2008年数学建模A题_数码相机定位【一等奖】
数学建模与全国大学生数学建模竞赛
2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门
特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队 （其中本16008队、专3482队）、58000多名大学生报 名参加本项竞赛。
以学校为单位报名参赛，不能以个人或其他机构 的名义报名。可多次参加。
/undergraduate/contest s/mcm/ 美国官方网站
A题 城市表层土壤重金属污染分析
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质 量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得 的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的 演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公 园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类 活动影响的程度不同。
最终正式报名参赛。
三、参赛的作用和意义
现实工作的需要 我们的教育从小学到大学，一直是以应试教育为 主，禁锢了学生创新能力的发挥，忽视了学生创 新能力的培养。 数学建模竞赛不同于传统的竞赛，它所提倡的是 创新思维。在其解题的过程中，学生能够充分发 挥自己的创新能力，你的答案不一定是最优的， 但建模方法要有特色、有创新，就能够得到肯定 和奖励。答案、方法都不一定唯一。
数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。
数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的全 过程就是数学建模的过程。
数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的 语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并" 解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
2008年数学建模A题全国一等奖论文
2008年全国大学生数学建模竞赛A题全国一等奖论文数码相机定位摘要本文通过对数码相机的靶标和像平面相互之间关系的分析，利用选取相关对应点和坐标转换的方法，确定靶标圆心在像平面的投影位置，进而完成了系统标定模型，解决了相机的单目定位问题。
对于问题1，为确定靶标上圆的圆心在一个相机像平面的像坐标，需要得到相机像平面中点与靶标上点的对应关系。
通过将相机外部参数和内部参数联立可以建立模型1。
对于问题2，内部参数通过焦距可以得到，而外部参数的获得则需要事先确定一组特殊点。
由于靶标上两条线的交点在像平面上的投影点即为这两条线在像平面上的投影图线的交点，因此我们首先对图像进行边缘提取和椭圆拟合，然后利用程序选择靶标上A 、C 两个圆的外公共切线的切点作为特殊点。
将对应特殊点带入（1）式，就可以求得外部参数。
最后利用几何关系得出靶标上圆心的坐标，带入得到它们在该相机像平面的坐标。
结果为：vA O （-4.4324，-6.7785，0）、vB O （-2.3，-6.4456，0）、vC O （3.39，-5.9757，0）、vD O （-4.5471，3.7096，0）、vE O （2.1965，3.2275，0）。
见图3。
对于问题3，为了检验模型，本文通过计算机模拟数据，可以得到一个内外参数都已知的图像。
进而可以确定这四个顶点在像平面的准确坐标。
根据（1）式可以得到这四个顶点的计算坐标，把计算坐标与准确坐标的距离为对角线的矩形面积称为误差面积，误差率=误差面积/相纸面积。
计算误差率分别为：0.017591%、0.01777%、0.01532%、0.01557%。
从而可知用此模型精确度高，稳定性强。
对于问题4，类似于问题3，进行计算机模拟，得到空间两不同角度拍摄图像，进而得到在此数码相机坐标系下的特殊点坐标。
由于在求像坐标时考虑到了数码相机的透视效应，也就是内部参数，而两个数码相机的空间位置关系仅仅是外部参数的关系，因此可以求得仅考虑外部参数时两个像平面上的坐标，进而做差求出两个数码相机的相对位置坐标。
数学建模 历年试题及论文
拟合、规划 图论、层次分析、整数队论、图论 微分方程、优化 非线性规划 非线性规划 随机模拟、图论 多目标优化、非线性规划 图论、组合优化 随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论
2000 2000 B题 钢管订购和运输 缺 2000 C题 飞越北极 缺 2000 D题 空洞探测 缺 2001 A题 血管的三维重建 数据 曲线拟合、曲面重建 缺 多目标规划 2001 B题 公交车调度 缺 2001 2001 C题 基金使用计划 缺 2001 D题 公交车调度 缺 2002 A题 车灯线光源的优化设计 非线性规划 Y 2002 B题 彩票中的数学 单目标决策 Y 2002 2002 C题 车灯线光源的计算 Y 2002 D题 赛程安排 Y 2003 A题 SARS的传播 微分方程、差分方程 Y 2003 B题 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题 Y 2003 2003 C题 SARS的传播 缺 2003 D题 抢渡长江 Y 2004 A题 奥运会临时超市网点设计 数据 统计分析、数据处理、优化 缺 2004 B题 电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化 缺 2004 2004 C题 饮酒驾车 缺 2004 D题 公务员招聘 缺 2005 A题 长江水质的评价和预测 数据 聚类、模糊评判、主成分分析、多目标决策 缺 2005 B题 DVD在线租赁 数据 多目标规划 缺 2005 2005 C题 雨量预报方法的评价 数据 缺 2005 D题 DVD在线租赁 数据 缺 2006 A题 出版社的资源配置 数据 线性规划、多目标规划 Y 2006 B题 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 回归、线性规划 数据 Y 2006 2006 C题 易拉罐形状和尺寸的最优设计 缺 2006 D题 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 数据 缺 2007 A题 中国人口增长预测 数据 微分、差分方程 Y 2007 B题 乘公交，看奥运 数据 图论、0-1 规划、动态规划 Y 2007 2007 C题 手机“套餐”优惠几何 数据 Y
08年全国大学生数学建模A题 文档
R 旋转矩阵t 平移矢量K 相机标定矩阵AB（粗体）向量AB，粗体表示向量3尺寸、形状等信息，我们就可以确定靶标在三维空间中与相机的位置关系。
确定了靶标与相机的位置关系后，就可以很容易的将靶标上的点投射到靶标像平面上，当然也包括五个圆心。
在求取出五个圆心的空间坐标之后，将其投射到像平面上，就得到了第一问需要求的坐标。
在求解时涉及到一个问题，就是像平面上怎样确定切线。
因为像平面上的图形是不规则的，所以很难确定这些形状的切线。
因此我们考虑另外的方法，使用搜索的办法，利用模拟退火算法求解。
在如何检验模型的问题上，需要分两方面进行检验，一是精度，而是稳定性。
按照以上的方法求圆心在像平面上的坐标，并没有充分利用像平面上所有轮廓点的信息，因此可以利用这些点来检验模型的精度。
对于稳定性问题，可以采用计算机模拟的方法，随机修改图形的轮廓，并用以上的方法再次进行求解，通过比较修改前后的结果来分析模型的稳定性。
最后，考虑另外一台相机的定位相对位置问题。
根据前面模型，我们应能够对任意一台相机确定靶标相对它的位置，因此可以以这个靶标作为参照物，建立一个世界坐标系，将这两台相机的位置在这个坐标系里面表示出来，以此确定两台相机的相对位置。
四、模型假设1、假设靶标像的中心恰好在光轴上2、假设数码相机中图像平面与光轴垂直3、假设相机两个方向上焦距相等4、假设透镜的焦距很小，像距约等于焦距五、模型准备(一)靶图像矩阵表示首先将题目中的图片保存出来，得到的图像可以很方便的放到Matlab 里面进行处理。
但在处理之前还要进行进一步加工：(1) 将文件读入Matlab，使用imread()函数(2) 将矩阵变为0-1 矩阵对于用以上方式得到的矩阵，有两个值：0、15。
其中0 代表像素为白色的点，15代表像素为黑色的点。
为了方便下面处理，对需要把以上像素为15 的点值全部变为1。
以上两步的源代码见附录一。
4(二)图像轮廓的提取在提取图像轮廓时，首先要引入计算机图像处理技术中四邻域的概念。
优化建模与lingo优化软件
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• 2007年: (A)中国人口增长预测问题 (B)“乘公交，看奥运”问题 (C)“手机套餐”优惠几何问题 (D)体能测试时间的安排问题
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• 2008年: (A) 数码相机定位
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• 1998年: (A)投资的收益和风险问题 (B)灾情的巡视路线问题（社会问题 即时性）
• 1999年: (A)自动化机床控制管理问题 (B)地质堪探钻井布局问题 (C)煤矸石堆积问题 (D)钻井布局
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2003年A题再次体现关注社会热点 问题
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• 2004年: (A)奥运会临时超市网点设计问题 (B)电力市场的输电阻塞管理问题 (C)酒后开车问题 (D)公务员的招聘问题 • 2004年5月在上海召开的命题工 作会议
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• 2005年: (A)长江水质的评价与预测问题 (B)DVD在线租赁问题 (C) 雨量预报方法的评价问题 (D) DVD在线租赁
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• 2006年: (A)出版社的资源管理问题 (B)艾滋病疗法的评价及预测问题 (C)易拉罐形状和尺寸的设计问题 (D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 问题
• 重要新闻、重大事件与赛题设计： 2000年6月26日各国新闻机构发布人类 基因组草图绘就的重要消息。顺应这 一世纪科学大事，当年7月组委会构造 与此相关赛题，引导学生关注世界科 技热点，投身科学重大问题的研究， 培养应用能力。
2008年数学建模A题_数码相机定位【一等奖】
具有仿射不变性的几何结构在相机定位中的应用摘要本文采用小孔成像的模型研究相机成像问题。
基于靶平面上的点与像平面上的点一一对应，本文研究了几种几何结构。
发现靶平面上两个圆的内公切线交点与两个圆心共线这种几何结构仿射到像平面上依然成立，即两个圆心和内公切线交点在像平面上的3个像点共线，并证明了这一结论。
本文提出一种运用0-1矩阵求公切线的算法，但在实际操作时采用作图法。
运用作图法可以在像平面上确定两个椭圆的内公切线交点，该交点为靶平面上两个圆的内公切线交点在像平面上所成的像。
靶平面上5个圆可以确定10个内公切线交点，这样用作图法就可以确定靶平面上10个内公切线交点在像平面上的10个像点。
在像平面上建立坐标，每个靶平面上的圆心的像用两个未知量表示，共有10个未知量。
根据已证明的结论可知，对于每个内公切线交点在像平面上的像点，都有相对应的两个圆心的像点与之共线，就可以得到共线所满足的方程。
10个内公切线交点的像点对应10个2次方程，10个未知量就可求出。
靶平面上的圆心的像就可以确定。
本文采用牛顿迭代法对2次方程组进行求解。
并研究了解的稳定性。
为了得到两部固定相机的相对位置，建立了2个像平面坐标系、2个相机坐标系和1个三维世界坐标系。
本文采用最小二乘法确定相机坐标系与三维世界坐标系的关系。
在具体算法中，并没有利用所求出来的靶平面上圆心以及它的像点的坐标求解，而是采用10个内公切线交点及其像点的坐标求解，这是因为圆心的像点是由内公切线交点的像点求出的，误差更大。
分别确定2个相机坐标系与三维世界坐标系的关系之后，就可以确定2个相机坐标系之间的关系。
最后，本文对模型进行了分析，对一些方法的精度进行了讨论。
关键词相机定位仿射不变性内公切线交点1 问题分析双目定位是用两部相机给物体拍照来定位。
对于物体上的一个特征点，用两部不同位置的照相机拍照，就获得该点在两个像平面上的坐标。
如果知道两部相机的相对位置，就可以知道该特征点的具体位置。
(完整版)数模美赛08年A题
