《探索勾股定理》课件
合集下载
探索勾股定理(公开课课件)
数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。
探索勾股定理精选教学PPT课件
⑴已知： a＝3， b＝4，求c
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ab
活动六：活学活用
探究
一个门框尺寸如图所示，一
块长3m，宽2.2m的薄木板
能否从门框内通过？为什么？
2m
1m
拓展延伸
A
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿.
片尾： 很多时候我们都忘了，礼仪只是一种 形式， 它什么 都不能 代表， 如果被 它牵引 ，就会 改变自 己的命 运，罗 书全虽 然不知 道他做 的，到 底是对 是错， 但有一 件事他 可以确 定，那 就是他 和艾米 这下子 真正的 分手了 ，因为 最后的 这个礼 仪是如 此的粗 暴而决 绝，当 你为了 保护一 个女人 上了另 一个女 人的心 ，就再 也没有 什么礼 仪，再 也没有 任何余 地。除 了轻轻 说一句 ：拜拜 ！
我突然间意识到，哪怕她讲话再有趣 ，再有 文化， 再会背 唐诗， 我这辈 子都不 可能跟 她在一 起了。 每天一 大早起 来看到 的第一 样东西 就是一 张你特 别不喜 欢的脸 ，什么 心情？ 每天都 是一个 心情糟 糕的开 始啊， 我会变 得不爱 讲话， 不爱与 人交际 ，不爱 任何活 物，了 无生趣 ，唯一 的乐趣 就是睡 觉，直 到从此 长眠不 醒…… 这就是 我倾听 到我内 心的声 音。 ———————————————顾 小白《 男人帮 》
2、勾股定理的主要作用是 在直角三角形中, 已知任意两边求第三边的长。
活动六：活学活用
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
⑵已知： c ＝10，a＝6，求b
2、已知： c ＝13，a＝5，
c
求阴影部分的面积。
ab
活动六：活学活用
探究
一个门框尺寸如图所示，一
块长3m，宽2.2m的薄木板
能否从门框内通过？为什么？
2m
1m
拓展延伸
A
1、已知：△ABC，AB＝AC＝17， BC＝16，则高AD＝＿，S△ABC＝＿.
片尾： 很多时候我们都忘了，礼仪只是一种 形式， 它什么 都不能 代表， 如果被 它牵引 ，就会 改变自 己的命 运，罗 书全虽 然不知 道他做 的，到 底是对 是错， 但有一 件事他 可以确 定，那 就是他 和艾米 这下子 真正的 分手了 ，因为 最后的 这个礼 仪是如 此的粗 暴而决 绝，当 你为了 保护一 个女人 上了另 一个女 人的心 ，就再 也没有 什么礼 仪，再 也没有 任何余 地。除 了轻轻 说一句 ：拜拜 ！
我突然间意识到，哪怕她讲话再有趣 ，再有 文化， 再会背 唐诗， 我这辈 子都不 可能跟 她在一 起了。 每天一 大早起 来看到 的第一 样东西 就是一 张你特 别不喜 欢的脸 ，什么 心情？ 每天都 是一个 心情糟 糕的开 始啊， 我会变 得不爱 讲话， 不爱与 人交际 ，不爱 任何活 物，了 无生趣 ，唯一 的乐趣 就是睡 觉，直 到从此 长眠不 醒…… 这就是 我倾听 到我内 心的声 音。 ———————————————顾 小白《 男人帮 》
2、勾股定理的主要作用是 在直角三角形中, 已知任意两边求第三边的长。
活动六：活学活用
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
北师大版八年级数学上册1.1 第1课时 勾股定理的认识 课件(共23张PPT)
探究新知
1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的
三条边，看看三边长的平方之间有怎么样的关系？
c
a
b
直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是
著名的“勾股定理”。
如果直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，那么有
a2+b2=c2.
数学小知识
我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角
求 的长.
解：因为 ⊥ ，
所以 ∠ = ∠ = 90∘ .
在 Rt △ 中， 2 = 2 − 2 = 102 − 82 = 36 ，
所以 = 6 .
设 = = ，则 = − 6 .
