期代入得到赤纬角 21.8985 ，负号表
示太阳直射点在南半球，然后代入求出太阳时角 和高度角 在不同时刻的值，得到表
2015年数学建模国赛A题全国优秀论文40
三．模型假设
1.假设一天中的太阳赤纬角保持不变； 2.假设附件 4 中视频里的时间为北京时间； 3.假设大气层对太阳光的折射率保持不变； 4.假设影子长度和角度与该点的海拔无关；
四．符号说明
符号
h
表示含义 表示太阳高度角 表示修正后的太阳高度角 表示杆子的长度 表示杆子的影长 表示太阳赤纬角 表示某点的地理纬度 表示某点的地理经度 表示太阳时角 表示大气层的折射率 表示日期 表示某一具体时刻 表示太阳方位角
1
一．问题的背景与重述
1.1 问题的背景 早在 15 世纪时， 定位技术就已经随着海洋探索的开始而产生。 随着社会和科技的不 断发展，我们对定位的需求已不再局限于航海、航空等领域，对于地球上的精确坐标定 位已逐渐成为人们关注的热点问题。对于地球表面经纬度的精确定位，可利用变化的太 阳影子来进行分析，其作为一种直观简便的定位技术，已受到广泛关注。 1.2 问题的重述 太阳影子定位技术是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和 日期的一种方法，请建立合理的数学模型解决以下问题： 1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据 建立的模型画出 2015 年 10 月 22 日北京时间 9:00-15:00 之间天安门广场 （北纬 39 度 54 分 26 秒,东经 116 度 23 分 29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆 所处的地点，并将模型应用于附件 1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。 3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据， 建立数学模型确定直杆 所处的地点和日期，并将模型分别应用于附件 2 和附件 3 的影子顶点坐标数据，给出若 干个可能的地点与日期。 4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用该模型给出若干个可能 的拍摄地点。如果拍摄日期未知，是否可以根据视频确定出拍摄地点与日期。
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点
2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。
本题要求根据视频中物体的太阳影子，建立数学模型确定视频拍摄地点和日期。
主要考察学生关于空间几何问题的建模能力以及非线性优化问题的求解能力，对求解精度具有一定的要求。
评阅时应注意：“北京时间”与“北京当地时间”的不同，经度与时间的关系，日期关于春分、秋分、冬至、夏至的近似对称性等。
大气折射会导致太阳高度角产生一定偏转，所以考虑大气折射情形的模型更佳。
对能够自行构造数据进行模型检验的论文，应给予较好的评价。
问题1在已知视频拍摄时间及地点的条件下求影子的数学模型，并分析长度关于日期、时间、经纬度等参数的变化规律。
有较多的参考文献给出这一问题的模型，若直接采用文献中的模型，需指明出处。
问题2在已知物体影子顶点真实坐标及拍摄日期与北京时间的条件下，根据问题1得到的影子长度变化模型，反解出纬度及当地时间，根据当地时间和北京时间之间的关系确定经度。
附件1的位置是(109.5°E, 18.3°N)海南三亚。
评阅时应以模型和方法为主，结果仅作为参考。
要尽可能使用所给数据的全部信息。
问题3与问题2相比，问题3中拍摄日期未知，反演难度有所增加，同时使用长度和角度信息反演效果更好。
附件2的位置是(79.75°E, 39.52°N)新疆，日期是7月20日；附件3的位置是(110.25°E, 29.39°N)湖南省张家界，日期是1月20日。
由于日期相近的影子长度和角度变化较小，导致参数反演问题的近似解较多。
可以将日期、经纬度一定范围内的结果都认为是近似正确的。
评阅时应以模型和方法为主，结果仅作为参考。
问题4建立影子顶点大地坐标与视频坐标之间的关系，然后反演模型中的参数。
由于反演参数的增加，以及视频数据提取时产生的误差，导致模型求解精度下降、确定拍摄地点的难度增加。
2015全国大学生数学建模竞赛A
5.1.2 直杆太阳影子长度的变化曲线 根据题目条件可得，日期为 2015 年 10 月 22 号，日期序号 n 295 ，时间T 的取值
范围为 9:00-15:00，地理纬度 39 54'26'' ，直杆长度 H 3m 。
