第五章特征值和特征向量

2. 标准化（单位化）
令 1
1 1
,2
2 2
,L , r
r r
则1, 2, …r就是一组长度都是1的正交向量组.
注： 先正交化，后标准化，次序不可颠倒.
2 3 1
例7
将1


1

,
2


1
,
3


4

1
证: （1）显然成立. 下面证明（2）和（3）.
(2) x x, x 2 x, x x
即数乘向量x的长度||x||等于| |与||x||的乘积.
根据上式可知，任一非零向量除以它的长度后 就成了单位向量. 这一过程称为将向量单位化.
设是非零向量， 则 是一个单位向量.
定义3 当 x 0, y 0 时，
arc cos [x, y]
xy
称为 n维向量 x与y的夹角.
定义4 当[x, y] 0时，称向量 x与 y 正交(或垂直)
定义4' 如果x与y的夹角为 2 ，则称x与y正交.
显然，零向量与任何向量都正交.
定义5 若一个向量组中任意两个向量都正交， 则称此向量组为正交向量组.
1
0
正交规范化.
解: 先将1， 2， 3进行正交化，取
2
1
1


1

,
1
2
2

1,2 1, 1
1
3 2 1


1 1

4 6

1

1

5 3

xy
向量的长度： x x·x
内积的坐标表示式 ：
x x1, x2, x3 , y y1, y2, y3
xgy (x1, x2, x3)g( y1, y2, y3) x1y1 x2 y2 x3 y3
定义1 设有n维向量
x x1, x2,L , xn T , y y1, y2,L , yn T
等于0.
证： 1. 因为(A')'=A, 所以A' =A1也是正交阵. 2. 设A, B都是正交阵, 则
(AB)(AB)'= (AB)(B'A')= A(BB')A'= AEA'= AA'=E 3. 设A是正交阵, 则 AA=E, |AA|=|E|=1
而|AA|= |A||A|= |A|2

1;
r
r

1,r 1, 1

1


2 2
,r , 2


2
L
r1,r r1, r1
r 1
可以证明：
1, 2,L , r 两两正交，且对任何k 1 k r
向量组 1, 2,L k 与 1,2,L k 等价.
ai
2

M
ain
1
11 12 L
AA



2

M
1,

2
,L
,

n


21
L
22
L
L L


n



n1
n2
L
1n

2
n

L

n
n

其中
i j

1 0
令 [x, y] x1y1 x2 y2 L xn yn ,
称为向量x与y的内积.
注: (1)向量x与y的内积是一个实数, 也称点积, 数量积.
(2)常用符号(x,y)=<x,y>=[x,y]=x·y. “·” 不可省略.
(3)零向量与任一向量的内积为0.
当x与y都是列向量时,可以用矩阵乘法表示内积为


1 5

4 5

则2,3就是所求.
3. 正交矩阵 定义6 如果n阶方阵A 满足
AAT AT A E （即A1= AT ）
那么称A为正交矩阵(简称正交阵).
正交矩阵具有如下性质： 1. 若A是正交矩阵，则A1和AT也是正交矩阵. 2. 两个正交阵的乘积仍是正交阵. 3. 正交阵的行列式等于1或1. 4. 正交阵的同一行(列)的元素的平方和等于1. 5. 正交阵的两不同行(列)的对应元素乘积之和
kii ki i 0
i 1
i 1
例6 已知 1
1
1 1 ,2
Hale Waihona Puke 1
,
1
2
求非零向量3 ,使 1,2 ,3 成为正交向量组.
x1
解：设
3


x2

,
则
1T3

0,
x3
（3） [x y, z] [x, z] [ y, z] （4） [x, x] 0 , 当且仅当x 0时等号成立.
(以上性质显然成立)
定义2 设x=(x1, x2, …, xn)T
令 x [x, x] x12 x22 L xn2
称为n维向量 x的长度（或范数）.
显然||x||0, 当||x|| =1时, 称x为单位向量, 零向量的长度为0.
证： 设有实数k1, k2, …, kr 使得
k11+k22+ …+krr=0
因为当ij时, i ·j =0, 所以 0 =i·0 =i·(k11+k22+ …+krr) = ki (i·i)
但i·i 0, 所以ki=0 , i=1, 2, …, n. 所以 1, 2, …, r线性无关.
Cauchy-Schwarz不等式： 对任意n维向量x, y
有 [x, y]2 [x, x][ y, y]
当且仅当 x与y线性相关时，等号才成立
此不等式还可表示为 [x, y] x y
由此得 [x, y] 1当 x y 0时
xy
证： 如果x与y线性相关，不妨设y =kx, 则有 [x,y]2 =[x, kx]2=k2[x,x]2 =[x,x][y,y]
因此|A|2=1, 即|A|=1
4. 和 5. 设A是正交阵, 即 AA'=E, 将A写成行向量的形式
1
A



