高三数学冲刺模拟试卷(培优卷含答案)

高考培优卷
（时间：120分钟，满分：150分）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 请把答案填写在答题卡上）
1 若复数x 满足z (2-i )=11+7i (i 为虚数单位)，则z 为（ ）
A 3+5i
B 3-5i
C -3+5i
D -3-5i
2．已知(x ＋
3
3
x
)n 展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
3.在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则22
2
||||||PA PB PC +=（ ）
A.2
B.4
C.5
D.10
4.已知x 、y 、z ∈[1，20]，且x 、y 、z ∈N ，则满足不等式组⎩⎨⎧≥-≥-34
y z x y 的不同组合（x ，y ，z ）共有（ ）组 A.72 B ．144 C ．216 D ．455
5．阅读如右图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ） A ．0
B
C
D
．
6．设m ＞1，在约束条件1y x
y mx x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+≤⎩
下，目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为
A ．（1
，1 B ．
（1+∞） C ．（1,3 ） D ．（3，）
7.已知()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，且对任意的(0,)x ∈+∞，都有2[()log ]3f f x x -=，则方
程()'()2f x f x -=的解所在的区间是
（ ）
A ．（0，
1
2
） B ．（1
,12
）
C ．（1，2）
D ．（2，3）
8．已知分段函数2
1,0(),0
x x x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则3
1
(2)f x dx ⎰-等于（ ） A ．
71
- B ．2e - C ．13+
D ．12-
9．将函数()sin()f x x ωϕ=+的图象向左平移2
π
个单位，若所得的图象与原图象重合，则ω的值不可能等于（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
10．函数()(31)2f a m a b m =-+-，当[]0,1m ∈时，0()1f a ≤≤恒成立, 则22
9a b ab
+ 的最大值与最小值之
和为（ ） A ．18
B ．16
C ．14
D ．
494
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 其中15题是选做题, 请把答案填在答题卡的相应横线上.
11．已知无穷等差数列{}n a 首项13a =，公差5d =-，依次取出项数被4除余3的项组成新数列{}n b . 则{}n b 的通项公式为_________.
12．已知函数()f x =3232
+-+x x x ，则()f x 的最小值=____________.
13．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1各顶点在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则球的表面积为
___________.
14．抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点(4,4)M 是抛物线上一点，则经过点F ，M 且与l 相切的圆共
有_________个.
15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题评分）
（1）在极坐标系中，过点4
π
（，）
作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程为_________. （2）若存在实数x 满足|3|||5x x m -+-<,则实数m 的取值范围是___________.
三、解答题（本大题共计6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知(sin cos ) (sin sin )m a x x n x b x == ，
，，，其中a b x R ∈，，.若()f x m n =⋅ 满足()26
f π
=，且()f x 的导函数()f x '的图象关于直线12
x π
=对称.
（Ⅰ）求,a b 的值；
（Ⅱ）若关于x 的方程2()log 0f x k +=在区间[0 ]2
π
，上总有实数解，
求实数k 的取值范围.。

（本小题满分11分）
17. 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5， 0.6， 0.4．经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6，0.5，0.75．
（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；
（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望．（本小题满分10分）
18．己知三棱柱111ABC A B C -，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，90BCA ∠=︒，2AC BC ==，又知11BA AC ⊥
（Ⅰ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （Ⅱ）求点C 到平面1A AB 的距离；
（Ⅲ）求二面角1A A B C --余弦值的大小．（本小题满分12分）
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直
线0x y -=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过点(2,0)M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=
（O
为坐标原点），当||PA PB - 时，求实数t 的取值范围． （本小题满分14分）
20．已知a R ∈，函数2()||f x x x a =-.
(Ⅰ)当2a =时，求使()f x x =成立的x 的集合；
(Ⅱ)求函数()y f x =在区间[12]，上的最小值. （本小题满分14分）
21.对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集
},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（2分）
（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（4分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分） （本小题满分14分）
参考答案
11． 12．5 13．20π 14．2 15．（1）cos 2ρθ= （2） (2,
8)-
16．解：(Ⅰ)2()sin sin cos
f x m n a x b x x =⋅=
+ =(1cos2)sin 222
a b
x x -+
由
()26
f π
=得，8a = ①
∵()sin 2cos2f x a x b x '=+，又∵()f x '的图象关于直线12
x π=对称，∴(0)()6f f π
''=，
∴1
2
b b +，即b ② 由①、②得，2a b ==，(Ⅱ)由(Ⅰ)得()1cos 22f x x x =-+2sin(2)16
x π
=-+
∵02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，，52666x πππ-≤-≤，
∴12sin(2)26
x π
-≤-≤，[]()03f x ∈，. 又∵2()log 0f x k +=有解，即2()log f x k =-有解，
∴23log 0k -≤≤，解得118k ≤≤，即1
[ 1]8
k ∈，.