AbstractThe global temperature is rising rapidly today which has caused an extensive ice melt, so the study of predicting rising sea level because of ice melt in North Polar is essential. Our study will try to predict the impact to Florida from melting ice in North Polar .Our studies have three steps:●Predict the temperature: We did the prediction by Neural network and give thechange of temperature in 50 years, based on a large amount of data from the Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC);●Model the mass of ice melting and the sea level: The sea level model is mainlybased on the principle of Thermodynamics and iteration. The results demonstrate that the sea level will rise by 10.8 cm totally in 50 years. Prediction of our model can be proved to be credible by consulting the data from IPCC. We introduce a correct term αto modify our model. We can change αto simulate sea level rise in different temperature condition.●Analyze the impacts to Florida: We model the erosion of Florida’s shoreline tomake it clear that when sea level rise to a certain extent that Florida will face many serious problems such as flooding, destruction of biodiversity, (Health Care), Loss of agriculture production (salinization of soil) and so on over the next50 years.. We find the 17 cities or areas and 15 airports which are severelyimpacted by the rise of sea level.(Based on our results,) Without attaching more importance to solving the problem, shoreline of several coastal cities like Miami will be eroded seriously, and the lowest place−Key West will be disappeared. It will cost a huge financial loss, so further protection should be put into place.Content Introduction (3)Background (3)Our work (3)Study object: Ice cap in Greenland (3)Modeling the sea level (3)Analysis of Florida (3)Assumption (4)Model Ⅰ:Temperature Prediction (4)Grey Prediction Model: (4)Neural Network prediction Model: (4)Model Ⅱ:Melting ice and the rise of sea level (5)Model the rise of sea level (5)Heat from rise of temperature: (5)Mass of melting ice: (6)Design of Algorithms: (7)Model Results: Sea level will elevate by 10 centimeters in 50 years (7)Validation of our model: (8)Model ⅢAnalysis: The effects towards Florida (10)Major Cities Analysis (11)Miami (11)Tampa (11)Cape Coral (12)Key West (12)Other Impacts in Florida: (12)Recommendations to coastal Florida: (13)Judgments (13)Strengths (13)Weaknesses (13)Reference (14)IntroductionBackgroundGlobal Warming and sea level rise“Air temperatures at the top of the world continue to rise twice as fast as temperatures in lower latitudes, causing significant ice melt on land and sea” [Fears, December 17, 2014]. One of the serious consequences is that sea level will rise. Global average sea-level rose at an average rate of about 3.1[2.4 to 3.8] mm per year from 1993 to 2003[IPCC]. This information suggests that from 1993 to 2003 the sea-level rise by 3.1cm totally.Our workThe question requires us to predict the next 50 years’ condition of ice melting and analyze the effects on the Florida, especially some big cities. So we can separate this question into two parts:●How much and how fast will the see level rise within 50 years?●What are the effects on the Florida because of the rise of sea level, especiallysome big cities?Study object: Ice cap in GreenlandArctic mainly consists of Greenland, which occupies about 9% glaciers all over the world. Melting in Arctic is mainly due to Greenland, melting of floating ice can be ignored. So we can consider Greenland as study object.Modeling the sea levelWe develop a model for sea-level rise as the function of time. This model can predict sea-level rise in future.Analysis of FloridaAfter having calculated the increased sea level within next 50 years, we analyze the impact to the Florida.●Rising sea level can seriously threaten the development of cities. It has beenthreatening some islands and coastal cities. Over the next 18 years, about twothirds among 544 American towns will be twice as likely to face floods [Huang].More frequency hurricane will happen.●Sea water will corrode seacoast.● A large quantity of drinking water will be polluted.Assumption●Sea level rise is primarily due to the melting of ice cap in Green Land. We ignorethe other floating ice in the Northern Polar.●The increment of sea water from melting will flow over the oceans uniformly●Salt in the ice will not affects the procedure of melting.Model Ⅰ:Temperature PredictionGrey Prediction Model:The weakness of the grey prediction is that the result is increasing all the time. In other words, it cannot show the changes in detail.Neural Network prediction Model:Model Ⅱ:Melting ice and the rise of sea level Model the rise of sea levelThe main reason of the sea level rising is the melting of ice cap and the mass of melting ice is equal to the mass of sea water generated from melting. So, based on several physical principles, we model the rise of sea level by calculating the mass of melting ice. We assume that the increment of sea water from melting will flow over the world uniformly, which means the melting ice will contribute to the rise of sea level, divided by the area of the ocean.ρw V w=ρi V i=m i∆x=V w S oV w The increment of sea water from melting iceV i The total volume of melting ice capV m The total volume of water generated from melting∆x The sea level riseS o The overall ocean area: 361745300km2, this is 71 percent of earth’s total surface area (Wikipedia).Heat from rise of temperature:According to the principle of thermal transmission, heat will always be transmitted from high temperature to low temperature. So, the final state of stuff in the thermalcycling system will reach to a same temperature. So, we assume that the temperature of the whole ice cap will increase by ∆T when the world temperature rise by ∆T. However, it takes time for the ice cap to transmit the heat from the rise temperature. We use the ∆T every month to calculate the increase of melting ice in each month and get the total increment by accumulation, which means parts of the heat from temperature will be absorbed and used to melt ice. So, defining a coefficient(α)and we will have the heat which ice cap absorbs from the rising temperature in the n-th month:Q n=αc i(m c−∆m i(n−1))∆T nQ n The heat comes from rises of temperature in the n-th monthαThe coefficient of capacity of absorbing heat in one monthc i The specific heat capacity of icem c The mass of the whole ice cap 2.45×1016kg∆m in The mass of melting ice in the n-th month∆T n The change of temperature in the n-th monthWe try to find the α by calculating the mass of melting ice in known years. “Recently reported GrIS mass balance varies from near-balance to modest mass losses [47 to 97 gigatons (Gt) year−1] in the 1990s, increasing to a mass loss of 267 ± 38 Gt year−1 in 2007”(Michiel).α= 5.6735×10−3Mass of melting ice:The mass of melting ice in this month will depends on not only the rising temperature, but also the mass of melting ice in the last month.We divide the heat absorbed by the ice by the melting enthalpy of fusion for water to obtain the mass of extra melting ice resulted from the rise of temperature in this month.