图 2 直杆影子长度随时间的变化曲线
由图 2 可以看出：在 9:00——15:00 时间段内，直杆的太阳影子长度先减小后增大。 这种影子长度的变化说明太阳在地平线以上高度的变化。在 9:00——12:00 时间段内，
5.2.1 直杆所处地点经度的确定 已知东八区的经度为120 E 。假设直杆的影子长度最短时为当地时间正午 12:00，与
4．附件 4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为 2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？
二、 问题分析
本文是利用影子的变化轨迹确定视频拍摄的地点和日期。所以要在视频拍摄地点或 者日期缺失的情况下，通过分析直杆的影子的变化轨迹补全缺失的信息。
，计算得出模型预估数据的误
差率为 6.25%，精度为 93.75%，所以问题一建立的影子长度变化模型能够准确的对影子 长度进行预测，反映直杆影子长度变化趋势。
5.2 问题二模型建立及求解 问题二要求根据附件 1 中给出的影子顶点坐标数据确定直杆所处的地点。结合问题
一影子长度变化模型中的赤纬、时角和太阳高度角、太阳方位角之间的数学关系，确定 直杆所处地点的纬度和经度，从而确定直杆所处的地点。
23.45sin
2
284
365
n
(1)
时角表示地球与地球子午圈的角距离，可以通过时间衡量，小时作为计量单位。正
2015数学建模国赛A题论文
太阳影子定位摘要太阳影子定位技术[1]是解决拍摄视频的地点和时间的重要手段，因此对太阳影子定位技术进行定性与定量的研究具有重要的理论和实际价值。
我们建立了直杆的影子长度，北京时间，日期等变量之间的关系模型，并应用模型解决了题目所列的四个问题。
对于问题一我们利用空间几何学建立数学模型，确定了(太阳光线与直杆之间的)夹角、直杆和太阳直射点位置之间的关系。
进一步地，我们得到了直杆影子长度与直杆、太阳直射点[2]位置（经纬度）之间的关系方程。
我们分两种情况进行讨论，一种情况是太阳直射点与直杆同处于南、北半球，另一种情况是太阳直射点与直杆分别处于南、北半球。
最后我们由方程和matlab软件作图得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
对于问题二我们根据附件一给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法[3]求解非线性方程组[4]，得到杆子的几个可能的位置。
对于问题三我们根据附件二和三给出的数据建立了多个关于直杆经度、纬度和日期的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到若干个可能的地点和日期。
对于问题四我们首先利用图像模拟方法，测得杆子在一些特定时刻的影子的实际长度值，再利用视频给出的数据建立了多个关于直杆经度和纬度的非线性方程组，利用基于matlab的遗传算法求解非线性方程组，得到杆子的几个可能的位置。
【关键字】：直杆影子长度，经纬度，非线性方程一、问题重述太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
本题就是利用物体影子随时间的变化规律来求解拍摄地点与拍摄日期。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2015建模A题太阳影子定位
A题太阳影子定位一，摘要（宋体小四号，简明扼要的详细叙述，字数不可以超过一页，不要译成英文）本文针对太阳影子定位技术，通过太阳与地球相对运动的规律，建立杆长、影长、经纬度、时间、日期的关系，建立模型。
综合分析了不同地点，不同的时间，不同的季节时影子长度的形成规律及变化趋势，运用了软件进行分析，得出不同地区影子变化的模型。
最后将具体情况运用到建立的模型中，对实际问题进行可行性分析，根据条件的改变完善对模型的应用和实用性检验。
第一问中，我们通过两种太阳高度角的表示方法建立等式关系，根据控制变量法，分析出影子长度分别与经、纬度、杆长、时间、日期的关系。
然后，根据时差计算关系，当时间在9:00-15:00时，天安门广场的时间，并应用建立的模型。
第二问中，首先根据影子坐标求出影子的长度，拟合时间与影子长度的函数，找出影子长度的最低的点，从而根据时间求出当地经度，由于误差的存在，我们将经度、杆长、纬度给定一定围，根据第一问公式进行搜索，从而确定可能的地点。
关键字：（宋体小四号）真太阳时平太阳时赤纬角太阳高度角熵值法二，问题提出如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位全国大学生数学建模竞赛a题论文
