位错的应力场与应变场

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• 一个位错线与其柏氏矢量b成φ角的混合位错，可 分解为一个柏氏矢量模为bsinφ的刃位错和一个柏 氏矢量模为bcosφ的螺位错。 • 分别算出两位错分量应变能，其和即为混合位错应 变能：
zx zy 0
• 4）y＝0时，σxx＝σyy＝σzz＝0，即在滑移面上无 正应力，只有切应力，且切应力最大。 • 5）y＞0时，σxx＜0；y＜0时，σxx＞0，即在滑 移面上侧 x方向为压应力，而在滑移面下侧 x 方向为拉应力。 • 6）x＝y 时，σyy 及τxy 均为零。
Gb y(3x 2 y 2 ) Gb y( x 2 y 2 ) x y 2 2 2 2 (1 ) ( x y ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
z ( x y )
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
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• 为研究位错应力场问题，一般把晶体分作两个区域： • 1）位错中心附近 • 因畸变严重，须直接考虑晶体结构和原子之间的相互 作用。 • 2）远离位错中心区， • 因畸变较小，可简化为连续弹性介质，用线弹性理论 进行处理。 • 位错的畸变：以弹性应力场和应变能的形式表达。
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刃位错的应变能
• 因形成刃位错时，位移x是从O→b，是随 r 而变 的；同时，MN面上的受力也随 r 而变。当位移 为x 时，切应力τθr ：
r
Gx COS 2 (1 ) r
Gb2 sin 2 R Gb2 cos2 R Gb2 R E混 E刃 E螺 ln ln ln 4 (1 ) r0 4 r0 4k r0
• 式中 0.75。
K
1 1 COS 2
称为混合位错角度因素，k≈1～
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柏氏矢量
1.4 位错的应力场和应变场
1. 位错的应力场 晶体中存在位错时，位错线附近的原子偏离了正常 位臵，引起点阵畸变，从而产生应力场。 在位错的中心部，原子排列特别紊乱，超出弹性变 形范围，虎克定律已不适用。中心区外，位错形成的弹 性应力场可用各向同性连续介质的弹性理论来处理。 分析位错应力场时，常设想把半径约为0.5～1nm的 中心区挖去，而在中心区以外的区域采用弹性连续介质 模型导出应力场公式。
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• 从以上各应变能的公式可以看出： • 1）位错应变能与 b2 成正比，故柏氏矢量模│b│反映了位 错的强度。b越小，位错能量越低，在晶体中越稳定。 • 为使位错能量最低，柏氏矢量都趋于取密排方向的最小值。
• 2）当r0 →0时应变能无穷大，故在位错中心区公式不适用。
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刃型位错的应力场
• 建立刃型位错力学模型： • 模型中圆筒轴线对应刃位错位错线，圆筒空 心部对应位错的中心区。 • 刃位错应力场公式：
Gb y(3x 2 y 2 ) Gb y( x 2 y 2 ) x y 2 (1 ) ( x 2 y 2 )2 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
• θ＝0时，为克服切应力τθr所作的 R b R b 功： E刃 r 0 r dxdr r 0 Gx 1 dxdr
0 0
2 (1 ) r
• 则，单位长度刃位错的应变能。
Gb2 R E刃 ln 4 (1 ) r0
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2. 位错的应变能
• 位错周围弹性应力场的存在增加了晶体的能量，这部 分能量称为位错的应变能。 • 位错的应变能：应包括位错中心区应变能 E0 和位错 应力场引起的弹性应变能 Ee，即
E Ee E0
• 位错中心区点阵畸变很大，不能用线弹性理论计算 E0 。 • 据估计，E0 约为总应变能的1/10～1/15左右，故常 忽略，而以Ee 代表位错的应变能。 • 位错的应变能：可根据造成这个位错所作的功求得。
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（1）螺型位错的应力场
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螺型位错的应力场
• 建立如图所示的螺型位错力学模型。 • 形成螺位错，晶体只沿 Z 轴上下滑动，而无径向 和切向位移，故螺位错只引起切应变，而无正应变 分量。 • 1、以直角坐标表示螺位错周围的应变分量：
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O
N
O
N
Q
Q
M
P
P
M
刃型位错柏氏矢量的确定 (a) 有位错的晶体 (b) 完整晶体
zx zy 0

