高考数学玩转压轴题专题3_3图形面积求最值,函数值域正当时1

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第11讲 解三角形中面积最值与取值范围问题(解析版) 高一数学同步题型讲义(新人教2019)必修二

第11讲 解三角形中面积最值与取值范围问题(解析版) 高一数学同步题型讲义(新人教2019)必修二

第11讲解三角形中面积最值与取值范围问题题型一:三角形面积最大值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若3A π=,a =则ABC 面积的最大值为()A.4B .2C .1D【例2】在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若()tan tan 2B C +=,且2a =,则ABC 的面积的最大值为A .3B .2C D .【答案】A【解析】:因为()tan tan2AB C +=,且B C A +=π-,所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>,所以tan 2A =,则2π3A =.由于2a =为定值,由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-,即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=,即43bc ≤,当且仅当b c =时,等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选:A【例3】在ABC △中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,若4a c +=,2sin sin sin B A C =+,则ABC △的面积的最大值为()AB .2C.D .4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+,所以2b a c =+,因4a c +=,所以2=b ,由余弦定理得()acac ac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=,所以acacB -=6cos ,所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCSac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+,所以()442=+≤c a ac,ABC S ∆=≤=【例4】在ABC △中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C的对边,若2a =,b =,则ABC △的面积的最大值为()AB .2C .D .4【答案】A 【解析】因为2a =,b =,由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c cc c c c c A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2,则ABCS∆==≤【例5】在ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 若2222312++=a b c ,则ABC 面积最大值为__________【例6】如图,在ABC 中,3ABC ∠=,点D 在线段AC 上,且2AD DC =,3BD =,则ABC 面积的最大值为___.【例7】ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知B c C b a sin cos +=.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2=b ,求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中,()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ,∴0sin ≠C ,∴B B cos sin =又()π,0∈B ,∴4π=B(2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆,由已知及余弦定理得:4=a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯,整理得:ac≤,当且仅当a =c 时,等号成立,则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+【题型专练】1.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若8ac =,sin sin 20a B c A +=,则ABC 面积的最大值为______.2.材料一:已知三角形三边长分别为,,a b c ,则三角形的面积为S =,其中2a b cp ++=.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二:阿波罗尼奥斯(Apollonius )在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义:我们把平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数(大于)12F F 的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答:已知ABC 中,6,10BC AB AC =+=,则ABC 面积的最大值为()A .6B .10C .12D .20【答案】C【分析】令(2,8)AB x =∈,根据材料一海伦公式写出ABC 面积S ,由二次函数性质求面积最大值即可.3.在ABC 中,角,,A B C的对边分别为,,a b c .已知角,3C AB =边上的高为(1)若ABC S = ABC 的周长;(2)求ABC 面积的最小值.。

【玩转压轴题】必考3:相似三角形的综合(原卷版)-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编

【玩转压轴题】必考3:相似三角形的综合(原卷版)-浙教版2022年初三数学期末压轴题精选汇编

【玩转压轴题】必考3:相似三角形的综合(原卷版)一、单选题1.如图,C 是线段AB 上的任一点,分别以,,AB AC BC 为直径在线段AB 同侧作半圆,则这三个半圆周围成的图形被阿基米德称为“鞋匠刀形”(即图中阴影部分).当“鞋匠刀形”的面积等于以BC 为直径的半圆的面积时,过C 作CD AB ⊥,交圆周于点D ,连结BD ,则CD 与BC 的比值为( )A .12B C .13D 2.如图,在△ABC 中,∠CAB =45°,以其三边为边向外作正方形,连接GC 并延长交BH 于点L ,过点C 作CK ⊥DE 于点K .若L 为BH 中点,则GL CK 的值为( )A .1B .98C D3.如图,矩形ABCD 中,6,8AB BC ==.点E 、F 分别为边BC 、AD 上一点,连接EF ,将矩形ABCD 沿着EF 折叠,使得点A 落到边CD 上的点A '处,且2DA A C '=',则折痕EF 的长度为( )A .B .CD 4.如图,在ABC 中,AE 和BD 是高,45ABE ∠=︒,点F 是AB 的中点,BD 与FE AE、分别交于点,G H ,CAE ABD ∠=∠.有下列结论:①FD FE =;②2BH CD =;③22BD BH BE ⋅=;④43ABC BCDFS S =△四边形.其中正确的有( )A .①③B .②④C .①②③D .①②④5.如图,E ,F ,G ,H 分别是矩形ABCD 四条边上的点,连结EG ,HF 相交于点O ,//EG AD ,//FH AB ,矩形BFOE ∽矩形OGDH ,连结AC 交EG ,FH 于点P ,Q .下列一定能求出BPQ ∆面积的条件是( )A .矩形BFOE 和矩形OGDH 的面积之差B .矩形ABCD 与矩形BFOE 的面积之差C .矩形BFOE 和矩形FCGO 的面积之差D .矩形BFOE 和矩形EOHA 的面积之差6.如图,在ABC 中,90ACB ∠=︒,以ABC 的各边为边分别作正方形ACDE ,正方形BCFG 与正方形ABMN ,AN 与FG 相交于点H ,连结NF 并延长交AE 于点P ,且2NF FP =.记ABC 的面积为1S ,FNH △的面积为2S ,若1221S S -=,则BC 的长为( )A .6B .C .8D .97.如图,将边长为6的正六边形ABCDEF 沿HG 折叠,点B 恰好落在边AF 的中点上,延长B C ''交EF 于点M ,则C M '的长为( )A .1B .65C .56D .958.如图,等腰Rt ABC 中,90BAC AD BC ∠=︒⊥,于D ,ABC ∠的平分线分别交AC AD 、于E F 、两点,M 为EF 的中点,延长AM 交BC 于点N ,连接DM MC 、下列结论:①DF DN =;②ABE MBN ≌;③ CMN 是等腰三角形;④AE CN =,其中正确的是( )A .①②B .①④C .①③D .②③9.勾股定理有着悠久的历史,它曾引起很多人的兴趣.1955年希腊发行了以勾股图为背景的邮票.所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成,它可以验证勾股定理.在Rt ABC 中,()90,,BAC AC a AB b a b ∠=︒==<.如图所示作矩形HFPQ ,延长CB 交HF 于点G .若正方形BCDE 的面积等于矩形BEFG 面积的3倍,则ab的值为( )A B C D 35210.如图,在正方形ABCD 中,对角线AC ,BD 相交于点O ,点E 在DC 边上,且2CE DE =,连接AE 交BD 于点G ,过点D 作DF AE ⊥,连接OF 并延长,交DC 于点P ,过点O 作⊥OQ OP 分别交AE ,AD 于点N ,H ,交BA 的延长线于点Q ,现给出下列结论:①45AFO ∠=︒;②2N P O D H H =⋅;③Q OAG ∠=∠;④OG DG =.其中正确的结论有( )A .①③B .②④C .①②③D .①②③④二、填空题11.如图,在矩形ABCD 中,6AB =,8AD =.连接BD ,DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ,现把BCE 绕点B 逆时针旋转,记旋转后的BCE 为BC E ''△.当射线BE '和射线BC '都与线段AD 相交时,设交点分别为F ,G .若BFD △为等腰三角形,则线段DG 长为______.12.如图,点D 是等边ABC 边BC 上一点,将等边ABC 折叠,使点A 与点D 重合,折痕为EF (点E 在边AB 上).(1)当点D 为BC 的中点时,:AE EB =__; (2)当点D 为BC 的三等分点时,:AE EB =__.13.小明想设计一款如图1所示的喷水壶,于是他绘制了如图2所示的设计图,壶身的主视图呈矩形ABCD ,壶把手呈圆弧状,圆心O 落在AD 上,圆弧交CD 于点E .支撑架HF 所在直线恰好经过O .壶嘴GI 的端点I 恰好在AD 所在直线上.已知258cm,4cm,cm, 6.5cm 12AD DE AF HF FG =====,则半径AO 的长为________cm ,壶嘴GI 的长度为________cm .14.如图,AB 是半圆O 的直径.点C 在半径OA 上,过点C 做CD AB ⊥交半圆O 于点D .以,CD CA 为边分别向左、下作正方形,CDEF CAGH .过点B 作GH 的垂线与GH 的延长线交于点I ,M 为HI 的中点.记正方形,CDEF CAGH ,四边形BCHI 的面积分别为123,,S S S .(1)若:2:3AC BC =,则12S S 的值为_______;(2)若D ,O ,M 在同一条直线上,则123S S S +的值为______.15.四个全等的直角三角形如图摆放成一个风车的形状,形成正方形ABCD 和正方形IJKL .若BF 平分∠ABK ,AF :FK =5:3,风车周长为面积和是___.16.用一张正方形纸片折成一个“小蝌蚪”图案(如图1).如图2,正方形ABCD 的边长为2,等腰直角ACE 的斜边AE 过点D .点F 为CE 边上一点,连结AF 交CD 于点G ,将AEF 沿AF 对称得AE F ',AE '与BC 交于点H .当//FE CD '时,E FA '∠=______︒;当点G 为CD 的中点时,则CF 的长为______.17.如图,点A C 、分别是x 轴、y 轴正半轴上的点,矩形ABCO 的边,AB BC 分别交函数ky x=(0,0,x k k >≠为常数)的图象于点,P Q ,连接PQ . (1)若P 为AB 中点,则BQBC=___. (2)若把BPQ ∆沿PQ 翻折,点B 恰好落在x 轴上的点E ,且6,2OE EA ==,则k =___.18.如图,在ABCD 中,E 是BC 边上的中点,AP CD ⊥于点P ,将ABE △沿AE 翻折,点B 的对称点B '落在AP 上,延长EB '恰好经过点D ,若4AB =,则折痕AE 的长为________.19.如图,点A ,B 分别是反比例函数(0,0)a y a x x =>>和(0,0)by b x x=<<图象上的点,且//AB x 轴,点C 在x 轴的正半轴上,连接AC 交反比例函数(0,0)ay a x x=>>的图象于点D ,已知20BOD S =△,8COD S =△,2AD CD =,则-a b 的值为______.20.如图1是护眼台灯,该台灯的活动示意图如图2所示.灯柱6cm BC ,灯臂AC 绕着支点C 可以旋转,灯罩呈圆弧形(即弧AD 和弧EF ).在转动过程中,AD (EF )总是与桌面BH 平行.当AC BH ⊥时,51cm AB =.DM MH ⊥,测得42cm DM =(点M 在墙壁MH 上,且MH BH ⊥);当灯臂AC 转到CE 位置时,FN MH ⊥,测得15cm FN =,则点E 到桌面的距离为______cm .若此时点C ,F ,M 在同一条直线上,弧EF 的最低点到桌面BH 的距离为31cm ,则弧EF 所在圆的半径为_____cm (保留一位小数).三、解答题 21.特例感知(1)如图,已知在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,AB AC =,取BC 边上中点D ,连结AD ,点E 为AB 边上一点,连结DE ,作DF DE ⊥交AC 于点F ,求证BE AF =;探索发现(2)如图,已知在Rt ABC 中,90BAC ∠=︒,3AB AC ==,取BC 边上中点D ,连结AD ,点E 为BA 延长线上一点,1AE =,连结DE ,作DF DE ⊥交AC 延长线于点F ,求AF 的长;类比迁移(3)如图,已知在ABC 中,120BAC ∠=︒,4AB AC ==,取BC 边上中点D ,连结AD ,点E 为射线BA 上一点(不与点A 、点B 重合),连结DE ,将射线DE 绕点D 顺时针旋转30°交射线CA 于点F ,当4AE AF =时,求AF 的长.22.(证明体验)(1)如图1,AD 为ABC 的角平分线,60ADC ∠=︒,点E 在AB 上,AE AC =.求证:DE 平分ADB ∠.(思考探究)(2)如图2,在(1)的条件下,F 为AB 上一点,连结FC 交AD 于点G .若FB FC =,2DG =,3CD =,求BD 的长.(拓展延伸)(3)如图3,在四边形ABCD 中,对角线AC 平分,2BAD BCA DCA ∠∠=∠,点E 在AC上,EDC ABC ∠=∠.若5,2BC CD AD AE ===,求AC 的长. 23.(推理)如图1,在正方形ABCD 中,点E 是CD 上一动点,将正方形沿着BE 折叠,点C 落在点F 处,连结BE ,CF ,延长CF 交AD 于点G .(1)求证:BCE CDG △△≌. (运用)(2)如图2,在(推理)条件下,延长BF 交AD 于点H .若45HD HF =,9CE =,求线段DE 的长. (拓展)(3)将正方形改成矩形,同样沿着BE 折叠,连结CF ,延长CF ,BF 交直线AD 于G ,两点,若AB k BC =,45HD HF =,求DEEC的值(用含k 的代数式表示).24.在Rt ABC 中,90ACB ∠=︒,点D 在直线AC 上,连结BD ,以BD 为边作等腰直角BDE (点E 在直线BD 右侧),连结CE .(1)如图1,若45A ∠=︒,且点D 在AC 边上,求证:ABD CBE ∽△△; (2)如图2,若045A ︒<∠<︒,且12BC =,5CD =,求CE 的长;(3)如图3,若点D 在AC 的延长线上,BD ,CE 相交于点F ,设CDF 的面积为1S ,BEF 的面积为2S ,BCF △的面积为3S ,则2123122BC S S S =-+,请说明理由.25.如图,四边形ABCD 是矩形,20AB =,10BC =,以CD 为一边向矩形外部作等腰直角CDG ,90G ∠=︒.点M 在线段AB 上,且AM a =,点P 沿折线AD DG -运动,点Q 沿折线BC CG -运动(P ,Q 与点G 不重合),在运动过程中终保持//PQ AB .设PQ 与AB 之间的距离为x ,四边形AMQP 的面积为y .(1)若12a =,回答下列问题:①当点P 在线段AD 上时,若四边形AMQP 的面积为48,则x =______. ②求整个运动过程中,y 关于x 的函数解析式,并求出y 的最大值;(2)如图2,若点P 在线段DG 上时,要使四边形AMQP 的面积始终不小于50,求a 的取值范围.26.如图1,在矩形ABCD 中,动点P 沿着边AB 从点A 运动到点B ,同时动点Q 沿着边BC ,CD 从点B 运动到点D .它们同时到达终点,若点Q 的运动路程x 与线段BP 的长,满足487y x =-+,BD 与PQ 交于点E . (1)求AB ,BC 的长.(2)如图2.当Q 在CD 上时,求BEDE. (3)将矩形沿着PQ 折叠,点B 的对应点为点F ,连结EF ,当EF 所在直线与BCD △的一边垂直时,求BP 的长.27.如图1,在ABC 中,90A ∠=︒,当点P 从点A 出发,沿着AB 方向匀速运动到点B 时,点Q 恰好从点B 出发,沿着BC 方向匀速运动到点C ,连结PQ ,记,AP x CQ y ==,已知554y x =-+.(1)求AB和BC的长.(2)当BPQ是以PQ为腰的等腰三角形时,求x的值.(3)如图2,直线l是线段PQ的垂直平分线.①若直线l过点B,交AC于点D,请判断四边形BQDP的形状,并说明理由;②A'是点A关于直线l的对称点,若点A'落在ABC的内部,请直接写出x的取值范围.28.如图,四边形ABCD为边长等于7的菱形,其中∠B=60°,点E在对角线AC上,且AE=1,点F在射线CB上运动,连接EF,作∠FEG=60°,交DC延长线于点G.(1)当点F与B点重合时,试判断△EFG的形状,并说明理由;(2)以点B为原点,BC所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,当CF=10时,平面内是否存在一点M,使得以点M、E、F、G为顶点的四边形与菱形ABCD相似?若存在,求M的坐标,若不存在,说明理由;(3)记点F关于直线AB的轴对称点为点N,若点N落在∠EDC的内部(不含边界),求CF的取值范围.29.如图,在△ABC中,AC=BC=tan∠CAB=12,P为AC上一点,PD⊥AB交AB于点E,AD⊥AC交PD于点D,连结BD,CD,CD交AB于点Q.(1)若CD⊥BC,求证:△AED∽△QCB;(2)若AB平分∠CBD,求BQ的长;(3)连结PQ并延长交BD于点M.①当点P是AC的中点时,求tan∠BQM的值②当PM平行于四边形ADBC中的某一边时,求BMDM的值.30.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=1,C是弦AB上的任意一点(不与点A、B重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.设∠B=α,∠ADC=β.(1)求∠BOD的度数(用含α,β的代数式表示);(2)若α=30°,当AC的长度为多少时,以点A、C、D为顶点的三角形与B、C、O 为顶点的三角形相似?请写出解答过程.(3)若α=β,连接AO,记△AOD、△AOC、△COB的面积分别为S1,S2,S3,如果S2是S1和S3的比例中项,求OC的长.。

