浙教版九年级数学 第三章 圆的基本性质 33垂径定理同步讲义无答案
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第2课时)b课件 (新版)浙教版
想一想
垂径定理的逆命题是什么？
逆命题1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 弧。
逆命题2：平分弧的直径垂直于弧所对的弦。
2020/1/1
精品课件
3
新教课学讲目 解
标
已知：如图，⊙O的直径交弦AB(不是直径)于点P，AP=BP. ⌒⌒
求证：CD⊥AB，AC=BC
证明：连结OA，OB，则AO=BO
∴R2=18.512+(R-7.23)2, 解得R≈27.31.
答:赵州桥的桥拱半径约为27.31m.
2020/1/1
精品课件
13
新教课学讲目 解
标
探究活动
某一条公路隧道的形状如图所示，半圆拱的圆心距离地面 2m，半径为1.5m.一辆高3m，宽2.3m的集装箱卡车能顺利 通过这个隧道吗？如果要使高度不超过4m，宽为2.3m的大 货车也能顺利通过这个隧道，且不改变圆心到地面的距离， 半圆拱的半径至少为多少米？
2020/1/1
精品课件
30
谢谢欣赏！
2020
精品课件
31
2020/1/1
精品课件
27
巩教固学提目升
标
解：不需要采取紧急措施． 理由如下∶ 设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，OC＝R－18，由勾股定理 得OA2＝AC2＋OC2， 即R2＝302＋(R－18)2＝900＋R2－36R＋324， 解得R＝34.
如图，连结OM，设DE＝x.
在Rt△MOE中，ME＝16，OE＝34－x，由勾股定理得OM2 ＝ME2＋OE2， 即342＝162＋(34－x)2＝162＋342－68x＋x2， 即x2－68x＋256＝0， 解得x1＝4，x2＝64(不合题意，舍去)， ∴DE＝4.∵4＞3.5，∴不需要采取紧急措施．
浙教版数学九上课件：3.3垂径定理(1)
使AB过点M.并且使AM=BM.
●M
你能画过点M最长的弦呢?
●O
你还能画过点M最短的弦呢?
例2、如图，一条排水管的截面。已知排水管的半径 OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
解:作OC⊥AB于C,由定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
则下列结论中不一定成立的是（ C ）
A．∠COE=∠DOE
B．CE=DE
C．OE=BE
D．⌒BD=⌒BC
A
．O
C
E
D
B
辨一辨
如图，AB是⌒AB所对的弦，AB的垂直平分线DG
⌒交AB于点D，交AB于点G，给出下列结论： ① DG⊥AB ②AG=BG ③ ⌒BD = A⌒D
其中正确的是_①___②___③_（只需填写序号）
O
A
B
C
D
D
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒AC和B⌒C重合, ⌒AD和B⌒D重合. ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
垂径定理
由 ① CD是直径 ② CD⊥AB
可推得
C
A
B
③AM=BM,
M└
④A⌒C=B⌒C,
●O
⑤A⌒D=B⌒D.
D
定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
∴AM=BM,
⌒AC ⌒ =BC,
⌒AD
⌒
=BD.
• 老师提示: • 垂径定理是圆中一个重要的结论,是计算线段长度
2022秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质3.3 垂径定理2垂径定理的逆定理课件浙教版
11．已知在半径为 1 的⊙O 中，弦 AC＝ 2，弦 AB＝ 3，则 ∠CAB＝____________． 【点拨】如图，当圆心O在∠CAB的 外部时，过点A作直径AD，连结OC， OB，取AB，AC的中点分别为点E， F.连结OE，OF.