在 Rt △ 中， 2 = 2 + 2 ，
所以 △ =
1
2
1
2
⋅ = × 25 × 12 = 150 .
6. 如图，直线 上有三个正方形 ， ， .若 ， 的面积分别
为 5 和 11 ，则 的面积为( C )
A. 4
B. 6
C. 16
D. 55
7. 如图，在 △ 中， = ， = 10 ， ⊥ ，垂足为 ， = 8 .
（2） 已知 = 12 ， = 16 ，求 .
【解】在 Rt △ 中， ∠ = 90∘ ， = 12 ， = 16 ，
所以 2 = 2 + 2 = 122 + 162 = 400 .
所以 = 20 .
例2 如图，在 △ 中， ⊥ 于点 ，且 + = 32 ，
因为 ∠ = 90∘ ，所以 2 + 2 = 2 .
探索勾股定理ppt课件
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
探索勾股定理PPT教学课件
两直角边的平方和等于斜边的平方
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三 角形，并测量斜边的长度；（2）中的规律对这个三角 形仍然成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么 a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾a
弦
c
b
股
46厘米 58厘米
想一想：
C A
B
图2—2
（2）观察图2—2：
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积；
正方形B中含有 4 个小 方格，即B的面积是 4 个单位面积；
正方形C中含有 8 个小 方格，即C的面积是 8 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
C B
A
图2—3
做一做：
（1）观察图2—3、 图2—4，并填写下 一页的表格；
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？
4 、一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边 长为两个连续整数,求这个直角三角形的周长.
5 、如果一个直角三角形的三条边长是三个连续 整数,求这个直角三角形各边的长.
6. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
C
B
小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积）
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三 角形，并测量斜边的长度；（2）中的规律对这个三角 形仍然成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c，那么 a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
勾a
弦
c
b
股
46厘米 58厘米
想一想：
C A
B
图2—2
（2）观察图2—2：
正方形A中含有 4 个小 方格，即A的面积是 4 个单位面积；
正方形B中含有 4 个小 方格，即B的面积是 4 个单位面积；
正方形C中含有 8 个小 方格，即C的面积是 8 个单位面积；
A的面积+ B的面积= C的面积
C B
A
图2—3
做一做：
（1）观察图2—3、 图2—4，并填写下 一页的表格；
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥 板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三 边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了
勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊曾经发行了 一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所反映的内容吗？
4 、一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边 长为两个连续整数,求这个直角三角形的周长.
5 、如果一个直角三角形的三条边长是三个连续 整数,求这个直角三角形各边的长.
6. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
A
C
B
小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积）
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3， 因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第1课时)》
图1
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
1.1 探索勾股定理
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知
1.1 探索勾股定理
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
12 x
解：由勾股定理得： 152+x2=172 , 所以x2=64 , 所以x=8 .
43 解：由勾股定理得：
x2= 32 +42+152 ,
所以x2=169 , 所以x=13 .
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
探究新知
1.1 探索勾股定理
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
分割成若干个直角边为整数的三角形 S正方形C = 4×12×3×3 =18（单位面积）
（图中每个小方格代表一个单位面积）
探究新知
1.1 探索勾股定理
练一练 通过对图1的学习，
求出图2正方形A,B,C中面积
各是多少?
C A
解：正方形A的面积是4个 单位面积，正方形B的面积 是4个单位面积，正方形C 的面积是8个单位面积.
知识点 勾股定理的探索
做一做
在纸上画若干个直角边为整数的直角三角形，
分别测量它们的三条边长，并填入下表.看看三边长
的平方之间有怎样的关系？与同伴进行交流.
a
b
c
a2,b2,c2之间关系
探究新知
1.1 探索勾股定理
问题1 你能发现下图中三个正方形面积之间有怎样的关系?
C A
B
图1
（图中每个小方格代表一个单位面积）
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
12 x
解：由勾股定理得： 152+x2=172 , 所以x2=64 , 所以x=8 .
43 解：由勾股定理得：
x2= 32 +42+152 ,
所以x2=169 , 所以x=13 .
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
5.已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4. 求CD的长.