∆m in=∆m i(n−1)+Q n△fusHθmm i(k)=∑∆m in12kn=1∆m in The mass of melting ice in the n-th month△fusHθm: The melting enthalpy3.36×105J/kgm i(k)The total mass of melting ice in the next k yearsMoreover, “Since 2006, high summer melt rates have increased Greenland ice sheet mass loss to 273 gigatons per year” (Partitioning Recent Mass Loss). And the initial mass of melting ice in the first month will be calculated as follows:2.73×1014kg/12∆m i(−1)=m ii=2.73×101412kg∆x(k)=V wS o=m i(k)ρw S om ii: The mass of melting ice in the initial year.∆x(k)The total rise of sea level in the next k yearsDesign of Algorithms:Since we have the function ∆m in=f(∆m i(n−1),∆T n), we are able to calculate the mass of melting ice in the next n months using computer program with the data of temperatures and the initial amount of melting ice in the first month.This is easy to achieve using two linear arrays ∆m i[]and ∆T[]in MATLAB. Run a simple for loop from 2 to n and calculate ∆m in during each pass so that the whole ∆m i[]array can be found.So that the total amount of melting ice at n-th month is the summation from ∆m i[1] to ∆m i[n]. Also the total rise of sea level can be easily found.Model Results: Sea level will elevate by 10 centimeters in 50 years The solutions were coded using matlab:Figure 1: The mass of melting ice in the next 50 yearsFigure 2: The rise of sea level in the next 50 years The prediction about rise of sea level every decade in next 50 years:∆x(10)=0.9874 cm∆x(20)=2.5125 cm∆x(30)=4.6222 cm∆x(40)=7.3674 cm∆x(50)= 10.8037 cm Validation of our model:The results show that the sea level will elevate by approximately 10 centimeters totally and 2 millimeters/yr, which accord with the prediction in Relative Mean Sea Level trends from NOAA.Moreover, if we calculated the rise of sea level without considering the increase of temperature, which means sea level rise at the rate today in the next 50 years, the order of magnitudes is match up with our result. So, based on the analysis above, the results of our modelModel ⅢAnalysis: The effects towards FloridaBased on our results, the sea level will rise 10 centimeters in the following 50 years, which threaten Florida in the future and result in tremendous impacts. “Some 2.4 million people and 1.3 million homes, nearly half the risk nationwide, sit within 4 feet of the local high tide line. Sea level rise is more than doubling the risk of a storm surge at this level in South Florida.” (Florida and rising sea)Figure 3 the altitudes of Florida ()As we can see from this picture, most cities or counties in the southern Florida lie besides the coast. Statistic suggests that 17 counties with altitudes smaller than 3 feet will be threatened by the rise of sea level in 50 years. The counties and airports which will be involved are listed as follows:Cities: Miami, Homestead, Fort Lauderdale, West Palm Beach, Titusville, St Augustine, Clearwater, St Petersburg, Tampa, Brandon, Bradenton, Port Charlotte，Cape Coral, Bonita Springs, Naples, Marco Island, and Grand Isle.Airports: Miami International Airport, Fort Lauderdale International Airport, Central Florida Regional Airport, Cedar Knoll Flying Ranch, Daytona Beach Regional Airport, Craig Municipal Airport, Jacksonville International Airport, St George Island Airport.Major Cities AnalysisWe choose 4 metropolises which will be severely impacted to do some further analysis.MiamiMiami is the biggest city in Florida with the average elevation of 3 feet (0.9144m) [11ikipedia]. Also, it is a coastal city. So according to what we predict that sea level will rise 10.8037cm within 50 years, we can draw a conclusion that this city would be greatly influenced.The possibility of flooding would grow while the frequency of hurricane will increase. It is a big challenge to sewer system of Miami. According to our simulation, sea level rising would also threaten Miami International Airport. Another problem is that the sea water would gnaw at the shoreline. Many coastal man-made buildings are too closed to the sea which they would face a serious problem of being eroded. Aside from threatening of losing habitat, local drinking water would be polluted.TampaTampa is a city located on the west coast of Florida. It is the third largest city in Florida. It is famous because of tourism. Although the highest point in the city is only 48 feet (15 m) [wikipedia], rising sea level will do harm to its natural disaster. Tampais special because it has the Old Tampa Bay and Hillsborough Bay which is easy to be attacked by storm surge. Sea level rising would produce much more violent storm surge. The boundary of Tampa would also be lost. What’s more,Traffic facilities such as Tampa International Airport were under threatening of disappearing.Cape CoralThis city is famous because of its far-stretching beach and animated quay. Besides, it has more than 30 gardens and golf courses which attract many tourists. A variety of animals also promotes this city’s tourism. However, sea level rising would erode shoreline of Cape Coral. It would destroy natural environment of this area, and then damages biodiversity. And still worse, Pine Island would mostly disappear. So, the economic damage there will be hardly assessed.Key WestIt is an island of Florida, which have the lowest altitude. So if sea level rises to some extent, it would be the first to be under water.Other Impacts in Florida:Biodiversity: Wild life and rare animals in Florida will be impacted by loss of habitat and food. Moreover, it is hard for plants and animals in Florida to adapt the new climatic conditions and the increase of relative air humidity.Architecture:Sea level rise will cause salinization, which will impact the architectural production.Economy Pressure：More money will be put into the drainage systems and dam project, which means less city construction and business development.Health Care: Higher sea level will increase the risk of some disease like malaria.Recommendations to coastal Florida:●Build higher dams: In this way can cities hold back the rising flood waters.●Prepare for flooding: Complete supervisory control system. Guarantee thatcitizen can be evacuated in time.●Reduce carbon emission: More carbon emission means higher temperature, andthen lead to rising of sea level. So encourage citizen to live a low-carbon life.