17. 【解析】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件1A ，2A ，3A ， （1）设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则
123123123()()()()P E P A A A P A A A P A A A =++
0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
（2）解法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为0.3p =， 所以~(30.3)B ξ，，故30.30.9E np ξ==⨯=．
解法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件A B C ，，，则 ()()()0.3P A P B P C ===，
所以3
(0)(10.3)0.343P ξ==-=，2
(1)3(10.3)0.30.441P ξ==⨯-⨯=，
2(2)30.30.70.189P ξ==⨯⨯=，3(3)0.30.027P ξ===． 于是，()10.44120.18930.0270.9E
ξ=⨯+⨯+⨯=．
18．解法一
（1）90BCA ∠=︒得BC AC ⊥，因为
1A D ⊥底ABC ，所以1A D BC ⊥， 1A D AC D = ，所以BC ⊥面1A AC ，所以1BC AC ⊥ 因为11BA AC ⊥，1BA BC B = ，所以1AC ⊥底1A BC （2）由（1）得11AC AC ⊥，所以11A ACC 是菱形， 所以112AC AA AC ===，1AB A B == A 1 B 1
C 1
A
B
C
D
E O
（3）设11AC AC O = ，作1OE AB ⊥于E ，连AE ，由（1）所以1A B AE ⊥，所以AEO ∠为二面角平面角， 在1Rt A BC ∆
中OE AO AE =
==
，所以cos α=
解法二
（1） 如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ，以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，
则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，()10,0,A t ，()10,2,C t ， （2） ()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =-- ，()2,0,0CB =
， 由10A C CB ⋅=
，知1AC CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ；
（2）由1AC ⋅ 2130BA t =-+=
，得t
设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =
，(1AA =，()2,2,0AB =
，所以
10
220
n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩
，设1z =
，则)
n = 所以点C 到平面1A AB 的距离1AC n d n
⋅==
7 （3）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z =
，(10,CA =- ，()2,0,0CB =
，
所以10
20m CA y m CB x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩
，设1z =
，则()
m = ， 故cos ,m n m n m n
⋅<>==⋅
1A A B C --
19．解：
（Ⅰ）由题意知2c e a ==， 所以2222
2212
c a b e a a -==
=． 即22
2a b =
．又因为1b =
=，所以22a =，21b =． 故椭圆C 的方程为12
22
=+y x ． （Ⅱ）由题意知直线AB 的斜率存在.
设AB ：(2)y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ， 由22
(2),1.2
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222
(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->，21
2
k <.
2122812k x x k +=+，2122
82
12k x x k
-=+ . ∵t =+，∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=，2
1228(12)
x x k x t t k +==+， 1212214[()4]y y k y k x x k +-==+-=.
∵点P 在椭圆上，∴222
222222
(8)(4)22(12)(12)
k k t k t k -+=++，
∴2
2
2
16(12)k t k =+12x -< ∴22121220(1)[()4]9
k x x x x ++-<
∴422
222648220(1)[4](12)129
k k k k k -+-<
++ ， ∴22(41)(1413)0k k -+>，∴2
14
k >.
∴2
1142
k <<，∵22216(12)k t k =+，∴222216881212k t k k ==-
++，
∴2t -<<2t <<， ∴实数t 取值范围为)2,3
6
2()362,2( --.
20.解：（Ⅰ）由题意，2()2f x x x =-.
当2x <时，2()(2)f x x x x =-=，解得0x =或1x =；
当2x ≥时，2()(2)f x x x x =-=，解得1x =
综上，所求解集为{011+，，
. （Ⅱ）设此最小值为m .
①当1a ≤时，在区间[12]，上，32()f x x ax =-. 因为
22
()323()03f x x ax x x a '=-=->，(12)x ∈，，
则()f x 在区间[12]，上是增函数，所以(1)1m f a ==-.
②当12a <≤时，在区间[12]，上，2()()0f x x x a =-≥，由()0f a =知 ()0m f a ==.
③当2a >时，在区间[12]，上，23()f x ax x =-.
22
()233()3
f x ax x x a x '=-=-.
若3a ≥，在区间(12)，内()0f x '>，从而()f x 为区间[12]，上的增函数， 由此得 (1)1m f a ==-.
若23a <<，则2
123
a <<.
22
当223a x <<时，()0f x '<，从而()f x 为区间2
[2]3a ，上的减函数.
因此，当23a <<时，(1)1m f a ==-或(2)4(2)m f a ==-.
当7
23a <≤时，4(2)1a a -≤-，故(2)4(2)m f a ==-；
当
7
33
a <<时，14(2)a a -<-，故(1)1m f a ==-. 综上所述，所求函数的最小值 111274(2)237
13
a a a m a a a a -≤⎧⎪<≤⎪⎪
=⎨-<≤⎪⎪
->⎪⎩
，当时；0，当时；，
当时；，当时．
21. [解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……1分 所以x =2b ，从而x =4. ……2分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .
由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.
因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，
故1∈X . ……4分 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.
选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；
若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.
所以x 1=1. ……6分 （3）[解法一] 猜测1
-=i i q
x ，i =1, 2, …, n . ……8分
记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.
任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.
因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，
从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.
假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与
s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分
现用数学归纳法证明：1
-=i i q x ，i =1, 2, …, n .
当n =2时，结论显然成立；
假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1
-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；
当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=
也有性质P ，所以},,,,1,1{11
1+-+-=k k k x q q A .
取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有
一个为-1.
所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+1
1，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1.
综上所述，1
-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……14分
[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于
2
21
1t
s -=.
记|}|||,,|{t s X t X s B t
s >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……10分
注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于
1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵
1
2
2
1
x x x x x x x x n n n n n n <
<
<<
--
1
13
121x x x x x x n n n n n -----<
<<
……
1
2x x 注意到
1
21
11
x x x x x x n n >
>>
- ，所以
1
22
11
x x x x x x n n n n =
==
--- ，从而数列的通项公式为
11
1)(1
2--==k k x x
k q x x ，k =1, 2, …, n . ……14分。