探究新知
1.1 探索勾股定理
2.求非直角三角形的面积
例3 如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，求△ABC的面积．
解：作AD⊥BC于D，
在等腰△ABC中，因为AB=AC=13，BC=10，
1.1探索勾股定理课件 北师大版数学八年级上册
即BC 2 =30 2 + 402，
所以 BC=50
Rt △ CDE中，由勾股定理得： CE2 =CD2 + DE2
即CE 2 =50 2 + 1202，
所以 CE=130
所以 BE=BC+CE=180 KM
180 x 100=18000 万元
即：该沿江高速的造价估计是18000 万元
探索新知
(1) 如图，在前面已经讨论了直角三角形三边满足的关系， 那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系 呢？
A
（2）你能发现直角三 角形三边长度之间存 在什么关系吗？与同 伴进行交流。
B
图1-3
C A
B
图1-4
A a
Bb c
C
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间 的关系
a2+b2=c2
你能验证你的猜想吗？
动手画一画
分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直 角三角形，并测量斜边的长度。以上猜想对 这个三角形仍然成立吗？
返回
C A
（2）在图1-2中，正方形A，B，C 中各含有多少个小方格？它们的面 积各是多少？
B C
图1-1
A
（3）你能发现图1-1、图1-2中三 个正方形A，B，C的面积之间有 什么关系吗？
B
图1-2 （图中每个小方格代表一个单位面积）
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于
斜边上的正方形的面积
B
图1-3
C A
B
图1-4
分割成若干个直角边为 整数的三角形
（2）图1-3、图1-4
中三个正方形A，B， C的面积之间有什
A
1.1 探索勾股定理(1)教学课件(共23张PPT) 八年级数学上册北师大版
探究新知
数格子法探索勾股定理
A
B
图1
C
C A
B
图2
16
9
25
4
9
13
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等 于以斜边为边长的大正方形的面积． 也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
C A
B SA SB SC
随堂练习
6．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC＝6 cm，BC＝8
cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它恰好落在斜边AB上，且
与AE重合，求CD的长．
A
解：由勾股定理，得
E
AB
10 ，S△ABC
1 68 2
24 ，
CD
B
S△ABC
S△ABD
S△ACD
1 10DE＋ 1 6CD
2
2பைடு நூலகம்
24．
(3)三个正方形的面积之间有什么关系?
探究新知
数格子法探索勾股定理
9
9
18
4
4
8
SA SB SC
两直角边的平方和等于斜边的平方
探究新知
数格子法探索勾股定理
以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，
等于以斜边为边长的大正方形的面积．
也就是：两直角边的平方和等于斜边的平方
AB
C SA SB SC
如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个 单位长度,上面所猜想的数量关系还成立吗?说明你的理由.
问题思考：(1)运用此定理的前提条件是什么? (2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?
探索勾股定理ppt课件
度的一般步
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
北师大版八年级数学上册 (探索勾股定理)勾股定理教育教学课件
“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
C
4
B
3.阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
常用数据： 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361
15 cm 17 cm
64.cm²
4.求出图中直角三角形第三边的长度.
a2 b2 c2
三、得出结论：勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么
a2 b2 c2
B
几何语言：
c
a
∵在Rt △ABC,∠C=90°
C
b
A
∴a2+b2=c2
说明：勾股定理的应用条件是在直角三角形中；勾股定理是刻画 直角三角形三边平方的关系.
趣味小常识
直角三角形中 较短的直角边称为 勾 ，
较长的直角边称为 股 ，
在中国古代，
斜边称为 弦 .
人们把弯曲成直角
的手臂的上半部分 勾
弦
称为“勾”，下半
部分称为“股”.
（在西方称为毕达
股
勾2 + 股2 = 弦2
哥拉斯定理）
a2 b2 c2
四、探究活动
观察图片，分别求出正方形A，B，C的面积。
2. 思考：任意一个的直角三角形都满足你 所猜测的规律吗？用网格纸中画的直角三角 形尝试证明一下吧？
语言表述： 几何表示：
勾股定理 P3
A c
b
C
a
B
赵爽弦图
2002年国际数学家大会会标
1. 从这个会标中你能证明你的猜想吗？如何证明？ 你的思路是什么？ 2. 给四个完全一样的直角三角线，你能否把它们 拼成正方形？能同样推导出勾股定理吗？
探索勾股定理课件(浙教版)
x
谁
算
得
快 方法小结: 可用勾股定理建立方程.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
！
2、湖的两端有A、Ｂ两点，从与ＢA方向成直角
的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则
AB为
( A)
A.50米 B.120米 C.100米 D.130米
A
130
?