●Warn local citizen: Propagate relative knowledge of sea level rising to improvecitizen’s sense of self-protection when facing natural disaster. JudgmentsStrengths●We use Neural Network to predict temperature in future with a large amount ofreliable data. So our prediction of temperature in future is accurate relatively.●Our model can predict the sea level rising in different conditions, such asdifferent temperature.●Our model is relatively simple so it will take a little time to simulate. We caneasily get the result.Weaknesses●We ignore the areal variation about depth, salinity and temperature of the sea forsimplifying the model;●We neglect the floating ice which will bring some error;●We neglect the thermal expansion;The mode is only the function of time, so it can’t simulate unusual situations.ReferenceBen Strauss,Florida and rising sea,/news/floria-and-the-rising-seaFears, Darryl, Huang, Ming. “Rising sea level threatens millions of American and causes huge economic loss”. Souhu, March 16, 2012, 09:48 AM. Web. IPCC, http://www.ipcc.chMichiel van den Broeke，Partitioning Recent Mass Loss, Science 13 November 2009 “National Snow and Ice Data Center”, January 7, 2015。
2008年数学建模A题论文
靶标圆心像坐标确定与数码相机定位摘要数码相机实现定位功能，需确定靶标圆心的像坐标。
本文就如何确定靶标圆心像坐标展开了讨论，并给出了计算两部相机相对位置的模型。
在问题一中，我们采用坐标变换的方法建立确定靶标圆心像坐标的模型。
根据坐标系之间的关系，分别通过物坐标系的旋转、平移以及相机坐标系的缩放，引入绕物坐标系三坐标轴旋转的角度θξϕ，，以及物坐标系平移的量度321,,t t t 等参数确定出物坐标系到像坐标系变换的方程，由此即可得到求解靶标圆心像坐标的模型。
求解方程里面的参数时，考虑到计算的方便，我们选择两圆内公切线的交点作为标定点。
计算它们的物坐标与像坐标，代入上述方程即可求得参数的值。
对于问题二，根据圆的有关性质，两条内公切线的斜率(或斜率倒数)分别为连接对应两圆上任意两点连线斜率(或斜率倒数)的最大值和最小值。
基于此，容易求得像坐标系里面对应的内公切线的方程，它们的交点即为标定点的像坐标，对应的物坐标容易得到。
然后将这些标定点的坐标分别代入问题一建立的物坐标系到像坐标系变换的方程，求解得到相应的参数θξϕ，，，321,,t t t 的值。
最后再将各园圆心的物坐标代入上述方程，求得各圆圆心像坐标结果为：A(-49.8577，50.6559)，B(-24.5423，49.1824)，C(32.5168，48.5784)，D(18.3139，-30.6194)，E(-60.3038，-30.3856)。
在问题三中，我们选取物坐标系里面一条直线上的9个点，对它们对应的像坐标进行一元线性回归分析，对模型的精度进行检验；最终得到这9个点拟合优度为0.9096非常接近1，说明模型精度较高。
对于模型稳定性的分析，我们将各圆圆心的物坐标向左偏移1mm,考查对应的像坐标的变化；得到各圆心像坐标的偏移量的平均值与圆心物坐标的偏移量的相对误差是2.62%，说明模型稳定性较好。
最后我们对问题一、二中模型进行了检验，在A,C,D,E 四个圆上分别选取一些特定的点，利用它们的像坐标分别求出其对应的物坐标，找到这些物坐标与对应圆心物坐标之间的距离，比较这些距离同圆半径的实际值(即12mm)的差值，最终得到它们相对误差的平均值是1.66%，说明模型的可行性是较高的。
全国大学生数学建模竞赛历年试题
全国大学生数学建模竞赛历年试题1.1992年A题：施肥效果分析；B题：试验数据分析；2.1993年A题：非线性交调的频率设计；B题：足球队拍名次；3.1994年A题：逢山开路；B题：锁具开箱；4.1995年A题：一个飞行管理问题；B题：天车与冶炼炉的作业调度；5.1996年A题：最优捕鱼策略；B题：节水洗衣机；6.1997年A题：零件的参数设计；B题：截断切割；7.1998年A题：投资的收益和风险B题：灾情巡视路线8.1999年A题：自动化车床管理B题：钻井布局C题：煤矸石堆积D题：钻井布局9.2000年A题：DNA序列分类B题：钢管订购和运输C题：飞越北极D题：空洞探测10.2001年A题：血管的三维重建B题：公交车调度C题：基金使用计划D题：公交车调度11.2002年A题：车灯线光源的优化设计B题：彩票中的数学C题：车灯线光源的计算D题：赛程安排12.2003年A题：SARS的传播B题：露天矿生产的车辆安排C题：SARS的传播D题：抢渡长江13.2004年A题：奥运会临时超市网点设计B题：电力市场的输电阻塞管理C题：饮酒驾车D题：公务员招聘14.2005年A题：长江水质的评价和预测B题：DVD在线租赁C题：雨量预报方法的评价D题：DVD在线租赁15.2006年A题：出版社的资源配置B题：艾滋病疗法的评价及疗效的预测C题：易拉罐形状和尺寸的最优设计D题：煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制16.2007A题：中国人口增长预测；B题：乘公交，看奥运；C题：手机“套餐”优惠几何；D题：体能测试时间安排17.2008A题数码相机定位;B题高等教育学费标准探讨;C题地面搜索;D题NBA赛程的分析与评价.18.2009A题制动器试验台的控制方法分析B题眼科病床的合理安排C题卫星和飞船的跟踪测控D题会议筹备19.2010A题储油罐的变位识别与罐容表标定B题2010年上海世博会影响力的定量评估C题输油管的布置D题对学生宿舍设计方案的评价19.2011A题城市表层土壤重金属污染分析B题交巡警服务平台的设置与调度C题企业退休职工养老金制度的改革D题天然肠衣搭配问题20.2012A题葡萄酒的评价B题太阳能小屋的设计C题脑卒中发病环境因素分析及干预D题机器人避障问题21.2013 A题车道被占用对城市道路通行能力的影响B题碎纸片的拼接复原C题古塔的变形D题公共自行车服务系统。
2008年大学生数学建模竞赛A题优秀论文程序
本文件夹中共有7个m文件，分别为：m1.m:用边缘检测算法检测的圆的像的边缘点，并用多元线性回归求出椭圆的方程，然后按照我们的模型中提供的方法，求出每个圆心的像的位置moni.m:用计算机模拟的方法检验相机和标靶的距离对我们模型带来的影响，即统计不同距离下的误差值moni2.m：用计算机模拟的方法检验α的变化对我们模型带来的影响，即统计不同α下的误差值moni3.m：用计算机模拟的方法检验β的变化对我们模型带来的影响，即统计不同β下的误差值gongqiexian.m：计算圆的像的的公切线并根据这个算出圆心的像的坐标jiaodian.m：函数，用于计算分别由两个点确定的两条直线的交点jiaodian2.m：函数，用于计算由8个点确定的4条直线的交点连线的交点坐标说明：1.m1.m，moni.m，moni2.m，moni3.m，gongqiexian.m为可执行代码，直接运行即得结果（当然必须保证代码即本文件中的图片pictrue.bmp在matlab的当前工作区）2.执行m1.m时程序会将每个圆的像的边缘点以excel文件保存在D盘，而执行gongqiexian.m 需要这些文件文件顺序为：format long;[p1,txt1,raw1]=xlsread('d:/1.xls');[p2,txt2,raw2]=xlsread('d:/2.xls');[p3,txt3,raw3]=xlsread('d:/3.xls');[p4,txt4,raw4]=xlsread('d:/4.xls');[p5,txt5,raw5]=xlsread('d:/5.xls');qd=ones(6,4);P=imread('picture.bmp');imshow(P);hold on;%第1组圆1,3[min1 i]=min(p1(:,1));qd(1,1)=i;[min3 i]=min(p3(:,1));qd(1,2)=i;size1=size(p1);size3=size(p3);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size1(1)ifp1(i,1)<(p1(qd(1,1),1)-p3(qd(1,2),1))/(p1(qd(1,1),2)-p3(qd(1,2),2))*(p1(i,2)-(p1(qd(1,1),2)))+p1(q d(1,1),1)qd(1,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size3(1)ifp3(i,1)<(p1(qd(1,1),1)-p3(qd(1,2),1))/(p1(qd(1,1),2)-p3(qd(1,2),2))*(p3(i,2)-(p1(qd(1,1),2)))+p1(q d(1,1),1)qd(1,2)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p1(qd(1,1),1)-p3(qd(1,2),1))/(p1(qd(1,1),2)-p3(qd(1,2),2))*(i-(p1(qd(1,1),2)))+p1(qd(1,1),1) ;endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max1 i]=min(p1(:,1));qd(1,3)=i;[max3 i]=min(p3(:,1));qd(1,4)=i;size1=size(p1);size3=size(p3);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size1(1)ifp1(i,1)>(p1(qd(1,3),1)-p3(qd(1,4),1))/(p1(qd(1,3),2)-p3(qd(1,4),2))*(p1(i,2)-(p1(qd(1,3),2)))+p1(q d(1,3),1)qd(1,3)=i;flag=1;endendfor i=1:size3(1)ifp3(i,1)>(p1(qd(1,3),1)-p3(qd(1,4),1))/(p1(qd(1,3),2)-p3(qd(1,4),2))*(p3(i,2)-(p1(qd(1,3),2)))+p1(q d(1,3),1)qd(1,4)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p1(qd(1,3),1)-p3(qd(1,4),1))/(p1(qd(1,3),2)-p3(qd(1,4),2))*(i-(p1(qd(1,3),2)))+p1(qd(1,3),1) ;endplot([1:1024],y);hold on;%第2组圆4,5[min4 i]=min(p4(:,1));qd(2,1)=i;[min5 i]=min(p5(:,1));qd(2,2)=i;size4=size(p4);size5=size(p5);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size4(1)ifp4(i,1)<(p4(qd(2,1),1)-p5(qd(2,2),1))/(p4(qd(2,1),2)-p5(qd(2,2),2))*(p4(i,2)-(p4(qd(2,1),2)))+p4(q d(2,1),1)qd(2,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,1)<(p4(qd(2,1),1)-p5(qd(2,2),1))/(p4(qd(2,1),2)-p5(qd(2,2),2))*(p5(i,2)-(p4(qd(2,1),2)))+p4(q d(2,1),1)qd(2,2)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p4(qd(2,1),1)-p5(qd(2,2),1))/(p4(qd(2,1),2)-p5(qd(2,2),2))*(i-(p4(qd(2,1),2)))+p4(qd(2,1),1) ;endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max4 i]=min(p4(:,1));qd(2,3)=i;[max5 i]=min(p5(:,1));qd(2,4)=i;size4=size(p4);size5=size(p5);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size4(1)ifp4(i,1)>(p4(qd(2,3),1)-p5(qd(2,4),1))/(p4(qd(2,3),2)-p5(qd(2,4),2))*(p4(i,2)-(p4(qd(2,3),2)))+p4(q d(2,3),1)qd(2,3)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,1)>(p4(qd(2,3),1)-p5(qd(2,4),1))/(p4(qd(2,3),2)-p5(qd(2,4),2))*(p5(i,2)-(p4(qd(2,3),2)))+p4(q d(2,3),1)qd(2,4)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p4(qd(2,3),1)-p5(qd(2,4),1))/(p4(qd(2,3),2)-p5(qd(2,4),2))*(i-(p4(qd(2,3),2)))+p4(qd(2,3),1) ;endplot([1:1024],y);hold