建立模型计算太阳影子长度和梯度下降法拟合太阳影子数据定位一．摘要本文建立了一个较为理想的几何立体模型来计算某个日期，某个时间，某个纬度的太阳高度角，从而计算太阳照射直杆的影长。
并且通过对一系列按时间变化记录的数据以及部分已知参数，利用梯度下降法进行曲线拟合样本数据点，以此求出相应的未知的参数，算出数据记录时所在的可能的地点经纬度和日期。
关键词：几何立体模型拟合曲线梯度下降法二．正文1.建立太阳光照射地球，地球上垂直地面杆的影长模型假设太阳光线完全平行，地球是完全标准的球体，地球公转轨道是标准圆形，且随日期变化匀速运转。
1.1 建立太阳光线和地球上某一纬度β的上某点X切面所形成的太阳高度角模型O为地球球心。
设太阳光线和地球的赤道面形成的角度为∠EOC = α，纬度即∠BOA=β，根据纬度的定义显然OB是β纬度上X点的切面（即X点地面）的法向量方向。
X点的经度和太阳垂直照射点所在的经度的夹角即∠AOC为Θ（可以由该点的真实时间计算得到，地球每小时自转15°，Θ=（该点真实时间-12）* 15 ）。
欲求太阳在X点的高度角，相当于求X点地面法向量方向OB和太阳光线的夹角∠BOE的余角。
假设太阳高度角为γ，则sinγ= cos ∠BOE。
如图作AC⊥OC，作EC和BA垂直于赤道面，BD⊥CE于D。
设OA长为z，则OB = z / cosβ，OE=z cosΘ/ cosα，BD=AC=z sinΘ，CD=AB=z tanβ，CE=z cosΘtanα。
DE = CE - CD =z cosΘtanα- z tanβ。
BE²= BD²+ DE²=（z sinΘ）²+（z cosΘtanα- z tanβ）²。
根据余弦定理可得，经化简可得：cos∠BOE = sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ。
即sinγ= sinαsinβ+ cosαcosβcosΘ用反三角函数即可知太阳高度角γ。
2017年数学建模国赛A题全国优秀论文32.pdf
基于规划模型的太阳影子定位策略摘要本文研究的是由太阳影子变化确定地点和日期的问题，根据太阳高度角及相关参数的算法建立太阳影子定位和定时的模型，在实际生活中有较强的实用性。
对于问题一，首先根据太阳高度角、时角、均时差和太阳赤纬的算法建立影子长度与经度、纬度、时间、日期、杆高的数学关系，表明影子长度与这5个参数有关，为进一步分析影子长度与各个参数的关系，通过控制变量的方法，建立5个模型分别观察影子长度随5个影响参数的变化情况。
然后根据影子长度随时间变化的模型，绘制出3米高直杆影子长度的变化曲线，发现在北京时间11点58分时影长最短。
基于问题一可知影长与5个参数有关，问题二中纬度、经度和杆高为未知量，问题三中纬度、经度、杆高和日期为未知量，均可建立杆高关于其他未知量的数学关系式，采用遍历算法求解：对于问题二，对经纬度进行遍历运算，对于问题三，对经纬度和日期进行遍历运算。
并依据测量时刻和影子变化方向对经纬度范围加以约束，对得到的每一组经纬度值，回代入关系式求出各北京时刻的杆高h，基于实际杆高一定，根据杆高方差最小原则筛选经纬度和日期，最后求得附件1的直杆可能位于海南、云南和越南，对附件2的直杆存在8个可能的日期和一个可能的地点新疆，对附件3的直杆存在8个可能的日期和5个可能的地点，分别为湖北、陕西、甘肃、重庆、河南。
对于问题四，首先对所给视频进行压缩，然后读取视频并按照一定的时间间隔提取画面，利用Matlab软件自带的像素坐标系，测得直杆底端和影子顶端的坐标，从而求得影长。
采用问题二的遍历算法模型，拍摄日期已知时，建立影长与经纬度的数学关系式，对经纬度进行遍历运算；拍摄日期未知时，建立影长关于经纬度和日期的关系式，对经纬度和日期进行遍历运算。
并依据测量时刻和影子变化方向对经纬度范围加以约束，对得到的每一组经纬度值，回代入关系式求出各北京时刻的影长，根据回代影长与测量影长的平均相对误差最小原则筛选经纬度和日期。
2015年全国大学生建模大赛A题太阳影子的定位
太阳影子定位摘要本文通过分析物体的太阳影子变化,利用太阳影子定位技术建立确定视频拍摄的地点与日期的模型。
针对问题一,首先通过分析知影子长度的变化主要影响参数为:当地的经度 λ、纬度ϕ、时刻t 、直杆长度l 、季节J (日期N )等,引入地理学参数:太阳赤纬δ、时角α及太阳高度角h 0,建立一个能够刻画影子长度变化与各个参数间关系的模型:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-+-=h l h l t 000tan )cos cos sin sin sin arccos(300151δϕδϕλ;其次以实例对模型进行检验,在误差可允许的范围内,认为模型正确;进而对模型采用控制变量法分析影子长度关于各个参数的变化规律;然后求解出满足条件影子长度12时15分就是最短,大约3、674米(表3)。
