现代数学物理方法三

• 证明
3 x Xi i 1 Xi x
– x = x (X1, X2, X3) 对 x 求导; Xi = Xi (x1, x2, x3)
x
3 x Xi , x
x
i 1 Xi x
x
3.1.2.局部标架（1）
• 直角坐标系的坐标线
– 相互垂直的直线(x轴)
• 直角坐标系的坐标面
– 相互垂直的平面(yz平面)
, x3 z
3.1.1.曲线坐标(6)
• 几个公式(1)
3 Xi x
X X X x = x ( , , ) •
x 证明
– Xi = Xi (x1, x2, x3) 对 Xj 求1 导; i
Xj
i1
ij
23
3 Xi x 1 x Xj
Xi ,
Xi
Xj
Xj
ij
3.1.1.曲线坐标(7)
• 几个公式(2)
3.1.2.局部标架（4）
• 曲线坐标坐标线,坐标面一般都是曲线和曲面.
• 局部标架
– 点M
过点M的三条坐标线
– 过点M和坐标线x相切并指向x增加方向的单位矢量,用 表示.
– 三个
形成一组坐标基矢,它们在空间不同点有不同的方向,称由
它们组成的X坐标系为X局(x部1标, x架2., x3 )
e
e ( 1,2, 3)
3.1.4.体积元(1)
X X(x1, x2, x3) dX
(dX) H dx
3 X dx 1x
3
e H dx
1
• 体积元(1)
e – 正交曲线坐标， (＝1,2,3) 相互垂直,因而dX( =1,2,3)形成一个长方 体的三个边.这个长方体的体积是曲线坐标中的体积元
3
3
d
(dX)
H dx .
1
1
X1 x1 sin x2 cos x3
X2 x1 sin x2 sin x3
X3 x1 cosx2
0 x1
,0 x2 ,0 x3 2
x1 r, x2
,x3
3.1.1.曲线坐标(4)
• 例:柱坐标 (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)
x1
X12 X22
x2
arccos
H1H2H 3
(a1H2H 3 ) x1
(a2H 3H1) x2
(a3H1H2 ) x3
3.1.5.梯度 散度 旋度(2)
• 矢量场的旋度
a (X )
3
rota
e
aH
1
HH x
• 拉普拉斯算子 divgrad
1 H1H2H 3
H 2H 3
• 矢量
H
或
沿坐标线x的切线,指向x增加的方向; 据 的定义
dX
X dx
x
X
dX
X x
x
e
3
(
Xi
2
)
i1 x
X He x
拉梅系数
3.1.3.拉梅系数(2)
• x = x (X1, X2, X3) x 为标量场 • x的梯度是指向等x面的正法线方向的矢量 • 正交曲线坐标等x 面的法线方向就是坐标线x的切线方向
3.1.2.局部标架（2）
e (i • 直角坐标系的基矢 – 沿坐标线Xi,在Xi增加方向上的单i位矢量 – 垂直于等Xi面的单位矢量 – 大小,方向都不变的常矢量
– 满足正交单位条件
1, 2, 3)
ei ej
ij
e2
e1 e3
等X1面 X1面增加
3.1.2.局部标架（3）
• 曲线坐标(x1, x2, x3), 点的径矢
3.1.1.曲线坐标(1)
• 点的坐标 – 三维欧氏空间直角坐标系;点M坐标分量 (X1, X2, X3)
• 曲线坐标 – (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)(i = 1, 2, 3) – (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3)
3.1.1.曲线坐标(2)
第三章 曲线坐标 3.1. 局部标架
3.2. 曲线坐标中的张量
3.3. 平行移动与联络
3.4. 协变导数
• 平直空间
– 仿射空间 – 真欧氏空间 – 伪欧氏空间
• 平直空间的坐标系
– 仿射坐标系 – 曲线坐标系
• 弯曲空间 • 弯曲空间的坐标系
– 曲线坐标系
3.1.局部标架
• 曲线坐标 • 局部标架 • 拉梅系数 • 体积元 • 梯度 散度 旋度
X (X1, X2, X3)
• 坐标线 x – 点M
X X(x1, x2, x3) ,令一个x改变,其余两个 x( )保持不变,得到的
点集合(过 线)
X • 坐标面(等x面) – 点M
X,(固x定1,xx ,而2,让x两3 )个x( X )变,得到的点集合(过 面 )
X X(x1, x2, x3) X
3.1.2.局部标架（5）
• 正交曲线坐标 – 任何点M,局部标架基矢
• 例：e (M) e (M)
都互相正交
e (M)
X3 ez e
X3
er e
Me
球坐标
Me
X2
X2
柱坐标 X1
X1
3.1.3.拉梅系数(1)
• •
X X(x1, x2, x3)
令一个x增加,其余两个 x(
dX 3 X dx x )保持不变,得1到坐标线 x
gradx
x X
he
X x Hh
xX
3 Xi x
h
i 1 x Xi
X He x
Hh 1 1 H
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3.1.3.拉梅系数(3)
• 例: 求球坐标的拉梅系数
H
X
3
(
Xi
2
)
x
i1 x
X1 x1 sin x2 cos x3
X2 x1 sin x2 sin x3
X3 x1 cos x2
Hr 1, H r, H r sin
X1
X12
X
2 2
{0
x2 x2
当X2 0 2 当X2 0
x3 X3
x1
, x2
, x3 z
3.1.1.曲线坐标(5)
• 例:柱坐标 (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3) X1 x1 cos x2
X2 x1 sin x2
X3 x3
0 x1
,0 x2 2 ,
x3
x1
, x2
• 例:球坐标 (X1, X2, X3) xi = xi (X1, X2, X3)
x1
X12 X22 X32
x2
arccos
X3
X12 X22
,0 X32
x2
x3
arccos X1
0 {
X12 X22
x3 x3
, 当X2 0 2 ,当X2 0
x1 r, x2
,x3
3.1.1.曲线坐标(3)
• 例:球坐标 (x1, x2, x3) Xi = Xi (x1, x2, x3)
3.1.4.体积元(2)
• 体积元(2) –
– 例:球坐标
d
3
H dx .
1
Hr 1, H r, H d r 2 sin drd d
r sin
3.1.5.梯度 散度 旋度(1)
• 标量场的梯度
(X )
• 矢量场g的r散ad度
3
e
1X
(dX) H dx
31
e
1H x
a (X )
diva (X )
1