on;%第3组圆1,4[min1 i]=min(p1(:,2));qd(3,1)=i;[min4 i]=min(p4(:,2));qd(3,2)=i;size1=size(p1);size4=size(p4);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size1(1)ifp1(i,2)<(p1(qd(3,1),2)-p4(qd(3,2),2))/(p1(qd(3,1),1)-p4(qd(3,2),1))*(p1(i,1)-p1(qd(3,1),1))+p1(qd (3,1),2)qd(3,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size4(1)ifp4(i,2)<(p1(qd(3,1),2)-p4(qd(3,2),2))/(p1(qd(3,1),1)-p4(qd(3,2),1))*(p4(i,1)-p1(qd(3,1),1))+p1(qd (3,1),2)qd(3,2)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p1(qd(3,1),1)-p4(qd(3,2),1))/(p1(qd(3,1),2)-p4(qd(3,2),2))*(i-p1(qd(3,1),2))+p1(qd(3,1),1); endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max1 i]=max(p1(:,2));qd(3,3)=i;[max4 i]=max(p4(:,2));qd(3,4)=i;size1=size(p1);size4=size(p4);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size1(1)ifp1(i,2)>(p1(qd(3,3),2)-p4(qd(3,4),2))/(p1(qd(3,1),1)-p4(qd(3,4),1))*(p1(i,1)-p1(qd(3,3),1))+p1(qd (3,3),2)qd(3,3)=i;flag=1;endendfor i=1:size4(1)ifp4(i,2)>(p1(qd(3,3),2)-p4(qd(3,4),2))/(p1(qd(3,1),1)-p4(qd(3,4),1))*(p4(i,1)-p1(qd(3,3),1))+p1(qd (3,3),2)qd(3,4)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p1(qd(3,3),1)-p4(qd(3,4),1))/(p1(qd(3,3),2)-p4(qd(3,4),2))*(i-p1(qd(3,3),2))+p1(qd(3,3),1);endplot([1:1024],y);hold on;%第4组圆2,4[min2 i]=min(p2(:,2));qd(4,1)=i;[min4 i]=min(p4(:,2));qd(4,2)=i;size2=size(p2);size4=size(p4);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size2(1)ifp2(i,2)<(p2(qd(4,1),2)-p4(qd(4,2),2))/(p2(qd(4,1),1)-p4(qd(4,2),1))*(p2(i,1)-p2(qd(4,1),1))+p2(qd (4,1),2)qd(4,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size4(1)ifp4(i,2)<(p2(qd(4,1),2)-p4(qd(4,2),2))/(p2(qd(4,1),1)-p4(qd(4,2),1))*(p4(i,1)-p2(qd(4,1),1))+p2(qd (4,1),2)qd(4,2)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p2(qd(4,1),1)-p4(qd(4,2),1))/(p2(qd(4,1),2)-p4(qd(4,2),2))*(i-p2(qd(4,1),2))+p2(qd(4,1),1); endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max2 i]=max(p2(:,2));qd(4,3)=i;[max4 i]=max(p4(:,2));flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size4(1)ifp4(i,2)>(p2(qd(4,3),2)-p4(qd(4,4),2))/(p2(qd(4,1),1)-p4(qd(4,4),1))*(p4(i,1)-p2(qd(4,3),1))+p2(qd (4,3),2)qd(4,4)=i;flag=1;endendfor i=1:size2(1)ifp2(i,2)>(p2(qd(4,3),2)-p4(qd(4,4),2))/(p2(qd(4,1),1)-p4(qd(4,4),1))*(p2(i,1)-p2(qd(4,3),1))+p2(qd (4,3),2)qd(4,3)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p2(qd(4,3),1)-p4(qd(4,4),1))/(p2(qd(4,3),2)-p4(qd(4,4),2))*(i-p2(qd(4,3),2))+p2(qd(4,3),1); endplot([1:1024],y);hold on;%第5组圆2,5[min2 i]=min(p2(:,2));qd(5,1)=i;[min5 i]=min(p5(:,2));qd(5,2)=i;size2=size(p2);size5=size(p5);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size2(1)p2(i,2)<(p2(qd(5,1),2)-p5(qd(5,2),2))/(p2(qd(5,1),1)-p5(qd(5,2),1))*(p2(i,1)-p2(qd(5,1),1))+p2(qd (5,1),2)qd(5,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,2)<(p2(qd(5,1),2)-p5(qd(5,2),2))/(p2(qd(5,1),1)-p5(qd(5,2),1))*(p5(i,1)-p2(qd(5,1),1))+p2(qd (5,1),2)qd(5,2)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p2(qd(5,1),1)-p5(qd(5,2),1))/(p2(qd(5,1),2)-p5(qd(5,2),2))*(i-p2(qd(5,1),2))+p2(qd(5,1),1); endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max2 i]=max(p2(:,2));qd(5,3)=i;[max5 i]=max(p5(:,2));qd(5,4)=i;flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size2(1)ifp2(i,2)>(p2(qd(5,3),2)-p5(qd(5,4),2))/(p2(qd(5,1),1)-p5(qd(5,4),1))*(p2(i,1)-p2(qd(5,3),1))+p2(qd (5,3),2)qd(5,3)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,2)>(p2(qd(5,3),2)-p5(qd(5,4),2))/(p2(qd(5,1),1)-p5(qd(5,4),1))*(p5(i,1)-p2(qd(5,3),1))+p2(qd (5,3),2)qd(5,4)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p2(qd(5,3),1)-p5(qd(5,4),1))/(p2(qd(5,3),2)-p5(qd(5,4),2))*(i-p2(qd(5,3),2))+p2(qd(5,3),1); endplot([1:1024],y);hold on;%第6组圆3,5[min3 i]=min(p3(:,2));qd(6,1)=i;[min5 i]=min(p5(:,2));qd(6,2)=i;size3=size(p3);size5=size(p5);flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size3(1)ifp3(i,2)<(p3(qd(6,1),2)-p5(qd(6,2),2))/(p3(qd(6,1),1)-p5(qd(6,2),1))*(p3(i,1)-p3(qd(6,1),1))+p3(qd (6,1),2)qd(6,1)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,2)<(p3(qd(6,1),2)-p5(qd(6,2),2))/(p3(qd(6,1),1)-p5(qd(6,2),1))*(p5(i,1)-p3(qd(6,1),1))+p3(qd (6,1),2)qd(6,2)=i;flag=1;endendfor i=1:1024y(i)=(p3(qd(6,1),1)-p5(qd(6,2),1))/(p3(qd(6,1),2)-p5(qd(6,2),2))*(i-p3(qd(6,1),2))+p3(qd(6,1),1); endplot([1:1024],y);hold on;%另一条切线[max2 i]=max(p3(:,2));qd(6,3)=i;[max5 i]=max(p5(:,2));qd(6,4)=i;flag=1;while flag>0flag=0;for i=1:size3(1)ifp3(i,2)>(p3(qd(6,3),2)-p5(qd(6,4),2))/(p3(qd(6,1),1)-p5(qd(6,4),1))*(p3(i,1)-p3(qd(6,3),1))+p3(qd (6,3),2)qd(6,3)=i;flag=1;endendfor i=1:size5(1)ifp5(i,2)>(p3(qd(6,3),2)-p5(qd(6,4),2))/(p3(qd(6,1),1)-p5(qd(6,4),1))*(p5(i,1)-p3(qd(6,3),1))+p3(qd (6,3),2)qd(6,4)=i;flag=1;endendendfor i=1:1024y(i)=(p3(qd(6,3),1)-p5(qd(6,4),1))/(p3(qd(6,3),2)-p5(qd(6,4),2))*(i-p3(qd(6,3),2))+p3(qd(6,3),1); endplot([1:1024],y);hold on;%求圆1的圆心X=jiaodian2(p1(qd(1,1),1),p1(qd(1,1),2),p3(qd(1,2),1),p3(qd(1,2),2),p1(qd(3,1),1),p1(qd(3,1),2),p 4(qd(3,2),1),p4(qd(3,2),2),p1(qd(1,3),1),p1(qd(1,3),2),p3(qd(1,4),1),p3(qd(1,4),2),p1(qd(3,3),1),p 1(qd(3,3),2),p4(qd(3,4),1),p4(qd(3,4),2))x=(X(2)-512)/3.78y=(384-X(1))/3.78%求圆2的圆心circle=2X=jiaodian2(p2(qd(4,1),1),p2(qd(4,1),2),p4(qd(4,2),1),p4(qd(4,2),2),p2(qd(5,1),1),p2(qd(5,1),2),p 5(qd(5,2),1),p5(qd(5,2),2),p2(qd(4,3),1),p2(qd(4,3),2),p4(qd(4,4),1),p4(qd(4,4),2),p2(qd(5,3),1),p 2(qd(5,3),2),p5(qd(5,4),1),p5(qd(5,4),2))x=(X(2)-512)/3.78y=(384-X(1))/3.78%求圆3的圆心circle=3X=jiaodian2(p1(qd(1,1),1),p1(qd(1,1),2),p3(qd(1,2),1),p3(qd(1,2),2),p3(qd(6,1),1),p3(qd(6,1),2),p 5(qd(6,2),1),p5(qd(6,2),2),p1(qd(1,3),1),p1(qd(1,3),2),p3(qd(1,4),1),p3(qd(1,4),2),p3(qd(6,3),1),p 3(qd(6,3),2),p5(qd(6,4),1),p5(qd(6,4),2))x=(X(2)-512)/3.78y=(384-X(1))/3.78%求圆4的圆心circle=4X=jiaodian2(p4(qd(2,1),1),p4(qd(2,1),2),p5(qd(2,1),1),p5(qd(2,1),2),p1(qd(3,1),1),p1(qd(3,1),2),p 4(qd(3,2),1),p4(qd(3,2),2),p4(qd(2,3),1),p4(qd(2,3),2),p5(qd(2,4),1),p5(qd(2,4),2),p1(qd(3,3),1),p 1(qd(3,3),2),p4(qd(3,4),1),p4(qd(3,4),2))x=(X(2)-512)/3.78y=(384-X(1))/3.78%求圆5的圆心circle=4X=jiaodian2(p4(qd(2,1),1),p4(qd(2,1),2),p5(qd(2,1),1),p5(qd(2,1),2),p3(qd(6,1),1),p3(qd(6,1),2),p 5(qd(6,2),1),p5(qd(6,2),2),p4(qd(2,3),1),p4(qd(2,3),2),p5(qd(2,4),1),p5(qd(2,4),2),p3(qd(6,3),1),p 3(qd(6,3),2),p5(qd(6,4),1),p5(qd(6,4),2))x=(X(2)-512)/3.78y=(384-X(1))/3.78function y = jiaodian(m1,n1,m2,n2,m3,n3,m4,n4)A=[n1-n2 m2-m1;n3-n4 m4-m3];B=[(n1-n2)*m1-(m1-m2)*n1;(n3-n4)*m3-(m3-m4)*n3];y=A\B;function y = jiaodian2(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4,x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8) d1=jiaodian(x1,y1,x2,y2,x3,y3,x4,y4);d2=jiaodian(x5,y5,x6,y6,x7,y7,x8,y8);d3=jiaodian(x1,y1,x2,y2,x7,y7,x8,y8);d4=jiaodian(x5,y5,x6,y6,x3,y3,x4,y4);y=jiaodian(d1(1),d1(2),d2(1),d2(2),d3(1),d3(2),d4(1),d4(2));format longP=imread('picture.bmp');lefttop=[100 240142 244170 258450 545471 543];rightbutton=[200 368375 466591 685200 330537 624];for circle=1:5circleif(circle~=1)clear u;clear v;endk=1;for i=lefttop(circle,1):lefttop(circle,2)flag=0;for j=rightbutton(circle,1):rightbutton(circle,2) if flag==0 & P(i,j)<10u(k)=i;v(k)=j;k=k+1;flag=1;elseif flag==1 & P(i,j)<10 & P(i,j+1)>200u(k)=i;v(k)=j;k=k+1;endendendfor j=rightbutton(circle,1):rightbutton(circle,2) flag=0;for i=lefttop(circle,1):lefttop(circle,2)if flag==0 & P(i,j)<10f1=0;for temp=1:k-1if u(temp)==i & v(temp)==jf1=1;endendif f1==0u(k)=i;v(k)=j;k=k+1;flag=1;endelseif flag==1 & P(i,j)<10 & P(i+1,j)>200f1=0;for temp=1:k-1if u(temp)==i & v(temp)==jf1=1;endendif f1==0u(k)=i;v(k)=j;k=k+1;flag=1;endendendendaxis equal;axis([1 768 1 1024]);plot(u,v,'.');grid on ;hold on;x=ones(k-1,5);y=ones(k-1,1);for i=1:k-1x(i,:)=[1 v(i) u(i) u(i)*v(i) v(i)*v(i) ];y(i)=-u(i)*u(i);end[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);bbintstatsA=[2 b(4);b(4) 2*b(5)];B=[-b(3);-b(2)];X=A\Bxo=(X(2)-512)/3.78yo=(384-X(1))/3.78xlswrite(strcat('d:/',num2str(circle),'.xls'),[u;v]'); endformat longclear;aa=140;bb=1000count=1;for t=aa:bbb=-0.7;r=0;a=0;L=3.78;f=1577/3.78;Tx=-t;Ty=0;Tz=-t;R1=[L*f 0 0 0;0 L*f 0 0;0 0 0 1];R2=[cos(b)*cos(r) sin(a)*sin(b)*cos(r)+cos(a)*sin(r) -cos(a)*sin(b)*cos(r)+sin(a)*sin(r) Tx;-cos(b)*sin(r) -sin(a)*sin(b)*sin(r)+cos(a)*cos(r) cos(a)*sin(b)*sin(r)+sin(a)*cos(r) Ty;sin(b) -sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b)Tz;0 0 01;];M=R1*R2;k=1;for w=0:2*pi/100:2*piX=12*cos(w);Y=12*sin(w);Zc=R2(3,1:3)*[X Y 0]'-Tz;u(k)=1/Zc*M(1,:)*[X Y 0 1]';v(k)=1/Zc*M(2,:)*[X Y 0 1]';k=k+1;endx=ones(k-1,5);y=ones(k-1,1);for i=1:k-1x(i,:)=[1 v(i) u(i) u(i)*v(i) v(i)*v(i) ];y(i)=-u(i)*u(i);end[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);A=[2 b(4);b(4) 2*b(5)];B=[-b(3);-b(2)];X=A\B;M=M/(-Tz);F(count)=sqrt((X(1)-M(1,4))*(X(1)-M(1,4))+(X(2)-M(2,4))*(X(2)-M(2,4)));count=count+1;endplot(aa:bb,F);xlabel('k');ylabel('D')grid on;format longclear;count=1;for t=-pi/2:0.05:pi/2b=-0.7;r=0;a=t;L=3.78;f=1577/3.78;Tx=-350;Ty=0;Tz=-350;R1=[L*f 0 0 0;0 L*f 0 0;0 0 0 1];R2=[cos(b)*cos(r) sin(a)*sin(b)*cos(r)+cos(a)*sin(r) -cos(a)*sin(b)*cos(r)+sin(a)*sin(r) Tx;-cos(b)*sin(r) -sin(a)*sin(b)*sin(r)+cos(a)*cos(r) cos(a)*sin(b)*sin(r)+sin(a)*cos(r) Ty;sin(b) -sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b)Tz;0 0 01;];M=R1*R2;k=1;for w=0:2*pi/200:2*piX=12*cos(w);Y=12*sin(w);Zc=R2(3,1:3)*[X Y 0]'-Tz;u(k)=1/Zc*M(1,:)*[X Y 0 1]';v(k)=1/Zc*M(2,:)*[X Y 0 1]';k=k+1;endx=ones(k-1,5);y=ones(k-1,1);for i=1:k-1x(i,:)=[1 v(i) u(i) u(i)*v(i) v(i)*v(i) ];y(i)=-u(i)*u(i);end[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);A=[2 b(4);b(4) 2*b(5)];B=[-b(3);-b(2)];X=A\B;M=M/(-Tz);F(count)=sqrt((X(1)-M(1,4))*(X(1)-M(1,4))+(X(2)-M(2,4))*(X(2)-M(2,4)));count=count+1;endplot(-pi/2:0.05:pi/2,F);xlabel('β');ylabel('D')grid on;format longclear;count=1;for t=-pi/2:0.05:pi/2b=t;r=0;a=0;L=3.78;f=1577/3.78;Tx=-350;Ty=0;Tz=-350;R1=[L*f 0 0 0;0 L*f 0 0;0 0 0 1];R2=[cos(b)*cos(r) sin(a)*sin(b)*cos(r)+cos(a)*sin(r) -cos(a)*sin(b)*cos(r)+sin(a)*sin(r) Tx;-cos(b)*sin(r) -sin(a)*sin(b)*sin(r)+cos(a)*cos(r) cos(a)*sin(b)*sin(r)+sin(a)*cos(r)Ty;sin(b) -sin(a)*cos(b) cos(a)*cos(b)Tz;0 0 01;];M=R1*R2;k=1;for w=0:2*pi/200:2*piX=12*cos(w);Y=12*sin(w);Zc=R2(3,1:3)*[X Y 0]'-Tz;u(k)=1/Zc*M(1,:)*[X Y 0 1]';v(k)=1/Zc*M(2,:)*[X Y 0 1]';k=k+1;endx=ones(k-1,5);y=ones(k-1,1);for i=1:k-1x(i,:)=[1 v(i) u(i) u(i)*v(i) v(i)*v(i) ];y(i)=-u(i)*u(i);end[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);A=[2 b(4);b(4) 2*b(5)];B=[-b(3);-b(2)];X=A\B;M=M/(-Tz);F(count)=sqrt((X(1)-M(1,4))*(X(1)-M(1,4))+(X(2)-M(2,4))*(X(2)-M(2,4)));count=count+1;endplot(-pi/2:0.05:pi/2,F);xlabel('β');ylabel('D')grid on;。
2005-2015高教社杯全国大学生数学建模竞赛A、B题评阅要点
水质排序最差的地区不一定是污染源最严重的地区。 用长江干流上的 7 个观测站点将长江分 为 6 个江段，逐段计算各江段的排污量，找出主要污染源所在的区域。 首先研究每个江段中污染物浓度 C (mg/L) 的变化规律。由于题目中给出了污染物的降 解系数，附件 3 给出了每个月的污染物浓度、流量、流速等数据，若忽略污染物的局部扩散 （研究的是总体污染） ，在考虑固定时段（月）的污染物浓度时，可利用一般一维水质模型 的近似解 C = C 0 e
2008 A 题评阅要点 ............................................................................................................. 28 2008B 题 高等教育学费标准探讨 .................................................................................... 29
2009 B 题评阅要点 ............................................................................................................. 40
CUMCM-2009, A 题：第 1 页 / 共 42 页
2005A 题: 长江水质的评价和预测
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源 的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁： “以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然 的环境，减少污染。 ” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府 部门和专家们的高度重视。2004 年 10 月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长 江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线 21 个重点城市做了实地考察，揭 示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯 救，长江生态 10 年内将濒临崩溃” （附件１） ，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附 件 2） 。 附件 3 给出了长江沿线 17 个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及 干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速） 。通常认为一个观测 站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染 物都有一定的自然净化能力， 即污染物在水环境中通过物理降解、 化学降解和生物降解等使 水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的 自然净化能力可以认为是近似均匀的， 根据检测可知， 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降 解系数通常介于 0.1~0.5 之间，比如可以考虑取 0.2 (单位：1/天)。附件 4 是“1995~2004 年 长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表 水环境质量标准》中 4 个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。 请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染 状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪 些地区? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水 质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况。 （4）根据你的预测分析，如果未来 10 年内每年都要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比 例控制在 20%以内，且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。
数学建模竞赛命题过程及题目分析
油位探针
油位探测 装置
油位探针
油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图 （b）横向偏转倾斜后正截面图
结合评奖对本科组选作A, B题的分析
• 本科组全国14108队参赛，送全国1393份论文，其中A题877 份（63%），B题516份（37%），其比例基本代表全部参赛 队的情况.
• 获一等奖的210 队中A题133队，B题77队.
