[整理]一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法(1022).

一阶常微分方程解的存在唯一性定理与逐步逼近法
3.1.1 存在唯一性定理
1）首先考虑导数已解出的一阶微分方程(3.1.1.1)
这里是在矩形域(3.1.1.2)上的连续函数。

定义1 如果存在常数，使得不等式对于所有
都成立，则函数称为在上关于满足利普希茨（Lipschitz）条件，称为利普希茨常数。

定理3.1 如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程(3.1.1.1)存在唯一的
解，定义于区间上，连续且满足初始条件(3.1.1.3)
这里，。

我们采用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明这个定理。

为简单起见，只就区间来讨论，对于的讨论完全一样。

现在简单叙述一下运用逐步逼近法证明定理的主要思想。

首先证明求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程的连续解。

然后去证明积分方程的解的存在唯一性。

任取一个连续函数代入上面积分方程右端的,就得到函数
，
显然也是连续函数，如果,那末就是积分方程的解。

否则,我们又把代入积分方程右端的，得到
，
如果，那末就是积分方程的解。

否则我们继续这个步骤。

一般地作函数
(3.1.1.4)
这样就得到连续函数序列：，，…，，….
如果，那末就是积分方程的解。

如果始终不发生这种情况，我们可以证明上面的函数序列有一个极限函数，即
存在，
因而对(3.1.1.4)取极限时，就得到
即，这就是说是积分方程的解。

这种一步一步地求出方程的解的方法就称为逐步逼近法。

由(3.1.1.4)确定的函数称为初值问题(3.1.1.1)、(3.1.1.3)的第次近似解。

在定理的假设条件下，以上的步骤是可以实现的。

下面我们分五个命题来证明定理1。

命题1设是方程(3.1.1.1)的定义于区间上，满足初始条件
(3.1.1.3)的解，则是积分方程
(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

反之亦然。

证明因为是方程(3.1.1.1)的解，故有，两边从到取
定积分得到
把(3.1.1.3)代入上式，即有
因此，是(3.1.1.5) 的定义于上的连续解。

反之，如果是(3.1.1.5) 的连续解，则有
(3.1.1.6)
微分之，得到，又把代入（3.1.1.6），得到。

因此，是方程(3.1.1.1)的定义于上，且满足初始条件(3.1.1.3)的解。

命题1 证毕。

现在取，构造皮卡逐步逼近函数序列如下：
(3.1.1.7)
命题2对于所有的，(3.1.1.7)中函数在上有定义、连续且满足不等式(3.1.1.8) 。

证明当时，。

显然在上有定
义、连续且有即命题2 当时成立。

现在我们用数学归纳法证明对于任何正整数，命题2都成立。

为此，设命题2当时成立，也即在上有定义、连续且满足不等式
,这时,
由假设,命题2当成立,知道在上有定义、连续且有
即命题2 当时也成立。

由数学归纳法得知命题2对于所有均成立。

命题2证毕。

命题3函数序列在上是一致收敛的。

证明考虑级数(3.1.1.9)
它的部分和为
因此，要证明函数序列在上是一致收敛，只须证明级数(3.1.1.9)在
上一致收敛。

为此，我们进行如下的估计。

由(3.1.1.7)
有(3.1.1.10)
及
利用利普希茨条件及(3.1.1.10)，得到
设对于正整数，不等式成立，则由利普希茨条件，当时，有
于是，由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有如下估计
(3.1.1.11)
从而可知，当时，(3.1.1.12)
(3.1.1.12) 的右端是正项收敛级数的一般项。

由维尔斯特拉斯(Weietstrass)判别法（简称维氏判别法），级数(3.1.1.9)在上一致收敛，因而序列也在上一致收敛。

命题3证毕。

现设则也在上连续，且由(3.1.1.8)又可知。

命题4是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。

证明由利普希茨条件，以及在上一致收敛于，即知序列在上
一致收敛于。

因而，对(3.1.1.7)两边取极限，得到
即，
这就是说，是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的连续解。

命题4 证毕。

命题5设是积分方程(3.1.1.5)的定义于上的一个连续解，则
，。

证明我们首先证明也是序列的一致收敛极限函数。

为此，从，
，我们可以进行
如下估计
现设，则有
故由数学归纳法得知，对于所有的正整数，有下面的估计式
(3.1.1.13)
因此，在上有 (3.1.1.14)
是收敛级数的公项，故时。

因而在上一致收敛于。

根据极限的唯一性，即得。

命题5 证毕。

综合命题1—5，即得到存在唯一性定理的证明。

存在唯一性定理如果在上连续且关于满足利普希茨条件，则方程
(3.1.1.1)存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件 (3.1.1.3) 这里，。

图(3.1)
附注1 存在唯一性定理中数的几何意义（参看图(3.1)):这里,定理证明方程(3.1.1.1)的过点的积分曲线在区间上确定。

因为积分曲线的切线斜率介于直线和的斜率与之间。

所以，当时，积分曲线上的
点的纵坐标满足不等式=
也就是说，积分曲线弧夹在域及的内部，当然，也就不超出矩形。

命题2中所有函数都可在上确定,它的图形都夹在域的内部，自然，它的极限图形即积分曲线也不超出域的范围。

附注2由于利普希茨条件比较难于检验，常用在上有对的连续偏导数来代替。

事实上，如果在上存在且连续，则在上有界。

设在上，这时
这里，，。

但反过来满足利普希茨条件的函数不一定有偏导数存在。

例如，函数
在任何区域都满足利普希茨条件，但它在处没有导数。

附注3设方程(3.1.1.1)是线性的，即方程为 (2.2.1)
那么容易知道，当在区间上为连续时，定理1的条件就能满足。

不仅如此，这时由任一初值，所确定的解在整个区间上都有定义。

事实上，对于一般方程(3.1.1.1)，由初始值所确定的解只能定义在上，这是因为在构造逐步逼近函数序列时，要求它不越出原来的矩形区域。

而现在,右端函数对没有任何限制，为了证明我们的结论，譬如取，而逐字重
复定理的证明过程，即可证由(3.1.1.7)所作出的函数序列在整个区间上都有定义和一致收敛。

2）现在考虑一阶隐方程 (3.1.1.17)
根据隐函数存在定理，若于的某一领域内连续，且，而，则必可把唯一地表为的连续函数 (3.1.1.18) 并且
于的某一邻域内连续，且满足。

更进一步，如果关于所有变元存在连续偏导数，则对也存在连续偏导数，并且(3.1.1.19)显然它是有界的。

于是依定理1，纺车功能(3.1.1.18)满足初始
条件的解存在且唯一，即方程(3.1.1.17)的过点且切线斜率为的积分曲线存在且唯一。

这样就得到下面定理。

定理2如果在点的某一领域中：
对所有变元连续，且存在连续偏导数；
；
则方程(3.1.1.17)存在唯一解（为足够小的正数）满足初始条件， (3.1.1.20)。