影子长度的变化曲线(图5),9时至12时15分影子长度呈现下降趋势,12时15分之15时影子长度呈现上升趋势;最后考虑太阳照射中发生折射现象的推广。
针对问题二,关键词一、问题重述:如何确定视频的拍摄地点与拍摄日期就是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就就是通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点与日期的一种方法。
1、建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并应用您们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点。
将您们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所处的地点与日期。
将您们的模型分别应用于附件2与附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。
全国数学建模大赛-利用太阳影子定位定时
利用太阳影子定位定时摘要影子是时刻伴随我们身边的朋友，太阳光下的影子可以给我提供很多的信息。
如何利用影子的位置来确定日期和地点是本文要解决的主要问题。
本文运用了几何知识、曲线拟合以及地理知识等方法解决了这些主要问题，得到了影子长度随时间的变化曲线和根据影子分析位置。
针对问题一，我们建立了影长变化模型，以解决在天安门广场时间与影长的变化关系，并用excel软件画出了相应的函数变化曲线。
针对问题二，我们建立了影顶定位模型，该模型主要解决了如何求解影子的经度的问题；由于该模型功能有限，我们也建立了求解地方纬度的模型，然后用经纬度地图查询软件定位出了所求点的位置。
针对问题三，假设时间，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。
针对问题四，从附件4中按比例求出影长，然后假设最短影长，利用问题二中建立出来的影顶模型、影长的变化率和最短影长的关系以及时差的分析确定经纬，确定位置。
最后，对所建立的模型和求解方法的优缺点给出了客观的评价，并指出了改进的方法。
关键词：影长曲线拟合几何分析模型定位一、问题重述1.1 问题背景太阳影子定位的发展有助于人们对身边事物的充分了解和利用，阳光每天都会照耀在我们身上，我们是否有真正的懂得其中的哲理呢？随着人民生活水平的不断提高，人们对了解身边事物的渴望越来越强烈，研究太阳影子带来的科研成果将更加丰富人的生活，对世界有更多的了解和认识，拓宽人类的视野。
在本文里我们将运用所学的知识，构造影子定位模型，根据影子计算出物体所处的地理位置和时间日期。
为了进一步的了解太阳影子的带给我们的信息语言，我们小组创建了一下几个模型以解决在不同环境、不同地域下成立的影子定位模型。
1.2 本文需要解决的问题有：（1）求解出太阳高度角及确定当地的赤纬与当地时角（2）当地纬度和太阳高度角间的联系（3）时差分析（4）经纬度定位二、问题分析2.1问题一“建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律”我们在建立模型之前首先查阅了相关的资料，初步设想了解决问题的方案。
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题太阳影子定位IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】摘要通过太阳影子定位技术可以确定视频的拍摄地点和时间，为拍摄出更好的视频，掌握太阳影子的变化规律就变得尤为重要。
本文主要综合运用了地理学、几何学、统计学、数学分析和高等代数等知识，并利用MATLAB,SPSS和mathematica等计算机软件，通过建立数学模型来研究影子长度的变化特征,进一步确定视频的拍摄地点和时间。
针对问题一，首先我们通过分析影子长度的影响因素得到与影子长度的关系（见表达式六）整理计算之后，就得到了影子长度的数学模型。
然后我们通过分析他们之间的关系，再利用MATLAB编程，得到了影子长度关于各个参数的变化规律（见图3到图7）。
其次根据我们建立的模型，利用MATLAB编程画出了给定时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线（见图8），然后在考虑折射率的情况下又画了一条变化曲线（见图9），最后进行了误差分析（见图10）。