• A题获一等奖的队多数集中在重点高校：
北京17队（北航5、北大3、北邮3、清华2）
图3 储油罐截面示意图
油
注油口
位
出油管
探
针 油浮子
1.2m
1.2m
油 α
0.4m 2.05m (a) 小椭圆油罐cm正面示意图
水平线
1.78m
Байду номын сангаас
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
附件1 实验数据
流水 C进油 D油位高
号
量/L 度/mm
采集时间
说明
2010-08-20 (1)罐体无变位进油，罐内
11
50 159.02
10:32:18 油量初值262L；
12
100 176.14
2010-08-20 (2)C列进油量是每次加入 10:33:18 50L油后的累加值
13
150 192.59
2010-08-20 (3)D列是原罐内初始油量加入 10:34:18 相应油量后油位高度值。
全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
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2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
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NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11
00年以来数学建模真题以及优秀论文所用到的方法
数学建模题目以及所用到的方法2000年 A题 DNA序列分类（数据分类型的题目）积分模型神经网络模型B题钢管订购和运输（最优解问题）线性规划二次规划（灵敏度分析）2001年 A题血管的三维重建方法：傅立叶变换，相关操作．三维重建连续模型；离散模型；尖端特性B题公交车调度运筹学多目标规划运行模型多目标规划2002年 A题车灯线光源的优化设计数学模型；线光源；数值模，优化设计模型；线光源；最佳长度；最小功率B 彩票中的数学彩票方案；中奖概率；心里曲线；吸引力，层次分析；合理度2003年 A题 SARS的传播微分方程；概率平均；龙格一库塔方法；曲线拟合；数学模型；预测；B题露天矿生产的车辆安排NP完全问题：组合优化，；整数规划2004年 A题奥运会临时超市网点设计拓扑结构；电路模拟：消费流量；人流；非线性脱划，经验概率分布B题电力市场的输电阻塞管理输电阻塞；单目标规划；最小最大法；理想点法；加权法2005A题: 长江水质的评价和预测(水质污染方面)归一化；水质综合评判指标函数；反应扩散方程：回归分析自净系数一次累加拟合模型时问序列法多元线性回归模型2005B题： DVD在线租赁随机服务模型；0-1整数规划；多目标规划：抽样统计；VIP机制数学模型网络流最小费用最大流2006年 A 出版社的资源配置层次分析法，量化分析，多目标决策，无量纲化，灰色预测B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测二次曲线，多元方差分析，增量成本—效应模型2007年 A题：中国人口增长预测丁克现象，人口发展偏微分方程，人口区域结构向量模型，生存分析，计算机模拟Logistic 模型灰色预测动态模拟 Compertz 函数B 乘公交，看奥运合集求交算法，搜索方法，凸轮模型，算法复杂性，BFS算法，公交路线选择点搜索线搜索双目标优化2008 A 数码相机定位小孔成像，变换矩阵，公切线，计算机模拟B 高等教育学费的优化二八原则法，个人期望收益，加权满意度，成本分担2009 A题制动器试验台的控制方法分析制动器试验台等效转动惯量惯性模拟电惯量 PID 算法神经元模型2009B题眼科病床的合理安排合理度；C语言仿真；数据搜索；流程图；优先级；M/M/1排队模型优先值分配计算机仿真模拟卡方拟合检验2010年 A题储油罐的变位识别与罐容表标定多重积分、分段函数、切片、体积标定、随机数据检验、数字式油量计B题 2010年上海世博会影响力的定量评估Mann-Whitney检验回归拟合层次分析方法多指标综合评价模型收益分析方法影响力因子2011年 A题城市表层土壤重金属污染分析三维插值与拟合地质累积指数聚类分析偏微分方程地统计内梅尔指数因子分析扩散模型回归分析B题交巡警服务平台的设置与调度线性回归非线性规划动态规划静态规划 Dijkstra矩阵算法。
用迭代法求公切线
用迭代法求公切线作者：赵小香来源：《科教导刊》2015年第13期用迭代法求公切线（广西师范大学数学与统计学院广西·桂林 541004）摘要根据牛顿切线法求方程的根的思想，结合2008年数学建模A题，运用迭代法求两凸集（椭圆）的公切线，算法简洁实用，可操作性强。
并证明了算法对公切线的收敛性和收敛速度。
关键词迭代法公切线凸集分离数学建模中图分类号：O182 文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdks.2015.05.014Seek Common Tangent with the Iterative MethodZHAO Xiaoxiang（School of Mathematics and Statistics， Guangxi Normal University，Guilin， Guangxi Normal University， Guilin， Guangxi 541004）Abstract According to Newton's equation of the tangent method the root of thinking， combined with mathematical modeling A title in 2008， using the iterative method for two convex sets （oval） common tangent， the algorithm is simple and practical， workable. And proved common tangent algorithm convergence and convergence rate.Key words iterative method; common tangent; separation of convex sets; mathematical modeling 0 引言随着计算机加入科学研究的行列，迭代算法作为计算机能执行的有效算法，在解决实际问题中起着越来越重要的作用。
数码相机的定位2008年全国大学生数学建模A题一等奖
数码相机的定位摘要本文运用相机标定模型确定了相机像平面的像坐标，利用本质矩阵标定双目相机，快速找出了相机的相对位置关系；利用MATAB软件和图像处理进行编程求解；通过对图像的预处理和灰度质心法对模型进行了验证，得出模型的精度。
针对问题一，根据数码相机的特点，提出了一个新的标定方法，建立相机标定模型，确定了靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标，为问题二的计算提供了一个好的算法。
针对问题二，我们利用问题一建立的模型和方法运用MATLAB编程精确的计和坐标值精度进行检验后，发现两种模型的中心坐标值的误差值在[0~3]个像素区间内，说明前述模型的计算结果的精度很高，通过像差模型得出其径向畸变系数趋于无穷小，认为前述模型有很好的稳定性。
针对问题四，我们提出了一种改进的的立体摄像机标定方法，通过双目匹配点，线性地求解本质矩阵，快速找出摄像机的相对位置关系。
关键词：双目定位系统定标灰度质心法像差模型本质矩阵1. 问题重述数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。
只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。
于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。
实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。
而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
历年全国赛数学建模题目
目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题: 出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。
数学建模论文-数码相机定位 推荐
高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期：年月日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：数码相机定位摘要数码相机的定位在现实生活中有着广泛的应用，从小的方面，它帮助人们记录下美好的东西；从大的方面，它帮忙监管着交通秩序，合理的定位可以得到及时有效的信息。
目前，对于它的定位研究大都处于摄像机定位研究阶段，虽然原理存在着很多相似之处，而且对摄像机定位的研究日益成熟，但毕竟随着信息化时代的迅猛发展，数码相机的许多新功能对其定位研究有着更深远的影响，对数码相机的定位研究也有着更深层的意义。
本文针对数码相机的特性，基于目前相对成熟的摄像机定位研究，首先对数码相机的工作原理、成像原理做了初步的介绍，使读者对数码相机及其成像有大体的了解。
在介绍成像原理时，我们引进了现在最广泛所知的四大坐标系，在下面的分析中，针对四大坐标系间的坐标转换，尝试着找到定位相机的合理坐标系建立和求解，建立了以模型5.3.1为基础简化的模型5.3.2——从空间点到像点的线性转换模型，只考虑由于相机的旋转和平移变换，使得成像后的图形发生形变，从而可以根据此转换模型找到原图像特征点对应的像的特征点。
2008全国数学建模竞赛A题一等奖论文
基于切线特征的数码相机定位摘要本文依据成像原理，通过应用图像处理和物、像的不变性质来确定坐标。
采用了几何线性定标模型来标定相机的相对位置。
对于问题一，本文建立了基于图像处理的圆心搜索模型，模型在对公切线定点可行性的论证基础上，建立了图像圆心搜索算法，从而确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标。
对于问题二，运用了Matlab技术对具体图像进行去噪处理，按照圆心搜索算法对任一个圆相对其余各圆求解圆心在像坐标上的多个估计值，计值求均值消除误差后作为圆通过相机拍摄试验分别找到不同相机分辨力不同角度下的相片对其处理，检验三个圆心两两连线的夹角，得到误差偏角。
误差偏角的均值反应了模型的精度，方差变化影响稳定性。
这里求得误差偏角的均值在0.02，方差在0.002以内。
对于问题四，建立几何线性定位模型，得到两个相机的外部参数。
通过两个相机外部参数求解得到两个相机间的旋转矩阵，平移向量及距离见正文表6。
关键词：几何模型算法切线几何线性定标数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。
最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。