【经典压轴题】三角形面积最值问题30题含详细答案

【经典压轴题】三角形面积最值问题30题含详细答案

试卷第1页,总14页………外…………○…………订…………○……学:___________考号:___________………内…………○…………订…………○……三角形面积最值问题30题含详细答案1.如图,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -,点(3,0)B ,与y 轴交于点C ,且过点(2,3)D -.点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 在直线OD 下方时,求POD ∆面积的最大值.(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ,当OBE ∆与ABC ∆相似时,求点Q 的坐标.2.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线22y ax x c =-+与直线y kx b =+都经过(0,3)A -、(3,0)B 两点,该抛物线的顶点为C . (1)求此抛物线和直线AB 的解析式;(2)设直线AB 与该抛物线的对称轴交于点E ,在射线EB 上是否存在一点M ,过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ,使点M 、N 、C 、E 是平行四边形的四个顶点?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)设点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点,当PAB ∆面积最大时,求点P 的坐标,并求PAB ∆面积的最大值.3.如图,抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A (1,0)和点B 及y 轴上的点C ,经过B 、C 两点的直线为y x n =+.试卷第2页,总14页……订…………○……※※内※※答※※题※※……订…………○……①求抛物线的解析式.②点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何值时,△PBE 的面积最大并求出最大值. ③过点A 作AM BC ⊥于点M ,过抛物线上一动点N (不与点B 、C 重合)作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q .若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点N 的横坐标.4.如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -),()3,0B 两点,与y 轴交于点C ,连接BC .(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;(2)点D 为抛物线对称轴上一点,连接CD BD 、,若DCB CBD ∠=∠,求点D 的坐标;(3)已知()1,1F ,若(),E x y 是抛物线上一个动点(其中12x <<),连接CE CF EF 、、,求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标.(4)若点N 为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M ,使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.试卷第3页,总14页…○…………外………………订…………………线…………○……___________考号:______…○…………内………………订…………………线…………○……5.如图1,在Rt △ABC 中,∠A =90°,AB =AC ,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,AD =AE ,连接DC ,点M ,P ,N 分别为DE ,DC ,BC 的中点.(1)观察猜想:图1中,线段PM 与PN 的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)探究证明:把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN ,BD ,CE ,判断△PMN 的形状,并说明理由;(3)拓展延伸:把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转,若AD =4,AB =10,请直接写出△PMN 面积的最大值.6.已知抛物线y =a (x ﹣1)2过点(3,4),D 为抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式;(2)若点B 、C 均在抛物线上,其中点B (0,1),且∠BDC =90°,求点C 的坐标: (3)如图,直线y =kx +1﹣k 与抛物线交于P 、Q 两点,∠PDQ =90°,求△PDQ 面积的最小值.7.如图,抛物线y =ax 2+bx+c 经过A (0,3)、B (﹣1,0)、D (2,3),抛物线与x试卷第4页,总14页装…………○……………○…………线※要※※在※※装※※订※答※※题※※装…………○……………○…………线轴的另一交点为E ,点P 为直线AE 上方抛物线上一动点,设点P 的横坐标为t . (1)求抛物线的表达式;(2)当t 为何值时,△PAE 的面积最大?并求出最大面积;(3)是否存在点P 使△PAE 为直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,说明理由.8.如图,四边形ABCD 是边长为2,一个锐角等于60°的菱形纸片,小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D 重合,按顺时针方向旋转三角形纸片,使它的两边分别交CB 、BA (或它们的延长线)于点E 、F ,∠EDF=60°,当CE=AF 时,如图1小芳同学得出的结论是DE=DF .(1)继续旋转三角形纸片,当CE≠AF 时,如图2小芳的结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请说明理由;(2)再次旋转三角形纸片,当点E 、F 分别在CB 、BA 的延长线上时,如图3请直接写出DE 与DF 的数量关系;(3)连EF ,若△DEF 的面积为y ,CE=x ,求y 与x 的关系式,并指出当x 为何值时,y 有最小值,最小值是多少?9.已知ABC 和ADE 都是等腰三角形,AB AC =,AD AE =,DAE BAC ∠=∠. (初步感知)(1)特殊情形:如图①,若点D ,E 分别在边AB ,AC 上,则DB __________EC .(填>、<或=)试卷第5页,总14页…………○………………○………………○…………………○……学校:____:___________班级:____:___________…………○………………○………………○…………………○……(2)发现证明:如图②,将图①中的ADE 绕点A 旋转,当点D 在ABC 外部,点E 在ABC 内部时,求证:DB EC =.(深入研究)(3)如图③,ABC 和ADE 都是等边三角形,点C ,E ,D 在同一条直线上,则CDB ∠的度数为__________;线段CE ,BD 之间的数量关系为__________.(4)如图④,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,点C 、D 、E 在同一直线上,AM 为ADE 中DE 边上的高,则CDB ∠的度数为__________;线段AM ,BD ,CD 之间的数量关系为__________.(拓展提升)(5)如图⑤,ABC 和ADE 都是等腰直角三角形,90BAC DAE ∠=∠=︒,将ADE 绕点A 逆时针旋转,连结BE 、CD .当5AB =,2AD =时,在旋转过程中,ABE △与ADC 的面积和的最大值为__________.试卷第6页,总14页…○…………外………订…………○………………○……※内※※答※※题※※…○…………内………订…………○………………○……10.如图,在平面直角坐标系xOy 中,反比例函数(0)m y x x =>的图像经过点34,2A ⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在y 轴的负半轴上,AB 交x 轴于点C ,C 为线段AB 的中点.(1)m =________,点C 的坐标为________;(2)若点D 为线段AB 上的一个动点,过点D 作//DE y 轴,交反比例函数图像于点E ,求ODE 面积的最大值.11.如图,直线l :y =﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,抛物线y =ax 2﹣2ax +a +4(a <0)经过点B ,交x 轴正半轴于点C . (1)求该抛物线的函数表达式;(2)已知点M 是抛物线上的一个动点,并且点M 在第一象限内,连接AM 、BM ,设点M 的横坐标为m ,△ABM 的面积为S ,求S 与m 的函数表达式,并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标;(3)将点A 绕原点旋转得点A ′,连接CA ′、BA ′,在旋转过程中,一动点M 从点B 出发,沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′,再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止,求点M 在整个运动过程中用时最少是多少?12.(问题提出)试卷第7页,总14页……○…………外装…………○……姓名:___________班级:____……○…………内装…………○……(1)如图①,在等腰Rt ABC 中,斜边4AC =,点D 为AC 上一点,连接BD ,则BD 的最小值为 .(问题探究)(2)如图2,在ABC 中,5AB AC ==,6BC =,点M 是BC 上一点,且4BM =,点P 是边AB 上一动点,连接PM ,将BPM △沿PM 翻折得到DPM △,点D 与点B 对应,连接AD ,求AD 的最小值.(问题解决)(3)如图③,四边形ABCD 是规划中的休闲广场示意图,其中135BAD ADC ∠=∠=︒,30DCB ∠=︒,AD =,3AB km =,点M 是BC 上一点,4MC km =.现计划在四边形ABCD 内选取一点P ,把DCP 建成商业活动区,其余部分建成景观绿化区.为方便进入商业区,需修建小路BP 、MP ,从实用和美观的角度,要求满足PMB ABP ∠=∠,且景观绿化区面积足够大,即DCP 区域面积尽可能小.则在四边形ABCD 内是否存在这样的点P ?若存在,请求出DCP 面积的最小值;若不存在,请说明理由.13.在平面直角坐标系中,点O 是原点,四边形AOBC 是矩形,点(5,0)A ,点(0,3)B .以点A 为中心,顺时针旋转矩形AOBC ,得到矩形ADEF ,点O B C ,,的对应点分别为D E F ,,.(1)如图①,当点D 落在BC 边上时,求点D 的坐标;(2)如图②,当点D 落在线段BE 上时,AD 与BC 交于点H .求点H 的坐标; (3)记K 为矩形AOBC 对角线的交点,S 为KDE 的面积,求S 的取值范围(直接写出结果即可).试卷第8页,总14页……外…………○……………订…………○…※※请※※线※※内※※答※※题※※……内…………○……………订…………○…14.(1)如图1,四边形ABCD 中,//AD BC ,点E 为DC 边的中点,连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ,求证:ABF ABCD S S ∆=四边形.(S 表示面积)(2)如图2,在ABC ∆中,过AC 边的中点P 任意作直线EF ,交BC 边于点F ,交BA 的延长线于点E ,试比较EBF ∆与ABC ∆的面积,并说明理由.(3)如图3,在平面直角坐标系中,已知一次函数y kx b =+的图像过点()2,4P 且分别于x 轴正半轴,y 轴正半轴交于点A 、B ,请问AOB ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出此时一次函数关系式;若不存在,请说明理由.15.△ABC 为等边三角形,AB =8,AD ⊥BC 于点D ,E 为线段AD 上一点,AE =.以AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ,连接CE ,N 为CE 的中点. (1)如图1,EF 与AC 交于点G ,连接NG ,求线段NG 的长;(2)如图2,将△AEF 绕点A 逆时针旋转,旋转角为α,M 为线段EF 的中点,连接DN ,MN .当30°<α<120°时,猜想∠DNM 的大小是否为定值,并证明你的结论; (3)连接BN .在△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中,当线段BN 最大时,请直接写出△ADN 的面积.16.如图,已知A ,B 是线段MN 上的两点,4MN =,1MA =,1MB >,以A 为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M ,N 两点重合成一点C ,构成ABC ,设AB x =.试卷第9页,总14页…外…………○………………○…………订………○……学校:_____名:___________班级:___________考号…内…………○………………○…………订………○……(1)求x 的取值范围; (2)求ABC 面积的最大值.17.在平面直角坐标系中,抛物线265y x mx =-+与y 轴的交点为A ,与x 轴的正半轴分别交于点B (b ,0),C (c ,0).(1)当b =1时,求抛物线相应的函数表达式;(2)当b =1时,如图,E (t ,0)是线段BC 上的一动点,过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线的交点为P .求△APC 面积的最大值;(3)当c =b + n .时,且n 为正整数.线段BC (包括端点)上有且只有五个点的横坐标是整数,求b 的值.18.如图,抛物线2y ax bx c =++与坐标轴交于点()()()0, 31,03,0A B E --、、,点P 为抛物线上动点,设点P 的横坐标为t .(1)若点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称,求C 点的坐标及抛物线的解析式; (2)若点P 在第四象限,连接PA PE 、及AE ,当t 为何值时,PAE ∆的面积最大?最大面积是多少?(3)是否存在点P ,使PAE ∆为以AE 为直角边的直角三角形,若存在,直接写出点P试卷第10页,总14页…外…………○…※…内…………○…的坐标;若不存在,请说明理由. 19.综合与实践问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合,并让一个三角板固定,另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动,如图1,三角板ABC 和三角板CDE 都是等腰直角三角形,90C ∠=︒,点D ,E 分别在边BC ,AC 上,连接AD ,点M ,P ,N 分别为DE ,AD ,AB 的中点.试判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系.探究展示:勤奋小组发现,PM PN =,PM PN ⊥.并展示了如下的证明方法:∵点P ,N 分别是AD ,AB 的中点,∴PNBD ,12PN BD =. ∵点P ,M 分别是AD ,DE 的中点,∴PM AE ∥,12PM AE =.(依据1)∵CA CB =,CD CE =,∴BD AE =,∴PM PN =. ∵PNBD ,∴DPN ADC ∠=∠.∵PM AE ∥,∴DPM DAC ∠=∠.∵90BCA ∠=︒,∴90ADC CAD ∠+∠=︒.(依据2)∴90MPN DPM DPN CAD ADC ∠=∠+∠=∠+∠=︒.∴PM PN ⊥. 反思交流:(1)①上述证明过程中的“依据1”,“依据2”分别是指什么? ②试判断图1中,MN 与AB 的位置关系,请直接回答,不必证明;(2)创新小组受到勤奋小组的启发,继续进行探究,把CDE △绕点C 逆时针方向旋转到如图2的位置,发现PMN 是等腰直角三角形,请你给出证明;(3)缜密小组的同学继续探究,把CDE △绕点C 在平面内自由旋转,当4CD =,10CB =时,求PMN 面积的最大值.20.如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为菱形,点 C 的坐标为(4,0),∠AOC = 60°,垂直于 x 轴的直线 l 从 y 轴出发,沿 x 轴正方向以每秒 1 个单位长度的速度运动,设直线 l 与 菱形 OABC 的两边分别交与点 M 、N (点 M 在点 N 的上方).○…………外…………订………………○……级:___________考号:__○…………内…………订………………○……(1)求 A 、B 两点的坐标;(2)设 OMN 的面积为 S ,直线 l 运动时间为 t 秒(0 ≤t ≤6 ),试求 S 与 t 的函数表达 式;(3)在题(2)的条件下,t 为何值时,S 的面积最大?最大面积是多少.21.如图,抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A (﹣1,0),C (0,3),抛物线的顶点在直线1x =上.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P 为第一象限内抛物线上的一点,设△PBC 的面积为S ,求S 的最大值并求出此时点P 的坐标; 22.综合与探究如图,已知抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、()20B ,两点,与y 轴交于点C ,顶点坐标为点1924D ⎛⎫⎪⎝⎭,. (1)求此抛物线的解析式;(2)点P 为抛物线对称轴上一点,当PA PC +最小时,求点P 坐标;(3)在第一象限的抛物线上有一点M ,当BCM ∆面积最大时,求点M 坐标; (4)在x 轴下方抛物线上有一点H ,ABH ∆面积为6,请直接写出点H 的坐标.○…………装………○…………线…………※※请※※不※※要※※在※※○…………装………○…………线…………23.如图,已知抛物线23y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点,过点A 的直线l 与抛物线交于点C ,其中A 点的坐标是(1,0),C 点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上是否存在点D ,使△BCD 的周长最小?若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由;(3)点P 是抛物线上AC 下方的一个动点,是否存在点p ,使△PAC 的面积最大?若存在,求出点P 的坐标,若不存在,请说明理由.二、填空题24.如图,直线AB 交坐标轴于A(-2,0),B(0,-4),点P 在抛物线1(2)(4)2y x x =--上,则△ABP 面积的最小值为__________.25.如图,在平面直角坐标系xOy 中,半径为2的O 与x 轴的正半轴交于点A ,点B 是O 上一动点,点C 为弦AB 的中点,直线334y x =-与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ,则CDE △面积的最小值为________.………○…………装………………订……………线…………○……学校:___________姓名:_级:___________考号:………○…………装………………订……………线…………○……26.如图,30AOB ∠=,C 是BO 上的一点,4CO =,点P 为AO 上的一动点,点D 为CO 上的一动点,则PC PD +的最小值为 ________,当PC PD +的值取最小值时,则OPC ∆的面积为________.27.如图,已知直线433y x =-与x 轴、y 轴分别交于A ,B 两点,P 是以(0,1)C 为圆心,1为半径的圆上一动点,连接PA ,PB ,当PAB ∆的面积最大时,点P 的坐标为__________.28.如图,在Rt ABC ∆中,90ACB ∠=︒,4AB =,点D ,E 分别在边AB ,AC 上,且2DB AD =,3AE EC =连接BE ,CD ,相交于点O ,则ABO ∆面积最大值为__________.…………装…………○…订…………○……线…………○……※请※※不※※要※※在※※装※※订内※※答※※题※※…………装…………○…订…………○……线…………○……29.如图,在△ABC 中,∠ACB =120°,AC =BC =2,D 是AB 边上的动点,连接CD ,将△BCD 绕点C 沿顺时针旋转至△ACE ,连接DE ,则△ADE 面积的最大值=_____.30.如图,∠AOB=45°,点M 、N 分别在射线OA 、OB 上,MN=7,△OMN 的面积为14,P 是直线MN 上的动点,点P 关于OA 对称的点为P 1,点P 关于OB 对称点为P 2,当点P 在直线NM 上运动时,△OP 1P 2的面积最小值为_____参考答案1.(1)抛物线的表达式为:223y x x =--;(2)POD S ∆有最大值,当14m =时,其最大值为4916;(3) Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或⎝⎭. 【分析】(1)函数的表达式为:y=a (x+1)(x-3),将点D 坐标代入上式,即可求解; (2)设点()2,23P m m m --,求出32OG m =+,根据()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++,利用二次函数的性质即可求解; (3)分∠ACB=∠BOQ 、∠BAC=∠BOQ ,两种情况分别求解,通过角的关系,确定直线OQ 倾斜角,进而求解. 【详解】解:(1)函数的表达式为:(1)(3)y a x x =+-,将点D 坐标代入上式并解得:1a =, 故抛物线的表达式为:223y x x =--…①;(2)设直线PD 与y 轴交于点G ,设点()2,23P m m m --,将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式:y sx t =+并解得,直线PD 的表达式为:32y mx m =--,则32OG m =+, ()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++,∵10-<,故POD S ∆有最大值,当14m =时,其最大值为4916; (3)∵3OB OC ==,∴45OCB OBC ︒∠=∠=,∵ABC OBE ∠=∠,故OBE ∆与ABC ∆相似时,分为两种情况:①当ACB BOQ ∠=∠时,4AB =,BC =AC = 过点A 作AH ⊥BC 与点H ,1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯,解得:AH =,∴CH 则tan 2ACB ∠=,则直线OQ 的表达式为: 2 y x =-…②,联立①②并解得:x =故点Q -或(; ②BAC BOQ ∠=∠时,3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠, 则直线OQ 的表达式为: 3 y x =-…③,联立①③并解得:x =故点13,22Q ⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭或1322⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭;综上,点Q -或(或1122⎛-+- ⎝⎭或13,22⎛-+ ⎝⎭. 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等,其中(3),要注意分类求解,避免遗漏.2.(1)抛物线的解析式为223y x x =--,直线AB 的解析式为3y x =-,(2)(2,1)-或33(22+-+.(3)当32m =时,PAB∆面积的最大值是278,此时P 点坐标为33(,)22-. 【解析】 【分析】(1)将(0,3)A -、(3,0)B 两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解;(2)先求出C 点坐标和E 点坐标,则2CE =,分两种情况讨论:①若点M 在x 轴下方,四边形CEMN 为平行四边形,则CE MN =,②若点M 在x 轴上方,四边形CENM 为平行四边形,则CE MN =,设(,3)M a a -,则2(,23)N a a a --,可分别得到方程求出点M 的坐标;(3)如图,作//PG y 轴交直线AB 于点G ,设2(,23)P m m m --,则(,3)G m m -,可由12PAB S PG OB ∆=,得到m 的表达式,利用二次函数求最值问题配方即可. 【详解】解:(1)∵抛物线22y ax x c =-+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点,∴9603a c c -+=⎧⎨=-⎩,∴13a c =⎧⎨=-⎩,∴抛物线的解析式为223y x x =--, ∵直线y kx b =+经过(0,3)A -、(3,0)B 两点,∴303k b b +=⎧⎨=-⎩,解得:k 1b 3=⎧⎨=-⎩,∴直线AB 的解析式为3y x =-,(2)∵2223(1)4y x x x =--=--,∴抛物线的顶点C 的坐标为(1,4)-, ∵//CE y 轴, ∴(1,2)E -, ∴2CE =,①如图,若点M 在x 轴下方,四边形CEMN 为平行四边形,则CE MN =, 设(,3)M a a -,则2(,23)N a a a --,∴223(23)3MN a a a a a =----=-+, ∴232a a -+=,解得:2a =,1a =(舍去), ∴(2,1)M -,②如图,若点M 在x 轴上方,四边形CENM 为平行四边形,则CE MN =,设(,3)M a a -,则2(,23)N a a a --,∴2223(3)3MN a a a a a =----=-, ∴232a a -=,解得:a =,a =(舍去),∴M ,综合可得M 点的坐标为(2,1)-或33(22+-+. (3)如图,作//PG y 轴交直线AB 于点G ,设2(,23)P m m m --,则(,3)G m m -, ∴223(23)3PG m m m m m =----=-+, ∴22211393327(3)3()2222228PAB PGA PGB S S S PG OB m m m m m ∆∆∆=+==⨯-+⨯=-+=--+, ∴当32m =时,PAB ∆面积的最大值是278,此时P 点坐标为33(,)22-.【点睛】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,二次函数求最值问题,以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题.3.①265y x x =-+-;②当2t =时,△PBE 的面积最大,最大值为;③点N 的横坐标为:4或52+或52.【解析】 【分析】①点B 、C 在直线为y x n =+上,则B (﹣n ,0)、C (0,n ),点A (1,0)在抛物线上,所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩,解得1a =-,6b =,因此抛物线解析式:265y x x =-+-; ②先求出点P 到BC 的高h为sin 45)BP t ︒=-,于是211)22)22PBE S BE h t t t ∆=⋅=-⨯=-+2t =时,△PBE 的面积最大,最大值为③由①知,BC 所在直线为:5y x =-,所以点A 到直线BC的距离d =N 作x轴的垂线交直线BC 于点P ,交x 轴于点H .设()2,65N m m m -+-,则(,0)H m 、(,5)P m m -,易证△PQN为等腰直角三角形,即NQ PQ ==4PN =,Ⅰ.4NH HP +=,所以265(5)4m m m -+---=解得11m =(舍去),24m =,Ⅱ.4NH HP +=,()25654m m m ---+-=解得152m +=,252m =(舍去),Ⅲ.4NH HP -=,()265[(5)]4m m m --+----=,解得152m =(舍去),252m =.【详解】解:①∵点B 、C 在直线为y x n =+上, ∴B(﹣n ,0)、C (0,n ), ∵点A (1,0)在抛物线上,∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩, ∴1a =-,6b =,∴抛物线解析式:265y x x =-+-;②由题意,得,4PB t =-,2BE t =,由①知,45OBC ︒∠=,∴点P 到BC 的高h 为sin 45)2BP t ︒=-,∴211(4)2(2)2222PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+当2t =时,△PBE 的面积最大,最大值为③由①知,BC 所在直线为:5y x =-,∴点A 到直线BC 的距离d =过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ,交x 轴于点H .设()2,65N m m m -+-,则(,0)H m 、(,5)P m m -,易证△PQN 为等腰直角三角形,即NQ PQ ==∴4PN =,Ⅰ.4NH HP +=,∴265(5)4m m m -+---=解得11m =,24m =,∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,∴4m =;Ⅱ.4NH HP +=,∴()25654m m m ---+-=解得152m =,252m =, ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,5m >,∴m =,Ⅲ.4NH HP -=,∴()265[(5)]4m m m --+----=,解得1m =,2m = ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,0m <,∴52m =,综上所述,若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形,点N 的横坐标为:4或52或52-. 【点睛】本题考查了二次函数,熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键.4.(1)224233y x x =-++,对称轴1x =;(2)11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(3)面积有最大值是4948,755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭;(4)存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形,()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【解析】【分析】(1)将点A (-1,0),B (3,0)代入y=ax 2+bx+2即可;(2)过点D 作DG ⊥y 轴于G ,作DH ⊥x 轴于H ,设点D (1,y ),在Rt △CGD 中,CD 2=CG 2+GD 2=(2-y )2+1,在Rt △BHD 中,BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2,可以证明CD=BD ,即可求y 的值; (3)过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ,过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ,过点E 作FP ⊥FR 于P ,证明四边形QRPE 是矩形,根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ,代入边即可;(4)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ,C ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,点M (2,2)或M (4,-103)或M (-2,-103); 【详解】 解:(1)将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++, 可得24,33a b =-=, 224233y x x ∴=-++; ∴对称轴1x =;(2)如图1:过点D 作DG y ⊥轴于G ,作DH x ⊥轴于H ,设点()1,D y ,()()0,2,3,0C B ,∴在Rt CGD ∆中,()222221CD CG GD y =+=-+,∴在Rt BHD ∆中,22224BD BH HD y =+=+,在BCD ∆中,DCB CBD ∠=∠CD BD ∴=,22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+14y ∴=, 11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭;(3)如图2:过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ,过点F 作直线FR y ⊥轴于R ,过点E 作FP FR ⊥于P ,90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=,∴四边形QRPE 是矩形,CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--矩形,()()(),,0,2,1,1E x y C F ,111•222CEF SEQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅- ()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯--- 224233y x x =-++, 21736CEF S x x ∆∴=-+ ∴当74x =时,面积有最大值是4948, 此时755,424E ⎛⎫ ⎪⎝⎭; (4)存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形,设()()1,,,N n M x y ,①四边形CMNB 是平行四边形时,1322x += 2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭ ②四边形CNBM 时平行四边形时,3122x += 2x ∴=,()2,2M ∴;③四边形CNNB 时平行四边形时,1322x +=, 4x ∴=,104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭; 综上所述:()2,2M 或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭; 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象及性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.5.(1)PM =PN ,PM ⊥PN ;(2)△PMN 是等腰直角三角形.理由见解析;(3)S △PMN 最大=492. 【分析】(1)由已知易得BD CE =,利用三角形的中位线得出12PM CE =,12PN BD =,即可得出数量关系,再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠,最后用互余即可得出位置关系;(2)先判断出ABD ACE ∆≅∆,得出BD CE =,同(1)的方法得出12PM BD =,12PN BD =,即可得出PM PN =,同(1)的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠,即可得出结论;(3)方法1:先判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大,进而求出AN ,AM ,即可得出MN 最大AM AN =+,最后用面积公式即可得出结论.方法2:先判断出BD 最大时,PMN ∆的面积最大,而BD 最大是14AB AD +=,即可得出结论.【详解】解:(1)点P ,N 是BC ,CD 的中点,//PN BD ∴,12PN BD =, 点P ,M 是CD ,DE 的中点, //PM CE ∴,12PM CE =, AB AC =,AD AE =,BD CE ∴=,PM PN ∴=,//PN BD ,DPN ADC ∴∠=∠,//PM CE ,DPM DCA ∴∠=∠,90BAC ∠=︒,90ADC ACD ∴∠+∠=︒,90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒,PM PN ∴⊥,故答案为:PM PN =,PM PN ⊥;(2)PMN ∆是等腰直角三角形.由旋转知,BAD CAE ∠=∠,AB AC =,AD AE =,()ABD ACE SAS ∴∆≅∆,ABD ACE ∴∠=∠,BD CE =, 利用三角形的中位线得,12PN BD =,12PM CE =, PM PN ∴=,PMN ∴∆是等腰三角形,同(1)的方法得,//PM CE ,DPM DCE ∴∠=∠,同(1)的方法得,//PN BD ,PNC DBC ∴∠=∠,DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠,MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠,90BAC ∠=︒,90ACB ABC ∴∠+∠=︒,90MPN ∴∠=︒,PMN ∴∆是等腰直角三角形;(3)方法1:如图2,同(2)的方法得,PMN ∆是等腰直角三角形,MN ∴最大时,PMN ∆的面积最大,//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面,MN ∴最大AM AN =+,连接AM ,AN ,在ADE ∆中,4AD AE ==,90DAE ∠=︒,AM ∴=在Rt ABC ∆中,10AB AC ==,AN =MN ∴==最大,22211114922242PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大.方法2:由(2)知,PMN ∆是等腰直角三角形,12PM PN BD ==, PM ∴最大时,PMN ∆面积最大,∴点D 在BA 的延长线上,14BD AB AD ∴=+=,7PM ∴=,2211497222PMN S PM ∆∴==⨯=最大. 【点睛】此题属于几何变换综合题,主要考查了三角形的中位线定理,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判断和性质,直角三角形的性质的综合运用;解(1)的关键是判断出12PM CE =,12PN BD =,解(2)的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆,解(3)的关键是判断出MN 最大时,PMN ∆的面积最大.6.(1)y =(x ﹣1)2;(2)点C 的坐标为(2,1);(3)1【分析】(1)将点(3,4)代入解析式求得a 的值即可;(2)设点C 的坐标为(x 0,y 0),其中y 0=(x 0﹣1)2,作CF ⊥x 轴,证△BDO ∽△DCF 得BO DF DO CF=,即1=00x 1y -=()01x 1-,据此求得x 0的值即可得; (3)过点D 作x 轴的垂线交直线PQ 于点G ,则DG =4,根据S △PDQ =12DG•MN 列出关于k 的等式求解可得.【详解】解:(1)将点(3,4)代入解析式,得:4a =4,解得:a =1,所以抛物线解析式为y =(x ﹣1)2;(2)由(1)知点D 坐标为(1,0),设点C 的坐标为(x 0,y 0),(x 0>1、y 0>0),则y 0=(x 0﹣1)2,如图1,过点C 作CF ⊥x 轴,∴∠BOD =∠DFC =90°,∠DCF+∠CDF =90°,∵∠BDC =90°,∴∠BDO+∠CDF =90°,∴∠BDO =∠DCF ,∴△BDO ∽△DCF , ∴BO DF DO CF=, ∴1=00x 1y -=()01x 1-,解得:x 0=2,此时y 0=1,∴点C 的坐标为(2,1).(3)设点P 的坐标为(x 1,y 1),点Q 为(x 2,y 2),(其中x 1<1<x 2,y 1>0,y 2>0), 如图2,分别过点P 、Q 作x 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,由y=(x-1)2 ,y=kx+1-k ,得x 2﹣(2+k )x+k =0.∴x 1+x 2=2+k ,x 1•x 2=k .∴MN =|x 1﹣x 2|=|2﹣k|.则过点D作x轴的垂线交直线PQ于点G,则点G的坐标为(1,1),所以DG=1,∴S△PDQ=12DG•MN=12×1×|x1﹣x2|=12|2﹣k|,∴当k=0时,S△PDQ取得最小值1.【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质及一元二次方程根与系数的关系等知识点.7.(1)y=﹣x2+2x+3;(2)t=32时,△PAE的面积最大,最大值是278;(3)t的值为1.【分析】(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;(2)由抛物线的对称性可求得E点坐标,从而可求得直线EA的解析式,作PM∥y轴,交直线AE于点M,则可用t表示出PM的长,从而可表示出△PAE的面积,再利用二次函数的性质可求得其最大值即可;(3)由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况,当∠PAE=90°时,作PG⊥y轴,利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值;当∠APE=90°时,作PK⊥x 轴,AQ⊥PK,则可证得△PKE∽△AQP,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程,可求得t的值.【详解】解:(1)由题意得:0 4233a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩,解得:123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵A(0,3),D(2,3),∴抛物线对称轴为x=1,∴E(3,0),设直线AE的解析式为y=kx+3,∴3k+3=0,解得,k=﹣1,∴直线AE的解析式为y=﹣x+3,如图1,作PM∥y轴,交直线AE于点M,设P(t,﹣t2+2t+3),M(t,﹣t+3),∴PM=﹣t2+2t+3+t﹣3=﹣t2+3t,∴12PAE PMA PMES S S PM OE=+=⋅=()21332t t⨯⨯-+=23327228t⎛⎫--+⎪⎝⎭,∴t=32时,△PAE的面积最大,最大值是278.(3)由图可知∠PEA≠90°,∴只能有∠PAE=90°或∠APE=90°,①当∠PAE=90°时,如图2,作PG⊥y轴,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=45°,∴∠PAG=∠APG=45°,∴PG=AG,∴t =﹣t 2+2t+3﹣3,即﹣t 2+t =0,解得t =1或t =0(舍去), ②当∠APE =90°时,如图3,作PK ⊥x 轴,AQ ⊥PK ,则PK =﹣t 2+2t+3,AQ =t ,KE =3﹣t ,PQ =﹣t 2+2t+3﹣3=﹣t 2+2t , ∵∠APQ+∠KPE =∠APQ+∠PAQ =90°, ∴∠PAQ =∠KPE ,且∠PKE =∠PQA , ∴△PKE ∽△AQP , ∴PK KEAQ PQ=, ∴222332t t t t t t-++-=-+,即t 2﹣t ﹣1=0,解得:t 或t 0(舍去),综上可知存在满足条件的点P ,t 的值为1或12+. 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数与几何面积最值问题以及二次函数与特殊三角形的问题,解题的关键是灵活运用二次函数的性质及几何知识.8.(1)成立,证明见解析;(2)DF=DE .(3)当x=0时,y 最小值 【分析】(1)如图1,连接BD .根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ,然后证明△ADF ≌△BDE (ASA ),得DF=DE ;(2)如图2,连接BD .根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE ,然后证明△ADF ≌△BDE(ASA ),得DF=DE ;(3)根据(2)中的△ADF ≌△BDE 得到:S △ADF =S △BDE ,AF=BE .所以△DEF 的面积转化为:y=S △BEF +S △ABD .据此列出y 关于x 的二次函数,通过求二次函数的最值来求y 的最小值. 【详解】(1)DF=DE .理由如下: 如图1,连接BD .∵四边形ABCD 是菱形, ∴AD=AB . 又∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形, ∴AD=BD ,∠ADB=60°, ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°, ∴∠ADF=∠BDE . ∵在△ADF 与△BDE 中,ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩, ∴△ADF ≌△BDE (ASA ), ∴DF=DE ;(2)DF=DE .理由如下: 如图2,连接BD .∵四边形ABCD 是菱形, ∴AD=AB . 又∵∠A=60°,∴△ABD 是等边三角形, ∴AD=BD ,∠ADB=60°, ∴∠DBE=∠A=60° ∵∠EDF=60°, ∴∠ADF=∠BDE . ∵在△ADF 与△BDE 中,ADF BDE AD BDA DBE ∠=⎧∠=∠=∠⎪⎨⎪⎩, ∴△ADF ≌△BDE (ASA ), ∴DF=DE ;(3)由(2)知,△ADF ≌△BDE .则S △ADF =S △BDE ,AF=BE=x . 依题意得:y=S △BEF +S △ABD =12(2+x )xsin60°+12×2×2sin60°x+1)2.即x+1)20, ∴该抛物线的开口方向向上, ∴当x=0即点E 、B 重合时,y 最小值=29.(1)=;(2)证明见解析;(3)60°,BD=CE ;(4)90°,AM+BD=CM ;(5)7【分析】(1)由DE ∥BC ,得到DB ECAB AC=,结合AB=AC ,得到DB=EC ; (2)由旋转得到的结论判断出△DAB ≌△EAC ,得到DB=CE ;(3)根据等边三角形的性质和全等三角形的判定定理证明△DAB ≌△EAC ,根据全等三角形的性质求出结论;(4)根据全等三角形的判定和性质和等腰直角三角形的性质即可得到结论;(5)根据旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变,而在旋转的过程中,△ADC 的AC 始终保持不变,即可. 【详解】[初步感知](1)∵DE ∥BC , ∴DB ECAB AC=, ∵AB=AC , ∴DB=EC , 故答案为:=, (2)成立.理由:由旋转性质可知∠DAB=∠EAC , 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===, ∴△DAB ≌△EAC (SAS ), ∴DB=CE ;[深入探究](3)如图③,设AB ,CD 交于O ,∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形, ∴AD=AE ,AB=AC ,∠DAE=∠BAC=60°,∴∠DAB=∠EAC , 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===, ∴△DAB ≌△EAC (SAS ), ∴DB=CE ,∠ABD=∠ACE , ∵∠BOD=∠AOC , ∴∠BDC=∠BAC=60°;(4)∵△DAE 是等腰直角三角形, ∴∠AED=45°, ∴∠AEC=135°, 在△DAB 和△EAC 中AD AE DAB EAC AB AC ⎪∠⎪⎩∠⎧⎨===, ∴△DAB ≌△EAC (SAS ), ∴∠ADB=∠AEC=135°,BD=CE , ∵∠ADE=45°,∴∠BDC=∠ADB-∠ADE=90°,∵△ADE 都是等腰直角三角形,AM 为△ADE 中DE 边上的高, ∴AM=EM=MD , ∴AM+BD=CM ;故答案为:90°,AM+BD=CM ; 【拓展提升】 (5)如图,由旋转可知,在旋转的过程中△ADE 的面积始终保持不变, △ADE 与△ADC 面积的和达到最大, ∴△ADC 面积最大,∵在旋转的过程中,AC 始终保持不变, ∴要△ADC 面积最大, ∴点D 到AC 的距离最大, ∴DA ⊥AC ,∴△ADE 与△ADC 面积的和达到的最大为2+12×AC×AD=5+2=7, 故答案为7. 【点睛】此题是几何变换综合题,主要考查了旋转和全等三角形的性质和判定,旋转过程中面积变化分析,解本题的关键是三角形全等的判定.10.(1)m=6,()2,0;(2)当a=1时,ODE 面积的最大值为278【分析】(1)将点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数解析式求出m ,根据坐标中点公式求出点C 的横坐标即可;(2)由AC 两点坐标求出直线AB 的解析式为3342y x =-,设D 坐标为33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭,则6,E a a ⎛⎫⎪⎝⎭,进而得到2327(1)88ODESa =--+,即可解答【详解】解:(1)把点34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入反比例函数(0)m y x x=>,得:324m =,解得:m=6,∵A 点横坐标为:4,B 点横坐标为0,故C 点横坐标为:4022+=, 故答案为:6,(2,0);(2)设直线AB 对应的函数表达式为y kx b =+.将34,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,0)C 代入得34220k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩,解得3432k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以直线AB 对应的函数表达式为3342y x =-. 因为点D 在线段AB 上,可设33,(04)42D a a a ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭, 因为//DE y 轴,交反比例函数图像于点E .所以6,E a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以221633333273(1)2428488ODESa a a a a a ⎛⎫=⋅⋅-+=-++=--+ ⎪⎝⎭. 所以当a =1时,ODE 面积的最大值为278. 【点睛】本题考查了函数与几何综合,涉及了待定系数法求函数解析式、三角形面积、坐标中点求法、二次函数的应用等知识点,解题关键是用函数解析式表示三角形面积.11.(1)y =﹣x 2+2x +3;(2)S 与m 的函数表达式是S =252m m --,S 的最大值是258,此时动点M 的坐标是(52,74);(3)点M在整个运动过程中用时最少是3秒. 【分析】(1)首先求出B 点的坐标,根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值,进而即可计算出二次函数的解析式;。

2025高考数学必刷题 第34讲、三角形中最值与范围(学生版)

2025高考数学必刷题  第34讲、三角形中最值与范围(学生版)