针对问题二，我们采用了测试分析法（数据分析法和计算机仿真相结合），通过分析各个参量之间的关系，先以影长l为目标做回归，用模型一的模型，通过SPSS进行拟合得到多组数据，再用MATLAB进行检验得到符合的两组经纬度。
然后我们又以太阳方位角K为目标做回归,得到模型（见表达式12），其计算方法与影长l做回归目标时一样。
我们分步做了两次拟合，先用MATLAB拟合出经度，再N E和杆长做回归模型（见表达式14）最后得到经纬度(18.74,109.35)=。
综上可知，肯定有一地点是在海南，还有一个地点可能在云南。
1.993L m针对问题三，我们用问题二中的多项式回归，得到回归模型（见表达式17和20）=，得到天数利用附件二得到的经纬度为(32.83N,110.25E)和杆长L 3.03m=，得到天n=。
利用附件三得到的经纬度为(39.19N,79.5E)和杆长L 1.962m 307n数=140针对问题四，首先运用MATLAB软件，根据画面灰度，运用MATLAB软件，把视频转化成二值图，求得影子端点的像素坐标，然后根据相似原理，把像素坐标转化成水平面上的坐标（消去了视角的影响），进而求得影子的长度。
用以上方法求得的数据，运用多次拟合的方法，得到该地的经纬度为(34.32,108.72)N E，日期未知时，得到的经纬度与其相似。
【关键字】影子长度多项式拟合太阳方位角画面灰度一、问题重述如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用建立的模型画出已知时间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。
将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。
将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．先利用软件提取视频中的数据，再根据数据改善模型，求出若干个可能的拍摄点。
当拍摄日期未知时，确定出拍摄地点与日期。
二、问题分析由题可知，本题具体分析如下：问题一：本题要求建立影子长度变化的数学模型，这需要我们给出影子长度变化的影响因素。
查阅文献了解到各个参量的定义及其表达式，然后联立即可得到影子长度变化的数学模型。
分析影子长度关于各个参数的变化规律，首先我们要在保持其他参数不变的情况下，只改变一个参数，来研究影子长度的变化规律。
对于具体问题的变化曲线，因为参数的值已经给出，带入模型，利用软件编程就可以画出它的变化曲线。
问题二：本题要求根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点，然后将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
先用附件一中给的数据即顶点的x与y坐标，计算出影子的长度l,然后用SPSS做回归拟合，得出的数据再用MATLAB进行检验。
问题三：问题三是问题二的拓展，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期，比问题二多了一个未知量，我们可以采用问题二的模型和计算方法来解决本问题。
问题四：问题四是前两问的具体应用，只要求出视频中影子的长度就可以运用前面的模型求解。
对于求取视频中的影长，可以用MATLAB软件编写程序，设定恰当的灰度阀值，把视频转化为二值图像。
从图片右下角开始扫描杆子和方块（杆子底座），求得影子右端、杆子底部的坐标。
由于是在三维空间中拍摄的，图片中物体的长宽比与实际的长宽比不同，可以根据杆子底盘的长宽比求得物体实际的长宽比。
根据相似度原理，由杆子的实际长度、图片中的像素维度等，求得像素与实际长度的比。
最后，用影子右端、杆子底部的坐标、物体长宽比、像素与实际长度的比，求出影子的长度。
得到上述数据之后，应用MATLAB进行多项式拟合，和应用SPSS软件进行非线性回归，两次拟合得到经纬度和日期。
三、基本假设（1）一年是365天；（2）地球表面是球表面；（3）地球的公转是正圆；（4）大气层有折射无厚度；（5）视频中杆的底盘是正方形，不考虑厚度；（6）杆没有厚度。
四、主要变量的符号说明为了便于描述问题，本文将问题中涉及的主要变量用下列符号来表示(如下表1所示)，有些变量将在文中用到时陆续说明。
表1 五、模型的建立与求解 问题一建模和求解（1）太阳时()t ：太阳时是指以太阳日为标准来计算的时间，时间的计量以地球自转为依据，地球自转一周，计24太阳时，当太阳达到正南处为12:00。
太阳时可以分为真太阳时和平太阳时，平太阳时假设地球绕太阳是标准的圆形，钟表所指的时称为平太阳时（简称为平时），我国采用东经120度经圈上的平太阳时作为全国的标准时间，即“北京时间”。