第3章 圆的基本性质
3．3 垂径定理 第2课时 垂径定理的逆定理
提示：点击 进入习题
1D 2A 3D 4C
5A 6C 7B 8C
答案显示
提示：点击 进入习题
9 25
答案显示
13 见习题Βιβλιοθήκη 10 814 见习题
11 15°或75° 15 见习题
12 见习题
1．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，AB与CD相交于点 M，若要得到CD⊥AB，则还需添加的条件是( D )
6．如图，△ ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠AOB＝60°， AB＝AC＝2，则弦 BC 的长为( C ) A. 3 B．3 C．2 3 D．4
︵ 7．一种花边是由如图所示的弓形组成的， AB所在圆的半
径为5，弦AB＝8，则弓形的高CD为( B )
A．1
B．2
C．3
D．4
8．如图，一条公路弯道处是一段圆弧 AB，点 O 是这段弧所
由垂径定理和勾股定理可求得 OE＝12OA，OF＝FA， ∴易得∠BAO＝30°，∠CAO＝45°，∴∠CAB＝15°. 同理可得，当圆心 O 在∠CAB1 的内部时，∠CAB1＝75°. 【答案】15°或75°
易错总结：在求两条弦的夹角时，容易忽略圆的轴对称性 而造成漏解．一般地，分类标准为圆心O在角的外部和圆 心O在角的内部．例如，本题分为圆心O在∠CAB的内部 和圆心O在∠CAB的外部两种情况．
浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)
D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为 弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半
(浙教版)九年级上学期数学课件：3.3垂径定理
3.3.1垂径定理
导入新课 同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我
国古代劳动人民的创造智慧。
导入新课 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
新课讲解 教学目
标
现在你会解决导入环节的问题了吗？ 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
新课讲解 教学目
标
解：如下图所示： AB为跨度37.4m，CD为拱高7.2m
课堂小结 教学目
标
垂径定理：
定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
3.3.2 垂径定理
导入新课 教学目
标
问题： 谁能说出垂径定理的内容？并说出这个定理的题设和结论
定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
新课讲解 教学目
标
请大家在纸上画一个圆O，再任意画一条非直径的弦CD，作 一直径AB与CD垂直，交点为P（如图）．沿着直径将圆对折， 你有什么发现？
点C与点D重合，CP与DP重合，
BC＝BD，AC＝AD． 你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．
201X年秋九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第1课时)b课件(新版)浙教版
已知CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
如图∵ CD是直径， CD⊥AB， ∴AM ＝ BM，
C
A M└
B
●O
⌒⌒
⌒⌒
AC ＝BC
AD＝BD.
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种形式要相互转化，形 成整体，才能运用自如.
教学目 标
例1、已知A⌒B如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦
AB的直径.而这条直径应在弦AB的
垂直平分线上.
A
E
B
作法:
1. 连结AB;
⌒ 2. 作AB的垂直平分线CD,交AB与点E;
⌒ ∴点E就是所求AB的中点.
教学目 标
练一练：
如图，过⊙O内一点P画弦AB，使P是AB的中点.
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题。
教学目 标
合作学习
在白纸上任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然 后沿着直径所在的直线把纸折叠,你发现了什么?
C OD
圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴。
注意： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
3.3.1垂径定理
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我 国古代劳动人民的创造智慧。
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
浙教版九年级上册数学课件 第3章 圆的基本性质3
×600 = 300 (m).
在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2，
即R2 = 3002 + (R-90)2.
解这个方程，得R=545.
所以，这段弯路的半径为545 m.
新课讲解
练一练
如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM ＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为( A ) A．8 cm B. 91 cm C．6 cm D．2 cm
新课讲解
典例分析
例 如图, —条公路的转弯处是一段圆弧（即 图中 CD ,点O是 CD 所 在圆的圆心），其中CD= 600m， E为 CD 上一点，且OE丄CD ，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径.
新课讲解
解：连接OC.设弯路的半径为Rm，则OF= (R- 90) m.
∵OE ⊥CD，∴ CF =
知识点1 垂径定理的逆定理
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直 径CD)， 交AB于点M. （1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？ （2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧.
新课讲解
推论：(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分 弦所对的弧，即：如图，在⊙O中，
课堂小结
关于垂径定理及其推论可归纳为：一条直线，它具备以下五个性质： ①直线过圆心； ②直线垂直于弦； ③直线平分弦(不是直径)； ④直线平分弦所对的优弧； ⑤直线平分弦所对的劣弧． 如果把其中的任意两条作为条件，其余三条作为结论，组成的命题
都是真命题．
当堂小练
浙教版初中数学九上 3.3 垂径定理 课件
基本思想
基本图形 构造半径、弦心距
基本活动经验 构造半弦直角三角形
转化思想 数形结合思想 方程思想
对称轴：这条直线叫做对称轴.
2条对称轴 注意：对称轴是直线
4条对称轴
命题——发现
任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD, 然后沿着直 径所在的直线折叠,你发现了什么?
C OD
判断：任意一条直径都是圆的对称轴（ ） 注意： （1）圆的对称轴是直线，不能说每一条直径都是圆的对称轴. （2）圆的对称轴有无数条.
C
A
D
B
O
A
O
O
A
E
B
D
B
D
C
C
A
O
C
B
A
CB
D
O
品味——情感
人行 生遍 只江 合南 住清 湖丽 州地 。 ， 元朝
戴表元
品味——欣赏
月 亮 酒 店
观察这些图有什么特点？
品味——欣赏
摩 天 轮
欣赏——回忆
轴对称图形
命题——温故
轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧 的部分能够相互重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
A
C
B
O
想一想:排水管中水最深多少?