第34讲三角形中最值与范围知识梳理1、在解三角形专题中,求其“范围与最值”的问题,一直都是这部分内容的重点、难点.解决这类问题,通常有下列五种解题技巧:(1)利用基本不等式求范围或最值;(2)利用三角函数求范围或最值;(3)利用三角形中的不等关系求范围或最值;(4)根据三角形解的个数求范围或最值;(5)利用二次函数求范围或最值.要建立所求量(式子)与已知角或边的关系,然后把角或边作为自变量,所求量(式子)的值作为函数值,转化为函数关系,将原问题转化为求函数的值域问题.这里要利用条件中的范围限制,以及三角形自身范围限制,要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善,避免结果的范围过大.2、解三角形中的范围与最值问题常见题型:(1)求角的最值;(2)求边和周长的最值及范围;(3)求面积的最值和范围.必考题型全归纳题型一:周长问题例1.(2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)记ABC 内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()()222cos cos a b c a B b A abc +-+=.(1)求C ;(2)若ABC 为锐角三角形,2c =,求ABC 周长范围.例2.(2024·甘肃武威·高三武威第六中学校考阶段练习)在锐角△ABC 中,a =,(2)cos cos b c A a C -=,(1)求角A ;(2)求△ABC 的周长l 的范围.例3.(2024·全国·高三专题练习)在①2S AC ⋅ ;②22cos 1cos 22B C A +=+;③sin cos c C c A -;在这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答.在锐角ABC 中,内角A 、B 、C ,的对边分别是a 、b 、c ,且______(1)求角A 的大小;(2)若a ABC 周长的范围.变式1.(2024·全国·模拟预测)在锐角ABC 中,三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos cos c b a B b A -=-.(1)求角A 的大小;(2)若1a =,求ABC 周长的范围.变式2.(2024·陕西西安·高三西安中学校考阶段练习)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 且满足2a =,()cos 2cos a B c b A =-.(1)求角A 的大小;(2)求ABC 周长的范围.题型二:面积问题例4.(2024·全国·模拟预测)已知在锐角ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且(2sin m x = ,()cos ,cos 2n x x = ,()f x m n =⋅ ,()0f B C +=.(1)求角A 的值;(2)若1b =,求ABC 面积的范围.例5.(2024·江苏南通·统考模拟预测)如图,某植物园内有一块圆形区域,在其内接四边形ABCD 内种植了两种花卉,其中ABD △区域内种植兰花,BCD △区域内种植丁香花,对角线BD 是一条观赏小道.测量可知边界60m AB =,20m BC =,40m AD CD ==.(1)求观赏小道BD 的长及种植区域ABCD 的面积;(2)因地理条件限制,种植丁香花的边界BC ,CD 不能变更,而边界AB ,AD 可以调整,使得种植兰花的面积有所增加,请在BAD 上设计一点P ,使得种植区域改造后的新区域(四边形PBCD )的面积最大,并求出这个面积的最大值.例6.(2024·山东青岛·高三青岛三十九中校考期中)在①a =2,②a =b =2,③b =c =2这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,求△ABC 的面积的值(或最大值).已知△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,三边a ,b ,c 与面积S 满足关系式:2224S b c a =+-,且______,求△ABC 的面积的值(或最大值).变式3.(2024·江苏苏州·高三常熟中学校考阶段练习)如图所示,某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO ,其中3km OA =,OB =,90AOB ∠=︒.物业管理部门拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN ,其中M ,N 都在边AB 上(M ,N 均不与AB 重合,M 在A ,N 之间),且30MON ∠=︒.(1)若M 在距离A 点1km 处,求点M ,N 之间的距离;(2)设BON θ∠=,①求出OMN 的面积S 关于θ的表达式;②为节省投入资金,三角形人工湖OMN 的面积要尽可能小,试确定θ的值,使OMN 得面积最小,并求出这个最小面积.变式4.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,,32ABC S BA BC BC =⋅= .(1)D 为线段BC 上一点,且2,1CD BD AD ==,求AC 长度;(2)若ABC 为锐角三角形,求ABC 面积的范围.变式5.(2024·河北·高三校联考阶段练习)已知在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a,b ,c ,且sin cos a B b A=.(1)若a =,2b =,求c 的大小;(2)若2b =,且C 是钝角,求ABC 面积的大小范围.题型三:长度问题例7.(2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)已知锐角ABC 内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,.若()sin sin sin b B c C b a A -=-.(1)求C ;(2)若c =a b -的范围.例8.(2024·福建莆田·高三校考期中)在ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,b =()()222sin 2sin Bc a C b c ab-=+-(1)求角B ﹔(2)求2a c -的范围.例9.(2024·重庆江北·高三校考阶段练习)在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别a ,b ,c ,且22cos cos 22C A a c ⎫⎛+ ⎪⎝⎭3()2a c b ac +-=.(1)求角B 的大小;(2)若b =,(0)c x x =>,当ABC 仅有一解时,写出x 的范围,并求a c -的取值范围.变式6.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足条件;4a =,222sin sin sin sin sin A B C B C +=+.(I )求角A 的值;(Ⅱ)求2b c -的范围.变式7.(2024·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.(1)求角C 的值;(2)若2c =,且ABC ∆为锐角三角形,求2a b -的范围.变式8.(2024·山西运城·统考模拟预测)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.(1)求证:sin()sin sin A B a b A B c--=+;(2)若ABC 是锐角三角形,,23A B a b π-=-=,求c 的范围.变式9.(2024·安徽亳州·高三统考期末)在锐角ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin cos 6a C c A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求角A 的大小;(2)设H 为ABC ∆的垂心,且1AH =,求BH CH +的范围.题型四:转化为角范围问题例10.(2024·全国·高三专题练习)在锐角ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ;(2)求cos cos B C -的取值范围.例11.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且()cos cos a b c B A -=-.(1)判断ABC 的形状并给出证明;(2)若a b ¹,求sin sin sin A B C ++的取值范围.例12.(2024·河北保定·高一定州一中校考阶段练习)设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知1sin 1cos 2cos sin 2A B A B--=.(1)判断ABC 的形状(锐角、直角、钝角三角形),并给出证明;(2)求22245a b c +的最小值.变式10.(2024·广东佛山·高一大沥高中校考阶段练习)已知ABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅ ;(1)若cos cos A B b a=,判断ABC 的形状并说明理由;(2)若ABC 是锐角三角形,求cos C 的取值范围.变式11.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知1,a b ==(1)若π4B ∠=,求角A 的大小;(2)求πcos cos 6A A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的取值范围.变式12.(2024·江西吉安·高二江西省峡江中学校考开学考试)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是,,a b c ,2222sin()6b c a bc A π+-=+.(1)求角A 的大小;(2)求sin sin B C ⋅的取值范围.变式13.(2024·全国·高三专题练习)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若220c bc a +-=,则()2114sin cos tan tan C C C A++-的取值范围为()A .()B .()8,9C .4,93⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭D .()4,9题型五:倍角问题例13.(2024·浙江绍兴·高一诸暨中学校考期中)在锐角ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知2cos b c a B +=.(1)证明:2A B =;(2)若1b =,求a 的取值范围;(3)若ABC 的三边边长为连续的正整数,求ABC 的面积.例14.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若2A B =,且A 为锐角,则1cos c b A +的最小值为()A .1+B .3C .2D .4例15.(2024·全国·高三专题练习)锐角ABC 的角A B C ,,所对的边为a b c ,,,2A B =,则a b的范围是_________.变式14.(2024·全国·高三专题练习)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为5,若()222sin S A C b a +=-,则tan A 的取值范围为______.变式15.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若2A B =,则22ac b ab+的取值范围为__________.变式16.(2024·全国·高三专题练习)在锐角ABC 中2A B =,B ,C 的对边长分别是b ,c ,则b b c +的取值范围是()A .11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭B .11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C .12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D .23,34⎛⎫ ⎪⎝⎭变式17.(2024·福建三明·高一三明市第二中学校考阶段练习)在锐角ABC 中,2A B ∠=∠,B ∠,C ∠的对边分别是b ,c ,则2b c b +的范围是()A .31,2⎛⎫⎪⎝⎭B .41,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D .1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭变式18.(2024·江苏南京·高一金陵中学校考期中)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,C ,若A =2B ,则22c b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为()A .-1B .73C .3D .103题型六:角平分线问题例16.(2024·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考阶段练习)已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,a b =且A B ≠.(1)求角C 的大小;(2)若角C 的平分线交AB 于点D ,且CD =2+a b 的最小值.例17.(2024·江苏淮安·高一统考期中)如图,ABC 中,2AB AC =,BAC ∠的平分线AD 交BC 于D .(1)若AD BC =,求BAC ∠的余弦值;(2)若3AC =,求AD 的取值范围.例18.(2024·浙江杭州·高一校联考期中)在①cos sin a a C A +=,②()()3a b c a b c ab +++-=,③()()sin sin sin a b B C b B c C -++=.这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答.已知在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,.(1)求角C 的值;(2)若角C 的平分线交AB 于点D ,且CD =2a b +的最小值.变式19.(2024·河北沧州·校考模拟预测)已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()cos 2cos 0a C b c A ++=,角A 的平分线与边BC 交于点D .(1)求角A ;(2)若2AD =,求4b c +的最小值.变式20.(2024·山东泰安·校考模拟预测)在锐角ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,满足222sin sin sin 1sin sin A A C C B--=,且A C ¹.(1)求证:2B C =;(2)已知BD 是ABC ∠的平分线,若6a =,求线段BD 长度的取值范围.变式21.(2024·全国·高一专题练习)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足2sin cos sin 2cos a A B b A C +=.(1)求角C 的大小;(2)若c =,ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ,求ABI △周长的最大值.变式22.(2024·四川成都·石室中学校考模拟预测)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b csinsin 2B Ca B +=,边BC 上有一动点D .(1)当D 为边BC 中点时,若2ADb ==,求c的长度;(2)当AD 为BAC ∠的平分线时,若4a =,求AD 的最大值.题型七:中线问题例19.(2024·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中)在锐角ABC 中,角,,A B C 的对边分别是a ,b ,c ,若2cos cos c b Ba A-=(1)求角A的大小;(2)若2a=,求中线AD长的范围(点D是边BC中点).例20.(2024·安徽·合肥一中校联考模拟预测)记ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知π2sin22c bBa-⎛⎫+=⎪⎝⎭.(1)求A;(2)若3b c+=,求BC边中线AM的取值范围.例21.(2024·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sin sin sin sina Ab Bc C A+=.(1)求角C的大小;(2)若2c=,边AB的中点为D,求中线CD长的取值范围.变式23.(2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若2coscos c b B a A-=(1)求角A的大小;(2)若2a=,求中线AD长的最大值(点D是边BC中点).变式24.(2024·广东广州·高二广州六中校考期中)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c cos sin C a C -=.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求BC 边上的中线AD 长度的最小值.题型八:四心问题例22.(2024·四川凉山·校联考一模)设ABO (O 是坐标原点)的重心、内心分别是,G I ,且//BO GI,若(0,4)B ,则cos OAB ∠的最小值是__________.例23.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边,且()cos cos tan a C c A A +.(1)求角A 的大小;(2)若a O 为ABC 的内心,求OB OC +的最大值.例24.(2024·全国·模拟预测)已知锐角三角形ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()()sin cos sin cos sin c b C a C b B a B C -=-+.(1)求角A ;(2)若H 为ABC 的垂心,2a =,求HBC 面积的最大值.变式25.(2024·江苏无锡·高一锡东高中校考期中)在ABC 中,,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,2cos cos cos a A b C c B =+.(1)求角A 的大小;(2)若ABC 为锐角三角形,且其面积为2,点G 为ABC 重心,点M 为线段AC 的中点,点N 在线段AB 上,且2AN NB =,线段BM 与线段CN 相交于点P ,求GP 的取值范围.变式26.(2024·河北邢台·高一统考期末)记ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知22cos )()sin C A a b B -=-,且ABC(1)求C 的大小;(2)若G 是ABC 的重心,求ACG 面积的最大值.变式27.(2024·辽宁抚顺·高一抚顺一中校考阶段练习)如图,记锐角ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,24c b ==,A 的角平分线交BC 于点D ,O 为ABC 的重心,过O 作OP BC ∥,交AD 于点P ,过P 作PE AB ⊥于点E .(1)求a 的取值范围;(2)若四边形BDPE 与ABC 的面积之比为λ,求λ的取值范围.变式28.(2024·浙江·高一路桥中学校联考期中)若O 是ABC 的外心,且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅= ,则sin 2sin B C +的最大值是()A2B C .52D .变式29.(2024·全国·高三专题练习)已知O 是三角形ABC 的外心,若()2AC AB AB AO AC AO m AOAB AC⋅+⋅=,且sin sin B C +m 的最大值为()A .6B .65C .145D .3题型九:坐标法例25.(2024·全国·高三专题练习)在Rt ABC △中,2BAC π∠=,2AB AC ==,点M 在ABC内部,3cos 5AMC ∠=-,则22MB MA -的最小值为______.例26.(2024·全国·高一专题练习)在ABC 中,2AB =,AC =135BAC ∠=︒,M 是ABC所在平面上的动点,则w MA MB MB MC MC MA =⋅+⋅+⋅的最小值为________.例27.(2024·湖北武汉·高二武汉市第三中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy 中,已知B ,C 为圆229x y +=上两点,点(1,1)A ,且AB AC ⊥,则线段BC 的长的取值范围是___________.变式30.(2024·全国·高三专题练习)在ABC ∆中,AB AC =ABC ∆所在平面内存在一点P 使得22233PB PC PA +==,则ABC ∆面积的最大值为()A B C D 变式31.(2024·全国·高三专题练习)在等边ABC 中,M 为ABC 内一动点,120BMC ∠=︒,则MAMC的最小值是()A .1B .34C D 变式32.(2024·江西·高三校联考开学考试)费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时,费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角,即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质,.则(,)F x y =的最小值为()A .4B .2+C .3+D .4+题型十:隐圆问题例28.(2024·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD 中,连接对角线BD ,已知9CD =,16BD =,=90BDC ∠︒,4sin 5A =,则对角线AC 的最大值为()A .27B .16C .10D .25例29.(2024·江苏泰州·高三阶段练习)已知ABC 中,2BC =,G 为ABC 的重心,且满足AG BG ⊥,则ABC 的面积的最大值为______.例30.(2024·湖北武汉·高二武汉市洪山高级中学校考开学考试)已知等边ABC 的边长为2,点G 是ABC 内的一点,且0AG BG CG ++=,点P 在ABC 所在的平面内且满足1PG = ,则PA 的最大值为________.变式33.(2024·全国·高三专题练习)在平面四边形ABCD 中,90BAD ︒∠=,2AB =,1AD =.若43AB AC BA BC CA CB ⋅+⋅=⋅,则12CB CD +的最小值为____.变式34.(2024·全国·高三专题练习)若ABC 满足条件4AB =,AC =,则ABC 面积的最大值为__.变式35.(2024·江苏·高三专题练习)在ABC 中,BC 为定长,23AB AC BC += ,若ABC的面积的最大值为2,则边BC 的长为____________.变式36.(2024·全国·高三专题练习)ABC 中2AB AC ==,ABC 所在平面内存在点P 使得224PB PC +=,21PA =,则ABC 的面积最大值为__________________.变式37.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC ∆中,AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==,则ABC ∆面积的最大值为__________.题型十一:两边夹问题例31.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,若cos cos π2,,0,sin sin 2A B A B B A ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,且ABC 的周长为12.(1)求证:ABC 为直角三角形;(2)求ABC 面积的最大值.例32.(2024·全国·高三专题练习)设ABC ∆的内角A B C ,,的对边长a b c ,,成等比数列,()1cos cos 2A CB --=,延长BC 至D ,若2BD =,则ACD ∆面积的最大值为__________.例33.(2024·全国·高三专题练习)设ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边为a ,b ,c .已知a ,b ,c 依次成等比数列,且()1cos cos 2A CB --=,延长边BC 到D ,若4BD =,则ACD ∆面积的最大值为______.题型十二:与正切有关的最值问题例34.(2024·全国·高一专题练习)在锐角三角形ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且满足22b a ac -=,则11tan tan A B-的取值范围为___________.例35.(2024·全国·高一阶段练习)在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sinsin 2B Cb a B +=.(1)求A 角的值;(2)若ABC 为锐角三角形,利用(1)所求的A 角值求a cb-的取值范围.例36.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin sin 2B Cb a B +=.求:(1)A ;(2)a cb-的取值范围.变式38.(2024·全国·高三专题练习)锐角ABC 是单位圆的内接三角形,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且22224cos 2cos +-=-a b c a A ac B ,则acb的取值范围是()A .B .C .2⎛ ⎝D .2⎛ ⎝变式39.(2024·安徽合肥·高一合肥市第七中学校考期中)在锐角ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,S 为ABC 的面积,且()222S a b c =--,则bc的取值范围为()A .1,22⎛⎫⎪⎝⎭B .23,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C .34,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D .35,53⎛⎫ ⎪⎝⎭变式40.(2024·全国·高三专题练习)在锐角ABC 中,角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ,若22a c bc -=,则113sin tan tan A C A-+的取值范围为()A .)+∞B .C .D .题型十三:最大角问题例37.(2024·全国·高三专题练习)几何学史上有一个著名的米勒问题:“设点M ,N 是锐角∠AQB 的一边QA 上的两点,试在QB 边上找一点P ,使得∠MPN 最大.”如图,其结论是:点P 为过M ,N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题:在平面直角坐标系xOy 中,给定两点2()1,M -,(1,4)N ,点P 在x 轴上移动,当∠MPN 取最大值时,点P 的横坐标是()A .1B .-7C .1或-7D .2或-7例38.(2024·全国·高三专题练习)设ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且3cos cos 5a Bb Ac -=,则tan()A B -的最大值为()A .35B .13C .38D .34例39.(2024·江西上饶·高三上饶中学校考期中)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且1cos cos 2a Bb Ac -=,当tan(A -B)取最大值时,角C 的值为A .2πB .6πC .3πD .4π变式41.(2024·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习)最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题,故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图,树顶A 离地面12米,树上另一点B 离地面8米,若在离地面2米的C 处看此树,则tan ACB ∠的最大值为()A B C D 变式42.(2024·江苏扬州·高一统考期中)如图:已知树顶A 离地面212米,树上另一点B 离地面112米,某人在离地面32米的C 处看此树,则该人离此树()米时,看A 、B 的视角最大.A .4B .5C .6D .7题型十四:费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题例40.(2024·重庆沙坪坝·高一重庆南开中学校考阶段练习)ABC 内一点O ,满足OAC OBA OCB ∠=∠=∠,则点O 称为三角形的布洛卡点.王聪同学对布洛卡点产生兴趣,对其进行探索得到许多正确结论,比如πBOC ABC BAC ACB ∠=-∠=∠+∠,请你和他一起解决如下问题:(1)若a ,b ,c 分别是A ,B ,C 的对边,CAO BAO OBA OCB ∠=∠=∠=∠,证明:2a bc =;(2)在(1)的条件下,若ABC 的周长为4,试把AB AC ⋅uu u r uuu r 表示为a 的函数()f a ,并求AB AC⋅uu u r uuu r的取值范围.例41.(2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是:当三角形的三个角均小于120 时,所求的点为三角形的正等角中心,即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ;当三角形有一内角大于或等于120°时,所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点,已知在ABC 中,已知2π3C =,1AC =,2BC =,且点M 在AB 线段上,且满足CM BM =,若点P 为AMC的费马点,则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=()A .1-B .45-C .35-D .25-例42.(2024·全国·高三专题练习)点P 在ABC 所在平面内一点,当PA PB PC ++取到最小值时,则称该点为ABC 的“费马点”.当ABC 的三个内角均小于o 120时,费马点满足如下特征:o 120APB BPC CPA ∠∠∠===.如图,在ABC 中,AB AC =,BC =,则其费马点到,,A B C 三点的距离之和为()A .4B .2C .2-D .2变式43.(2024·湖南邵阳·统考三模)拿破仑·波拿巴最早提出了一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(此等边三角形称为拿破仑三角形)的顶点”.在△ABC 中,已知30ACB ∠=︒,且AC =3BC =,现以BC ,AC ,AB 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为A ',B ',C ',则A B C ''' 的边长为()A .3B .2CD 变式44.(2024·河南·高一校联考期末)几何定理:以任意三角形的三条边为边,向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形(称为拿破仑三角形)的顶点.在ABC 中,已知π6C =,AC =作三个等边三角形,其外接圆圆心依次记为A ',B ',C ',则A B C ''' 的面积为()A .3B .2CD题型十五:托勒密定理及旋转相似例43.(2024·江苏淮安·高一校联考期中)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上,AC 、BD 是其两条对角线,BD =ACD 为正三角形,则四边形ABCD 的面积为()A .B .16C .D .12例44.(2024·全国·高三专题练习)托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家,托勒密定理就是由其名字命名,该定理原文:圆的内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为:圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上,AC 、BD 是其两条对角线,BD =ACD 为正三角形,则四边形ABCD 的面积为()A .8B .16C .D .例45.(2024·全国·高三专题练习)克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家,他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当凸四边形的对角互补时取等号,后人称之为托勒密定理的推论.如图,四边形ABCD 内接于半径为120A ∠=︒,45B ∠=︒,AB AD =,则四边形ABCD 的周长为()A .+B .C .+D .变式45.(2024·江苏·高一专题练习)凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形,把四边形任何一边向两方延长,其他各边都在延长所得直线的同一旁,这样的四边形叫做凸四边形,如图,在凸四边形ABCD 中,1AB =,BC =,AC CD ⊥,2AD AC =,当ABC ∠变化时,对角线BD 的最大值为()A .4BC .D变式46.(2024·江苏无锡·高一江苏省江阴市第一中学校考阶段练习)在ABC 中,BC =1AC =,以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点,C ,D 两点在直线AB 的两侧).当角C 变化时,线段CD 长度的最大值是()A .3B .4C .5D .9变式47.(2024·全国·高一专题练习)在ABC 中,BC =1AC =,以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点,C 、D 两点在直线AB 的两侧).当C ∠变化时,线段CD 长的最大值为()A .1B .2C .3D .4变式48.(2024·全国·高三专题练习)如图所示,在平面四边形ABCD 中,AB =1,BC =2,ACD 为正三角形,则 BCD 面积的最大值为()A .2BC .22+D 1题型十六:三角形中的平方问题例46.(2024·全国·高三专题练习)已知△ABC 的三边分别为a ,b ,c ,若满足a 2+b 2+2c 2=8,则△ABC 面积的最大值为()A 5B .5C .5D .3例47.(2024·全国·高三专题练习)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足222533a b c +=,则sin A 的取值范围是___________.例48.(2024·湖南常德·常德市一中校考模拟预测)秦九韶是我国南宋著名数学家,在他的著作《数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实一为从阳,开平方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =,其中a ,b ,c 是ABC 的内角A ,B ,C 的对边,若sin 2sin cos C A B =,且224b c +=,则ABC 面积S 的最大值为()A B C D 变式49.(2024·河南洛阳·高三校考阶段练习)ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若22212a b c ++=,23A π=,则ABC 面积的最大值为()AB C D 变式50.(2024·云南·统考一模)已知ABC 的三个内角分别为A 、B 、C .若222sin 2sin 3sin C A B =-,则tan B 的最大值为()A B C D 变式51.(2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习)设ABC 的内角A ,B ,C 所对的边a ,b ,c 满足2b ac =,则sin cos tan sin cos tan A A CB B C++的取值范围()A .⎝⎭B .⎝⎭C .⎝⎭D .⎝⎭变式52.(2024·全国·高三专题练习)在锐角三角形ABC 中,已知2222sin sin 2sin A B C +=,则111tan tan tan A B C++的最小值为()A .B CD 题型十七:等面积法、张角定理例49.(2024·全国·高三专题练习)已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,内角A 的角平分线交边BC 于D 点,且4=AD .若(2)cos cos 0b c A a C ++=,则ABC 面积的最小值是()A .16B .C .64D .例50.(2024·湖北武汉·高一校联考期中)已知△ABC 的面积为S ,∠BAC=2α,AD 是△ABC 的角平分线,则AD 长度的最大值为()A BC D 例51.(2024·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中)给定平面上四点,,,O A B C 满足4,3,2,3OA OB OC OB OC ===⋅=,则ABC ∆面积的最大值为_______.变式53.(2024·安徽·高一安徽省太和中学校联考阶段练习)在ABC 中,π3BAC ∠=,AM是BAC ∠的角平分线,且交BC 于点M .若ABC AM 的最大值为______.变式54.(2024·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习)已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ,内角A 的角平分线交边BC 于D 点,且4=AD .若(2)cos cos 0b c A a C ++=,则ABC 面积的最小值是______.变式55.(2024·江西九江·高一德安县第一中学校考期中)ABC 中,ABC ∠的角平分线BD 交AC 于D 点,若1BD =且2π3ABC ∠=,则ABC S 面积的最小值为________.变式56.(2024·湖北武汉·高一华中科技大学附属中学校联考期中)已知ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a、b 、c ,π3ABC ∠=,ABC ∠的角平分线交AC 于点D ,且BD =,则a c +的最小值为___.变式57.(2024·全国·高一专题练习)已知ABC ,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ,1,c C =∠的角平分线交AB 于点D .若sin sin 2sin A B ACB ∠+=,则CD 的取值范围是____________.变式58.(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)已知ABC ,120BAC ∠=︒,D 为BC上一点,且AD 为BAC ∠的角平分线,则9AB ACAD+的最小值为___________。

第08讲 拓展三:三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一

第08讲 拓展三:三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题 (精讲)(解析版)-2024年高考数学一