在刃位错正上方（x=0）有一个 纯压缩区。 而在多余原子面底边的下方是 纯拉伸区。 沿滑移面（y=0）应力是纯剪切 的。 在围绕位错的其他位置，应力 场既有剪切分量，又有拉伸或 压缩分量。
正刃型位错周围的应力场
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z ( x y )
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
zx zy 0
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• 刃型位错应力场特点： • 1）正应力分量与切应力分量同时存在。 • 2）各应力分量均与 z 值无关，表明与刃型位 错线平行的直线上各点应力状态相同。 • 3）应力场对称于Y轴（多余半原子面）。
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• 与这六个应力分量相应的应变分量： • εxx、εyy、εzz（εrr、εθθ、εzz）和γxy、γyz、γzx （γrθ、γθz、γzr）。
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• 比较刃位错应变能和螺位错应变能可看出：
Gb R E刃 ln 4 (1 ) r0
2
Gb2 R E螺 ln( ) 4 r
• 当b相同时，
1 E刃 E螺 (1 )
• 一般金属泊松比ν＝0.3～0.4，若取ν =1/3，得
3 E刃 E螺 2
• 即刃位错弹性应变能比螺位错弹性应变能约大50% 。
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螺位错的应变能
• 螺位错的应变能： Gb • 由螺位错应力分量， z z 2r
• 同样也可求单位长度螺位错的 应变能：
Gb2 R E螺 ln( ) 4 r
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Gb x ( 2 ) 2 2 x y
xy 0 xx yy z z 0
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（2）刃型位错应力场
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• 3）r0－位错中心区半径，近似地，r0≈b≈2.5×10-8cm； • R－位错应力场最大作用半径，在实际晶体中，受亚晶界限制 ，一般取 R≈10-4。代入各式，则单位长度位错的应变能公 式可简化为： 2
E Gb
• α是与几何因素有关的系数，均为0.5～１。
讨论和练习
位错应变能约为其总能量的90%。

下角标： 第一个符号表示应力作用面的 外法线方向， 第二个符号表示应力的指向。
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• 在平衡条件下，τxy=τyx、τyz =τzy、τzx =τxz • （τrθ =τθr、τθz =τzθ、τzr =τrz）， • 实际只有六个应力分量就可充分表达一个点 的应力状态。
• 螺位错周围应力分量：由虎克 定律得：
xz
Gb y ( 2 ) 2 2 x y
yz
Gb x ( 2 ) 2 2 x y
xy 0
xx yy z z 0

圆柱坐标下螺位错周围应力分量：
z z
Gb 2r
r r zr rz 0
xz
Gb y ( 2 ) 2 2 x y
yz
Gb x ( 2 ) 2 2 x y
xy 0

xx yy z z 0
2、圆柱坐标表示螺位错周围的应变分量：
z z
b 2r
rr z z 0
r r zr rz 0

下角标：

σxx 表示应力作用面法线方向， 表示应力的指向。
来自百度文库
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• 用圆柱坐标方式表达九个应力分量： • 正应力分量：σrr、σθθ、σzz）， • 切应力分量：τrθ、τθr、τθz、τzθ、τzr、τrz
rr z z 0
• 螺型位错应力场特点： • 1）没有正应力分量。 • 2）切应力分量只与距位错中心距离r 有关，距 中心越远，切应力分量越小。 • 3）切应力对称分布，与位错中心等距的各点应 力状态相同。
xz
Gb y ( 2 ) 2 2 x y
yz
2 2 Gb y(3x 2 y 2 ) Gb y( x y ) y x 2 2 2 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2 2 (1 ) ( x y )
z ( x y )
xy
Gb x( x 2 y 2 ) 2 (1 ) ( x 2 y 2 ) 2
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• 一、应力分量： • 物体中任意一点的应力状态均可用九个应力 分量描述。 • 用直角坐标方式表达九个应力分量： • 正应力分量：σxx、σyy、σzz • 切应力分量：τxy、τyz、τzx、τyx、τzy、τxz。
反映了位错的能量与切变模量成正比，与柏氏矢量的模 的平方成反比。 练习1 已知铜晶体的切变模量G=4×1010Nm-2，位错的柏氏 矢量等于原子间距，b=2.5×10-10m，取α=0.75，计算 （1）单位长度位错线的应变能。（2）单位体积的严重 变形铜晶体内部存储的位错应变能。（设位错密度为 1010m/cm3）
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• 根据几何形态特征，可把晶体缺陷分为三类： • (1)点缺陷 、(2)线缺陷、(3) 面缺陷 • (1)点缺陷：特征是在三维空间的各个方向上的尺寸都很小 ，亦称为零维缺陷。如空位、间隙原子等。 • (2)线缺陷：特征是在两个方向上的尺寸很小，在一个方向 上的尺寸较大，亦称为一维缺陷。如晶体中的各类位错。 • (3) 面缺陷：特征是在一个方向上的尺寸很小，在另外两个 方向上的尺寸较大，亦称二维缺陷。如晶界、相界、层错、 晶体表面等。