空心传动轴的优化设计

空心传动轴的优化设计

一、问题描述

设计一重量最轻的空心传动轴。空心传动轴的D 、d 分别为轴的外径和内径。轴的长度不得小于5m 。轴的材料为45钢，密度为7.8×10-6㎏/㎜，弹性模量E=2×105MPa ，许用切应力[τ]=60MPa 。轴所受扭矩为M=2×106N·mm 。

二、分析

设计变量：外径D 、内径d 、长度l

设计要求：满足强度，稳定性和结构尺寸要求外，还应达到重量最轻目的。

三、数学建模

所设计的空心传动轴应满足以下条件：

（1） 扭转强度 空心传动轴的扭转切应力不得超过许用值，即

τ≤[]τ

空心传动轴的扭转切应力: ()

4

416d

D MD

-=

πτ 经整理得 0107.1544≤⨯+-D D d

（2） 抗皱稳定性扭转切应力不得超过扭转稳定得临界切应力:

ττ'≤

2

327.0⎪⎭

⎫

⎝⎛-='D d D E τ 整理得：

028.722

3

44≤⎪⎭

⎫

⎝⎛---D d D d D D

（3）结构尺寸

min l l ≥

0≥d 0≥-d D

⎥⎥⎥⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=l d D x x x X 321 则目标函数为：()()[]()

32

22166221012.61012.6min x x x d D l x f -⨯=⨯-=-- 约束条件为：0107.1107.1)(15

4

14

25441≤⨯+-=⨯+-=x x x D D d X g

08.728.72)(2

/312142

4

112

/3442≤⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛---=

⎪

⎭

⎫

⎝⎛---=

X x

x x x x x D d D d D D g

055)(33≤-=-=x l X g

0)(24≤-==x d X g 0)(215<+-=-=x x d D X g

四、优化方法、编程及结果分析

1优化方法

综合上述分析可得优化数学模型为：()T

x x x X 321,,=；)(min x f ；

()0..≤x g t s i 。考察该模型，它是一个具有3个设计变量，5个约束条件的有约束

非线性的单目标最优化问题，属于小型优化设计，故采用SUMT 惩罚函数内点法求解。

2方法原理

内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。

对于只具有不等式约束的优化问题

)(min x f

),,2,1(0)(..m j x j

g t s =≤

转化后的惩罚函数形式为

⎰∑

=-=m

j j x g r x f r x 1

)

(1

)(),(φ 或[]

∑=--=m

j j x g r x f r x 1

)(ln )()

,(φ

式中r ——惩罚因子，它是由大到小且趋近于0的数列，即

0210→>>> r r r 。

[]

∑∑==-m

j m

j j j x g x g 11)(ln )(1

—障碍项—或。 由于内点法的迭代过程在可行域内进行，障碍项的作用是阻止迭代点越出可行域。由障碍项的函数形式可知，当迭代靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而障碍项的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上筑起了一道“围墙”，使迭代点始终不能越出可行域。显然，只有当惩罚因子0→r 时，才能求得在约束边界上的最优解。

3编程

首先编制两个函数文件，分别保存为目标函数和约束函数。 function f=objfun(x)

f=pi*rou*((x(1)^2-d^2)*x(4)+(x(2)^2-d^2)*x(3)/4 再编写非线性约束函数文件M 文件ax.m; Function [c,ceq]=g(x); pi=3.14;

d=40; %主轴内径mm F=20000; %切削力N P=1.5; %主轴输入功率KW n=960; %主轴转速r/min E=2.1*10^5; %主轴材料弹性模量N/mm^2

y=0.05; %许用挠度mm fa=1/12;

%许用扭转刚度/m ︒

sita=0.0025; %许用偏转角

G=0.081; %轴材料的剪切弹性模量GPa

c(1)=64*F*x(4)^2*(4*x(4)/(x(1)^4-d^4)+3*x(3)/(x(2)^4-d^4))/(3*pi*E)-y;

c(2)=180*9549*P/(pi^2*n*G*(x(2)^4-d^4)/32)-fa;

c(3)=F*x(3)*x(4)/(3*E*(x(2)^4-d^4))-sita;

ceq=[];

在MATLAB命令窗口给出搜索值和线性约束，并调用优化程序：

x0=[120;110;450;120];

a=[1 0 0 0;-1 0 0 0;0 1 0 0;0 -1 0 0;0 0 1 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 0 -1];

b=[160;-80;150;-70;600;-350;160;-80];

1b=[80;70;350;80];

ub=[160;150;600;160];

[x,fval]=fmincon(@axis_m,x0,a,b,[],[],1b,ub,@ax)

4结果分析

优化程序经过12次迭代计算收敛，得到结果如下：

x=107.6547 102.7428 350.0000 80.0000

fval=24.0857

圆整后得到X=(109,104,350,80)T，fval=24.9897，显然机床主轴结构比较合理。