第08讲拓展三:三角形中面积(定值,最值,取值范围)问题(精讲)目录第一部分:知识点精准记忆第二部分:典型例题剖析高频考点一:求三角形面积(定值问题)高频考点二:根据三角形面积求其它元素高频考点三:求三角形面积最值高频考点四:求三角形面积取值范围第三部分:高考真题感悟第一部分:知识点精准记忆1、三角形面积的计算公式:①12S =⨯⨯底高;②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==;③1()2S a b c r =++(其中,,,a b c 是三角形ABC 的各边长,r 是三角形ABC 的内切圆半径);④4abcS R=(其中,,,a b c 是三角形ABC 的各边长,R 是三角形ABC 的外接圆半径).2、三角形面积最值:核心技巧:利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤,再代入面积公式.3、三角形面积取值范围:核心技巧:利用正弦定理2sin a R A =,2sin b R B =,代入面积公式,再结合辅助角公式,根据角的取值范围,求面积的取值范围.第二部分:典型例题剖析高频考点一:求三角形面积(定值问题)1.(2022·河南·模拟预测(文))已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ;(2)若6c =,ABC 的面积6sin S b B =,求S .【答案】(1)π3(2)(1)因为πA B C ++=,所以()cos cos B C A +=-,所以2cos cos cos c C a B b A =+,由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+.因为()sin sin A B C +=,所以2sin cos sin C C C =.因为()0,πC ∈,所以sin 0C ≠,所以1cos 2C =,则π3C =.(2)由6sin S b B =,根据面积公式,得16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==,所以2a b =.由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==,整理得2236a b ab +-=,即2336b =,所以b =a =.所以ABC 的面积11πsin 223S ab C ==⨯=2.(2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末(文))在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=.(1)求角C 的大小;(2)若ABC 外接圆的面积为12π,6b =,求ABC 的面积.【答案】(1)3π(2)(1)因为()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=,由正弦定理,得()()3a b c a b c ab +++-=,整理得222a b c ab +-=,由余弦定理,得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈,所以3C π=.(2)设ABC 外接圆的半径为R ,则212R ππ=,所以R =由正弦定理,得2sin cR C ==,所以6c C ==.因为6b c ==,3C π=,所以ABC 是等边三角形.所以ABC的面积为11sin 6622ab C =⨯⨯⨯.3.(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,且sin sin2B C a C +=.(1)求角A 的大小;(2)若点D 在边BC 上,且33CD BD ==,π6BAD ∠=,求△ABC 的面积.【答案】(1)2π3A =;(2)19.(1)由已知及正弦定理得:sin sin sin sin 2B CA C C +,又πBC A +=-,∴π222B C A+=-,又sin 0C ≠,∴sin 2A A =,则2sin cos 222A A A=,而π022A <<,∴cos02A ≠,则sin 2A =,故π23A =,得2π3A =.(2)由2π3BAC ∠=,π6BAD ∠=,则π2DAC ∠=.法一:在△ABD 中,πsin sin 6BD cBDA =∠,①在△ADC 中,πsin sin 2CD bADC =∠,②∵πADB ADC ∠+∠=,∴sin sin BDA ADC ∠=∠,③由①②③得:2BD cCD b=,又33CD BD ==,得1BD =,∴23c b =,不妨设2c m =,3b m =,在△ABC 中,由余弦定理可得,()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯,得21619m =,所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△.法二:π1sinsin 621π2sin sin 22BADADCc c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠===⋅∠△△.∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等,∴13BAD ADC S BD S DC ==△△,由此得:123c b =,即23c b =,不妨设2c m =,3b m =,在△ABC 中,由余弦定理可得,()()2222π423223cos3m m m m =+-⨯⨯,得21619m =,所以11sin 2322219ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯⨯=△.4.(2022·河南三门峡·模拟预测(文))已知ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且cos cos 3cos ba C c A C+=.(1)求tan C ;(2)若3c =,16sin sin 27A B =,求ABC 的面积.【答案】(1)tan C =ABC S = (1)解:由题意得:由正弦定理得sin sin cos sin cos 3cos BA C C A C+=,所以()sin sin sin()3cos BA CB Cπ+=-=,所以sin sin 3cos B B C=又因为sin 0B ≠,所以1cos 3C =.所以sin 3C ==,sin tan cos C C C ==(2)若3c =,由正弦定理sin sin sin a b cA B C==,得sin sin 4223a b A B ==,则a A =,b B =,则16216216sin sin 644161627ab A B A B =⋅==⨯=,所以11sin 622ABC S ab C ==⨯=△5.(2022·全国·高三专题练习)在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-,②sinsin 2B Cb a B +=,③2tan tan tan B b A B c=+中任选一个,补充在横线上,并回答下面问题.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且________.(1)求角A 的大小;(2)已知2AB =,D 为AB 中点,且2CD ab =,求ABC 面积.【答案】(1)选①3A π=;选②3A π=;选③3A π=(2)选①2;选②2;选③2(1)解:选①:()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-,由正弦定理可得:()()()a b a b c b c +-=-,222a b c bc -=-,222a c b bc =+-,由余弦定理可得()2221cos ,0,22b c a A A bc π+-==∈,所以3A π=,选②:sinsin 2B Cb a B +=,由正弦定理得:sin sin sin sin ,sin 02B CB A B B +=>,所以sin sin ,sin sin 22B C AA A π+-==,cos2sin cos ,cos 02222A A A A=>,所以1sin22A =,()0,A π∈,3A π=,选③:2tan tan tanB bA B c=+,∴由正弦定理可得:2tan sin tan tan sin B BA B C=+,可得:sin 2sin cos ,sin sin sin cos cos BB B A B CA B⨯=+可得:()2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B A A BC CA B A B===++,sin 0B ≠ ,sin 0C ≠,解得1cos 2A =,()0,A π∈ ,3A π∴=.(2)解:2AB = ,D 为AB 的中点,1AD BD ∴==,CDA CDB π∠+∠= ,cos cos 0CDA CDB ∴∠+∠=,222211022CD b CD a CD CD+-+-+=,即22222CD a b +=+,2CD ab = ,()22a b ∴-=,a b ∴-=),a b ∴=,在ABC中,由余弦定理有22)422cos60b b b =+-⋅⋅⋅,解得1b,)121sin23ABC S π=⋅⋅⋅=△高频考点二:根据三角形面积求其它元素1.(2022·江苏南京·模拟预测)请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫=⎪+⎝⎭ ,,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭,且x y ;π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答.在锐角三角形ABC 中,已知角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,.(1)求角C ;(2)若ABC的面积为2a b +的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.【答案】(1)π3C =(2)()8,10(1)选择①:因为x y ,所以()()sin sin c a A b c B b c c a--=++,由正弦定理得,()()c a a b c b cc ab --=++,即()()2222a c a b b c -=-,即2233ac bc a b +=+,即()()()222c a b a b a ab b +=+-+,即222c a b ab =+-.因为2221cos 22a b c C ab +-==,又C 为锐角,所以π3C =.选择②:π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,sin sin sin cos B C A C A =.又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+,cos sin sin A C C A =.因为sin 0A >sin C C =,又C为锐角,所以tan C =π3C =.(2)因为1sin 2ABC S ab C === ,所以8ab =,则822a b a a+=+.(法一)由余弦定理得,222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-.①因为ABC 为锐角三角形,所以cos 0,cos 0,A B >⎧⎨>⎩即2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得224,4,b a ⎧>⎨>⎩即2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩解得24a <<.令()82f a a a =+,,则()()22224820a f a a a-=-=>',所以()f a 在24a <<上单调递增,所以()()()24f f a f <<,即()810f a <<,即2a b +的取值范围为()8,10.(法二)由正弦定理得π1sin sin cos sin 11322sin sin sin 22tan B B Ba Ab B B B B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭====+,又288a a a b a==,所以211822tan a B=+.因为ABC 为锐角三角形,所以2ππ0,32π0,2A B B ⎧<=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得ππ62B <<因为tan B10tan B<<1112222tan B<+<,即21228a <<,解得24a <<.令()82f a a a =+,24a <<,则()()22224820a f a a a -=-=>',所以()f a 在24a <<上单调递增,所以()()()24f f a f <<,即()810f a <<,即2a b +的取值范围为()8,10.2.(2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习)在ABC 中,设角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小;(2)若ABC的面积为cos 2cos 2A B +的值.【答案】(1)3π;(2)56-.(1)因为22cos b a c B =-,所以由正弦定理得sin 2sin 2sin cos B A C B =-,所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-,所以o s s in 2sin cos 2c sin 2sin cos B C B C C B B =+-,即sin 2sin cos B B C=sin 0B ≠ ,1cos 2C ∴=,(0,)C π∈ ,3C π∴=.(2)因为ABC的面积为1sin 2ab C =,解的8ab =,2sin cR C∴=,解得3c =,由余弦定理可得,2222cos c a b ab C =+-,所以2217a b +=,2222221cos 2cos 222(sin sin )22()()2()226ab A B A B a b RR ⎡⎤+=-+=-+=-+⎢⎥⎣⎦,5cos 2cos 26A B ∴+=-.3.(2022·四川·内江市教育科学研究所三模(文))如图,在ABC 中,2AC =,120ACB ∠=︒,D 是边AB 上一点.(1)若CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,求BD 的长;(2)若D 是边AB 的中点,ABC 的面积为23CD 的长.【答案】623(1)由120ACB ∠=︒,2AC =,CAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形所以2CD =,30BCD ∠=︒,15B ∠=︒,则()62sin sin 4530sin 45cos30cos 45sin 304B =︒-︒=︒︒-︒︒=.在△BCD 中,由正弦定理知sin sin BD CD BCD B =∠,则sin 62sin CD BCDBD B∠⋅==(2)由1sin 232ABC S CA CB ACB ∠=⋅⋅=△434sin BC CA ACB==⋅∠.又D 是边AB 的中点,所以()11112222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB =+=+=+-=+,则()2221111241622432222CD CA CBCA CB CA CB =+=++⋅=+-⨯⨯⨯= 故3CD =4.(2022·河南郑州·高一期中)在锐角三角形ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,向量(23a a = ,(,sin )b c C =r ,且a b ∥.(1)求角A(2)若c =2,且△ABC 的面积为332,求AC 边上的中线BM 的大小.【答案】(1)3A π=(2)132BM =(1)因为a b ∥,(23a a =,(sin )b c C =⋅r ,所以2sin 3a C c =.由正弦定理得2sin sin 3sin A C C =.因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以sin 0C >,所以3sin 2A =因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以3A π=;(2)因为△ABC 的面积为2.所以1sin 22bc A =.因为c =2.3A π=.所以3b =.在三角形ABM 中,∵M 为AC 的中点.∴1322AM b ==,由余弦定理得2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭.所以2BM =.5.(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理:“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形,则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图,在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ,BC ,AC 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次为1O ,2O ,3O .(1)求A ;(2)若a =123O O O ABC 的周长.【答案】(1)60︒(2)3+(1)解:由()()cos cos sin a B C A C a -=-,得()cos cos sin cos a B C a A C A -+=,即()()cos cos sin cos a B C a B C C A --+=,即()()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C a B C B C b C A +--=即2sin sin sin cos a B C C A =,∵sin 0C ≠,∴sin cos a B A =,由正弦定理得sin sin cos A B B A =,∵sin 0B ≠,∴sin A A =,∴tan A =∵0180A <<︒︒,∴60A =︒.(2)解:如图,连接1AO 、3AO ,则13AO c =,33AO b =,正123O O O 面积2213131sin 60212S O O O =⋅⋅︒==,∴21373O O =,而60BAC ∠=︒,则13120O AO ∠=°,∴13O AO 中,由余弦定理得:222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠,有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭,则227b c bc ++=,在ABC 中,60A =︒,a 由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠,则223b c bc +-=,∴2bc =,225b c +=,∴3b c +=,所以ABC 的周长为3高频考点三:求三角形面积最值1.(2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习)ABC ∆中,60,A a =︒=(1)若2b c=,求(2)求三角形面积的最大值【答案】(1)已知60,A a =︒=2b =,,由余弦定理有:2222431cos242b c a c A bc c +-+-===,2210c c -+=,所以=1c .(2)由余弦定理有,222222cos 2a =b c bc A b c bc bc bc bc +-=+-≥-=,当且仅当“=b c ”时取等,所以3bc ≤.所以1sin 244S bc A bc ==≤,三角形面积的最大值为:4.2.(2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习(理))在ABC 中,b ,c 分别为内角B ,C的对边长,设向量cos ,sin 22A A m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,且有2m n ⋅= .(1)求角A 的大小;(2)若a =,求三角形面积的最大值.【答案】(1)4π(2))514(1)由m n ⋅=22cos sin 22A A -=;即cos 2A =因为()0A π∈,,所以4A π=(2)由2222cos a b c bc A =+-得:225b c +=又222b c bc +≥∴(52bc≥-∴(522bc ≤∴()52511()224ABC max S +=⋅ .三角形面积的最大值为)514.3.(2022·上海·高三专题练习)已知()21cos cos2f x x x x =-+.(1)若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求()f x 的取值范围;(2)设ABC 的三边分别是a ,b ,c ,周长为2,若()12f B =-,求ABC 面积的最大值.【答案】(1)1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦;(2)12.(1)()211cos 21cos cos 2222x f x x x x x +=-+=-+sin 2coscos 2sin sin 2666x x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,又ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,故()f x 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)由()12f B =-可得,1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,而112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭,所以7266B ππ-=,解得23B π=.由于2222222cos3b ac ac a c ac π=+-=++,又2a b c ++=,所以()2222a c a c ac --=++,化简可得,()44ac a c +=+,而2a c >+≥,即1ac <,所以()44ac a c +=+≥a c =时取等号,解得4≥+4≤-28ac ≤-故ABC 面积的最大值为()max 1sin 122S ac B ==.4.(2022·河南·高三阶段练习(理))在ABC 中,,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-= ,且m n ⊥ .(1)求角A 的大小;(2)若ABC 外接圆的半径为2,求ABC 面积的最大值.【答案】(1)3A π=;(2)(1)依题意得:cos (2)cos 0a B b c A +-=,则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=,∴sin 2sin cos C C A =,又sin 0C ≠,∴1cos 2A =,()0,A π∈,故3A π=.(2)法一:由正弦定理得2sin 4sin b RB B ==,24sin 4sin 3cC B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭,∴ABC 面积121sin sin cos sin2322S bc A B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)26sin cos 3sin 2cos 2226B B B B B B π⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭由3A π=得:203B π<<,则72666B πππ-<-<,∴1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭,故262B ππ-=,即3B π=时,max S =.法二:由正弦定理得:2sin a R A ==2222cos a b c bc A =+-,∴22122b c bc bc +=+≥,当且仅当b c =时取等号,∴12bc ≤,max max 1()sin 23S bc π==5.(2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习)已知a ,b ,c 分别为ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,cos sin 0a C C b c --=.(1)求A ;(2)若2a =,求ABC 的面积的最大值.【答案】(1)3π;(1)解:在ABC 中,因为cos sin 0a C C b c --=,所以由正弦定理有sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=,即sin cos sin sin()sin A C A C A C C-+-sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C =---=,sin cos sin sin 0A C A C C --=,因为(0,)C π∈,所以sin 0C ≠,cos 10A A --=,即1sin()62A π-=,因为(0,)A π∈,所以5666A πππ-<-<,所以66A ππ-=,解得:3A π=.(2)解:因为2a =,所以由(1)及余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-,则2242cos3b c bc π=+-,即224b c bc =+-,222b c bc +≥ ,则222b c bc bc bc +-≥-,即4bc ≥,即4bc ≤,当且仅当2b c ==时,取等号,所以()max 4bc =,所以ABC 的面积的最大值为11sin 4222S bc A ==⨯⨯=6.(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知等腰三角形ABC 的角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且sin b A B =,c (c +b )=(a +b )(a -b ).(1)求A 和b ;(2)若点E ,F 分别是线段BC (含端点)上的动点,且BF >BE ,在运动过程中始终有3EAF π∠=,求△EAF 面积的最小值.【答案】(1);23π(1)由正弦定理得:sin sin b A B =即:22a bb R R⨯=(R 为三角形ABC 的外接圆半径),故a =,由()()()c c b a b a b +=+-得:222c b a bc +-=-,则1cos 2A =-,因为(0,)A π∈,故23A π=;由等腰三角形ABC 可得6B π=,故622sin 3b ππ==;(2)由(1)知:2a b c ===,由点E ,F 分别是线段BC (含端点)上的动点,且BF >BE ,在运动过程中始终有3EAF π∠=,知点E 在点F 的左边,如图:设EAB θ∠=,3EAF π∠=不变,可知[0,]3πθ∈,在ABE △中,由正弦定理可得5sin sin(6)6AEAB ππθ=-,5sin()16AE πθ∴=-,在ABF 中,由正弦定理可得6sin sin()2AFAB ππθ=-,1cos AF θ∴=,故1||||sin 52cos s 1136in()AEF S AE AF ππθθ=⨯-12sin(2)6θ==++[0,]3πθ∈,∴16sin(2[,1]2πθ+∈,∴三角形AEF6πθ=.7.(2022·福建·厦门双十中学高一期中)为响应国家“乡村振兴”号召,农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区:△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡,△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮,△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见,在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =,BC =,AC BC ⊥,30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时,求护栏的长度(△MNC 的周长);(2)当ACM ∠为何值时,鱼塘△MNC 的面积最小,最小面积是多少?【答案】(1)60203+;(2)15ACM ∠=︒,最小值为(2120023km .(1)由40m AC =,403m BC =,AC BC ⊥,则3tan AC B BC ==所以30B =︒,60A =︒,则280AB AC ==,在△ACM 中,由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=,则203CM =所以222AC AM CM =+,即CM AB ⊥,又30MCN ∠=︒,所以tan 3020MN CM =︒=,则240CN MN ==,综上,护栏的长度(△MNC 的周长)为2040203603++=+.(2)设()060ACM θθ∠=︒<<︒,在△BCN 中,由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+,得203cos CN θ=,在△ACM 中,由()sin 60sin 60CM CA θ=︒︒+,得()3sin 60CM θ=+︒,所以()1300sin 302sin 60cos CMN S CM CN θθ=⋅︒=+︒ ,而()213sin 60cos sin cos cos 22θθθθθ+︒=+()()13113313sin 21cos 2sin 2cos 2sin 26044222424θθθθθ⎛⎫=+⨯+=++=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭,所以()2sin 2603CMN S θ=+︒+ ,仅当26090θ+︒=︒,即15θ=︒时,()2sin 2603θ+︒+最大值为23,此时△CMN 的面积取最小值为(2120023km .8.(2022·上海徐汇·二模)某动物园喜迎虎年的到来,拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区.如图,90BAC ∠=︒,20AB AC ==(单位:米),E 、F 为BC 上的两点,且45EAF ∠=︒,AEF 区域为休息区,ABE △和ACF 区域均为活动区.设()045EAB αα∠=<<︒.(1)求AE 、AF 的长(用α的代数式表示);(2)为了使小老虎能健康成长,要求所建造的活动区面积尽可能大(即休息区尽可能小).当α为多少时,活动区的面积最大?最大面积为多少?【答案】(1)20sin cos AE αα=+米,cos AF α=米;(2)当α为8π时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为(2002平方米.(1)由题意得,20AB AC ==米,90BAC ∠=︒,则45ABC ACB ∠=∠=︒,又由()045EAB αα∠=<<︒,180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-,9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-,所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+;在ABE △中,由正弦定理得:sin sin AE ABABE AEB=∠∠,即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米;同理,在ACF 中,sin sin AF ACACF AFC=∠∠,即()20sin 45sin 90cos AF AF αα=⇒=︒︒+米;综上所述:20sin cos AE αα=+米,AF .(2)由(1)知,综20sin cos AE αα=+米,AF 所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯⨯︒+△化简得:210010020011cos 2sin cos cos sin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△又()045EAB αα∠=<<︒ ,∴32444πππα<+<,则当242ππα+=,即8πα=时,AEF S取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭;此时小老虎活动区面积S取得最大值,即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯--=△△平方米.综上所述:当α为8π时,小老虎活动区的面积最大,最大面积为(2002平方米.高频考点四:求三角形面积取值范围1.(2022·江苏·无锡市第一中学高一期中)已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且()sin sin sin b c B c C a A -+=,cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小;(2)若ABC 为锐角三角形,求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)π3A =,1a =(2)⎝⎦(1)因为()sin sin sin b c B c C a A -+=,由正弦定理得,()22b c b c a -+=,即222a b c bc =+-,由余弦定理得,2222cos a b c bc A =+-,所以1cos 2A =,又()0,πA ∈,所以π3A =.因为cos cos 1b C c B +=,由余弦定理得,222222·122a b c a c b b c ab ac+-+-⋅+=,可得1a =所以π3A =,1a =.(2)由(1)知π3A =,1a =,由正弦定理得,sin sin B a B A b ==,sin 2πsin 3a C c C B A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭.因为ABC 为锐角三角形,所以π0,22ππ0,32B C B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩,得ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而ABC 的面积121sin sin sin πsin sin 233322S bc A B B B B B ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin sin cos sin 2322344B B B B B ⎫⎫-=+⋅=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1π2cos 22622126612B B B ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,又ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,从而ABC的面积的取值范围为64⎛ ⎝⎦.2.(2022·四川绵阳·高一期中)在ABC 中,内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,且2tan tan tan B bA B c=+.(1)求角A 的大小;(2)若ABC 是锐角三角形,2b =,求ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3A π=;(2)(2.(1)解:由2tan tan tan B bA B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C=+,即()2cos 1sin sin A A B C=+,又sin()sin A B C +=,所以1cos 2A =因为0A π<<,故3A π=.(2)解:1sin 2ABC S bc A == ,由正弦定理知:2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===因为ABC 是锐角三角形,所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,所以62B ππ<<,于是tan B 14c <<.ABC S << 3.(2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习)ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ,且//m n .(1)求B ;(2)若ABC为锐角三角形,且a =,求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)3B π=(2)2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭(1)解:由题意,向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎝⎭u r r ,因为//m n ,可得sin sin 2A Ca b A +=,又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=,因为(0,)A π∈,所以sin 0A >,所以sin sin 2A CB +=,即sin sin cos22BB B π-==,所以2sin cos cos 222B B B =,可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以cos 02B=或1sin 22B =,又因为()0,B π∈,所以3B π=.(2)解:由(1)结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b c C π==,所以()sin A B c A +===所以133cos 913sin 22sin 2tan 2ABC A A S ac B A A +===+,又由ABC 为锐角三角形,且3B π=,则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,解得62A ππ<<,因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增,所以tan 3A >,所以2ABC S <<,即ABC S ⎝∈ .4.(2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中)在ABC 中,设角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin sin a b A C c A B--=+.(1)求角B 的值;(2)若ABC 为锐角三角形,且c =1,求ABC 的面积S 的取值范围.【答案】(1)60B =︒(2)S ∈⎝⎭(1)由已知及正弦定理,得a b a c c a b--=+,即()()()a b a b c a c -+=-,即222a b ac c -=-,即222a c b ac +-=.由余弦定理,得2221cos 22a cb B ac +-==,因为()0,180B ∈︒︒,所以60B =︒.(2)因为120A C +=︒,c =1,由正弦定理,得()sin 120sin sin 1sin sin 2sin 2tan 2C c A C C a C C C C ︒-+====+所以11sin sin 601228tan S ac B C ⎛⎫==︒=+ ⎪ ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形,则3090C ︒<<︒,从而tan ,3C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭,所以82S ⎛∈ ⎝⎭5.(2022·广东茂名·高一阶段练习)在△ABC 中,设角A ,B ,C 的对边长分别为a ,b ,c ,已知sin sin sin A B a c C a b--=+.(1)求角B 的值;(2)若△ABC 为锐角三角形,且2c =,求△ABC 的面积S 的取值范围.【答案】(1)60°;(2)2⎛ ⎝﹒(1)∵sin sin sin A B a c C a b--=+,∴由正弦定理得a b a c c a b --=+,即()()()a b a b c a c -+=-,即222a b ac c -=-,即222a c b ac +-=,由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==,∵()0,180B ∈︒︒,∴60B =︒;(2)∵B =60°,∴120A C +=︒,即A =120°-C ,又∵2c =,∴由正弦定理得()2sin 120sin 1sin sin C c A a C C ︒-====,∴1sin sin 60122tan ABC S ac B a C ⎫==︒=+⎪⎪⎝⎭△,∵△ABC 为锐角三角形,∴090090120A C A C ︒<<︒⎧⎪︒<<︒⎨⎪=︒-⎩,解得3090C ︒<<︒,从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭,∴2S ⎛∈ ⎝.6.(2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中)在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知cos cos 2sin a b B A C c c+=.(1)求角C 的大小;(2)若ABC 是锐角三角形,且4b =,求ABC 面积的取值范围.【答案】(1)6C π=或56C π=(2))3(1)由正弦定理可得sin cos sin cos cos cos =2sin sin a b A B B A B A C c c C++=整理得2sin()sin 2sin A B C C+==因为(0,)C π∈,所以sin 0C >,所以1sin 2C =,所以6C π=或56C π=(2)因为4b =,所以1sin 26ABC S ab a π== ,由正弦定理可得54sin()sin 26sin sin tan B b A a B B Bπ-===+因为ABC 是锐角三角形,所以6C π=,所以,500262πππB B <<<-<所以32B ππ<<所以tan 0B >,10tan 3B <<可得3a <<即ABC面积的取值范围为)37.(2022·江苏省苏州第十中学校高一期中)已知ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,且()2cos cos a b C c B-=(1)求角C(2)若2a =,3b =,CD 为角C 的平分线,求CD 的长;(3)若cos cos 4a B b A +=,求锐角ABC 面积的取值范围.【答案】(1)3π3⎛ ⎝(1)解:由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B-=所以()2sin cos sin sin A C B C A=+=∴sin 0A ≠,∴1cos 2C =∵0C π<<,∴3C π=(2)解:设CD x =由+= ACD BCD ABC S S S得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯.解得5x =,即角平分线CD的长度为5(3)解:设ABC 外接圆半径为R ,由cos cos 4a B b A +=2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=,即2sin 4R C =,即42sin sin c R C C ==,∴4c =所以ABC 的面积13sin 24S ab C ab ==∵sin sin b a B A ==3a A =,b B =∴2sin sin 33S A A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin sin cos sin 333A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭21cos sin 322A A A ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭11cos23444A A ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵02A π<<,02B π<<,23A B π+=,∴2032A <-<ππ,∴62A ππ<<,∴52666A πππ<-<,∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭,∴3S ⎛∈ ⎝第三部分:高考真题感悟1.(2021·北京·高考真题)在ABC 中,2cos c b B =,23C π=.(1)求B Ð;(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求BC 边上中线的长.条件①:c =;条件②:ABC的周长为4+条件③:ABC【答案】(1)6π;(2)答案不唯一,具体见解析.(1)2cos c b B = ,则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =,2sin 2sin3B π∴==23C π= ,0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭,220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,23B π∴=,解得6B π=;(2)若选择①:由正弦定理结合(1)可得sin 21sin 2c C b B ===,与c =矛盾,故这样的ABC 不存在;若选择②:由(1)可得6A π=,设ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理可得2sin6a b R R π===,22sin3c R π==,则周长24a b c R ++=+=+解得2R =,则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为:若选择③:由(1)可得6A π=,即a b =,则211sin 22ABC S ab C a ==⨯ a =则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为:2.2.(2019·全国·高考真题(理))ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin 2A C a b A +=.(1)求B ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,且1c =,求ABC ∆面积的取值范围.【答案】(1)3B π=;(2).(1)根据题意sin sin 2A C a b A +=,由正弦定理得sin sin sin sin 2A C AB A +=,因为0A π<<,故sin 0A >,消去sin A 得sinsin 2A C B +=.0<B π<,02A C π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=,而根据题意A BC π++=,故2A CB π++=不成立,所以2AC B +=,又因为A B C π++=,代入得3B π=,所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形,由(1)知3B π=,A B C π++=得到23A C π+=,故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩,解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a c A C=,1c =,由三角形面积公式有:222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABC C a A S ac B c B c B c C C π-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅-=+.又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<故82ABC S << .故ABC S的取值范围是3.(2017·上海·高考真题)已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)设ABC 为锐角三角形,角A所对边a =角B 所对边5b =,若()0f A =,求ABC 的面积.【答案】(1),2p p ÷ê÷÷êøë;(2(1)依题意()()2211()cos sin cos 20,π22f x x x x x =-+=+Î,由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤,令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2p p ÷ê÷÷êøë.(2)由于a b <,所以A 为锐角,即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =,得11cos 20,cos 222A A +==-,所以2ππ2,33A A ==.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅,2560c c -+=,解得2c =或3c =.当2c =时,222cos 0238a cb B ac +-==-<,则B 为钝角,与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=4.(2013·湖北·高考真题(文))在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c ,已知cos2A ﹣3cos (B+C )=1.(1)求角A 的大小;(2)若△ABC 的面积S=5,b=5,求sinBsinC 的值.【答案】(1)(2)57试题解析:(1)由cos 2A -3cos(B +C)=1,得2cos 2A +3cos A -2=0,即(2cos A -1)(cos A +2)=0,解得cos A =或cos A =-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S =bcsin A =bc×=bc =5,得bc =20,又b =5,知c =4.由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccos A =25+16-20=21,故a =.从而由正弦定理得sin B sin C =sin A×sin A =sin 2A =×=.5.(2015·山东·高考真题(理))设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求()f x 的单调区间;(Ⅱ)在锐角ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】(Ⅰ)单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)ABC ∆面积的最大值为24试题解析:解:(Ⅰ)由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈可得,44k x k k Zππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(Ⅱ)由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A 为锐角,所以cos A =由余弦定理:2222cos a b c bc A=+-可得:2212b c bc+=+≥即:2bc ≤当且仅当b c =时等号成立.因此12sin 24bc A ≤所以ABC ∆。

高考数学 玩转压轴题 专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力-人教版高三全册数学试题

高考数学 玩转压轴题 专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力-人教版高三全册数学试题

专题3.13 探究代数表达式函数方程来发力 【题型综述】 探究代数表达式包括以下若干类型:(1)参数值的探索,根据题中的条件将参数转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题,若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在,否则不存在.(2)等式恒成立问题,根据题中条件和有关向量、距离公式、平面几何知识等方法,转化为关于直线与圆锥曲线的交点的坐标的方程或函数问题,若利用设而不求思想与韦达定理即可求出参数的值即存在。

【典例指引】类型一 参数值的探究例1 【2016年高考某某理数】(本小题满分13分)已知椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .(Ⅰ)求椭圆E 的方程及点T 的坐标;(Ⅱ)设O 是坐标原点,直线l’平行于OT ,与椭圆E 交于不同的两点A 、B ,且与直线l 交于点P .证明:存在常数λ,使得2PT PA PB λ=⋅,并求λ的值.方程②的判别式为2=16(92)m ∆-,由>0∆,解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)3323m m m PA x y x =--++-=--, 同理25223m PB x =--, 所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =. 故存在常数45λ=,使得2PT PA PB λ=⋅.类型二 恒等式成立探究 例2. 【2015高考某某,理20】如图,椭圆E :2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是22,过点P (0,1)的动直线l 与椭圆相交于A ,B 两点,当直线l 平行与x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的线段长为22.(1)求椭圆E 的方程;(2)在平面直角坐标系xOy 中,是否存在与点P 不同的定点Q ,使得QA PA QBPB =恒成立?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.(2)当直线l 与x 轴平行时,设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点.如果存在定点Q 满足条件,则||||1||||QC PC QD PD ==,即||||QC QD =.所以Q 点在y 轴上,可设Q 点的坐标为0(0,)y .当直线l 与x 轴垂直时,设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点.则2),(0,2)M N ,由||||||||QM PM QN PN =0022|2|21y =++,解得01y =或02y =.所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q .下面证明:对任意的直线l ,均有||||||||QA PA QB PB =. 当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立.当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为1y kx =+,A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>,类型三 面积最小值存在性例3【2015高考某某,文22】一种画椭圆的工具如图1所示.O 是滑槽AB 的中点,短杆ON 可绕O 转动,长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接,MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动,且1DN ON ==,3MN =.当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时,带动..N 绕O 转动,M 处的笔尖画出的椭圆记为C .以O 为原点,AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点.若直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点,试探究:OPQ ∆的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.22111222||||||||222121214OPQ P Q m m m S PQ d m x x m k k k ∆=⋅=-=⋅+=-+-. ② 将①代入②得,222241281441OPQ k m S k k ∆+==--. 当214k >时,2224128()8(1)84141OPQ k S k k ∆+==+>--;当2104k ≤<时,2224128()8(1)1414OPQ k S k k ∆+==-+--.因2104k ≤<,则20141k <-≤,22214k ≥-,所以第22题图1 B A D O M N 第22题图2x D O M N y228(1)814OPQ S k∆=-+≥-,当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时,OPQ S ∆的最小值为8. 综合(1)(2)可知,当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时,OPQ ∆的面积取得最小值8. 类型四 面积关系探究例4.(2011某某理21)如图7,椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32,x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.(Ⅰ)求12,C C 的方程;(Ⅱ)设2C 与y 轴的交点为M ,过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点,A B ,直线,MA MB 分别与1C 相交于点,D E .(ⅰ)求证:MD ME ⊥;(ⅱ)记,MAB MDE ∆∆的面积分别为12,S S .问:是否存在直线l ,使得121732S S =?请说明理由.【扩展】1. F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的其中一个焦点,若P 是椭圆上一点,则c a PF c a +≤≤-||. 2. F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点,若P 是双曲线右支上一点,则c a PF -≥||,若P 是双曲线左支上一点,则c a PF +≥||,.3. F 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点,AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦,点A 在x 轴上方,则θcos ||2c a b AF -=,θcos ||2c a b BF +=,θ2222cos 2||c a ab AB -=,θθcos cos ||||c a c a BF AF -+=. 4. F 为抛物线)0(22>=p px y 的焦点,AB 是过左焦点倾斜角为θ的弦,点A 在x 轴上方,则θcos 1||-=p AF ,θcos 1||+=p BF ,θθ22sin 2cos 12||p p AB =-=,θθcos 1cos 1||||-+=BF AF .【同步训练】1.已知A为椭圆=1(a>b>0)上的一个动点,弦AB,AC分别过左右焦点F1,F2,且当线段AF1的中点在y轴上时,cos∠F1AF2=.(1)求该椭圆的离心率;(2)设,试判断λ1+λ2是否为定值?若是定值,求出该定值,并给出证明;若不是定值,请说明理由.【思路点拨】(1)当线段AF1的中点在y轴上时,AC垂直于x轴,△AF1F2为直角三角形.运用余弦函数的定义可得|AF1|=3|AF2|,易知|AF2|=,再由椭圆的定义,结合离心率公式即可得到所求值;(2)由(1)得椭圆方程为x2+2y2=2b2,焦点坐标为F1(﹣b,0),F2(b,0),(1)当AB,AC的斜率都存在时,设A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),求得直线AC的方程,代入椭圆方程,运用韦达定理,再由向量共线定理,可得λ1+λ2为定值6;若AC⊥x轴,若AB⊥x轴,计算即可得到所求定值.同理λ1=,可得λ1+λ2=6;②若AC⊥x轴,则λ2=1,λ1==5,这时λ1+λ2=6;若AB⊥x轴,则λ1=1,λ2=5,这时也有λ1+λ2=6;综上所述,λ1+λ2是定值6.2.(2017•某某二模)已知F1(﹣c,0)、F2(c、0)分别是椭圆G:+=1(0<b<a<3)的左、右焦点,点P(2,)是椭圆G上一点,且|PF1|﹣|PF2|=a.(1)求椭圆G的方程;(2)设直线l与椭圆G相交于A、B两点,若⊥,其中O为坐标原点,判断O到直线l的距离是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.【思路点拨】(1)根据椭圆的定义,求得丨PF1丨=a=3|PF2|,根据点到直线的距离公式,即可求得c的值,则求得a的值,b2=a2﹣c2=4,即可求得椭圆方程;(2)当直线l⊥x轴,将直线x=m代入椭圆方程,求得A和B点坐标,由向量数量积的坐标运算,即可求得m的值,求得O到直线l的距离;当直线AB的斜率存在时,设直线方程,代入椭圆方程,由韦达定理及向量数量积的坐标运算,点到直线的距离公式,即可求得O到直线l的距离为定值.②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+n,则,消去y整理得:(1+2k2)x2+4knx+2n2﹣8=0,x1+x2=﹣,x1x2=,则y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+kn(x1+x2)+n2=,由⊥,∴x1x2+y1y2=0,故+=0,整理得:3n2﹣8k2﹣8=0,即3n2=8k2+8,①则原点O到直线l的距离d=,∴d2=()2==,②将①代入②,则d2==,∴d=,综上可知:点O到直线l的距离为定值.3.在平面直角坐标系xOy中,椭圆的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(1)求椭圆C的方程;(2)过原点的直线与椭圆C交于两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD 与x轴、y轴分别交于M,N两点.设直线BD,AM斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值.【思路点拨】(1)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b的值,则椭圆方程可求;(2)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM 的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值.4.已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆,离心率,且椭圆过点.(1)求椭圆的方程;(2)椭圆左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B,则△F1AB的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)设椭圆方程,由题意列关于a,b,c的方程组求解a,b,c的值,则椭圆方程可求;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y1>0,y2<0,设△F1AB的内切圆的径R,则△F1AB的周长=4a=8,=(|AB|+|F1A|+|F1B|)R=4R,因此最大,R就最大.设直线l的方程为x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△F1AB的面积,利用换元法,借助于导数,即可求得结论.由题知,直线l的斜率不为零,可设直线l的方程为x=my+1,由,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0,.则=,令,则m2=t2﹣1,∴=,令f(t)=3t+,则f′(t)=3﹣,当t≥1时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有f(t)≥f(1)=4,≤3,即当t=1,m=0时,≤3,由=4R,得R max=,这时所求内切圆面积的最大值为.故直线l:x=1,△F1AB内切圆面积的最大值为.5.已知椭圆C:+=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O 为坐标原点).(1)求椭圆C的方程;(2)若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上,且M在第一象限,过M作此圆的切线交椭圆于P,Q两点.试问△PFQ的周长是否为定值?若是,求此定值;若不是,说明理由.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率为,右焦点为F,上顶点为A,且△AOF的面积为(O为坐标原点),列出方程组,求出a=,b=1,由此能求出椭圆C的方程.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),,连结OM,OP,求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=,从而求出△PFQ的周长为定值2.6.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,联接椭圆四个顶点的四边形面积为2.(1)求椭圆C的方程;(2)A、B是椭圆的左右顶点,P(x P,y P)是椭圆上任意一点,椭圆在P点处的切线与过A、B且与x轴垂直的直线分别交于C、D两点,直线AD、BC交于Q(x Q,y Q),是否存在实数λ,使x P=λx Q恒成立,并说明理由.【思路点拨】(1)由椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,联接椭圆四个顶点的四边形面积为2,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.(2)设切线方程为y=kx+m,与椭圆联立消元得(2+3k2)x2+6kmx+3m2﹣6=0,由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程,组合已知条件能求出存在λ=1,使x P=λx Q恒成立.7.已知椭圆C:=1,直线l过点M(﹣1,0),与椭圆C交于A,B两点,交y轴于点N.(1)设MN的中点恰在椭圆C上,求直线l的方程;(2)设=λ,=μ,试探究λ+μ是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.【思路点拨】(1)设点N(0,n),表示出MN中点坐标,代入椭圆方程即可求得n值,从而可得直线方程;(2)直线AB的斜率存在且不为0,设直线方程为x=ty﹣1,A(x1,y1),B(x2,y2),M(﹣1,0),N(0,﹣),联立,消x可得(4+3t2)y2﹣6ty﹣9=0,利用韦达定理,以及向量共线的坐标可得λ=﹣1﹣,同理可得μ=﹣1﹣,然后化简即可.8.已知离心率为的椭圆C:+=1(a>b>0)过点M(2,0),过点Q(1,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,设点P(4,3),记PA,PB的斜率分别为k1,k2(1)求椭圆C的方程;(2)探讨k1+k2是否为定值?如果是,求出该定值,如果不是,求出k1+k2的取值X围.【思路点拨】(1)由题意可知a=2c,a=2,则c=1,b2=a2﹣c2=3,(2)分类讨论,当直线线AB的斜率存在时,代入椭圆方程,由韦达定理及直线斜率公式,即可求得的k1+k2值.(2)当直线AB的斜率不存在时,不妨设A(1,),B(1,﹣),则k1==,k2==,故k1+k2=2,当直线AB的斜率存在时,设其为k,则直线AB:y=k(x﹣1),设A(x1,y1),B(x2,y2).由,消去y,整理得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,∴x1+x2=,x1x2=,k1+k2=+=+=,===2,综上可知:k1+k2为定值,定值为2.9.已知椭圆C:+=1(a>b>1)的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合,直线x﹣y+=0与以原点O为圆心,以椭圆的离心率e为半径的圆相切.(1)求该椭圆C的方程;(2)过点F的直线交椭圆于A、B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D、E两点,记△GFD的面积为S1,△OED的面积为S2,问:是否存在直线AB,使得S1=S2,若存在,求直线AB的方程,若不存在,说明理由.【思路点拨】(1)通过抛物线方程可知c=1,利用点到直线的距离公式可知e==,结合a、b、c三者之间的关系可求出a=2、b=1,进而可得椭圆C的方程;(2)通过假设存在直线AB使得S1=S2,则可设其方程为:y=k(x+1)(k≠0),并与椭圆C方程联立,结合韦达定理可得G(,),利用DG⊥AB可得D(,0),结合△GFD~△OED可得=,联立S1=S2整理得8k2+9=0,由于此方程无解推出假设不成立.10.在直角坐标系xOy中,椭圆C1:的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2,P 为椭圆C1上任意一点,|PF1|2+|PF2|2的最小值为8.(1)求椭圆C1的方程;(2)设椭圆C2:为椭圆C2上一点,过点Q的直线交椭圆C1于A,B两点,且Q为线段AB的中点,过O,Q两点的直线交椭圆C1于E,F两点.(i)求证:直线AB的方程为x0x+2y0y=2;(ii)当Q在椭圆C2上移动时,四边形AEBF的面积是否为定值?若是,求出该定值;不是,请说明理由.【思路点拨】(1)由椭圆的离心率为、右焦点分别是F1,F2,P为椭圆C1上任意一点,|PF1|2+|PF2|2的最小值为8,列出方程,求出a,b,由此能求出椭圆C1的方程为+.(2)(i)由(1)知椭圆C2:=1,Q(x0,y0)为椭圆E上一点,=1,利用点差法求出直线AB的方程为x0x+2y0y=2,由此能求出直线AB的方程.(ii)联立直线EF与椭圆C1的方程,得E(,),F(﹣,﹣),联立直线AB与椭圆C1的方程,得:,利用韦达定理求出|AB|=,点E()、F(﹣)到直线AB的距离为d1,d2,﹣﹣由此能求出当Q在椭圆C2上移动时,四边形AEBF的面积为定值4.(ii)直线EF的方程为y0x﹣x0y=0,联立直线EF与椭圆C1的方程,解得E(,),F(﹣,﹣),联立直线AB与椭圆C1的方程,消去y,得:,x1+x2=2x0,x1x2=2﹣4y02,|AB|=•=•=,设点E()、F(﹣)到直线AB的距离分别为d1,d2,S AEBF=S△ABE+S△ABF=,==,==,∴S AEBF=•==4.故当Q在椭圆C2上移动时,四边形AEBF的面积为定值4.11.已知椭圆C:+=1 (a>b>0)的短轴长为2,过上顶点E和右焦点F的直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线l过点(1,0),且与椭圆C交于点A,B,则在x轴上是否存在一点T(t,0)(t≠0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB (其中O为坐标原点),若存在,求出 t的值;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)由已知可得:b=1,结合直线与圆M:x2+y2﹣4x﹣2y+4=0相切.进而可得c2=3,a2=4,即得椭圆C的标准方程;(2)在x轴上是否存在一点T(4,0),使得不论直线l的斜率如何变化,总有∠OTA=∠OTB,联立直线与椭圆方程,结合∠OTA=∠OTB 时,直线TA,TB的斜率k1,k2和为0,可证得结论.即,解得:c2=3,则a2=4,故椭圆C的标准方程为:;12.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线C:x2=2py(p>0)上不同两点.(1)设直线l:y=与y轴交于点M,若A,B两点所在的直线方程为y=x﹣1,且直线l:y=恰好平分∠AFB,求抛物线C的标准方程.(2)若直线AB与x轴交于点P,与y轴的正半轴交于点Q,且y1y2=,是否存在直线AB,使得+=?若存在,求出直线AB的方程;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,),由,消去y整理得x2﹣2px+2p=0,直线y=平分∠AFB,可得k AM+k BM=0,利用韦达定理求得p,即可(2)由题意知,直线AB的斜率存在,且不为零,设直线AB的方程为:y=kx+b (k≠0,b>0),由,得x2﹣2pkx﹣2pb=0,∴,由已知可得b=.直线AB的方程为:y=kx+.作AA′⊥x轴,BB′⊥x轴,垂足为A′,B′,+=+=,得k,。

