【高数数学教案】反函数(一)

课 题：2.4.1 反函数（一）

教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数

教学重点：反函数的定义和求法

教学难点：反函数的定义和求法

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教材分析：

反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开 由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握

教学过程： 一、复习引入：

我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即v

s t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.

又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=

y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32

-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.

综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数v

s t =；由函数62+=x y 得出

了函数32

-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.

二、讲解新课：

反函数的定义

一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=

开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为v

t t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32

)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？

反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =

探讨2：互为反函数定义域、值域的关系

从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定

义域正好是它的反函数)(1x f

y -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x f

y -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：

探讨3：)(1x f y -=的反函数是？

若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就

是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x f

y -=互为反函数

三、讲解例题：

例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(1

32≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得3

1+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=

， ②由)(13

R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13

R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=

③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=

x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由1

32-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(2

3≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得3

2+=y x

∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：

例3求函数 211x y --=

（-1

∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1

例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.

解法1：⑴令y=2

x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2

442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,

⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；

解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，

∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,

⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,

⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；

说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.