C
120 B
在直角三角形中，已知一条边，以及另两 条边之间的关系，求另两条边的长度．
出水面1米 ,一阵微风吹过,红莲被倒向一边,花朵
齐及水面,如果知道红莲移动的水平距离为2米 ,问
这里水深多少?
A
x2+22=(x+1)2
1
C
H 2
┓
?x
B
实
小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）
践 运
的电视机，小明量了电视机的屏幕后， 发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他 觉得一定是售货员搞错了，你同意他的
这一证法称为“总统”证法。
a
cb
b
a
利用拼图来验证勾股定理：
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为a，b，斜边c）； 2、你能用这四个直角三角形拼成一个正 方形吗？拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边 的正方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
大正方形的面积可以表示为 c2 ；
与同伴进行交流。
勾股定理（gou-gu theorem)
一般地,如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 b2 c2 a c
b
即 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
探索勾股定理(第1课时)课件(浙教版)
例2 如图所示，在△ABC中，AB＝13，BC＝14， AC＝15，求BC边上的高线AD.
分析：要求出AD需先求出BD或CD，由于DB＋CD ＝BC，所以可设DB＝x，则CD＝14－x，这样分 别在两个直角三角形中根据勾股定理把AD2用含x 的代数式表示出来，然后得到关于x的方程，求 出x即可解决问题．
第2章 特殊三角形 2.7 探索勾股定理(第1课时)
勾股定理的探索
例1 如图(1)所示，用硬纸板做成两个全等的直 角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c. 图(2)是腰长为c的等腰直角三角形，请你开动脑 筋，将它们拼成一个能说明勾股定理的图形．画 出拼成的图形的示意图，并用其说明勾股定理．
分析：用三个三角形拼成一个梯形，用梯形的 面积公式来说明勾股定理．
52 42 41cm, 所以第三条线段的长为3cm和 41cm.
错因：由于思维定势只考虑了3，4，5的情况，没有 对哪一条是斜边进行分类讨论．
解：如图(3)所示，用三个直角三角形拼成一个
直角梯形．
三个直角三角形的面积和为1 ab 2 1 c2
2
2
直角梯形的面积为 1 (a b)(a b)
2
∴1 ab 2 1 c2 1 (a b)(a b) 化简得a2＋b2＝c2
，2
22
即勾股定理成立．
注意点：拼图法可以用来说明解决一些代数式 恒等的问题，使用过程中要注意两点：(1)一般 通过割补、拼接，用相同的材料得到不同的(或 同一个)图形；(2)用拼成的不同(或同一个)图 形的面积之间的关系可以建立代数式的恒等关 系．
在Rt△CEF中，设CE＝x，则EF＝DE＝8－x.
由勾股定理得 x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
观察右图，
用数格子的方
法判断图中三 角形的三边长 是否满足
c a
b
a²+b²=c².
(1)
a c
b
()
5
课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=__6__,b=_8__. (2)若a=9,b=40,则c=__4_1___. 2.在 ABC中, C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC 面积为__2_4__,斜边为上的高为__4_.8___.
1 探索勾股定理
1
请同学们画四个与右图全等的
直角三角形，并把它剪下来。 a
c
b
用这四个三角形拼一拼、摆一摆，看看 是否得到一个含有以斜边c为边长的正方 形，你能利用它说明勾股定理吗？并与 同伴交流。
2
b 有人利用这4个直角三角
形拼出了右图，你能用两种
a
方法表示大正方形的面积吗？
c
大正方形的面积可以
6
再见
7
表示为 ———(—a—+—b—)²———
c
b
又可以表示为：c—+—1—/—2—a—b—4
a
a
cb
c
a b
对比两种表示方法，你得到勾股定理了吗？
3
例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一 个男孩头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离 这个男孩头顶5000米。飞机每时飞行多少千米？
4
议一议