【2020高考数学】三角形中的最值问题解题指导(一) (含答案)

【2020高考数学】三角形中的最值问题解题指导(一) (含答案)

1 / 26【2020年高考数学】三角形中的最值问题解题指导(一)第一篇 三角函数与解三角形专题06 三角形中的最值问题【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos cos a b Bc C-= (1)求角C 的大小.(2)求函数sin sin y A B =+的值域. 【思路引导】 (1)由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=,根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =,可求出C 的值;(2)对函数的关系式进行恒等变换,利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数,进一步利用定义域求出函数的值域.2 / 26【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】(1)利用正弦定理边化角,结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ,进而求得B 和A C +,代入求得结果;(2)利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -,利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭,根据正弦型函数值域的求解方法,结合C 的范围可求得结果.3 / 26【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-.(1)求角A ;(2)若△ABC 的外接圆半径为1,求△ABC 的面积S 的最大值. 【思路引导】(1)利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-,再由余弦定理即可得A ; (2)由正弦定理2aR sinA=,可得a ,由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=,从而由12S bscinA =可得解.4 / 26【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,设(sin ,1cos )m B B =-,(2,0)n =. (1)若23B π=,求m 与n 的夹角θ; (2)若||1,m b ==,求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 (1)将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.(2)根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.5 / 26【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图,在矩形ABCD 中,1AB =,BC =,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,3FAE π∠=,06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..(1)求AE ,AF (用θ表示); (2)求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】(1)根据1AB =,BC =,分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可;(2)由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,然后根据θ的范围,利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.6 / 26【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(一)】已知ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. (1)求B ; (2)设b =ABC 的面积为S ,求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】(1)用正弦定理化角为边后,再用余弦定理可求得角B ;(2)用正弦定理把边用角表示,即2sin a A =,2sin c C =,这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C =⋅,又sin sin()sin()3A B C C π=+=+,2sin 2S C -就表示为C 的三角函数,由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可得最大值.7 / 26【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查(期末)】ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,ccos c C -=⋅,c =(1)求A ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围. 【思路引导】(1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值; (2)由(1)知4A π=,可得C 的范围,再将b 表示成关于tan C 的函数,从而求得b 的取值范围.8 / 261. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且()()3a b c a b c ab +++-=. (1)求角C 的值;(2)若2c =,且ABC ∆为锐角三角形,求+a b 的取值范围.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.(1)若1,6b A π==,求sin B ; (2)已知3C π=,当ABC 的面积取得最大值时,求ABC 的周长.3. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求角B 的大小;(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC S ∆的最大值. 4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos cos 2cos +=ac B b C A.(1)求A ; (2)若a =b c +的最大值.5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,已知向量(2cos ,)m C b =-,(1,cos cos )n a C c A =+,且//m n .(1)求角C 的大小;9 / 26(2)若c =ABC ∆的周长的取值范围.6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(二)】如图,在四边形ABCD 中,A为锐角,2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.(1)求A C +;(2)设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ,若1211m r r DB+≤恒成立,求实数m 的最小值. 7. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知2(tan A +tan B)=tan tan cos cos A BB A+. (1)证明:a +b =2c ; (2)求cos C 的最小值.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中,内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知1cos 2b a Cc =+. (1)求角A ;(2)若·3AB AC =,求a 的最小值.9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2A π≠,且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.(1)求ABC ∆的面积S ; (2)若24a S =,求c bb c+的最大值. 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且tan (sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=. (1)求角B 的值; (2)若△ABC的面积为D 为边AC 的中点,求线段BD 长的最小值.10 / 2611. ABC ∆中,60,2,B AB ABC ==∆的面积为 (1)求AC ;(2)若D 为BC 的中点,,E F 分别为边,AB AC 上的点(不包括端点),且120EDF ∠=,求DEF ∆面积的最小值.备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品【参考答案部分】【典例1】【湖南省益阳市、湘潭市2020届高三9月调研考试】已知锐角三角形ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos cos a b Bc C-=(1)求角C 的大小.(2)求函数sin sin y A B =+的值域. 【思路引导】 (1)由2cos cos a b Bc C-=利用正弦定理得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=,根据两角和的正弦公式及诱导公式可得1cos 2C =,可求出C 的值;(2)对函数的关系式进行恒等变换,利用两角和与差的正弦公式及辅助角公式把函数的关系式变形成同一个角正弦型函数,进一步利用定义域求出函数的值域. 解:(1)由2cos cos a b Bc C-=, 利用正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos A C B C C B -=, 可化为()2sin cos sin A C sin C B A =+=,1sin 0,cos 2A C ≠∴=0,,23C C ππ⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭.(2)sin sin 3y A sinB A sin A ππ⎛⎫=+=+-- ⎪⎝⎭1sin sin 226A A A A π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭,11 / 262,032A B A ππ+=<<,62A ππ∴<<,2,3636A sin A ππππ⎤⎛⎫∴<+<∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦,32y ⎛∴∈⎝. 【典例2】【2020届海南省高三第二次联合考试】在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且22cos a c b C -=. (1)求sin 2A C B +⎛⎫+⎪⎝⎭的值; (2)若b =c a -的取值范围.【思路引导】(1)利用正弦定理边化角,结合两角和差正弦公式可整理求得cos B ,进而求得B 和A C +,代入求得结果;(2)利用正弦定理可将c a -表示为2sin 2sin C A -,利用两角和差正弦公式、辅助角公式将其整理为2sin 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭,根据正弦型函数值域的求解方法,结合C 的范围可求得结果.解:(1)由正弦定理可得:2sin sin 2sin cos A C B C -=A B C π++= ()sin sin A B C ∴=+()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C C B C B C C B C ∴+-=+-=即2cos sin sin B C C =()0,C π∈ sin 0C ∴≠ 1cos 2B ∴=()0,B π∈ 3B π∴= 23AC π∴+=2sin sin 232A C B π+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭(2)由(1)知:sin sin 3B π==2sin sin sin a c bA CB ∴==== 2sin cC ∴=,2sin a A =()2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin cos 2cos sin c a C A C B C C B C B C∴-=-=-+=--12 / 262sin sin sin 2sin 3C C C C C C π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭23A C π+=203C π∴<< ,333C πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭(2sin 3C π⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭,即c a -的取值范围为(【典例3】【山西省平遥中学2020届高三上学期11月质检】 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-.(1)求角A ;(2)若△ABC 的外接圆半径为1,求△ABC 的面积S 的最大值. 【思路引导】(1)利用正弦定理将角化为边可得222a b c bc =+-,再由余弦定理即可得A ; (2)由正弦定理2aR sinA=,可得a ,由基本不等式利用余弦定理可得222b c bc bc bc bc +-≥-=,从而由12S bscinA =可得解. 解:(1)设内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 根据sin sin sin sin sin sin sin sin A B C BC A B C-+=+-,可得222a b c ba b c bc c a b c-+=⇒=+-+-, 所以2221cos 222b c a bc A bc bc +-===,又因为0A π<<,所以3A π=.(2)22sin 2sin sin 3a R a R A A π=⇒=== 所以2232b c bc bc bc bc =+-≥-=,所以11sin 322S bc A =≤⨯=(b c =时取等号). 【典例4】【2020届河北省保定市高三上学期期末】已知ABC ∆的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ,设(sin ,1cos )m B B =-,(2,0)n =.13 / 26(1)若23B π=,求m 与n 的夹角θ; (2)若||1,m b ==,求ABC ∆周长的最大值.【思路引导】 (1)将23B π=代入可求得m .根据平面向量数量积的坐标运算求得m n ⋅,由数量积的定义即可求得cos θ,进而得夹角θ.(2)根据||1m =及向量模的坐标表示,可求得B .再由余弦定理可得22()4a cb +=.结合基本不等式即可求得a c +的最大值,即可求得周长的最大值;或由正弦定理,用角表示出a c +,结合辅助角公式及角的取值范围,即可求得a c +的取值范围,进而求得周长的最大值.解:(1)23B π=,所以33,22m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,因为(2,0)n =, 202m n ⋅=⨯+=∴ ,又||22m ⎛== ⎝⎭⎭||2n =,31cos 2||||23m n m n θ⋅==⋅∴,3πθ∴=,(2)因为||1m =,即2||sin 1m B ===,所以3B π=,方法1.由余弦定理,得2222cos b a c ac B =+-.2222()()3()324a ca c a c ac a c ++⎛⎫=+-≥+-⋅=⎪⎝⎭,即2()34a c +≥,即a c +≤(当且仅当a c =时取等号) 所以ABC ∆周长的最大值为方法2.由正弦定理可知,2sin sin sin a c bA C B===,14 / 262sin ,2sin a A c C ==∴,23A C π+=,所以22sin 2sin 3sin 36a c A A A A A ππ⎛⎫⎛⎫+=+-==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又203A π<<,5666A πππ<+<,1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤∴+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦,a c +∈∴,所以当3A π=时,a c +取最大值所以ABC ∆周长的最大值为【典例5】【2020届吉林省长春市东北师大附中等六校高三联合模拟】 如图,在矩形ABCD 中,1AB =,BC =,点E 、F 分别在边BC 、CD 上,3FAE π∠=,06EAB πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭..(1)求AE ,AF (用θ表示); (2)求EAF ∆的面积S 的最小值. 【思路引导】(1)根据1AB =,BC =,分别在Rt ABE ∆和Rt ADF ∆中,利用锐角三角函数的定义求出AE 和AF即可;(2)由条件知13sin 232sin 23S AE AF ππθ=⋅⋅=⎛⎫+ ⎪⎝⎭,然后根据θ的范围,利用正弦函数的图象和性质求出S 的最小值.解:(1)在Rt ABE ∆中,1AB =,所以1cos cos AB AE EAB θ==∠,在Rt ADF ∆中,AD =236DAF EAB πππθ∠=--∠=-,15 / 260cos 6cos 6ADAF DAFπθθ⎫∴==<<⎪∠⎝⎭- ⎪⎝⎭; (2)13sin 234cos cos 6S AE AF ππθθ=⋅==⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭32sin 23πθ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭,因为06πθ<<,所以22333πππθ<+<2sin 223πθ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,当232ππθ+=时,即当12πθ=时,S取最小值(32.【典例6】【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(一)】已知ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=+-. (1)求B ; (2)设b =ABC 的面积为S ,求2sin 2S C -的最大值.【思路引导】(1)用正弦定理化角为边后,再用余弦定理可求得角B ;(2)用正弦定理把边用角表示,即2sin a A =,2sin c C =,这样2sin 2sin sin 2S C ac B C-=-2sin 2sin sin 2A C C=⋅,又sin sin()sin()3A B C C π=+=+,2sin 2S C -就表示为C 的三角函数,由三角函数恒等变换化为一个角的一个三角函数形式,结合正弦函数性质可得最大值. 解:(1)由正弦定理()()()a c c a b a b -=+-,222a c b ac +-=,由余弦定理2221cos 22a c b B ac +-==,3B π=;(2)由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====,2sin a A =,2sin c C =, 2sin 2sin sin 2S C ac B C -=-16 / 262sin 2sin sin 2sin sin 2A C C A C C =⋅=-2)sin sin 23sin cos sin 2C B C C C C C C =+-=+-31cos 2sin 2sin 22sin 2222222C C C C C =-+-=-+sin 213C π⎛⎫=-≤ ⎪⎝⎭当且仅当512C π=时等号成立,故最大值为1. 【典例7】【福建省宁德市2019-2020学年高三上学期第一次质量检查(期末)】ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,ccos c C -=⋅,c =(1)求A ;(2)若ABC ∆为锐角三角形,D 为BC 中点,求AD 的取值范围. 【思路引导】(1cos c C -⋅中的边化成角得到cos A =A 的值; (2)由(1)知4A π=,可得C 的范围,再将b 表示成关于tan C 的函数,从而求得b 的取值范围.解:(1cos c C -=⋅sin cos B C A C -=,又sin sin[()]sin()B A C A C =π-+=+,cos cos sin )sin cos A C A C C A C +-=sin sin 0A C C -=, 因为0C π<<,所以sin 0C ≠,所以cos A =0A π<<,所以4A π=. (2)由(1)知4A π=,根据题意得0242C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪+>⎪⎩,,解得42C ππ<<. 在ABC ∆中,由正弦定理得sin sin c b C B=,所以)2sin 2cos 242sin sin tan C C C b CC Cπ++===+,因为()42C ππ∈,,所以tan (1,)C ∈+∞,所以(24)b ∈,.17 / 26因为D 为BC 中点,所以1()2AD AC AB =+, 所以221()4AD AC AB =+21(48)4b b =++21(2)14b =++,因为(24)b ∈,,所以AD的取值范围为.1. 【陕西省2019年高三第三次教学质量检测】在ABC ∆中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且()()3a b c a b c ab +++-=. (1)求角C 的值;(2)若2c =,且ABC ∆为锐角三角形,求+a b 的取值范围. 【思路引导】(1)根据题意,由余弦定理求得1cos 2C =,即可求解C 角的值; (2)由正弦定理和三角恒等变换的公式,化简得到4sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭,再根据ABC ∆为锐角三角形,求得62A ππ<<,利用三角函数的图象与性质,即可求解.解:(1)由题意知()()3a b c a b c ab +++-=,∴222a b c ab +-=,由余弦定理可知,222cos 122a b c C ab +-==,又∵(0,)C π∈,∴3C π=.(2)由正弦定理可知,2sin sin sin 3ab A Bπ===,a Ab B == ∴sin )a b A B +=+2sin sin 3A A π⎤⎛⎫=+-⎪⎥⎝⎭⎦ 2cos A A =+4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,18 / 26又∵ABC ∆为锐角三角形,∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,即,则2363A πππ<+<,所以4sin 46A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,综上+a b的取值范围为.2. 【辽宁省葫芦岛市六校协作体2019-2020学年高三上学期11月月考】,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边.已知()sin 4sin 8sin a A B A +=.(1)若1,6b A π==,求sin B ; (2)已知3C π=,当ABC 的面积取得最大值时,求ABC 的周长.【思路引导】(1)根据正弦定理,将()sin 4sin 8sin a A B A +=,化角为边,即可求出a ,再利用正弦定理即可求出sin B ;(2)根据3C π=,选择in 12s S ab C =,所以当ABC 的面积取得最大值时,ab 最大,结合(1)中条件48a b +=,即可求出ab 最大时,对应的,a b 的值,再根据余弦定理求出边c ,进而得到ABC 的周长.解:(1)由()sin 4sin 8sin a A B A +=,得()48a a b a +=, 即48a b +=.因为1b =,所以4a =.由41sin sin6B=π,得1sin 8B =. (2)因为48a b +=≥=, 所以4ab ≤,当且仅当44a b ==时,等号成立. 因为ABC的面积11sin 4sin 223S ab C π=≤⨯⨯= 所以当44a b ==时,ABC 的面积取得最大值, 此时22241241cos 133c π=+-⨯⨯⨯=,则c =, 所以ABC的周长为519 / 263. 【2019年云南省师范大学附属中学高三上学期第一次月考】在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且满足sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. (1)求角B 的大小;(2)若D 为AC 的中点,且1BD =,求ABC S ∆的最大值. 【思路引导】(1)利用正弦定理边角互化思想得出sin cos 6B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,再利用两角差的余弦公式可得出tan B 的值,结合角B 的范围可得出角B 的大小;(2)由中线向量得出2BD BA BC =+,将等式两边平方,利用平面向量数量积的运算律和定义,并结合基本不等式得出ac 的最大值,再利用三角形的面积公式可得出ABC ∆面积的最大值. 解:(1)由正弦定理及sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得sin sin sin cos 6B A A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭, 由()0,A π∈知sin 0A >,则1sin cos sin 62B B B B π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,化简得sin B B =,tan B ∴=. 又()0,B π∈,因此,3B π=;(2)如下图,由1sin 2ABC S ac B ∆==,又D 为AC 的中点,则2BD BA BC =+, 等式两边平方得22242BD BC BC BA BA =+⋅+, 所以2222423a c BA BC a c ac ac =++⋅=++≥,20 / 26则43ac ≤,当且仅当a c =时取等号,因此,ABC ∆43=4. 【2020届湖南省常德市高三上学期期末】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知cos cos 2cos +=ac B b C A.(1)求A ; (2)若a =b c +的最大值.【思路引导】(1)根据正弦定理即正弦的和角公式,将表达式化为角的表达式.即可求得A .(2)利用正弦定理,表示出b c +,结合三角函数的辅助角公式及角的取值范围,即可求得b c +的最大值. 解:(1)∵cos cos 2cos +=ac B b C A,由正弦定理得sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A从而有()sin sin sin sin 2cos 2cos +=⇒=A AB C A A A , ∵sin 0A ≠,∴1cos 2A =,∵0A π<<,∴3A π=;(2)由正弦定理得:2sin sin sin a b cA B C===, ∴2sin ,2sin b B c C ==,则()22sin sin 2sin 2sin 3⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭b c B C B B π3sin 6B B B π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,∵203B π<<,∴5666B πππ<+<, ∴当3B π=时,b c +取得最大值5. 【2020届江西省吉安市高三上学期期末】在ABC ∆中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边,已知向量(2cos ,)m C b =-,(1,cos cos )n a C c A =+,且//m n .(1)求角C 的大小; (2)若c =ABC ∆的周长的取值范围.21 / 26【思路引导】(1)根据向量平行列出方程,再利用正弦定理进行边角转化,然后求出角C 的大小; (2)根据余弦定理求出+a b 的取值范围,再根据三角形边的几何性质求出周长的取值范围. 解:(1)由//m n 得22cos 2cos cos a C c A C b +=-, 由正弦定理sin sin sin a b cA B C==, 得2cos (sin cos sin cos )sin C A C C A B +=-, 即2cos sin()sin C A C B +=-,因为在三角形中sin()sin 0A C B +=≠,则1cos 2C =-,又(0,)C π∠∈,故23C π∠=; (2)在ABC ∆中,因c =23C π∠=,由余弦定理得2223c a b ab =++=, 即22()332a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时取等号,解得2a b +≤,又由三角形性质得a b c +>=2a b +≤,则2a b c <++≤,即ABC ∆的周长的取值范围为(+. 6. 【2020届重庆市康德卷高考模拟调研卷理科数学(二)】如图,在四边形ABCD 中,A为锐角,2cos sin()6A A C C π⎛⎫+=-⎪⎝⎭.(1)求A C +;(2)设ABD △、CBD 的外接圆半径分别为1,r 2r ,若1211mr r DB+≤恒成立,求实数m 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的和差角公式与三角函数值求解即可. (2)根据正弦定理参变分离,再利用A 的取值范围求解 解:(1)由题, 2cos sin()A A C +=22 / 263sin[()]sin[()]sin(2)sin sin 2A A C A A C A C C C C ++--+=++=-,即1sin(2)sin 22A C C C +=-sin(2)sin 3A C C π⎛⎫⇒+=- ⎪⎝⎭,因为23A C C π+>-.故23A C C π+≠-.所以2233A C C A C πππ++-=⇒+=. (2)122sin 2sin BD BD m A C r r ≥+=+22sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭12sin 2cos 2sin 22A A A ⎛⎫=+⨯-⨯- ⎪⎝⎭3sin A A =6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故当62A ππ+=时6A π⎛⎫+ ⎪⎝⎭有最大值所以m ≥即实数m的最小值为7. 在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知2(tan A +tan B)=tan tan cos cos A BB A+. (1)证明:a +b =2c ; (2)求cos C 的最小值. 【思路引导】(1)根据三角函数的基本关系式,可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+,再根据A B C π++=,即可得到sin sin 2sin A B C +=,利用正弦定理,可作出证明;(2)由(1)2a bc +=,利用余弦定理列出方程,再利用基本不等式,可得cos C 的最小值. 解:(1)由题意知,sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+, 化简得:2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+ 即2sin()sin sin A B A B +=+,因为A B C π++=, 所以sin()sin()sin A B C C π+=-=,从而sin sin 2sin A B C +=,由正弦定理得2a b c +=. (2)由(1)知,2a bc +=,23 / 26所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++-+-===+-≥, 当且仅当a b =时,等号成立,故cos C 的最小值为12.8. 【重庆市西南大学附属中学校2019届高三上学期第三次月考】 在ABC △中,内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,已知1cos 2b a Cc =+. (1)求角A ;(2)若·3AB AC =,求a 的最小值. 【思路引导】(Ⅰ)利用正弦定理、诱导公式、两角和差的三角公式求出cosA 的值,可得A 的值.解:(1) ∵ABC 中,cos 2cb a C -=, ∴由正弦定理知,1sin sin cos sin 2B AC C -=,∵πA B C ++=,∴()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+, ∴1sin cos cos sin sin cos sin 2A C A C A C C +-=, ∴1cos sin sin 2A C C =, ∴1cos 2A =,∴π3A =.(2) 由 (1)及·3AB AC =得6bc =,所以222222cos 6266a b c bc A b c bc =+-=+--= 当且仅当b c =时取等号,所以a9. 【吉林省吉林市普通中学2019-2020学年度高三第二次调研测】 已知ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,2A π≠,且满足()sin 220cos 0bc A B C ++=.(1)求ABC ∆的面积S ; (2)若24a S =,求c bb c+的最大值. 【思路引导】24 / 26(1)由诱导公式和二倍角公式可得sin bc A ,从而得三角形面积;(2)由余弦定理得2222cos 2sin b c bc A a bc A +-==,从而可把22c b b c b c bc++=用角A 表示出来,由三角函数性质求得最大值.解:(1)在ABC ∆中,A B C π++=,∴B C A +=π-∵()sin 220cos 0bc A B C ++=∴2sin cos 20cos 0bc A A A ⋅-= ∵2A π≠,∴cos 0A ≠∴1sin 52S bc A == (2)∵24a S =∴222cos 2sin b c bc A bc A +-= ∴222sin 2cos b c bc A bc A +=+∴222sin 2cos 4c b b c A A A b c bc π+⎛⎫+==+=+ ⎪⎝⎭ ∴当4A π=时,c bb c+取最大值 10. 【湖南省长沙市浏阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第六次月考】 已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且tan (sin 2cos )cos 2222A C A Ca b a +=. (1)求角B 的值; (2)若△ABC的面积为D 为边AC 的中点,求线段BD 长的最小值.【思路引导】 (1)根据tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=,化简可得cos sin 2A C a b A +=,进一步得到1cos 22B =,然后求出B 的值;(2)由(1)的角B 及三角形面积公式可得ac 的值,因为D 为边AC 的中点,所以1()2BD BA BC =+,利用向量的模和基本不等式可求BD 的取值范围,即可得到BD 的最小值. 解:(1)由tan(sin 2cos )cos 2222A C A C a b a +=,得sin (sin 2cos )cos cos 22222A C A A Ca b a +=,25 / 26即(coscos sin sin )2sin cos 222222A C A C A A a b -=,即cos sin 2A Ca b A +=. 由正弦定理得sin cossin sin 2A C AB A +=,因0,sin 0,sin 02BA A π<<≠≠, 所以cossin 2A C A +=,则sin sin 2sin cos 222B B BB ==, 所以1cos (0)2222B B π=<<, 所以23B π=,即23B π=. (2)由△ABC的面积为1sin 2ac B =12ac =.因为D 为边AC 的中点,所以1()2BD BA BC =+,所以2221(2)4BD BA BC BA BC =++,即222111(2cos )(2)3444BD c a ac B ac ac ac =++≥-==,当且仅当a c ==“=”,所以3BD ≥,即线段BD. 11. ABC ∆中,60,2,B AB ABC ==∆的面积为 (1)求AC(2)若D 为BC 的中点,,E F 分别为边,AB AC 上的点(不包括端点),且120EDF ∠=,求DEF ∆面积的最小值. 【思路引导】 (1)利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ,再利用余弦定理求AC 即可; (2)设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈,在BDE 中,利用正弦定理表示出DE ,在CDF 中,利用正弦定理表示出DF ,再将DEF的面积表示出来,利用三角函数的性质求其最小值. 解:(1)因为60,2,B AB ==所以11sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯=, 又ABCS=4BC =,由余弦定理得:2222212cos 24224122ACAB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=, 所以AC =26 / 26(2)设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈,则60CDF θ︒∠=-,在BDE 中,由正弦定理得:sin sin BD DEBED B=∠,即()2sin 60θ︒=+,所以()sin 60DE θ︒=+, 在CDF 中,由正弦定理得:sin sin CD DFCFD C=∠,由(1)可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=,则()21sin 902DFθ︒+=,所以1cos DF θ=,所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==,当15θ︒=时,()()min sin 2601,6DEP S θ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.。

