切比雪夫不等式

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第六章 大数定律与中心极限定理
6.1 大数定律
6.2 中心极限定理
概率统计（ZYH）
本章理论： 大量客观现象
大数定律 中心 极限 定理
随机事件频率的稳定性 大量测量
抽象
公理化体系
值的算术
平均值也 是稳定的
随机事件的概率
基础
大量随机
变量服从
正态分布
概率论的结论 (前5章)
为数理统计 奠定基础
数理统计
或
P X 1 Xi (n ) n i 1 n
辛钦大数定律以严格的数学形式表明：当 n无限增大 时, 独立同分布的随机变量的平均值依概率收敛于它的期
望. 这为数理统计的矩估计奠定了理论基础.
概率统计（ZYH）
2
1
K n 2
如果把定理1中的Xi看成 n重伯努利试验中第 i 次试验 时A发生的次数（即Xi 服从0-1分布）并记 P(A)=p, 则 1 n nA EX i p, DX i p(1 p) , Yn X k , EYn p n k 1 n
于是定理1可表现为如下的定理 2的形式
概率统计（ZYH）
大数定律 是概率论中用来阐明大量随机现象平均结果 稳定性和事件频率稳定性的一系列定理, 条件较弱的还有 定理 3 （辛钦大数定律）设随机变量序列 {Xn} 相互独 立, 服从同一分布, 且 E( Xn )= , 则对任意的ε>0 , 有
1 n lim P X i 1 n n i 1
概率统计（ZYH）
定理2 （伯努利大数定律） 设nA是n重伯努利试验中A 发生的次数, p=P(A), 则对 0, 有
nA limP p 1 n n
或
nA P n p ( n ) (称频率 A 依概率收敛于p) n n
伯努利大数定律以严格的数学形式表明：当试验在不 变的条件下重复进行很多次时, 事件的频率稳定于它的概率. 因此, 在实际应用中可用频率代替概率 . 这也为概率的公理
所以 DX EX 2 ( EX )2 ( n 2)( n 1) ( n 1)2 n 1 从而 P {0 X 2( n 1)} P {| X EX | n 1}
n1 n 1 (这里 n 1) 2 ( n 1) n1
概率统计（ZYH）
定理1的证明 这时,对任意的正整数n, 有
1 n 1 EYn EX i，DYn 2 n i 1 n
DX i
i 1
n
K n
故由切比雪夫不等式知,对 0, 有
P Yn EYn 1 DYn
P Yn EYn 1，这就证明了定理1 令n , 即知 lim n
x EX
x EX

2
f ( x) d x
1
2
( x EX )2 f ( x ) d x
DX
2
xn x e , x 0, f ( x ) 用切比雪夫不等式证明 n! 例1 设X~ 0 , x 0,
n P{0 X 2( n 1)} n1
P X EX DX （切比雪夫不等式）
2
或P X Leabharlann EX 1 DX
2
（切比雪夫不等式）
2
证（只就连续型证明）设密度为 f (x), 则有
P X EX

概率统计（ZYH）
x EX
f( x ) d x


化定义提供了理论支持.
概率统计（ZYH）
由伯努利大数定律可知，如果事件A的概率很小, 则事 件A发生的频率也很小 . 因此, 在实际问题中我们常采用
实际推断原理（小概率事件的实际不可能原理）
概率很小的事件在个别试验中几乎是不会发生的
概率很大的事件在个别试验中几乎一定会发生
如果概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，那 我们就有理由怀疑“概率很小”这一假定的正确性． 当然,无论事件概率多么小, 总是可能发生的. 因此, 所谓小概率事件的实际不可能原理仅仅适用于个别的或 次数极少的试验, 当试验次数较多时就不适用了．
证 EX 0
EX 2
0

x n1 x xn x x e dx e n! n!
0
( n 1)

0
xn x e d x n1 n!
n n 2 n1 x x x x 2 e x d x e x 0 ( n 2) e x d x ( n 1)( n 2) 0 n! n! n!
概率统计（ZYH）
6.1 大数定律
定理1 （切比雪夫大数定律） 设X1, X2, … 相互独立且 分别有数学期望EXi 及有公共上界的方差 DX i K (k 1,2, ) 1 n 作算术平均值 Yn X i ,则 对 0, 有 n i 1 lim P Yn EYn 1 n 或
P Yn EYn 0 (n ) (称Yn EYn 依概率收敛于0)
1 n 其中 EYn EX i n i 1
切比雪夫大数定律以严格的数学形式表明：随着n的增 大, 大量随机变量的算术平均值Yn稳定于它的期望值EYn
概率统计（ZYH）
为了证明切比雪夫定理，先证明切比雪夫不等式： 引理1 （切比雪夫不等式）设随机变量 X 有数学期望EX 及方差DX, 则 对 0, 有