第三章 复变函数的积分.doc

习题 3

第三章 复变函数的积分

1.（1）计算积分1

1z dz -⎰，积分路径是直线段

解：C: z=x,-1≤x ≤1因此，

1

1

z dz -⎰

=1

1x dx -⎰=1

()2计算积分1

1z dz -⎰,积分路径是上半单元圆周

解 c:i z e θ=,θ是从π变到0,因此

()0

1

1

cos sin i i c

z dz de i e d i d θθ

π

π

θθθθ-===+=⎰

⎰⎰⎰

2

2．（1）利用积分估值，证明()2

2c

x

iy dz 2+≤⎰，其中C 是连接-i 到i 的直线段。

证明：C: x=0,-1y 1≤≤

因为()2222f z x iy iy y 1=+==≤ 而积分路径长为()i--i 2= 故

()()i

2

2

2

2c

i

x

iy dz x

iy dz 12=2-+=

+≤⨯⎰⎰

（2）利用积分估值，证明

22()c

x iy dz π+≤⎰

，其中C 是连接-i 到i 的右半圆周.

证明：C ：221x y +=，0x ≥

2244()()1f z x iy x y =+≤+≤，右半圆为长度为π。

22(())()C

x iy f z L +≤⎰

，L π=；

即：

22(())1C

x iy ππ+≤⋅=⎰

3.不用计算，验证下列积分之值为零，其中C 均为单位圆周z 1=。

()c

dz

1cos z

⎰ 证：因为距离原点最近的奇点Z=2π±

，在单位圆z 1≤外部，所以1

cos z

在z 1≤上

处处解析，由积分柯西定理知

c dz

0cos z =⎰ （2）2

56

z

C

dz

z e z ++⎰

证：

2

(2)(3)

56

z

z

z z z e

e

z

=

++++，因奇点2,3z =--在单位圆1z ≤外部，所以

2

22

z

z e

z

++在1z ≤处处解析。由柯西积分定理：2

056

z

C

dz

z e z

=++⎰

。

（3）2

cos C

z dz z ⎰

证：因为2cos z z 在1z ≤上处处解析，由柯西积分定理知：2

cos 0C

z dz z =⎰ 。

4、求积分()d z z a

z ⎰

++π20

2

182

解：由于()1822++=z z z f 在z 平面上解析， 所以在z 平面内积分与路径无关。

因此，选取最简单的路径为o 与a π2的直线段[]a π2,0, 则：

(

)

a a a z z z dz z z a

a

πππππ2163

16432182223

320

2320

2++=

⎪

⎭⎫

⎝⎛++=++⎰ 7．（分布积分法）设函数f(z),g(z)在单连通区域D 内解析，αβ，是D 内两点，试证

()()()()[()()]f z g z dz g z f z dz f

z g z β

β

β

α

αα

''=-⎰⎰

证明：因为f(z),g(z)在单连通区域D 内是解析。故f(z)g(z)在[()()][()()]()()()()

()()()()()()[()()()()][()()]()()[()()](f z g z D f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z dz f z g z f z g z dz f z g z f z ββ

α

α

β

β

αα

''''⋅⋅=+''+''+=⋅''=⋅-⎰⎰

在内解析，且 仍解析。所以是的一个原函数。

所以 所以 )()g z dz

β

α

⎰ 8.计算（C ：2z =） （1） 221

1

C

z z dz z -+-⎰

解：因为()221f z z z =-+在2z ≤上是解析的，且12z z =∈<，根据柯西积分

公式得 ()2212

21

22141

z z z z z z dz i i z ππ==-+=-+=-⎰

（2）

⎰

-+-c z z z 2

2)

1(1

2dz

解：可令f(z)=2

2Z -z+1,可由导函数的积分表达式的

()()

i

z i z if dz

z z z z z z πππ6142)

(21

1

'

2

||1

22

12=-=====+-⎰

-

9、计算下列积分

（1） dz z z z

⎰

=+-2

1|1|1

4

sin

2π

=dz z z z z ⎰

=

++-2

1|1|1

)1/(4

sin π

=2πi.1|1

4sin

-=-z z z

π

=22πi （2） dz

z z z ⎰

=--21|1|14sin 2π=dz z z z z ⎰

=--+2

1

|1|1)1/(4

sin π

=2πi.11

4sin

=+z z z

π

=22πi 10.求积分dz z

e c z

⎰（C ：|z|=1）

解：在有柯西积分公式dz z

e c z

⎰=ξξξd e c ⎰-0=20e i ⋅πi π2= 11．设函数()f z 在z 平面上解析，且 ()f z 恒大于一个正的常数，试证 ()f z 必为常数。

证明：（应用刘维尔定理）因 ()f z 恒大于一个正的常数，则

1

()

f z 必恒小于一正的常数，则

1

()

f z 为常数，故 ()f z 为常数。