几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)

几何图形的面积问题(与函数值域转化)(解析版)

几何图形的面积问题(与函数值域转化)一、考情分析圆锥曲线中几何图形的面积问题,是近几年高考命题的重点和难点。

在2018年的全国卷和2019年的全国卷中,都有圆锥曲线的大题压轴的第二问出现。

题目的难度是可想而知的,这其中涉及到:距离,斜率,切线,直线与圆,三角形的面积,四边形的面积等。

此专题,从这个出发点出发,梳理了最近的高考题和诊断性考试题,得出曲径通幽的解题之法。

归根结底,最终都是转换到函数值域。

二、经验分享圆锥曲线中的几何图形的面积问题,以及围绕与几何图形的面积问题关键是: 其一,选取合适的变量,第二,建立目标函数,转化函数的取值范围与最值问题(也就是转化成函数值域问题), 第三,构造函数,用导数的方法求其最大值与最小值。

其求解策略一般有以下几种:①几何法:根据题目上传达的几何图形以及几何关系,建立目标函数,若目标函数有明显几何特征和意义,则考虑几何图形的性质求解;②代数法: 若目标函数的几何意义不明显,利用基本不等式、导数等方法求函数的值域或最值,注意变量的范围,在对目标函数求最值前,常要对函数进行变换,注意变形技巧,若一个函数式的分母中含有一次式或二次式、分子中含有一次式或二次式的二次根式,则可以通过换元的方法把其转化为分母为二次式、分子为一次式的函数式,这样便于求解此函数式的最值.三、题型分析(一)角的最值问题例1. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点A 关于原点O 的对称点为,B F 为其右焦点,若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则椭圆离心率的取值范围是 .【答案】26[,]23【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2sin 2cos 2c c a αα+=,然后借助已知条件,,124ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦利用三角函数的图象求解离心率的范围. 【变式训练1】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a b Ω+=>>,且AB , AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则椭圆Ω离心率的取值范围是( ) A. 13,23⎛⎫⎪⎪⎝⎭ B. 32,32⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C. 13,43⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【变式训练2】【2019届河北武邑中学高三周考】已知直线:60l x y +-=和曲线22:2220M x y x y +---=,点A 在直线l 上,若直线AC 与曲线M 至少有一个公共点C ,且030MAC ∠=,则点A 的横坐标的取值范围是( )A .()0,5B .[]1,5C .[]1,3D .(]0,3 【答案】B【解析】设()00,6A x x -,依题意有圆心到直线的距离sin302d AM =≤,即()()22001516x x -+-≤,解得[]01,5x ∈.【变式训练3】【2019届山东省济宁市高三3月模拟】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,焦距为2(0)c c >,抛物线22y cx =的准线交双曲线左支于,A B 两点,且0120(AOB O ∠=为坐标原点),则该双曲线的离心率为 ( ) A.31 B. 2 C. 21 D. 51【答案】A【解析】由题意得,当()22222424c a b cx y a-=-⇒= ,则 ()()2222222244,,2424ca b ca b c cA B aa⎛⎛-- -- ⎝⎝,又因为120AOB ∠=︒, ()22242242244244tan 384084032ca b c c a c a c a a aπ-==-+=⇒-+=4222840423(4231,)331e e e e e ∴-+=⇒=±-<⇒=⇒=舍去.(二)距离的最值问题例2.【2019届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点()2 3 2P --,的直线与圆224x y +=有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是( )A .0 6π⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .0 3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, C. 0 6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦, D .0 3π⎛⎤ ⎥⎝⎦, 【答案】B【解析】当过点(23,2)P --的直线与圆224x y += 相切时,设斜率为k ,则此直线方程为+2=k(23)y x +,即k 2320x y k -+-=.由圆心到直线的距离等于半径可得2|232|21k k -=+,求得0k =或3k =,故直线的倾斜角的取值范围是[0,]3π,所以B 选项是正确的.【变式训练1】【2020届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系x y O 中,圆1C :()()221625x y ++-=,圆2C :()()2221730x y r -+-=.若圆2C 上存在一点P ,使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点A ,B ,满足2PA =AB ,则半径r 的取值范围是( ) A .[]5,55 B .[]5,50 C .[]10,50 D .[]10,55 【答案】A【解析】由题,知圆1C 的圆心为(1,6)-,半径为5,圆2C 的圆心为(17,30),半径为r ,两圆圆心距为22(171)(306)30++-=,如图,可知当AB 为圆1C 的直径时取得最大值,所以当点P 位于点1P 所在位置时r 取得最小值,当点P 位于点2P 所在位置时r 取得最大值.因为max ||10AB =,||2||PA AB =,所以min 5r =,max 55r =,故选A .(三)几何图形的面积的范围问题例3.在平面直角坐标系中,,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切,则圆C 面积的最小值为( )A.45πB.34πC.(625)π-D.54π 【答案】A【解析】设直线l :240x y +-=.因为1||||2C l OC AB d -==,所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点,l 为准线的抛物线.圆C 半径最小值为11422255O l d -=⨯=,圆C 面积的最小值为1. 【变式训练1】【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k (0k >且1k ≠)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,A B 间的距离为2,动点P 与A , B 距离之比为2,当,,P A B 不共线时, PAB ∆面积的最大值是 A. 22 B. 2 C.223 D. 23【答案】A【变式训练2】【吉林省普通中学2020届第二次调研】已知F 为抛物线2y x =的焦点,点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,而且·6OAOB =(O 为坐标原点),若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ,则124S S +最小值是( )A .73 B . 6 C . 132D . 3【答案】B【变式训练3】【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B (1,0)且与x轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . (I )证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程;(II )设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【解析】(Ⅰ)因为||||AC AD =,AC EB //,故ADC ACD EBD ∠=∠=∠, 所以||||ED EB =,故||||||||||AD ED EA EB EA =+=+.又圆A 的标准方程为16)1(22=++y x ,从而4||=AD ,所以4||||=+EB EA . 由题设得)0,1(-A ,)0,1(B ,2||=AB ,由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为:13422=+y x (0≠y ). (Ⅱ)当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .可得当l 与x 轴不垂直时,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时,其方程为1=x ,3||=MN ,8||=PQ ,四边形MPNQ 的面积为12.综上,四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.(四)函数转化例4.【2019届成都一诊】设椭圆()012222>>=+b a by a x C :的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点,设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ,则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时,椭圆C 的离心率为( )A.51 B.22 C.54D.23【答案】D【解析】设()()(),,,0,,0,00y x P a B a A -,点P 在双曲线上,得()01220220>>=+b a b y a x C :,2202220)(ax a b y -=,所以a x y m +=00,a x y m -=00,化简,22ab mn -=原式⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=b a b a b a b a a b a b a b b a ln 63232ln 62323232222所以设1>=b a t ,函数t t t t t f ln 63232)(23++-=,求导可以得到:2t =时,函数取得最小值=)2(f ,2=ba,23=e 。

高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)

高中数学专题之函数的值域与最值(内附练习及答案)

函数的值域与最值【基本概念】求函数最值的基本方法: 1、配方法(二次函数) 2、分离常数法(分式函数) 3、反函数法(分式函数) 4、基本函数性质法5、换元法[换元必换限](无理函数、高次函数等)6、基本不等式法(耐克函数)7、单调性法(单调区间上的值域与最值) 8、数形结合法 【典型例题】例1:求下列函数的值域。

(1)2121x y x -=+; (2)()lg 12cos y x =-;(3)2y x =(4)2211x x y x -+=+;(5)()2lg 612y x x x x =-+≤≤; (6)3sin 2cos xy x-=-。

解:(1)[解一]分离常数法:()()21212211,11,212121x x y y x x x -+-===-≠⇒∈-∞+∞+++ [解二]反函数法:()21122112122x y y y x y x y x y -+=⇒-=--⇒=-⇒≠+-(2)基本函数性质法:[][]cos 1,112cos 1,3x x ∈-⇒-∈-又12cos 0x -> (](]12cos 0,3,lg3x y ⇒-∈⇒∈-∞(3)换元法:令0t =≥,则221x t =+[)22132101,24y x t t t t y ⎛⎫=++=++≥⇒∈+∞ ⎪⎝⎭又(4)基本不等式法:令10t x =+≠,则()()21211414t t x t y t tt---+=-⇒==+-当0t >时,40y ≥=,当且仅当2t =即1x =时取等号当0t <时,48y ≤-=-,当且仅当2t =-即3x =-时取等号 ∴(][),80,y ∈-∞-+∞(5)单调性法:1lg y x =在[]1,2上单调增且226y x x =-+在[]1,2上单调增 12y y y ⇒=+在[]1,2上单调增[]5,8lg 2y ⇒∈+(6)数形结合法:设()cos ,sin P θθ、()2,3Q ,则3sin 2cos PQ xk y x-==-设()3212y k x k ⎡-=-⇒≤⇒∈-+⎢⎣⎦即2y ⎡∈+⎢⎣⎦例2:函数()21f x ax a =++在区间()1,1-上的值有正有负,求实数a 的取值范围。

解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)

解析几何中的定值与定点问题-玩转压轴题(解析版)

专题5.4 解析几何中的定值与定点问题一.方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题,其解决思路下;(1)定值问题:解决这类问题时,要运用辩证的观点,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性;一种思路是进行一般计算推理求出其结果,选定一个适合该题设的参变量,用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义,方程,几何性质,再用韦达定理,点差法等导出所求定值关系所需要的表达式,并将其代入定值关系式,化简整理求出结果;另一种思路是通过考查极端位置,探索出“定值”是多少,用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值,从而找到解决问题的突破口,将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式,证明该式是恒定的。

(2)定点问题:定点问题是动直线(或曲线)恒过某一定点的问题;一般方法是先将动直线(或曲线)用参数表示出来,再分析判断出其所过的定点.定点问题的难点是动直线(或曲线)的表示,一旦表示出来,其所过的定点就一目了然了.所以动直线(或曲线)中,参数的选择就至关重要.解题的关健在于寻找题中用来联系已知量,未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式,然后将已知量,未知量代入上述关系,通过整理,变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。

二.解题策略类型一定值问题【例1】(2020•青浦区一模)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD,则+的值为()A.B.C.2p D.【答案】D【解析】抛物线y2=2px(p>0)的焦点坐标为(),所以设经过焦点直线AB的方程为y=k(x﹣),所以,整理得,设点A(x1,y1),B(x2,y2),所以,所以,同理设经过焦点直线CD的方程为y=﹣(x﹣),所以,整理得,所以:|CD|=p+(p+2k2p),所以,则则+=.故选:D.【点评】求定值问题常见的方法有两种:①从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关;②直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.【举一反三】1.(2020•华阴市模拟)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于不同的两点A,D,与圆(x﹣1)2+y2=1交于不同的两点B,C(如图),则|AB|•|CD|的值是()A.2B.2C.1D.【答案】C【解析】设A(x1,y1),D(x2,y2),抛物线方程为y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=﹣1,圆(x﹣1)2+y2=1的圆心为F(1,0),圆心与焦点重合,半径为1,又由直线过抛物线的焦点F,则|AB|=x1+1﹣1=x1,|CD|=x2+1﹣1=x2,即有|AB|•|CD|=x1x2,设直线方程为x=my+1,代入抛物线方程y2=4x,可得y2﹣4my﹣4=0,则y1y2=﹣4,x1x2==1,故选:C.2.(2020温州高三月考)如图,P为椭圆上的一动点,过点P作椭圆的两条切线P A,PB,斜率分别为k1,k2.若k1•k2为定值,则λ=()A.B.C.D.【答案】C【解析】取P(a,0),设切线方程为:y=k(x﹣a),代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ=0,令△=4a6k4﹣4(b2+a2k2)(a4k2﹣a2b2λ)=0,化为:(a2﹣a2λ)k2=b2λ,∴k1•k2=,取P(0,b),设切线方程为:y=kx+b,代入椭圆椭圆方程可得:(b2+a2k2)x2﹣2kba2x+a2b2(1﹣λ)=0,令△=4k2b2a4﹣4(b2+a2k2)a2b2(1﹣λ)=0,化为:λa2k2=b2(1﹣λ),∴k1•k2=,又k1•k2为定值,∴=,解得λ=.故选:C.3.(2020•公安县高三模拟)已知椭圆的离心率为,三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,且三条边所在直线的斜率分别为k1,k2,k3(k1k2k3≠0).若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1(O为坐标原点),则=.【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为,∴,则,得.又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F,三条边所在直线的斜率分别为k1、k2,k3,且k1、k2,k3均不为0.O为坐标原点,直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则,,两式作差得,,则,即,同理可得,.∴==﹣2×(﹣1)=2.类型二定点问题【例2】(2020•渝中区高三模拟)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点,过点A的直线l交y轴的正半轴于点B,且A,B同在一个以F为圆心的圆上,另有直线l′∥l,且l′与抛物线C相切于点D,则直线AD经过的定点的坐标是()A.(0,1)B.(0,2)C.(1,0)D.(2,0)【答案】A【解析】设A(m,m2),B(0,n),∵抛物线C:x2=4y的焦点为F(0,1)又A,B同在一个以F为圆心的圆上,∴|BF|=|AF|∴n﹣1==m2+1∴n=m2+2∴直线l的斜率k==﹣∵直线l′∥l,∴直线l′的斜率为k,设点D(a,a2),∵y=x2,∴y′=x,∴k=a,∴a=﹣,∴a=﹣∴直线AD的斜率为===,∴直线AD的方程为y﹣m2=(x﹣m),整理可得y=x+1,故直线AD经过的定点的坐标是(0,1),故选:A.【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.(2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关. 【举一反三】1.(2020·全国高考模拟(理))已知抛物线28x y =,过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ,PB ,切点为A ,B ,若直线AB 恒过定点,则该定点为( )A .()4,0B .()3,2C .()0,4-D .()4,1【答案】C【解析】设A B ,的坐标为()11x y ,,()22x y ,28x y =,4x y '=, PA PB ,的方程为()1114x y y x x -=-,()2224xy y x x -=- 由22118x y =,22228x y =,可得114x y x y =-,224x y x y =-切线PA PB ,都过点()4P b ,1144x b y ∴=⨯-,2244xb y =⨯-, 故可知过A ,B 两点的直线方程为44bx y =-, 当0x =时,4y =∴直线AB 恒过定点()04-,,故选C2.(2020·重庆高考模拟(理))已知圆22:1C x y +=,点P 为直线142x y+=上一动点,过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点,则直线AB 经过定点.( )A .11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B .11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C.⎫⎪⎪⎝⎭D.⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线,,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦,可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭, ① 又221x y += , ②①-②得():221AB m x my -+=, 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式,即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭,故选B. 3.(2020大理一模)已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ,过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点,直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ,满足122k k ⋅=-,则直线MN 经过的定点为___________. 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩, 同理222122214164641416N k k x k k --==++. 121814M k y k =+,1211616Nk y k -=+, 取11k =,由对称性可知,直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中,过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点,直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ,当12k k ⋅为非零常数时,直线MN 经过定点.三.强化训练1.(2020·黑龙江高三模拟)直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点,O 为坐标原点,若直线OB OA ,的斜率1k ,2k 满足3221=k k ,则l 的横截距( ) A .为定值3- B .为定值3 C .为定值1- D .不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+,由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩,则得()222220k x kb x b +-+=; 设A ,B 两点的坐标为()11,A x y ,()22,B x y ,则得12222kb x x k-+=,2122b x x k =; 又因为3221=k k ,即121223y y x x =,所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ,则得3b k =,直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+; 当0y =时,3x =-,所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2.(2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中(文))如果直线7ax by +=(0a >,0b >) 和函数()1log m f x x =+(0m >,1m ≠)的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上,那么ba的取值范围是( )A .3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B .30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C .4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D .340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质,可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+,恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=,可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上,所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩,所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动, 当取点(3,4)时,43b a =,取点(4,3)时,34b a,所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3.(2020·全国高三模拟)过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点,若2211||||AP BP +为定值,则实数a 的值为( )A.1B.2 C .3 D .4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+,代入28y x =,得2880y my a --=, 设()()1122,,,A x y B x y ,则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+,同理,()22221BP m y =+,∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+,∵2211||||AP BP +为定值, 是与m 无关的常数,∴4a =.故选D .4.(2020•越城区高三期末)已知A 、B 是抛物线y 2=4x 上异于原点O 的两点,则“•=0”是“直线AB 恒过定点(4,0)”的( ) A .充分非必要条件 B .充要条件C .必要非充分条件D .非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意,A 、B 是抛物线y 2=4x 上异于原点O 的两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 若“•=0”,则设直线AB 方程为x =my +b ,将直线AB 方程代入抛物线方程y 2=4x ,可得y 2﹣4my ﹣4b =0,则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=﹣4b , 若•=0,则•=x 1x 2+y 1y 2=()+y 1y 2=+y 1y 2=b 2﹣4b =0,解可得:b =4或b =0,又由b ≠0,则b =4,则直线AB 的方程为x =my +4,即my =x ﹣4,则直线AB 恒过定点(4,0), “•=0”是“直线AB 恒过定点(4,0)”的充分条件;反之:若直线AB 恒过定点(4,0),设直线AB 的方程为x =my +4,将直线AB 方程代入抛物线方程y 2=4x ,可得y 2﹣4my ﹣16=0,则有y 1y 2=﹣16, 此时•=x 1x 2+y 1y 2=()+y 1y 2=+y 1y 2=0,故“•=0”是“直线AB 恒过定点(4,0)”的必要条件;综合可得:“•=0”是“直线AB 恒过定点(4,0)”的充要条件;故选:B .5.(2020·湖北高考模拟)设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点,点P 是C 右支上异于顶点的任意一点,PQ 是12F PF ∠的角平分线,过点1F 作PQ 的垂线,垂足为Q ,O 为坐标原点,则||OQ 的长为( ) A .定值a B .定值bC .定值cD .不确定,随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图,延长F 1Q ,交PF 2于点T , ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线.TF 1是PQ 的垂线, ∴PQ 是TF 1的中垂线,∴|PF 1|=|PT |,∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点,∴|PF 1|﹣|PF 2|=2a , ∴|TF 2|=2a ,在三角形F 1F 2T 中,QO 是中位线, ∴|OQ |=a . 故选:A .6.(2020·浙江省杭州第二中学高三)设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点,若212x y x y a -+++--为定值,则a 的值可能为( )A .3-B .4-C .5-D .6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=,圆心为(1,1)C -,半径为1r =,直线:20l x y a --=2115a---=,35a =-当35a =-+C 在直线l 上方,20x y a --≤,当=--35a C 在直线l 下方,20x y a --≥,若212x y x y a -+++--为定值,则20x y a --≥,因此35a ≤-D 满足. 故选:D.7.(2020·湖北高考模拟(理))已知圆C : 224x y +=,点P 为直线290x y +-=上一动点,过点P 向圆C 引两条切线,PA PB , ,A B 为切点,则直线AB 经过定点( )A .48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B .24,99⎛⎫⎪⎝⎭C .()2,0D .()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上,直线AB 方程为004x x y y +=, 又00290x y +-=,所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==,直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭,选A. 8.(2020·全国高三期末(理))已知圆O :2214x y +=,直线l :y =kx +b (k ≠0),l 和圆O 交于E ,F 两点,以Ox 为始边,逆时针旋转到OE ,OF 为终边的最小正角分别为α,β,给出如下3个命题: ①当k 为常数,b 为变数时,sin (α+β)是定值; ②当k 为变数,b 为变数时,sin (α+β)是定值; ③当k 为变数,b 为常数时,sin (α+β)是定值. 其中正确命题的个数是( ) A .0 B .1C .2D .3【答案】B【解析】设点11()E x y ,,22()F x y ,,由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,,221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,, 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,, 得2221(1)204k x kbx b +++-=, 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩,,所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++,因此,当k 是常数时,sin()αβ+是常数,故选B (特值法可秒杀)9.(2020·浙江高三期末)斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ,交抛物线于,A B 两点,点00(,)P x y 为AB 中点,作OQ AB ⊥,垂足为Q ,则下列结论中不正确的是( )A .0ky 为定值B .OA OB ⋅为定值C .点P 的轨迹为圆的一部分D .点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ,则2211222,2,y px y px ==两式做差得,121212()()2()y y y y p x x +-=-,整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值,所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ,所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=,则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分,故D 正确.本题选择C 选项.10.(2020·安徽高三月考(理))已知抛物线2:8C y x =,圆22:(2)4F x y -+=,直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点,则下列各式结果为定值的是( ) A .1324M M M M ⋅ B .14FM FM ⋅ C .1234M M M M ⋅ D .112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠,设111422(,),(,)M x y M x y ,则21212248,4k x x x x k++==. 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线,垂足分别为,A B , 则11422,2M F x M F x =+=+.对于A ,13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++,不为定值,故A 不正确.对于B ,14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++,不为定值,故B 不正确. 对于C ,12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==,为定值,故C 正确.对于D ,1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+,不为定值,故D 不正确.选C .11.(2020·南昌县莲塘第一中学高三月考(理))在平面直角坐标系中,两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值(大于12|F F )的点的轨迹可以是( )A .B .C .D .【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -,再设动点(,)M x y ,动点到定点12,F F 的“L­距离”之和等于(20)m m c >>,由题意可得:x c y x c y m ++-++=,即2x c x c y m -+++=, 当,0x c y <-≥时,方程化为220x y m -+=; 当,0x c y <-<时,方程化为220x y m ++=;当,0c x c y -≤<≥时,方程化为2my c =-; 当,0c x c y -≤<<时,方程化为2my c =-;当,0x c y ≥≥时,方程化为220x y m +-=; 当,0x c y ≥<时,方程化为220x y m --=;结合题目中给出四个选项可知,选项A 中的图象符合要求,故选A . 12.(2020·东北育才学校高三月考(理))有如下3个命题;①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值;②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、,则22122212e e e e +是定值;③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、,则直线AB 过定点;其中正确的命题有( ) A .3个 B .2个C .1个D .0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=(a >0,b >0)上任意一点P ,设为(m ,n ),两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+, 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2,可得两个距离乘积是定值2222a b a b+; ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=(a >0,b >0)的离心率分别是e 1,e 2,即有e 12=222a b a +,e 22=222a b b +,可得22122212e e e e +为定值1;③过抛物线x 2=2py (p >0)的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ,B ,可设A (s ,22s p),B (t ,22t p ),由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0,即有st=﹣4p 2, k AB =()222t s p t s --=2t s p +,可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +(x ﹣s ),即为y=2t s p +x+2p , 则直线AB 过定点(0,2p ).三个命题都正确.故选A .13.已知O 为坐标原点,点M 在双曲线22:C x y λ-=(λ为正常数)上,过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线,垂足为N ,则ON MN ⋅的值为( ) A .2λB .λC .2λD .无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学(文)试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ,即有22m n λ-=,双曲线的渐近线为y x =±,可得MN =,由勾股定理可得ON ===,可得2222m n ON MN λ-⋅=== .故选:A .14.已知1F 、2F 是双曲线C :2214y x -=的左、右两个焦点,若双曲线在第一象限上存在一点P ,使得22()0OP OF F P +⋅=,O 为坐标原点,且12||||PF PF λ=,则λ的值为( ).A .13B .12C .2D .3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =,2b =,∴c =1(F,2F, 设点)P m ,∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=, ∴2165m =,m =,则P ±,14PF ===, ∴2122PF PF a =-=,∴12422PF PF λ===, 故选:C.15.已知1F ,2F 是双曲线221169x y -=的焦点,PQ 是过焦点1F 的弦,且PQ 的倾斜角为60︒,那么22||+-PF QF PQ 的值为A .16B .12C .8D .随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知,28a =,双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒,所以334PQ k =>,又直线PQ 过焦点1F ,如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得,2128PF PF a -==…………(1),2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=,2216PF QF PQ ∴+-=. 故选:A16.已知椭圆()2221024x y b b+=<<,1F ,2F 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,()2,1M ,1MF 平分角12PF F ∠,则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A .1B .32C .2D .3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学(一卷)试题 【答案】C【解析】如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>,1F ,2F 分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上一点,作一圆与线段F 1P ,F 1F 2的延长线都相切,并且与线段PF 2也相切,切点分别为D ,A ,B ,1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+, 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+,所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距),从而点A 为椭圆长轴端点,即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上,且椭圆右端点A (2,0),所以点M 是上述圆心轨迹上的点,即点M 到直线F 1P ,PF 2,F 1F 2的距离都相等,且均为1,1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选:C17.已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点,且AB AC ⊥,则直线BC 过定点( ) A .(1,0) B .(3,0)C .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D .30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+,()()1122,,B x y C x y 、,则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=, 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++, ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++,因为()0,1A ,()()1122,1,1A x y B C x y A --==,,AB AC ⊥, 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =, 当m k =-时,直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-,直线过()0,1点而()0,1A ,而,A B C 、不在同一直线上,不合题意; 当35m k =时,直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭,符合题意.故选:D.18.已知椭圆221124y x +=,圆22:4O x y +=,过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线,切点分别为,P Q ,直线PQ 与x 轴,y 轴分别交于点,M N ,则2231OMON+=( )A .54B .45C .43D .34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ,则切线GP 的方程为114x x y y +=,切线GQ 的方程为224x x y y +=, 因为点G 在切线,GP GQ 上,所以13134x x y y +=,23234x x y y +=,所以直线PQ 的方程为334x x y y +=, 所以3344(,0),(0,)M N x y , 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上,所以2233312x y +=,所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==, 故选:D19.已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ,过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点(异于,A B ),若直线AP 和BQ 的交点为N ,记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ,则12:k k =( ) A .13B .3C .12D .2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ,()11,P x y ,()22,Q x y ,设直线PQ 的方程:4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ , 解得:()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-,12121226643my y y y x y y +-+=-,(*)联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ,得()2228120m y my +-+=,22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>,12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++, 代入(*)得121293433y y x y y -+==-,14y k x =+,22y k x =+ ,122211443k x k x x +∴==-=++.故选:A20.(2020·北京市第二中学分校高三(理))抛物线24y x =上两个不同的点A ,B ,满足OA OB ⊥,则直线AB 一定过定点,此定点坐标为__________. 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =,消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则124y y t +=,124y y b =-,∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0,∴0b =(舍去)或4b =, 故直线l 过定点()4,0.21.(2020·江苏扬州中学高三月考)已知点(2,0),(4,0)A B -,圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点,若PAPB为定值,则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ,PAk PB =k =, 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=, 又P 是圆C 上的任意一点,故1k ≠,圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=,因此20b =,22222484168,11k k b k k+-==--,解得0b =. 22.(2020·江苏海安高级中学高三)在平面直角坐标系xOy 中,A ,B 为x 轴正半轴上的两个动点,P (异于原点O )为y 轴上的一个定点.若以AB 为直径的圆与圆x 2+(y -2)2=1相外切,且∠APB 的大小恒为定值,则线段OP 的长为_____.【解析】设O 2(a ,0),圆O 2的半径为r (变量),OP=t (常数),则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值,∴t23.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22184x y +=上一点A ,点B 是椭圆上任意一点(异于点A ),过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ,当直线AB 、AC 斜率都存在时,AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-,则BC的方程为22y x +=,由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24.(2020·河北定州一中高三月考)P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点,异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数,则点B 的坐标为______. 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=,则()2215x y -+=,可得2242x y x +=+,① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦,②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+,可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩,解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭,故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25.(2020·上海长岛中学高三)在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点,动点P 满足2OP OM ON =-,直线OM 与直线ON 斜率之积为2,已知平面内存在两定点1F 、2F ,使得12PF PF -为定值,则该定值为________【答案】【解析】设P (x ,y ),M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则由2OP OM ON =-,得(x ,y )=2(x 1,y 1)-(x 2,y 2), 即x=2x 1-x 2,y=2y 1-y 2,∵点M ,N 在双曲线22124x y -=上,所以2211124x y -=,2222124x y -=,故2x 2-y 2=(8x 12+2x 22-8x 1x 2)-(4y 12+y 22-4y 1y 2)=20-4(2x 1x 2-y 1y 2), 设k 0M ,k ON 分别为直线OM ,ON 的斜率,根据题意可知k 0M k ON =2, ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0, ∴2x 2-y 2=20,所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上; 设该双曲线的左,右焦点为F 1,F 2,由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值,该定值为26.(2020·江苏高三月考)椭圆E :22143x y +=的左顶点为A ,点,B C 是椭圆E 上的两个动点,若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-,则动直线BC 恒过定点的坐标为__________. 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时,设直线BC 的方程为y=kx+m ,由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得:(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2﹣12=0, 设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1+x 2=28km 34k -+,x 1x 2=2241234m k-+, 又A (﹣2,0),由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14, 则(x 1+2)(x 2+2)+4y 1y 2=0,且x 1,x 2≠﹣2, 则x 1•x 2+2(x 1+x 2)+4+4(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+4k 2)x 1x 2+(2+4km )(x 1+x 2)+4m2+4=()()2221441234k m k+-++(2+4km )28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0, ∴(m ﹣2k )(m+k )=0, ∴m=2k 或m=﹣k .当m=2k 时,直线BC 的方程为y=kx+2k=k (x+2). 此时直线BC 过定点(﹣2,0),显然不适合题意.当m=﹣k 时,直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k (x ﹣1),此时直线BC 过定点(1,0). 当直线BC 的斜率不存在时,若直线BC 过定点(1,0),B 、C 点的坐标分别为(1,32),(1,﹣32),满足k AB •k AC =﹣14. 综上,直线BC 过定点(1,0). 故答案为:(1,0).27.已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ,过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点,若以线段PQ为直径的圆过定点M ,则MF =______.【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学(理科)试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0,双曲线的方程可化为2233x y -=,①当直线l 的斜率不存在时,点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-, 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=;②当直线l 的斜率存在时,设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y , 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -,直线l 的方程为()2y k x =-,联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩,消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=,2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩,()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦,222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭,()111,AP x y =+,()221,AQ x y =+,()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----. 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -,3MF =.28.双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ,以AB 为直径作圆O ,P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点,连接PA 交圆O 于点Q ,设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ,若12k k λ=,则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=,()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ,所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为:34-29.过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点,交y 轴于P 点,若1PM MF λ=,2PN NF λ=,规定12λλ+=PM PN MF NF +,则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论,在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中,PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学(理)试题【答案】222a b-【解析】如图,设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ,过点(),0F c 的直线为()y k x c =-,代入椭圆的方程得:()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22122222a k c x x b a k +=-+,2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+, 过点,M N 分别作x 轴的垂线,垂足为,D E ,则111x PM x c MF λ==--,222=x PNx c NFλ=--,所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+,2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得:21222a b λλ+=-. 故答案为:222a b-.30.若M ,P 是椭圆2214x y +=两动点,点M 关于x 轴的对称点为N ,若直线PM ,PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ,0),B (n ,0),则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ,则(),N a b -,(),P c d ,则2214a b +=,2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--,令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--,令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31.椭圆E :22143x y +=的左顶点为A ,点,B C 是椭圆E 上的两个动点,若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-,则动直线BC 恒过定点的坐标为__________. 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时,设直线BC 的方程为y=kx+m ,由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得:(3+4k 2)x 2+8kmx+4m 2﹣12=0, 设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则x 1+x 2=28km 34k -+,x 1x 2=2241234m k -+, 又A (﹣2,0),由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14, 则(x 1+2)(x 2+2)+4y 1y 2=0,且x 1,x 2≠﹣2, 则x 1•x 2+2(x 1+x 2)+4+4(kx 1+m )(kx 2+m ) =(1+4k 2)x 1x 2+(2+4km )(x 1+x 2)+4m2+4=()()2221441234k m k +-++(2+4km )28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0, ∴(m ﹣2k )(m+k )=0, ∴m=2k 或m=﹣k .当m=2k 时,直线BC 的方程为y=kx+2k=k (x+2). 此时直线BC 过定点(﹣2,0),显然不适合题意.当m=﹣k 时,直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k (x ﹣1),此时直线BC 过定点(1,0). 当直线BC 的斜率不存在时,若直线BC 过定点(1,0),B 、C 点的坐标分别为(1,32),(1,﹣32),满足k AB •k AC =﹣14. 综上,直线BC 过定点(1,0). 故答案为(1,0).。