该方法的基本思想是首先用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得物体上一个特征点在两部相机像平面上的坐标；然后根据两部相机精确的相对位置，利用几何的知识确定该点的位置。
对于双目定位，精确地标定两部相机的相对位置就是关键。
标定的一种方法是设计一个靶标，靶标可以由若干个圆组成，同时用这两部相机照相，分别得到各圆圆心在他们像平面的像点，根据像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。
现在设计靶标如下：取1个边长为100mm 的正方形，分别以四个顶点（对应为A 、C 、D 、E ）为圆心，12mm 为半径作圆。
以AC 边上距离A 点30mm 处的B 为圆心，半径作圆。
同时给定了一部固定相机所摄的像。
现就相机定位理论以及给定的靶标解决以下几个问题：1.建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，y x -平面平行于像平面；2.根据问题给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768；3.设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；4.建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
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具有仿射不变性的几何结构在相机定位中的应用摘要本文采用小孔成像的模型研究相机成像问题。
基于靶平面上的点与像平面上的点一一对应，本文研究了几种几何结构。
发现靶平面上两个圆的内公切线交点与两个圆心共线这种几何结构仿射到像平面上依然成立，即两个圆心和内公切线交点在像平面上的3个像点共线，并证明了这一结论。
本文提出一种运用0-1矩阵求公切线的算法，但在实际操作时采用作图法。
运用作图法可以在像平面上确定两个椭圆的内公切线交点，该交点为靶平面上两个圆的内公切线交点在像平面上所成的像。
靶平面上5个圆可以确定10个内公切线交点，这样用作图法就可以确定靶平面上10个内公切线交点在像平面上的10个像点。
在像平面上建立坐标，每个靶平面上的圆心的像用两个未知量表示，共有10个未知量。
根据已证明的结论可知，对于每个内公切线交点在像平面上的像点，都有相对应的两个圆心的像点与之共线，就可以得到共线所满足的方程。
10个内公切线交点的像点对应10个2次方程，10个未知量就可求出。
靶平面上的圆心的像就可以确定。
本文采用牛顿迭代法对2次方程组进行求解。
并研究了解的稳定性。
为了得到两部固定相机的相对位置，建立了2个像平面坐标系、2个相机坐标系和1个三维世界坐标系。
本文采用最小二乘法确定相机坐标系与三维世界坐标系的关系。
在具体算法中，并没有利用所求出来的靶平面上圆心以及它的像点的坐标求解，而是采用10个内公切线交点及其像点的坐标求解，这是因为圆心的像点是由内公切线交点的像点求出的，误差更大。
分别确定2个相机坐标系与三维世界坐标系的关系之后，就可以确定2个相机坐标系之间的关系。
最后，本文对模型进行了分析，对一些方法的精度进行了讨论。
关键词相机定位仿射不变性内公切线交点1 问题分析双目定位是用两部相机给物体拍照来定位。
对于物体上的一个特征点，用两部不同位置的照相机拍照，就获得该点在两个像平面上的坐标。
如果知道两部相机的相对位置，就可以知道该特征点的具体位置。
因此，要实现双目定位，首先需要确定两部相机的相对位置。
解决该问题的一种实际做法是：在物平面上画若干个圆，圆心为特征点，同时用两部相机照相。
本文需要解决两个重要问题：如何寻找靶标上圆的圆心在像平面上的像点位置？如果知道圆心在两个像平面上的像点位置，怎样利用这两组像点的几何关系得到这两部相机的相对位置？1.1 下面考虑如何寻找靶标上圆的圆心在像平面上的像点位置。
数码相机的成像原理是凸透镜成像。
靶标上的一个点经过凸透镜成像，该点的像在像平面上有可能为一点，也有可能为一个小区域。
一般情况下，靶标与像平面就不能建立一一对应，成像就比较复杂。
为了便于研究，可以先考虑小孔成像。
在小孔成像这种情况下，靶标与像平面可以建立一一对应。
小孔成像是一种简单的一一映射，靶标上的圆是标准的几何图形，靶标上有若干种几何结构，例如点与圆，直线与圆。
如果能够找到一种在小孔成像过程中不发生变化的几何结构，就有可能在该几何结构的基础上寻找到点与像点之间的对应。
因此，寻找在小孔成像过程中不发生变化的几何结构是解决问题的关键。
1.2 如何确定两部固定相机的相对位置要确定两部固定相机的相对位置，需要建立两个相机的三维坐标系的联系。
如果在空间中还有一个坐标系，并且该坐标系可以分别与两个相机的三维坐标系建立联系，那么就可以得到两个相机的三维坐标系的联系。
2 模型假设1）靶平面上的点与像平面上的点一一对应。
2）靶标的像的边缘是光滑的闭曲线。
3 符号说明A椭圆i和椭圆j的内公切线交点ijO圆i上的圆心在像平面上的像点i4 公切线模型的建立与求解4.1 具有仿射不变性的几何结构、在小孔成像中，根据模型假设，只考虑靶平面上的点与像平面上的点一一对应的情形（如图1）。
在靶平面上有多种几何结构，例如直线与直线相交，直线与圆相切。
那些在小孔成像过程中不发生变化的几何结构称为具有仿射不变性的几何结构。
通过观察与分析，本文提出了四种具有仿射不变性的几何结构 。
定理1，2，3，4描述了这4种几何结构。
其中，定理4表明：靶平面上两个圆的内公切线交点与两个圆心共线这种几何结构仿射到像平面上依然成立，即两个圆心和内公切线交点在像平面上的3个像点共线。
图1定理1 靶平面上的一条直线在像平面上的像仍为一条直线。
（如图2）定理2 如果靶平面上的直线1l 和2l 交于O 点，那么在像平面上，1l 、 2l 的像'1l 、 '2l交于 'O 点， 'O 为 O 的像。
（如图3）定理3 如果靶平面上直线l 和圆O 相切于A 点，那么在像平面上， l 和圆O的像'l 、 圆'O 切于'A 点，'A 为A 的像。
（如图4）定理4 如果靶平面上直线 1l 、 2l 为圆1O 圆 2O 的内公切线，直线 1l 、 2l 交于A ，那么在像平面上， '1l 、'2l 为圆'1O 、圆'2O 的内公切线， A 在像平面上的像 'A 为'1l 、'2l 的交点,且 'A 、'1O 、'2O 共线。
（'1l 、'2l 为1l 、 2l 的像, 圆'1O 、圆'2O 为圆1O 、圆 2O 的像）。
（如图5）定理1、2、3、4的证明如下：1）靶平面1S 上两点A 、B 确定一条直线，面ABQ 面2S =直线''A B ， 直线AB 上任意一点C, 直线QC ⊂面ABQ ⇒直线QC 面2S ⊂面ABQ 面2S⇒直线QC 面2S ⊂直线''A B即C 在像平面2S 上的像在直线''A B 上，如图2所示图2 定理1的证明2）直线1l 和2l 交于O 点⇒O ∈1l1l 的像为'1l ，'O为 O 的像，由定理1，得到'O ∈ '1l同理'O ∈'2l因此'O ∈'1l '2l即'1l 、 '2l 交于 'O ，如图3所示：图3 定理2的证明图4 定理3的证明3）A ∈圆O, A ∈l ⇒ 'A ∈圆'O ,'A ∈'l因此'A 为圆'O 和直线'l的公共点假设圆'O 和直线'l另有一公共点'B ，'B 在面1S 中的像为B同理可得B 为圆O 和直线l 的公共点，即B 与A 重合那么'A ， 'B 在面1S 中的像为A, 与“靶平面上的点与像平面上的点一一对应”矛盾，因此圆'O 和直线'l仅有一公共点'A因此，直线'l 、 圆'O 切于'A 点，如图4所示：4）直线 1l 、 2l 为圆1O 圆 2O 的内公切线，由定理3可知：'1l 、'2l 为圆'1O 、圆'2O 的内公切线A 直线 1l 、 2l 的交点，由定理2可知'A 为'1l 、'2l 的交点在靶平面1S 上，A 、1O 、2O 共线，由定理1可知'A 、'1O 、'2O 共线，如图5所示：图5 定理4的证明4.2公切线模型的建立考虑一般情况，在靶平面上取5个圆，经过小孔成像，在像平面上获得5个椭圆，分别用1、2、3、4、5表示。
靶平面上任意两个圆之间有1个内公切线交点，5个圆对应10个内公切线交点，像平面上5个椭圆也对应10个内公切线交点。
根据定理4可知，像平面上的10个公切线交点与靶平面上的10个公切线交点一一对应。
用ij A 表示椭圆i 和椭圆j 的内公切线交点（如图6）。
下面的工作有两部分：在像平面上确定10个内公切线交点的坐标；运用这10个内公切线交点确定圆心在像平面上的像。
图61）运用椭圆的内公切点确定圆心在像平面上的像如果在像平面上确定10个内公切线交点ij A 的坐标(,)ij ij a b ，就可以运用内公切线交点确定圆心在像平面上的像，方法如下：靶平面上的圆1、2、3、4、5的圆心在像平面上的像分别在椭圆1、2、3、4、5上，令圆心在像平面上的像点为1O 、2O 、3O 、4O 、5O 。
考虑i O j O ，由定理4可知，i O 、j O 与ij A (,)ij ij a b 共线。
（如图6）设i O 在像平面上的坐标为，则(,)i i x y 满足：i ij j ij i ijj ijy b y b x a x a --=-- （1）即()()()()i i j j i j j i j i i j y b x a y b x a -----= （2）其中i，j 1,2,3,4,5=，i j ≠。
因此，该方程组共有10个2次方程，10个未知量。
求解该方程组就可确定1O 、2O 、3O 、4O 、5O 在像平面的位置。
2）确定椭圆内公切线交点坐标的算法 为了确定椭圆内公切线交点，本文建立了一种在像平面图像上确定切线的算法。
在仅有黑白两色的图像上，一个像素只能储存黑或白其中的一种信息，令空白（白色）为1，图像（黑色）为0，像平面的就可表示为0-1矩阵。
（如图7）图7取该平面上任意一点C(i,j)，1,(1,)(1,)(,1)(,1)(,)0,CC i j C i j C i j C i j i j 该点为空白该点为图像⎧++-+++-=⎨⎩当(1,)(1,)(,1)(,1)C i j C i j C i j C i j ++-+++- 取值为1，2或3时，C(i,j)边缘 点；当(1,)(1,)(,1)(,1)C i j C i j C i j C i j ++-+++-取值为4时，C(i,j)为内点。
接下来需要解决的是如何通过边缘点寻找图像的切线。
本文规定，只经过一个椭圆的两个边缘点的并且没有经过椭圆内点的直线为切线 。
这样就可以得到一个椭圆的所有切线，一条线为两个椭圆的切线时，就为这两个椭圆的公切线。
4.3 公切线模型的求解对于题中所给的标靶图像，利用作图法即可很轻易的得到公切线交点坐标。
在像平面上任意2个椭圆之间做2条内公切线，就可获取内公切线交点。
在实际操作中，直接将像图打印出来，用尺子作内公切线，得到内公切线交点。
在像平面上建立坐标系（如图8），即可获得内公切线交点的坐标。
图8运用作图法，获得像平面上椭圆内公切线交点A的坐标为：ij单位：mm将这组数据代入方程组（2），5个点O、2O、3O、4O、5O的坐标为10个1未知量。
牛顿迭代法是求解非线性方程组的常用方法（见文献【1】），在MATLAB 软件中调用牛顿迭代法求解方程组，结果如下：4.4 求切线的改进算法——灰度算法由于计算机储存图片是以像素为单位的，像素是计算机储存图片的最小单位。