2

M


n

其中i=(ai1, ai2, …, ain).
则A的转置A'= 1, 2,L n
其中
ai1
i


例5 可以验证
1



1, 2
1 2
,
0,
0

2


1 , 2
1 2
,
0,
0

3


0,
0,

1, 2
1 2
4


0,
0,

1 , 2
1 2
是R4的一个标准正交向量组.
定理1 若n维向量1, 2, …, r是一组两两正交 的非零向量组，则1, 2, …, r线性无关.
3
3 3

1 2
1 1
.
则 1, 2 , 3 即为所求.
例8 已知1 =(1, 2, 2)T, 求非零向量2,3, 使1,2,3成为正交向量组.
解: 2,3应满足方程1Tx=0，即x1+2x2+2x3=0
它的基础解系为
2
2
1 1
,
3

3

1,3 1, 1
1

2 ,3 2 , 2
2

0

22 .
再将它们单位化，取
2
1
1 1

1 6

11
,
1
2
2 2

1 3

1 1
0
在R2中， =(a1, a2)
a12 a22
在R3中， =(a1, a2 , a3)
a12 a22 a32
n维向量的长度是二维、三维的推广.
向量的长度具有下述性质：
（1）非负性： x 0 ;
（2）齐次性： x x ; 为实数
（3）三角不等式： x y x y .
1


1

,
2


0

0
1
2
将1,2正交化,
取2=1=

1

0
3=2
2 ,2 2, 2
2 2 2
2



0 1


4 5

1 0

这是因为


1


1


1
(3) x y 2 x y, x y x, x 2x, y y, y x, x 2 x y y, y
x 22 x y y 2
x y 2
所以 x y x y
设x与y线性无关， 那么对于任意实数t 来说，
tx+y0， 于是 [tx+y, tx+y]0 即 t2[x,x]+2t[x,y]+[y,y] 0
最后不等式左端是t的一个二次三项式，由于
它对于t的任意实数值来说都是正数，所以它
的判别式一定小于零. 即 [x,y]2[x,x][y,y]0 或 [x,y]2[x,x][y,y]
[x,y]=xTy =yTx
例1 已知 =(1,2,1,1)T,
=(2,3,1,1)T
则 · =[,]=12+23+(1)1+1(1)=6
性质:（其中x, y, z 为n 维向量， 为实数):
（1） [x, y] [ y, x]
（2） [x, y] [x, y]
1 0
0 1 ,
得

x1 x3

x2 0
,
1
从而有基础解系

1

,
0
1
取
3


1

0
即合所求.
二. Schmidt正交化方法
定义 设,是Rn中的两个向量，
记

@

2

称向量 为向量在上的投影向量.
若一个正交向量组中每一个向量都是单位向量， 则称此向量组为 正交规范向量组或标准正交向量组.
例2 设=(1, 0, 2)T, =(1, 0, 1)T, 求与的夹角.
解: ·=1 (1)+00+21=1
= 12 02 22 = 5
= -12 02 12 = 2
2T3 0
即

1T

T 2



x1 x2 x3



0,
1 1
1 1
1 2



x1 x2 x3




0 0

,
由
1 1
1 1
1

2


1

0
1 0
1 3
1


0
定理2 Rn中任一非零正交向量组中向量的个数
不会超过n.
定理3 在Rn中,如果与1,2,…,r中每一个向量正交, 则与1,2,…,r任意一个线性组合也正交.
证： k11+k22+…+krr为1,2,…,r的一个线性组合
因为·i=0 (i=1, 2, …,r)
所以
r
r
所以 与的夹角 的余弦
cos 1 10 10 10
arccos 10
10
例3 设=(1, 1, 1)T, =(1, 0, 1)T, 求与的夹角.
解: = 3 = 2
·=0
cos 0

2
例4 Rn中的e1,e2,…,en 是一组两两正交的向量 若ij, 显然有ei·ej =0
记 @
称 为向量在上的投影纯量.
Schmidt正交化方法是将一组线性无关的向量
1,2 ,L ,r 作如下的线性变换，化为一组 与之等价的正交向量组 1, 2 ,L , r 的方法：
1. Schmidt正交化
令 1 1 ;
2 2
……

1 , 2 1, 1
i j i j
当i=j时， ii ai21 ai22 ... ai2n 1
当ij时， ij ai1a j1 ... aina jn 0
列的情况可以通过 A'A=E 加以证明
第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化
矩阵的特征值 矩阵的特征向量 矩阵可对角化的条件
§5.1 预备知识
一.向量的内积 在空间解析几何中,向量的内积(即数量积或点 积)描述了内积与向量的长度及夹角间的关系.
内积定义 ：x·y x y cos 夹 角 ： arccos x·y