难点探究专题:利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略(学生版+解析版)

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难点探究专题:利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B与y轴交于点C,点A的坐标为-1,0.,点B的坐标为3,0(1)求抛物线的表达式;(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点,连接PB,PC,求△PBC的面积S的最大值;(3)当a-2≤x≤a+1时,抛物线有最小值5,求a的值.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为4,0点,点P是直线BC,与y轴交于C0,-4下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)当点P 运动到什么位置时,四边形ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知,抛物线y =-x 2+bx +c 经过B 3,0 、C 0,3 两点,点P 是抛物线上一点,点A 是抛物线与x 轴的另一个交点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 位于第一象限时,连接BP ,CP ,得到△BCP ,当△BCP 的面积最大时,求点P 的坐标;(3)当点P 位于第四象限时,连接AC ,BC ,PC ,若∠PCB =∠ACO ,求直线PC 的解析式;3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ,点B ,与y 轴交于点C ,且OC =2,点P 是抛物线上一动点.(1)求该抛物线的解析式;(2)当点P 在第四象限时,求△BCP 的最大面积;(3)当点P 在第一象限,且∠PCB =∠ABC 时,求出点P 的坐标.【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图,在矩形ABCD 中,AB =6,BC =12,点P 从点A 出发沿AB 边向点B 以1个单位每秒的速度移动,同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2个单位每秒的速度移动.如果P ,Q 两点在分别到达B ,C 两点后就停止移动,设运动时间为t 秒(0<t <6),回答下列问题:(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8.(2)设五边形APQCD的面积为S,写出S与t的函数关系式,当t为何值时S最小?求S的最小值.【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-1,0,与y轴交于点C.,B3,0(1)求b,c的值;(2)已知P为抛物线y=-x2+bx+c一点(不与点B重合),若点P关于x轴对称的点P 恰好在直线BC上,求点P的坐标;(3)在(2)的条件下,平移抛物线y=-x2+bx+c,使其顶点始终在直线y=x上,且与PP 相交于点Q,求△QBP 面积的最小值.2(2023·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c的图象与坐标轴相交于A,B,C三点,其中A点坐标为3,0,连接AC,BC.动点P从A点出发,在线,B点坐标为-1,0段AC上以每秒2个单位长度向点C做匀速运动;同时,动点Q从B点出发,在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ,设运动时间为t秒.(1)b=,c=;(2)在P,Q运动的过程中,当t为何值时,四边形BCPQ的面积最小,最小值为多少?(3)已知点M是该抛物线对称轴上一点,当点P运动1秒时,若要使得线段MA+MP的值最小,则试求出点M的坐标.【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点O0,0,矩形ABCD的边AB在线段OE上,E10,0(点B在点A的左侧),点C,D在抛物线上,设B t,0,当t=2时,BC=4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t为何值时,矩形ABCD的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t=2时的矩形ABCD不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且直线GH平分矩形ABCD的面积时,求抛物线平移的距离.【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y=a-1x+a2-4(a为常数,a>0)x2+2a-7的图象经过原点,点A在抛物线上运动.(1)求a的值.(2)若点P8-t,s都是这个抛物线上的点,且有s>r,求t的取值范围.和点Q t-4,r(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,过点D作DC⊥x轴,垂足于点C,试问四边形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值和对应的x值,如果不存在,请说明理由.2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线y=kx与抛物线y= ax2+c交于A8,6、B两点,点B的横坐标为-2.(1)求直线AB 和抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的平行线,与直线AB 交于点C ,连接PO ,设点P 的横坐标为m .①若点P 在x 轴上方,当m 为何值时,△POC 是等腰三角形;②若点P 在x 轴下方,设△POC 的周长为p ,求p 关于m 的函数关系式,当m 为何值时,△POC 的周长最大,最大值是多少?3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图,已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ,且点N 在点M 的左侧,过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点,当四边形MNHG 为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG 的周长最大时,在二次函数图象上是否存在点P ,使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916?若存在,直接写出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.【考点四利用二次函数求周长最小值问题】1(2023秋·安徽·九年级阶段练习)如图,已知抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 与x 轴负半轴交于点A ,与y 轴交于点B ,若OA =1,OB =3,抛物线的对称轴为直线x =1.(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线的对称轴上有一动点P ,使得△PAB 周长最小,求出△PAB 最小周长.【变式训练】1(2023秋·云南临沧·九年级统考期末)如图,抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点C ,抛物线的对称轴为直线x =2,点B 坐标为3,0 ,D 为抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式.(2)P为该抛物线对称轴上一动点,当△ACP的周长最小时,求点P的坐标.(3)当函数y=x2+bx+c的自变量x满足m≤x≤m+2时,函数y的最小值为3,求m的值.2(2023秋·全国·九年级专题练习)综合与探究如图,经过B3,0两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A.,C0,-3(1)求抛物线的解析式;(2)点D在抛物线的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求D的坐标;(3)已知点M在抛物线上,求S△ABM=8时的点M坐标;(4)已知E2,-3,请直接写出能以点A,B,E,P为顶点的四边形是平行四边形的点P坐标.3(2023·湖南张家界·统考中考真题)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A-2,0.点D为线段BC上的一动点. 和点B6,0两点,与y轴交于点C0,6(1)求二次函数的表达式;(2)如图1,求△AOD周长的最小值;(3)如图2,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取得最大值时,求点P的坐标,并求出此时S的最大值.4(2023春·山东东营·九年级校考阶段练习)如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(1, 0)、C(-2,3)两点,与y轴交于点N,其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;(2)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.(3)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标.难点探究专题:利用二次函数求面积、周长最值问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】1【考点一利用二次函数求面积最大值问题】【考点二利用二次函数求面积最小值问题】【考点三利用二次函数求周长最大值问题】【考点四利用二次函数求周长最小值问题】【典型例题】【考点一利用二次函数求面积最大值问题】1(2023秋·吉林四平·九年级四平市第三中学校校考阶段练习)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B与y轴交于点C,点A的坐标为-1,0,点B的坐标为3,0.(1)求抛物线的表达式;(2)若点P是第四象限内抛物线上一动点,连接PB,PC,求△PBC的面积S的最大值;(3)当a-2≤x≤a+1时,抛物线有最小值5,求a的值.【答案】(1)y=x2-2x-3(2)278(3)a =6或a=-3【分析】1 用待定系数法即可求解;(2)先求直线BC的表达式,过点P作PH∥y轴交BC于点H,由S△PBC=S△PHC+S△PHB,即可求解.(3)当a+1≤1时, 即a≤0, 则x=a+1时, 抛物线取得最小值;当x=a-2≥1时, 即a≥3, 则x=a-2时, 抛物线取得最小值,进而求解;【详解】(1)设抛物线的表达式为:y=a x-1,x-3又∵a=1∴y=x+1x-3=x2-2x-3;(2)过点P作PH∥y轴交BC于点H,当x =0时,y =-3,∴点C 0,-3 ,设直线BC 的表达式为y =mx +n ,把3,0 和0,-3 代入得:3m +n =0n =-3 ,解得m =1n =-3 ∴直线BC 的表达式为y =x -3,设点P x ,x 2-2x -3 , 则点H x ,x -3 ,∴S △PBC =S △PHC +S △PHB =12×PH ×OB =12×3x -3-x 2+2x +3 =-32x -32 2+278,∵a =-32<0,∴S △PBC 有最大值,最大值为278;(3)∵y =x 2-2x -3=x -1 2-4≥-4,即抛物线的最小值是-4,即x =a -2和x =a +1不可能在抛物线对称轴两侧;当a +1≤1时, 即a ≤0,则x =a +1时,抛物线取得最小值,即y =a +1 2-2a +1 -3=5,解得:a =3(舍去)或a =-3,即a =-3;当x =a -2≥1时, 即a ≥3,则x =a -2时, 抛物线取得最小值,即y =a -2 2-2a -2 -3=5,解得:a =6或a =0(舍去),综上,a =6或a =-3;【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.【变式训练】1(2023春·河北沧州·九年级校考期中)如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点,A 点在原点的左侧,B 点的坐标为4,0 ,与y 轴交于C 0,-4 点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式;(2)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.【答案】(1)y=x2-3x-4(2)P点的坐标为:2,-6,四边形ABPC的面积的最大值为18【分析】(1)将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;(2)由于△ABC的面积为定值,当四边形ABPC的面积最大时,△BPC的面积最大;过P作y轴的平行线,交直线BC于Q,交x轴于F,求得直线BC的解析式,可设出P点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标,即可得到PQ的长,以PQ为底,B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积,由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标.【详解】(1)解:将B、C两点的坐标代入得,16+4b+c=0c=-4,解得:b=-3 c=-4,所以二次函数的表达式为:y=x2-3x-4;(2)解:如图,过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,P x,x2-3x-4,设直线BC的解析式为:y=kx+d,则d=-44k+d=0 ,解得:k=1 d=-4,∴直线BC的解析式为:y=x-4,则Q点的坐标为x,x-4;当0=x2-3x-4,解得:x1=-1,x2=4,∴AO=1,AB=5,S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=12AB⋅OC+12QP⋅BF+12QP⋅OF=12×5×4+124-xx-4-x2-3x-4+12x x-4-x2-3x-4=-2x2+8x+10=-2x-22+18,当x=2时,四边形ABPC的面积最大,此时P点的坐标为:2,-6,四边形ABPC的面积的最大值为18.【点睛】此题考查了二次函数综合应用,求二次函数的解析式,求一次函数的解析式,求二次函数与坐标轴的交点坐标等,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.2(2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考阶段练习)已知,抛物线y=-x2+bx+c经过B3,0、C0,3两点,点P是抛物线上一点,点A是抛物线与x轴的另一个交点.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P 位于第一象限时,连接BP ,CP ,得到△BCP ,当△BCP 的面积最大时,求点P 的坐标;(3)当点P 位于第四象限时,连接AC ,BC ,PC ,若∠PCB =∠ACO ,求直线PC 的解析式;【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)P 32,154(3)直线PC 的解析式为y =-2x +3【分析】(1)根据待定系数法可进行求解;(2)过点P 作PH ∥y 轴,交BC 于点H ,由题意易得直线BC 的解析式为y =-x +3,设点P a ,-a 2+2a +3 ,则H a ,-a +3 ,然后根据铅垂法可进行求解;(3)设CP 与x 轴的交点为E ,过点E 作EF ⊥BC 于点F ,由题意易得△BOC 为等腰直角三角形,△EFB 为等腰直角三角形,△AOC ∽△EFC ,然后根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的性质可进行求解.【详解】(1)解:由题意可得:-9+3b +c =0c =3,解得:b =2c =3 ,∴抛物线的解析式为y =-x 2+2x +3;(2)解:过点P 作PH ∥y 轴,交BC 于点H ,如图所示:设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则有:3k +b =0b =3,解得:k =-1b =3 ,∴直线BC 的解析式为y =-x +3,设点P a ,-a 2+2a +3 ,则H a ,-a +3 ,∴PH =-a 2+2a +3--a +3 =-a 2+3a ,点C 与点B 的水平距离为3,∴S △BCP =12×3×-a 2+3a =-32a -32 2+278,∵0<a <3且-32<0,∴当a =32时,△BCP 的面积最大,最大值即为278,此时∴P 32,154 ;(3)解:设CP 与x 轴的交点为E ,过点E 作EF ⊥BC 于点F ,如图所示:由(1)及题意可得:OC =OB =3,当y =0时,则有-x 2+2x +3=0,解得:x 1=-1,x 2=3,∴△BOC 为等腰直角三角形,即∠OBC =45°,BC =2OB =32,OA =1,∴△EFB 为等腰直角三角形,∴EF =BF ,∵∠PCB =∠ACO ,∠AOC =∠EFC =90°,∴△AOC ∽△EFC ,∴AO EF =OC CF ,即AO OC =EF CF =13,∴CF =3EF =3BF ,∴CF +BF =4BF =BC =32,∴BF =324,∴BE =2BF =32,∴OE =OB -BE =32,∴E 32,0 ,设直线PC 的解析式为y =kx +b ,则有:32k +b =0b =3,解得:k =-2b =3 ,∴直线PC 的解析式为y =-2x +3.【点睛】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定,熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.3(2023秋·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =12x 2+bx +c 与x 轴交于点A -1,0 ,点B ,与y 轴交于点C ,且OC =2,点P 是抛物线上一动点.(1)求该抛物线的解析式;(2)当点P 在第四象限时,求△BCP 的最大面积;(3)当点P 在第一象限,且∠PCB =∠ABC 时,求出点P 的坐标.【答案】(1)y =12x 2-32x -2(2)S △BCP 最大值为4(3)点P 坐标为173,509【分析】(1)先求出点C 的坐标为0,-2 ,把A -1,0 ,C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ,求解即可;(2)过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ,令y =0,得12x 2-32x -2=0,求解得B 4,0 ;再用待定系数法求出BC 的解析式为y =12x -2,设点P a ,12a 2-32a -2 ,则点E a ,12a -2 ,所以PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ,由三角莆面积公式得S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4,然后根据二次函数最值求法求解即可;(3)根据点P 在第一象限,所以设CP 交x 轴于点H ,根据等腰三角形的判定与勾肌主得BH =CH =52,从而求出点H 32,0 .再用待定系数法救是直线CH 解析式为y =43x -2,然后求出直线CH 与抛物线在第一象限的交点坐标即可得解.【详解】(1)解:∵OC =2,∴点C 的坐标为0,-2 ,把A -1,0 ,C 0,-2 代入解析式y =12x 2+bx +c ,得1=12-b +c-2=c,解得b =-32c =-2,∴抛物线的解析式为y =12x 2-32x -2;(2)解:过点P 作PE ⊥x 轴交BC 于点E ,如图:令y =0,则12x 2-32x -2=0解得x 1=-1,x 2=4,∴B 4,0设BC 的解析式为y =kx +b ,把C 0,-2 ,B 4,0 代入得b =-24k +b =0,解得k =12b =-2,,∴BC 的解析式为y =12x -2,设点P a ,12a 2-32a -2 ,则点E a ,12a -2 ,∴PE =12a -2-12a 2-32a -2 =-12a 2+2a ,∴S △BCP =12×-12a 2+2a ×4=-a -2 2+4,0<a <4 ,-1<0,∴当a =2时,S △BCP 取最大值,最大值为4;(3)解:∵点P 在第一象限,∴设CP 交x 轴于点H ,如图:∵∠PCB =∠ABC ,∴CH =BH ,∵CH 2=OC 2+OH 2,∴BH 2=CH 2=OC 2+OB -BH 2=22+4-BH 2,解得BH =52,∴OH=OB-BH=4-52=32,∴点H32,0.设直线CH解析式为y=kx+b,将点C0,-2,点H32,0代入得-2=b0=32k+b,解得k=43b=-2,∴直线CH解析式为y=43x-2,联立解析式得y=43x-2 y=12x2-32x-2,解得:x1=0y1=-2或x2=173y2=509,∴点P在第一象限,∴点P坐标为173,509.【点睛】本题考查用待定系数法函数解析式,一次函数与抛物线的图象性质,一次函数和抛物线的交点问题,等腰三角形的判定,勾股定理,三角形的面积.熟练掌握一次函数与抛物线的图象性质是解题的关键.【考点二利用二次函数求面积最小值问题】1(2022秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=12,点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动,同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2个单位每秒的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,设运动时间为t秒(0<t<6),回答下列问题:(1)运动开始后第几秒时△PBQ的面积等于8.(2)设五边形APQCD的面积为S,写出S与t的函数关系式,当t为何值时S最小?求S的最小值.【答案】(1)2秒或4秒(2)S=t2-6t+72,当t=3时,S最小=63【分析】(1)设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8,由三角形面积公式即可求解;(2)由S=S矩形ABCD-S△PBQ即可求解.【详解】(1)解:设运动开始后第t秒时△PBQ的面积等于8,由题意得126-t×2t=8,整理得:t 2-6t +8=0,解得:t 1=2,t 2=4,答:运动开始后第2秒或4秒时△PBQ 的面积等于8.(2)解:S =S 矩形ABCD -S △PBQ=6×12-126-t ×2t=t 2-6t +72,=t -3 2+63,∵1>0,0<t <6,∴当t =3时,S 最小=63;答:S =t 2-6t +72,当t =3时,S 最小=63.【点睛】本题考查了一元二次方程及二次函数的应用,根据图形找出等量关系式,掌握二次函数最值的求法是解题的关键.【变式训练】1(2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测)已知抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1,0 ,B 3,0 ,与y 轴交于点C .(1)求b ,c 的值;(2)已知P 为抛物线y =-x 2+bx +c 一点(不与点B 重合),若点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,平移抛物线y =-x 2+bx +c ,使其顶点始终在直线y =x 上,且与PP 相交于点Q ,求△QBP 面积的最小值.【答案】(1)b =2c =3 ;(2)P -2,-5 ;(3)S △QBP的最小值为1358.【分析】(1)利用待定系数法即可求解;(2)求得直线BC 的解析式为y =-x +3,设P a ,-a +3 ,则P a ,a -3 ,解方程a -3=-a 2+2a +3,即可求解;(3)由顶点始终在直线y =x 上,推出c =-b 24+b 2,由三角形面积公式得S △QBP=5PQ 2,当P Q 取最小值时,S △QBP取最小值,求得P Q 关于b 的二次函数,利用二次函数的性质即可求解.【详解】(1)解:∵抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于A -1,0 ,B 3,0 ,∴-1-b +c =0-9+3b +c =0,解得b =2c =3 ;(2)解:由(1)得抛物线解析式为y =-x 2+2x +3,令x =0,则y =3,∴C 0,3 ,设直线BC 的解析式为y =kx +3,则0=3k +3,解得k =-1,∴直线BC 的解析式为y =-x +3,∵点P 关于x 轴对称的点P 恰好在直线BC 上,∴设P a ,-a +3 ,则P a ,a -3 ,即点P a ,a -3 在抛物线y =-x 2+2x +3上,∴a -3=-a 2+2a +3,整理得a 2-a -6=0,解得a 1=-2,a 2=3,∵点P 不与点B 重合,∴P -2,5 ,P -2,-5 ;(3)解:抛物线y =-x 2+2x +3的顶点坐标为b 2,b 24+c ,∵顶点始终在直线y =x 上,∴b 2=b 24+c ,即c =-b 24+b 2,由(2)知直线PP 的方程为x =-2,∵抛物线y =-x 2+bx +c 与PP相交于点Q ,∵S △QBP=5PQ2,∴当P Q 取最小值时,S △QBP取最小值,∵P Q =5--4-2b +c =9+2b -c=9+2b --b 24+b 2 =b 24+3b 2+9=b 2+32 +274,∵1>0,∴当b 2=-32即b =-3时,P Q 的最小值为274,∴S △QBP的最小值为=52×274=1358.【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.2(2023·全国·九年级专题练习)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =-x 2+bx +c 的图象与坐标轴相交于A ,B ,C 三点,其中A 点坐标为3,0 ,B 点坐标为-1,0 ,连接AC ,BC .动点P 从A 点出发,在线段AC 上以每秒2个单位长度向点C 做匀速运动;同时,动点Q 从B 点出发,在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,连接PQ ,设运动时间为t 秒.(1)b =,c =;(2)在P ,Q 运动的过程中,当t 为何值时,四边形BCPQ 的面积最小,最小值为多少?(3)已知点M 是该抛物线对称轴上一点,当点P 运动1秒时,若要使得线段MA +MP 的值最小,则试求出点M 的坐标.【答案】(1)2,3(2)当t =2时,四边形BCPQ 的面积最小,最小值为4(3)M 1,23 【分析】(1)利用待定系数法求解即可;(2)过点P 作PH ⊥x 轴,垂足为E ,利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积,求出t 的范围,利用二次函数的性质求出最值即可;(3)直接利用对称点的性质得出M 点位置,进而得出答案.【详解】(1)∵二次函数y =-x 2+bx +c 的图象经过点A 3,0 ,B -1,0 ,则-9+3b +c =0-1-b +c =0 ,解得:b =2c =3 ;故答案为:2;3;(2)令x =0,则有y =3,即有C 0,3 ;∵C 0,3 ,A 3,0 ,B -1,0 ,∴OC =OA =3,OB =1,即AB =4,AC =OC 2+OA 2=32,∴△OAC 是等腰直角三角形,∴∠BAC =45°,由点P 、Q 的运动可知:AP =2t ,BQ =t ,结合B -1,0 ,可得:Q -1+t ,0 ,即:AQ =AB -BQ =4-t ,过点P 作PH ⊥x 轴,垂足为H ,如图,∴AH =PH =2t2=t ,即H 3-t ,0 ,∴S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ=12×OC ×AB -12×AQ ×PH=12×3×4-12×4-t ×t =12t -2 2+4,∵当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,且AC =32,∴0≤t ≤322即,0≤t ≤3,∴当t =2时,四边形BCPQ 的面积最小,最小值为4;(3)由(2)可知,当t =1时,可得点P 的坐标为(2,1),根据抛物线的对称性可知,点A ,B 关于对称轴:x =1对称,连接BP ,与抛物线对称轴交于点M ,点M 即为所求,∵P 2,1 ,B -1,0 ,∴利用待定系数法可得直线BP 的解析式为:y =13x +13,当x =1时,y =23.即点M 的坐标为1,23.【点睛】本题考查了二次函数综合,涉及到全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,轴对称最值问题,用方程的思想解决问题是解本题的关键.【考点三利用二次函数求周长最大值问题】1(2023·山东东营·统考中考真题)如图,抛物线过点O 0,0 ,E 10,0 ,矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上(点B 在点A 的左侧),点C ,D 在抛物线上,设B t ,0 ,当t =2时,BC =4.(1)求抛物线的函数表达式;(2)当t 为何值时,矩形ABCD 的周长有最大值?最大值是多少?(3)保持t =2时的矩形ABCD 不动,向右平移抛物线,当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G ,H ,且直线GH 平分矩形ABCD 的面积时,求抛物线平移的距离.【答案】(1)y =14x 2-52x(2)当t =1时,矩形ABCD 的周长有最大值,最大值为412(3)4【分析】(1)设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 ,求出点C 的坐标,将点C 的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式;(2)由抛物线的对称性得AE =OB =t ,则AB =10-2t ,再得出BC =-14t 2+52t ,根据矩形的周长公式,列出矩形周长的表达式,并将其化为顶点式,即可求解;(3)连接AC ,BD 相交于点P ,连接OC ,取OC 的中点Q ,连接PQ ,根据矩形的性质和平移的性质推出四边形OCHG 是平行四边形,则PQ =CH ,PQ =12OA .求出t =2时,点A 的坐标为8,0 ,则CH =12OA =4,即可得出结论.【详解】(1)解:设抛物线的函数表达式为y =ax x -10 a ≠0 .∵当t =2时,BC =4,∴点C 的坐标为2,-4 .将点C 坐标代入表达式,得2a 2-10 =-4,解得a =14.∴抛物线的函数表达式为y =14x 2-52x .(2)解:由抛物线的对称性得:AE =OB =t ,∴AB =10-2t .当x =t 时,BC =-14t 2+52t .∴矩形ABCD 的周长为2AB +BC =210-2t +-14t 2+52t=-12t 2+t +20=-12t -1 2+412.∵-12<0,∴当t =1时,矩形ABCD 的周长有最大值,最大值为412.(3)解:连接AC ,BD 相交于点P ,连接OC ,取OC 的中点Q ,连接PQ .∵直线GH 平分矩形ABCD 的面积,∴直线GH 过点P ..由平移的性质可知,四边形OCHG 是平行四边形,∴PQ =CH .∵四边形ABCD 是矩形,∴P 是AC 的中点.∴PQ =12OA .当t =2时,点A 的坐标为8,0 ,∴CH =12OA =4.∴抛物线平移的距离是4.【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式,二次函数的图象和性质,矩形的性质,平移的性质,解题的关键是掌握用待定系数法求解二次函数表达式的方法和步骤,二次函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,以及平移的性质.【变式训练】1(2023春·湖南长沙·八年级校考期末)已知抛物线y =a -1 x 2+2a -7 x +a 2-4(a 为常数,a >0)的图象经过原点,点A 在抛物线上运动.(1)求a的值.(2)若点P8-t,s和点Q t-4,r都是这个抛物线上的点,且有s>r,求t的取值范围.(3)设点A位于x轴的下方且在这个抛物线的对称轴的左侧运动,过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,过点D作DC⊥x轴,垂足于点C,试问四边形ABCD的周长是否存在最大值?如果存在,请求出这个最大值和对应的x值,如果不存在,请说明理由.【答案】(1)a=2;(2)t<6;(3)存在,当x=12时,四边形ABCD的周长最大为13 2.【分析】(1)将坐标0,0代入抛物线计算求值即可;(2)由a的值可得抛物线解析式,从而可得s,r的表达式,再根据s>r解不等式即可;(3)由y=x2-3x可得函数的对称轴,根据A、D两点的对称性设A m,m2-3m,D n,m2-3m,再由两点的中点坐标在对称轴上可得n的表达式;根据坐标的定义求得四边形周长的表达式再配方即可解答;【详解】(1)解:将原点坐标代入抛物线可得:0=a2-4,a=±2,∵a>0,∴a=2;(2)解:把a=2代入抛物线可得:y=x2-3x,点P和点Q代入抛物线解析式可得:s=8-t2-38-t=t2-13t+40,r=t-42-3t-4=t2-11t+28,∵s>r,∴t2-13t+40>t2-11t+28,∴-2t>-12,∴t<6;(3)解:由抛物线解析式y=x2-3x可得对称轴为x=--32=32,AD平行于x轴,设A m,m2-3m且0<m<32,D n,m2-3m,由抛物线的对称性可知A、D两点的中点坐标在对称轴x=32上,∴m+n2=32,∴n=3-m,∵AB和DC都和x轴垂直,AD平行于x轴,∴四边形ABCD 是矩形,由函数图象可知A 点纵坐标m 2-3m <0,∴四边形ABCD 的周长为:2AB +2AD =2m 2-3m +2n -m =-2m 2-3m +23-2m =-2m -12 2+52,∴当m =12时四边形周长有最大值52;【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质,不等式的性质,矩形的性质,坐标的定义等知识;掌握二次函数的对称性是解题关键.2(2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测)如图,在平面直角坐标系中,直线y =kx 与抛物线y =ax 2+c 交于A 8,6 、B 两点,点B 的横坐标为-2.(1)求直线AB 和抛物线的解析式;(2)点P 是直线AB 下方的抛物线上一动点(不与点A 、B 重合),过点P 作x 轴的平行线,与直线AB 交于点C ,连接PO ,设点P 的横坐标为m .①若点P 在x 轴上方,当m 为何值时,△POC 是等腰三角形;②若点P 在x 轴下方,设△POC 的周长为p ,求p 关于m 的函数关系式,当m 为何值时,△POC 的周长最大,最大值是多少?【答案】(1)y =34x ,y =18x 2-2(2)①当m =4+4103时,△POC 是等腰三角形;②当m =2时,△POC 的周长最大,最大值为9【分析】(1)利用待定系数法求解析式;(2)①当△POC 是等腰三角形时,判断出只有OC =PC ,设出点P 的坐标,用OC =PC 建立方程组求解即可;②先表示出PC ,OC ,OP ,然后建立△POC 的周长p 关于m 的函数关系式,确定出最大值.【详解】(1)解:将点A 8,6 代入y =kx ,得8k =6,解得k =34,∴直线AB 的解析式为y =34x ;当x =-2时,y =34x =34×-2 =-32,∴B -2,-32 将点A 8,6 ,B -2,-32代入y =ax 2+c ,得64a +c =64a +c =-32,解得a =18c =-2 ,∴抛物线的解析式为y =18x 2-2;(2)①设P m ,n ,则18m 2-2=n ,∵过点P 作x 轴的平行线,与直线AB 交于点C ,∴C 43n ,n ,∴PC =m -43n ,当点P 在x 轴上方时,m >0,∠OCP 是钝角,∴OC <OP ,PC <OP ,∵△POC 是等腰三角形,∴OC =CP ,∵OC =53n ,∴m -43n =53n ,∴m =3n ,∵18m 2-2=n ∴m =318m 2-2 ,∴m =4+4103或m =4-4103(舍去),∴当m =4+4103时,△POC 是等腰三角形;②当点P 在x 轴下方时,-2<m <4,∴n <0∵P m ,n ,则18m 2-2=n ,点C 43n ,n ,∴OC =-53n ,OP =m 2+n 2=m 2+18m 2-2 2=18m 2+2,∵PC =m -43n ,18m 2-2=n ,∴p =OP +PC +OC=18m 2+2+m -43n +-53n =18m 2+m -3n +2=18m 2+m -318m 2-2 +2=-14m -2 2+9,∴当m =2时,p 最大,最大值为9,∴当m =2时,△POC 的周长最大,最大值为9.【点睛】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,平面内两点之间的距离公式,等腰三角形的性质,三角形的周长,极值的确定,解本题的关键是表示出PC ,OC ,OP 的长度.3(2023春·内蒙古赤峰·九年级统考阶段练习)如图,已知二次函数图象与坐标轴分别交于A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ,且点N 在点M 的左侧,过M 、N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点,当四边形MNHG 为矩形时,求该矩形周长的最大值;(3)当矩形MNHG 的周长最大时,在二次函数图象上是否存在点P ,使△PNC 的面积是矩形MNHG 面积的916?若存在,直接写出该点的横坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =-x 2+2x +3(2)10(3)存在;32,3+322,3-322【分析】(1)利用待定系数法解答即可;(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ,则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ,利用m 的代数式分别表示出矩形的边长,利用矩形的周长的公式求得矩形的周长,利用配方法解答即可得出结论;(3)利用(2)的结论求得点N 的坐标,可得点N 与点A 重合,设点P 的坐标为n ,-n 2+2n +3 ,过点P 作PD ⊥x 轴于点D ,交AC 于点E ,利用含n 的代数式表示出FE ,利用S △PNC =S △PNE +S △PCE =12×PE ⋅OC ,求得△PNC 的面积,利用已知条件得到关于n 的方程,解方程即可求得n 值;再利用平行线的距离相等,当直线AC 向下平移94个单位长度时,该直线与抛物线的交点也满足条件,求得平移后的直线解析式,与抛物线的解析式联立,解方程组即可得出结论.【详解】(1)设二次函数解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0),∵二次函数图象过A (0,3)、B (-1,0)、C (3,0)三点,∴c =3a -b +c =09a +3b +c =0,解得a =-1b =2c =3,即二次函数解析式为y =-x 2+2x +3.(2)设点M 的坐标为m ,-m 2+2m +3 ,则点N 2-m ,-m 2+2m +3 ,∴MN =m -2+m =2m -2,GM =-m 2+2m +3,矩形MNHG 的周长C =2MN +2GM ,=2(2m -2)+2-m 2+2m +3=-2m 2+8m +2,∵-2<0。