（2）时角()Ω：时角是以正午12点为0度开始算，每一小时为15度，上午为负下午为正，即10点和14点分别为-30度和30度（因计算需要，把度数换算成了弧度）。
因此，时角的计算公式为()10.261812t t Ω=--(弧度）(1)112015t ϕ-=(2) 其中t 为太阳时，1t 是当地时间与北京时间的时间差（单位：小时）。
（3）赤纬角()θ:赤纬角也称为太阳赤纬，即太阳直射纬度，其计算公式近似为2(284)0.4093sin[]365n πθ+=(3) 其中n 为日期序号，例如，1月1日为1=n ，10月22日为295n =。
（4）太阳高度角()ω：指某地太阳光线与该地作垂直于地心的地表切线的夹角。
由图1可知，三点的坐标为()()cos ,0,sin ,cos ,0,sin ,A B θθϕϕ(cos cos ,cos sin ,sin )C θθθΩΩ由此可得：即太阳高度角的计算公式sin cos cos cos sin sin ωϕθϕθ=⋅⋅Ω+⋅(4) 其中ω为太阳高度角，Ω为时角，θ为当时的太阳赤纬，ϕ为当地的纬度(北京的纬度为北纬'''395426)。
图1 （5）由图2可知tan L l ω=，即tan L l ω=（5） 图2（6）110.2618(12)120152(284)0.4093sin[]365sin cos cos cos sin sin tan t t t n L l ϕπθωϕθϕθωΩ=--⎧⎪-⎪=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⋅⋅Ω+⋅⎪⎪=⎪⎩（6） 将公式（1）（2）（3）带入（4），得出ω的值之后再代入（5）就能得到影子长度变化的数学模型1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ϕθϕθ-=Ω+（7）根据建立的数学模型，利用MATLAB 编程（见附录），通过改变各个参数的值，观察影子长度的变化规律。
（1） 首先，我们保持其他的变量不变，改变n 的值，由图3我们可以看到每天的最短影子长度在一年内呈周期性变化。
图3（2）接下来我们保持其他的变量不变，改变经度的值，我们选取了东经100和东经130。
由图4可以知道东经的度数越小，影子最短的时刻越往后。
图4（3）其次我们在保持其他的变量不变，改变纬度的值，我们选取了北纬20和北纬70。
由图5,图6可以知道北纬的度数越大，影子越长。
图5图6（4）同样的，我们依然保持其他的变量不变，改变时间t ，由图7可以知道影子最短的时刻在中午附近，越远离正午，影子越长。
图7（5）最后，我们依然保持其他的变量不变，改变杆长L ，由tan L l ω=可知杆长L 与影子的长度l 成正比，即杆长越长，影子越长。
根据我们建立的模型，利用MATLAB 编程画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线如图8所示。
图8然后我们又考虑了折射率，根据111*sin()*sin()( 1.000277)22n n ππωω-=-=（8）， 得到的变化曲线如图9所示图9由图8和图9对比可以知道，是否考虑折射率差别小于千分之三，所以画了误差图10以便更好的观察误差。
图10折射率还与大气层的厚度有关，但考虑到公式的复杂程度，这里不作考虑。
.问题二建模和求解根据问题一建立的数学模型 1*tan (arcsin(cos cos cos sin sin ))l L ϕθϕθ-=Ω+（7）用附件一中给的数据即顶点的x 与y 坐标，计算出影子的长度l ,然后根据计算得到日期序号108n =，然后利用SPSS 以影长l 为因变量，不断给定杆长L 、纬度ϕ和1t 一组初值做多次回归拟合(表达式见附录)，得到多组数据（部分数据在附录中给出），然后我们利用MATLAB 进行检验。
最后得到两组符合的拟合数据1(,,)(0.336,0.757,2.036)N t l =,1(,,)(0.429,1.460,2.766)N t l =经纬度表示就是(19.251,109.645),(24.579,98.1)N E N E 经查阅地图可知这两个地点分别在海南岛上和云南省内。
由于没有考虑太阳方位角的问题，分不清方向，所以我们将会在接下来做改进。
太阳方位角是太阳在方位上的角度，它通常被定义为从北方沿着地平线顺时针量度的角。
由图11可知太阳向量α和法线β的坐标为(cos cos ,cos sin ,sin ),(cos ,0,sin )αθθθβϕϕΩΩ且()()s p p βααα=+（9）A 是正午的直射点，B 是杆的位置，C 是直射点，x *指向正东，y *指向正北，z *指向正上。