面积最值问题解析(经典、基础)

面积最值问题解析(经典、基础)

压轴题研究——面积最值(坐标系)
y x
面积最值问题解析
定方向:
规则图形面积直接利用面积公式 不规则图形面积分解为规则图形再表示
定目标:
确定待求条件
定解法:
题目中有角度或者三角函数值。(解直角三角形)
题目中只有长度。(相似)
定最值:
根据函数解析式和范围求最值。
压轴题研究1——面积最值(动点)
例 1:正方形 ABCD 边长为 4,M、N 分别是 BC、CD 上的两 个动点,当 M 点在 BC 上运动时,保持 AM 和 MN 垂直, (1)证明:Rt△ABM ∽Rt△MCN; (2)设 BM=x,梯形 ABCN 的面积为 y,求 y 与 x 之间的函数 关系式;当 M 点运动到什么位置时,四边形 ABCN 的面积最 大,并求出最大面积;
4
6
压轴题研究1——面积最值(动点)
例 2:如图,Rt△ABC ,BAC 90°,C 60°,BC 24, 点 P 是 BC 边上的动点(点 P 与点 B、C 不重合),过动点 P 作 PD ∥ BA 交 AC 于点 D.试问:当 PC 等于多少时,△APD 的
面积最大?最大面积是多少? 分析:(1)定方向:直角三角形(规则图形)面积问题; (2)定目标:△ADP 的底 PD,高 AD 都不知道(待求条件) (3)定解法:本题有明显的角度或三角函数值。 (4)定最值:根据范围确定最值在顶点取得。
点 P、Q 同时从 A、B 两点出发,分别沿 AB、BC 匀速运动,
其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是 2cm/s,当
点 Q 到达点 C 时,P、Q 两点都停止运动,设运动时间为 t(s),
设△BPQ 的面积为 S(cm2),当 t 等于多少时, S 最大?

【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 三角函数的值域与最值(含解析).pdf

【高考冲刺押题】高考数学三轮 基础技能闯关夺分必备 三角函数的值域与最值(含解析).pdf

三角函数的值域与最值 【考点导读】 1.掌握三角函数的值域与最值的求法,能运用三角函数最值解决实际问题; 2.求三角函数值域与最值的常用方法:(1)化为一个角的同名三角函数形式,利用函数的有界性或单调性求解;(2)化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式,利用配方法或图像法求解;(3)借助直线的斜率的关系用数形结合求解;(4)换元法. 【基础练习】 1.函数在区间上的最小值为 1 . 2.函数的最大值等于 . 3.函数且的值域是___________________. 4.当时,函数的最小值为 4 . 5.已知k<-4,则函数y=cos2x+k(cosx-1)的最小值是 1 . 6.若,则的最大值与最小值之和为____2____. 【范例解析】 例1.(1)已知,求的最大值与最小值. (2)求函数的最大值. 分析:可化为二次函数求最值问题. 解:(1)由已知得:,,则. ,当时,有最小值;当时,有最小值. (2)设,则,则,当时,有最大值为. 点评:第(1)小题利用消元法,第(2)小题利用换元法最终都转化为二次函数求最值问题;但要注意变量的取值范围. 例2.求函数的最小值. 分析:利用函数的有界性求解. 解法一:原式可化为,得,即, 故,解得或(舍),所以的最小值为. 解法二:表示的是点与连线的斜率,其中点B在左半圆上,由图像知,当AB与半圆相切时,最小,此时,所以的最小值为. 点评:解法一利用三角函数的有界性求解;解法二从结构出发利用斜率公式,结合图像求解. 例3.已知函数,. (I)求的最大值和最小值; (II)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 分析:观察角,单角二次型,降次整理为形式. 解:(Ⅰ) . 又,,即, . (Ⅱ),, 且, ,即的取值范围是. 点评:第(Ⅱ)问属于恒成立问题,可以先去绝对值,利用参数分离转化为求最值问题.本小题主要考查三角函数和不等式的基本知识,以及运用三角公式、三角函数的图象和性质解题的能力. 例4.扇形的半径为1,中心角为,是扇形的内接矩形,问在怎样的位置时,矩形的面积最大,并求出最大值. 分析:引入变量,建立目标函数. 解:连接,设,则,, . , ,所以当时,在圆弧中心位置,. 点评:合理引进参数,利用已知条件,结合图形建立面积与参数之间的函数关系式,这是解题的关键. 【反馈演练】 1.函数的最小值等于____-1_______. 2.已知函数,,直线和它们分别交于M,N,则_________. 3.当时,函数的最小值是______4 _______. 4.函数的最大值为_______,最小值为________. 5.函数的值域为 . 6.已知函数,则的值域是 . 7.已知函数在区间上的最小值是,则的最小值等于_________. 8.(1)已知,函数的最大值是_______. (2),函数的最小值是____3___. 9.在△OAB中,O为坐标原点,,则当△OAB的面积达最大值时,_____________. 10.已知函数. (Ⅰ)求函数的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间上的最小值和最大值. 解:(Ⅰ). 因此,函数的最小正周期为. (Ⅱ)因为在区间上为增函数,在区间上为减函数,又,,, 故函数在区间上的最大值为,最小值为. 11.若函数的最大值为,试确定常数a的值. 解: 因为的最大值为的最大值为1,则 所以 12.已知函数. (1)若.求使为正值的的集合; (2)若关于的方程在内有实根,求实数的取值范围. 解:(1)∵ 又 ∴ (2)当时,∴ 则,∴ ∵方程有实根,得 ∴ 例4 Q P S R O B A。

高中数学抛物线求三角形面积最大值

高中数学抛物线求三角形面积最大值

已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A(2,0),与y轴的交点为B(0,-1).(1)求抛物线的解析式;(2)在对称轴右侧的抛物线上找出一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A.并求出点C的坐标以及此时圆的圆心P点的坐标.(3)在(2)的基础上,设直线x=t(0<t<10)与抛物线交于点N,当t为何值时,△BCN的面积最大,并求出最大值.解析:(1)已知抛物线的顶点坐标,可直接设抛物线的解析式为顶点式进行求解.(2)设C点坐标为(x,y),由题意可知.过点C作轴于点D,连接AB,AC.易证,根据对应线段成比例得出的关系式,再根据点C在抛物线上得,联立两个关系式组成方程组,求出的值,再根据点C所在的象限确定点C的坐标。

P为BC的中点,取OD中点H,连PH,则PH为梯形OBCD的中位线.可得,故点H的坐标为(5,0)再根据点P在BC上,可求出直线BC的解析式,求出点P的坐标。

(3)根据,得,所以求的最大值就是求MN的最大值,而M,N两点的横坐标相同,所以MN就等于点N的纵坐标减去点M的纵坐标,从而形成关于MN长的二次函数解析式,利用二次函数的最值求解。

解:(1) ∵抛物线的顶点是A(2,0),设抛物线的解析式为.由抛物线过B(0,-1) 得,∴.∴抛物线的解析式为.即.(2)设C的坐标为(x,y).∵A在以BC为直径的圆上.∴∠BAC=90°.作CD⊥x轴于D ,连接AB、AC.∵,∴∴△AOB∽△CDA.∴∴OB·CD=OA·AD.即1·=2(x-2).∴=2x-4.∵点C在第四象限.∴由解得.∵点C在对称轴右侧的抛物线上.∴点C的坐标为(10,-16).∵P为圆心,∴P为BC中点.取OD中点H,连PH,则PH为梯形OBCD的中位线.∴PH=(OB+CD)=.∵D(10,0)∴H(5,0)∴P (5, ).故点P坐标为(5,).(3)设点N的坐标为,直线x=t(0<t<10)与直线BC交于点M.,所以设直线BC的解析式为,直线BC经过B(0,-1)、C (10,-16)所以成立,解得:所以直线BC的解析式为,则点M的坐标为.MN====所以,当t=5时,有最大值,最大值是.点拨:(1)已知抛物线的顶点坐标(h,k)一般可设其解析式为.(2)求最值问题一般考虑根据已知条件构造二次函数求解.。

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专题3.3 图形面积求最值,函数值域正当时【题型综述】1、面积问题的解决策略:(1)求三角形的面积需要寻底找高,需要两条线段的长度,为了简化运算,通常优先选择能用坐标直接进行表示的底(或高)(2)面积的拆分:不规则的多边形的面积通常考虑拆分为多个三角形的面积和,对于三角形如果底和高不便于计算,则也可以考虑拆分成若干个易于计算的三角形2、多个图形面积的关系的转化:关键词“求同存异”,寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点,从而可将面积的关系转化为线段的关系,使得计算得以简化3、面积的最值问题:通常利用公式将面积转化为某个变量的函数,再求解函数的最值,在寻底找高的过程中,优先选择长度为定值的线段参与运算。

这样可以使函数解析式较为简单,便于分析【典例指引】例1已知椭圆C:22221x y a b+=(0a b >>)的一个顶点为()0,1M -,离心率为63,直线:l y kx m =+(0k ≠)与椭圆C 交于A ,B 两点,若存在关于过点M 的直线,使得点A与点B 关于该直线对称. (I )求椭圆C 的方程; (II )求实数m 的取值范围;(III )用m 表示∆MAB 的面积S ,并判断S 是否存在最大值.若存在,求出最大值;若不存在,说明理由.()()()()()()2121212121212020x x x x y y y y x x k y y +-+++-=⇔++++=,可得:2262203131km m k k k ⎛⎫-++= ⎪++⎝⎭,则有:22311m k =+>(0k ≠),故()1122022m m m ∆=->⇔<<(III )法一(面积转化为弦长):()()()22212122122131m m x x y y kk -AB =-+-=++,A 到:l y kx m =+的距离211m d k +=+,()11221122m m m S d ∆MAB+-=AB =⨯,所以 223234S m m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,设()223f m m m =+-,122m <<,则()2220f m m m '=--<,所以()f m 在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数,所以面积S 无最大值.法二(面积坐标化公式):易得向量()11,1x y MA =+,()22,1x y MB =+,则有()()()12121212122112111222m x x S x y x x y x x kx m x kx m x x ∆MAB +-=+--=+-++-= ()()2211223234m m m S m m +-⎛⎫=⇒=+- ⎪⎝⎭,122m <<因2m ,2m -在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为减函数,则223234S m m ⎛⎫⇒=+- ⎪⎝⎭在1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上均为减函数,所以面积S 无最大值.可得∆MAB 的面积S 的取值范围为810,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 点评:(1)第二小问分为两个操作程序:①据对称性得到直线AB 斜率k 与截距m 之间的关系;②据位置关系构建直线AB 斜率k 与截距m 之间的不等关系.点关于直线对称的转化为对称轴为垂直平分线,法一进一步转化为等腰三角形,从而线段相等,利用两点距离公式进行坐标化,化简后得到交点坐标纵横坐标之和及弦AB 的斜率,故可以使用韦达定理整体代入.实际上所有使用韦达定理整体代入这个处理方式的标准是题意韦达定理化:①条件与目标均能化为交点坐标和与积的形式;②横坐标←−−→交点在直线上纵坐标;法二则点差法处理弦中点问题.均可得到直线AB 的斜率k 与截距m 之间的关系.构建不等式的方式:法一根据直线与椭圆的位置关系,利用判别式构建参数m 的不等式;法二根据点与椭圆的位置关系,利用中点在椭圆内构建参数m 的的不等式;故直线与椭圆相交可与点在椭圆内等价转化;(2)第三小问分成两个操作程序:①构建面积的函数关系;②求函数的值域.法一利用底与高表示三角形面积,三角形的底则为弦长,三角形高则为点线距离.法二利用三角形面积的坐标公式122112S x y x y =-,不管哪种面积公式,均会出现交点坐标之差,故从整道题全局来说,第二问使用韦达定理显得更流畅,时分比更高,所以要注意方法的选择与整合.关于分式型函数求最值,常见思路为:以分母为整体,分子常数化,往往化简为反比例函数、对勾函数及二次函数的复合函数,本题这个函数形式并不常见.特别要注意基本函数的和与差这种结构的函数,特殊情况可以直接判断单调性,这样可以避免导数过程. 变式与引申:若过点M 的直线交椭圆于D ,求四边形D MA B 的面积的取值范围.例2、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右两个焦点分别为12,F F ,离心率22e =,短轴长为2.(1)求椭圆的方程;(2)点A 为椭圆上的一动点(非长轴端点),2AF 的延长线与椭圆交于B 点, AO 的延长线与椭圆交于C 点,求ABC ∆面积的最大值. 【思路引导】(1) 由题意得1b =,再由2222,22c e a b c a a ===+= 1c = ⇒标准方程为2212x y +=;(2)①当AB 的斜率不存在时,不妨取2221,,1,,1,222A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 12222ABC S ∆=⨯⨯=; ②当AB 的斜率存在时,设AB 的方程为()1y k x =-,联立方程组()221{ 12y k x x y =-+=⇒()222222121222422214220,2121k k k x k x k x x x x k k -+-+-=+=⋅=++⇒ 2212221k AB k +=+,又直线0kx y k --=的距离2211k k d k k -==++ ⇒点C 到直线AB的距离为2221k d k =+⇒()22222211111222222222141421ABCk k S AB d ABCk k k ∆⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅=-≤∆ ⎪++⎝⎭+面积的最大值为2.解析:(1) 由题意得22b =,解得1b =,化简得()2222214220k x k x k +-+-=,设()()221122*********,,,,,2121k k A x y B x y x x x x k k -+=⋅=++()()22121214AB k x x x x ⎡⎤=+⋅+-⋅⎣⎦()222222422142121k k k k k ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥=+⋅-⋅ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦2212221k k +=+点O 到直线0kx y k --=的距离2211k k d k k -==++因为O 是线段AC 的中点,所以点C 到直线AB 的距离为2221k d k =+,∴222211122222211ABCk k S AB d k k ∆⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅ ⎪++⎝⎭()()222212221k k k +=+()22112224421k =-≤+综上, ABC ∆面积的最大值为2.【点评】本题主要考查椭圆的标准方程及其性质、点到直线的距离、弦长公式和三角形面积公式等知识,涉及函数与方程思想、数形结合思想分类与整合、转化与化归等思想,并考查运算求解能力和逻辑推理能力,属于较难题型. 第一小题由题意由方程思想建立方程组求得标准方程为22x y 12+=;(2)利用分类与整合思想分当AB 的斜率不存在与存在两种情况求解,在斜率存在时,由舍而不求法求得2121224k x x ,x x 2k 1+=⋅=⇒+22k 1AB 222k 1+=+,再求得点C到直线AB 的距离为22k 2d k 1=+ ⇒()2ΔABC22222k 11k 111S AB 2d 22222ΔABC222k 14k 142k 1⎛⎫+=⋅=⋅⋅⋅=-≤ ⎪++⎝⎭+面积的最大值为2.例3、已知点A (﹣4,4)、B (4,4),直线AM 与BM 相交于点M ,且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率之差为﹣2,点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的轨迹方程;(2)Q 为直线y=﹣1上的动点,过Q 做曲线C 的切线,切点分别为D 、E ,求△QDE 的面积S 的最小值. 【思路引导】(Ⅰ)设(),M x y ,由题意得44244y y x x ---=-+-,化简可得曲线C 的方程为24x y = ()4x ≠±; (Ⅱ)设().1Q m -,切线方程为()1y k x m +=-,与抛物线方程联立互为()24410x kx km -++=,由于直线与抛物线相切可得0∆=,解得2x k =,可切点()22,k k ,由,利用韦达定理,得到QD QE ⊥,得到QDE ∆为直角三角形,得出三角形面积的表达式,即可求解三角形的最小值.考点:直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程的求解. 【点评】本题主要考查了直线与抛物线相切的性质、切线方程、相互垂直的斜率之间的关系、两点间的距离公式、三角形的面积公式、二次函数的性质等知识点的综合应用,着重考查了分析问题和解答问题的能力、推理与运算能力,试题有一定的难度,属于难题,本题的解答中把切线的方程代入抛物线的方程,利用根与系数的关系,表示出三角形的面积是解答问题的关键.例4、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为2,离心率e 为12.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程; (Ⅱ)过点1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭作圆2212x y +=的切线,切点分别为M N 、,直线MN 与x 轴交于点E ,过点E 作直线l 交椭圆C 于A B 、两点,点E 关于y 轴的对称点为G ,求ΔGAB 面积的最大值.【思路引导】(Ⅰ)由椭圆的焦点为2,离心率e 为12,求出,a b ,由此能求出椭圆的标准方程;(Ⅱ) 由题意,得O 、M 、P 、n 四点共圆,该圆的方程为221154216x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得O的方程为2212x y +=,直线MN 210x y +-=,设()()1122,,,A x y B x y ,则121212GAB S GE y y y y ∆=-=-,从而GAB S ∆最大, 12y y -就最大,可设直线l 的方程为1x my =+,由221{ 143x my x y =++=,得()2234690m y my ++-=,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,能求出GAB ∆的面积的最大值试题解析:(Ⅰ)由题意, 22c =,解得1c =,由12c e a ==,解得2a =; 所以椭圆的标准方程为22143x y +=.又直线l 与椭圆C 交于不同的两点,则0∆>,即()()22636340,m m m ++>∈R ,()2212121212211214234GABm S GF y y y y y y y y m ∆+=⋅-=-=+-=+, 令21t m =+,则2221211241,134313GABm t t S m t t t∆+≥===+++,令()13f t t t =+,则函数()f t 在3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增, 即当1t ≥时, ()f t 在[)1,+∞上单调递增,因此有()()413f t f ≥=; 所以3GAB S ∆≤,当0m =时取等号.故GAB ∆面积的最大值为3. 【点评】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值,属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用函数单调法GAB ∆面积的最大值的.【扩展链接】椭圆与双曲线中焦点三角形面积公式:(1)椭圆:设P 为椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点,且12F PF θ∠=,则122tan2PF F Sb θ=(2)双曲线:设P 为双曲线()22221,0x y a b a b-=>上一点,且12F PF θ∠=,则1221tan2PF F Sb θ=⋅【同步训练】1.已知椭圆C : 22221x y a b+=(0a b >>)的短轴长为2,离心率为22,直线l : y kx m=+与椭圆C 交于A , B 两点,且线段AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)当AOB (O 为坐标原点)面积取最大值时,求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)212y x =+或212y x =-+或22y =±【思路引导】(1)由已知可得2222,2{22,c e a b a b c ====+2)设()11,A x y , ()22,B x y ,联立方程22,{1,2y kx m x y =++=写出韦达定理,由12AOBSAB d =⋅, 2121AB k x x =+- 22224222112k m k k -+=++, 21m d k=+.求出表达式然后根据函数21422AOBSm m =-, 02m <<.求得面积最大值从而确定直线方程112122AOBS⎛⎫≤⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 22=,当212m =时,取到等号.则l : 22y =±当0k ≠时,因为线段AB 的垂直平分线过点10,2⎛⎫-⎪⎝⎭,所以121212202y y x x +⎛⎫-- ⎪⎝⎭+- 1k =-,化简整理得2212k m +=.由222212,{21,k m k m +=+>得02m <<. 又原点O 到直线AB 的距离为21m d k=+.【点评】先根据定义列出相关等式,求解方程即可,对于直线与椭圆的综合,要熟悉弦长公式, 2121AB kx x =+-,然后联立方程写出表达式,根据函数特征求出最值从而确定参数的值得出结果.在做此类题型时计算一定要认真仔细.2.已知抛物线2:8E y x =,圆()22:24M x y -+=,点N 为抛物线E 上的动点, O 为坐标原点,线段ON 的中点P 的轨迹为曲线C . (1)求抛物线C 的方程;(2)点()()000,5Q x y x ≥是曲线C 上的点,过点Q 作圆M 的两条切线,分别与x 轴交于,A B 两点.求QAB ∆面积的最小值.【答案】(Ⅰ)24y x =;(Ⅱ)252. 【思路引导】(Ⅰ)由题意可得,设中点坐标()P x y ,,表示出点()22N x y ,,将其代入到抛物线方程中,即可得到抛物线C 的方程;(Ⅱ)由题意可设切线方程为: ()00y y k x x -=-,进而得到切线与x 轴的交点为000y x k ⎛⎫-⎪⎝⎭,,由圆心到切线方程的距离为半径,得到()()2220000044240xx k y x y k y -+-+-=,由韦达定理,可得到PABS的函数关系式,利用函数的单调性可求出面积最小值.试题解析:(Ⅰ)设()P x y ,,则点()22N x y ,在抛物线28y x =上,则200001212220000244·44x y y y k k k k x x x x --+==--,, ∴220001200001212011·2221QABy y x k k Sx x y y k k k k x ⎛⎫⎛⎫-=---== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ()()()200000121112212.11x x x x x -+-+⎡⎤==-++⎢⎥--⎣⎦记[)014t x =-∈+∞,,则()12f t t t=++,∵()2221110t f t t t-=-=>',∴()f t 在[)4+∞,上单增,∴()1254244f t ≥++=,∴2525242S ≥⨯=, ∴QAB 面积的最小值为252. 【点评】本题主要考查以抛物线与圆的方程为载体,考查了抛物线的标准方程,考查了直线与圆相切问题,切线的性质,同时考查了利用导数法解决函数的最值问题,综合性较强,正确利用已知条件转化成一元二次方程,再利用韦达定理即可求出面积的函数表达式,再利用函数的单调性即可求出最值.3.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的长轴长为22,左焦点()1,0F -,若过点()2,0B b -的直线与椭圆交于,M N 两点.(1)求椭圆G 的标准方程;(2)求证: MFB NFB π∠+∠=; (3)求FMN ∆面积S 的最大值.【答案】(1)2212x y +=(2)见解析(3)24【思路引导】(1)由椭圆几何意义得222,22a c ==,解得22b =(2)即证: 0MF NF k k +=,设()()1122,,,M x y N x y , MN 直线方程为()2y k x =+,即证()()12122011x x x x +++=++,联立直线方程与椭圆方程,代入化简即证(3)利用三角形面积公式得121··2S FB y y =-,再利用MN 直线方程得1212S k x x =-,利用弦长公式可得一元函数S ()()22228121212k k k-=+利用换元可化为一元二次函数:2131248S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭, 212t k =+,根据二次函数对称轴与定义区间位置关系可得最值121211MF NF y y k k x x +=+++ ()()12122211k x k x x x ++=+++ ()()12122011x x k x x ⎡⎤++=+=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(3)121211··22S FB y y k x x =-=- ()()22228121212k k k -=+ 令212t k =+ 则2223213122248t t S t t -+-⎛⎫==--+ ⎪⎝⎭当216k =(满足212k <),所以S 的最大值为24【点评】解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.4.已知点()0,2A -,椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为3,2F 直线AF 的斜率为23,03为坐标原点. (1)求椭圆E 的方程;(2)设过点A 的直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点,当OPQ ∆的面积最大时,求直线l 的方程.【答案】(1)22:14x E y +=;(2)77:2,222l y x y x =-=--.【思路引导】(1)设出F ,由直线AF 的斜率为233,求得c ,结合离心率求得a ,再由隐含条件求得b ,则椭圆方程可求;(2)当l ⊥x 轴时,不合题意;当直线l 斜率存在时,设直线l :y=kx-2,联立直线方程和椭圆方程,由判别式大于0求得k 的范围,再由弦长公式求得|PQ|,由点到直线的距离公式求得O 到l 的距离,代入三角形面积公式,化简后换元,利用基本不等式求得最值,进一步求出k 值,则直线方程可求.5.在平面直角坐标系中, ()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足2216PA PB +=,设点P 的轨迹为1C ,从1C 上一点Q 向圆()2222:0C x y r r +=>作两条切线,切点分别为,M N ,且60MQN ∠=.(1)求点P 的轨迹方程和r ;(2)当点Q 在第一象限时,连接切点,M N ,分别交,x y 轴于点,C D ,求OCD ∆面积最小时点Q 的坐标.【答案】(1)224x y +=, 1r =;(2)()2,2.【思路引导】(1)根据2216PA PB +=,由两点坐标运算即可解得;(2)写出切线,QM QN 的方程,解得与x 轴的交点C ,与y 轴的交点D 的坐标,写出面积公式进而求解即可.试题解析:(1)由题知 ()()22222216x y x y +++-+=,整理得224x y +=, ∴点P 的轨迹方程是224x y +=, 在Rt OMQ ∆中,30,2,2sin301MQO OQ OM ∠==∴==,即圆C 的半径1r =.(2)设点()()()()00112200,,,,,0,0Q x y M x y N x y x y >>.,QM QN 为圆222:1C x y +=的切线,6.如图,已知椭圆E : 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22, A 、B 为椭圆的左右顶点,焦点到短轴端点的距离为2, P 、Q 为椭圆E 上异于A 、B 的两点,且直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍.(Ⅰ)求证:直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为定值; (Ⅱ)求三角形APQ 的面积S 的最大值. 【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)329. 【思路引导】 (Ⅰ)由椭圆的方程可得点P,A,B 的坐标,利用两点式求直线斜率的方法可求出BP,BQ 的斜率乘积为定值-1;(Ⅱ)当直线PQ 的斜率存在时,216714922APQ S t t ∆⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭201t t <+<, 329APQ S ∆<,当直线PQ l 的斜率k 不存在时, 188322339APQ S ∆=⨯⨯=,故综合ΔAPQ S 的最大值为329.试题解析:点()2,0为右端点,舍去,1212APQ APM AQM S S S OM y y ∆∆∆=+=⨯⨯-()()()()222222222824169816392121k k b k k k k -++==++()2221671149221221k k ⎡⎤⎢⎥=-+⎢⎥++⎣⎦,令2121t k =+(01t <<), 216714922APQ S t t ∆⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭, 201t t <+<, 329APQ S ∆<, 当直线PQ l 的斜率k 不存在时, ()11,P x y , ()11,Q x y -,12AP BQ k k =,即1111222y y x x -=+-,解得123x =,143y =,188322339APQ S ∆=⨯⨯=, 所以APQ S ∆的最大值为329.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点31,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,离心率32e =. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程;(Ⅱ)设过点()0,2E -的直线l 与椭圆C 相交于P Q 、两点,求OPQ ∆的面积的最大值。

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