定理——再运用
变式2 如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，的
DE=4，AB=16，求半径的长.
C
注意：构造半径是圆中常见的 A 辅助线。
O E
B D
总结——升华
基本策略
轴对称图形
垂径 定理
发现 猜想 证明 得出
【精品推荐】2020年秋九年级数学上册第三章圆的基本性质3.3垂径定理第1课时b课件新版浙教版
导入新课
同学们都学过赵州桥，因它位于现在的历史文化名城河北省 赵县（古称赵州）而得名，是世界上现存最早、保存最好的 巨大石拱桥，距今已有1400多年历史，被誉为“华北四宝之 一”，它的结构是当时世界桥梁界的首创，这充分显示了我 国古代劳动人民的创造智慧。
导入新课 赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长） 为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为7.2 米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
新教课学讲目 解
标
请你对上述命题写出已知，求证，并给出证明
已知CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ 求证：CD平分AB，CD平分AB和ADB
如图∵ CD是直径， CD⊥AB，
∴AM ＝ BM，
⌒⌒
AC ＝BC
⌒⌒
AD＝BD.
C
A M└
B
●O
D
分一条弧成相等的两条弧的点,叫做这条弧的中点.
垂径定理是圆中一个重要的结论，三种形式要相互转化，形 成整体，才能运用自如.
下面结论中错误的是（ D）
⌒⌒
A. CE＝DE
B.BC=BD
C. ∠BAC＝∠BAD
D. AC＞AD
巩教固学提目升
标
4、已知⊙O的半径为5 , 弦AB的长也是5，则∠AOB的度数 是 60° .
5、如图，OA是⊙O的半径，弦CD⊥OA于点P，已知 OC=5，OP=3，则弦CD=___8_______.
（2） 教学方程的意义，突出概念的内涵与外延。 “含有未知数”与“等式”是方程意义的两点最重要的内涵。“含有未知数”也是方程区别于其他等式的关键特征。在第1页的两道例题里，学生陆续写出了等式，也写出了不等式；写出了不含未知数的等式，也写出了含有未知数的等式。这些都为教学方程的意义提供了鲜明的感知材料。教材首先告诉学生： 像x+50=150、2x=200这样含有未知数的等式叫做方程，让他们理解x+50=150、2x=200的共同特点是“含有未知数”，也是“等式”。这时，如果让学生对两道例题里写出的50+50=100、x+50＞100和x+50＜200不能称为方程的原因作出合理的解释，那么学生对方程是等式的理解会更深刻。教材接着安排讨论“等式和方程有什么关系”，并通过“练一练”第1题让学生先找出等式，再找出方
2018年秋九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理 第1课时 垂径定理导学课件 (新版)浙教版
3.3 垂径定理
【解析】 这是应用垂径定理进行计算的一个基础题．先求出 根据勾股定理求得AM的长，再由垂径定理得AB＝2AM.
解：连结OA.由垂径定理，得AM＝BM. ∵CD＝15 cm，∴OC＝7.5 cm. 又∵OM∶OC＝3∶5， ∴OM＝4.5 cm. 在Rt△AOM中，由勾股定理，得AM＝＝6(cm)，即AB＝12 cm
3.3 垂径定理
∴两弦之间的距离为 1 cm. 以上解法正确吗？若不正确，请改正．
图 3－3－8
弧的中点： 成相等的两
弦心距：_ 圆的一条弦
பைடு நூலகம்
3.3 垂径定理
反思
半径为 5 cm 的圆中有两条弦，弦长分别为 3 cm， 之间的距离．
解：如图 3－3－8，过点 O 作 OF⊥AB，垂足为 E，连结 OD，OB.
在 Rt△OED 中， OE＝ OD2－ED2＝ 52－42＝3(cm)， OF＝ OB2－FB2＝ 52－32＝4(cm)， ∴EF＝4－3＝1(cm)，
3.3 垂径定理
【解析】首先作出两弦 AB，CD 的弦心距 OE，OF，由垂径定理 CF＝12CD，然后利用全等三角形证明 AE＝CF.
证明：如图，过点 O 分别作 OE⊥AB 于点 E，作 OF⊥CD 于点 F CF＝12CD. ∵∠A＝∠C，∠AEO＝∠CFO＝90°，OA＝OC， ∴△AOE≌△COF，∴AE＝CF，∴AB＝CD.
图3－3
3.3 垂径定理
3．如图 3－3－2，在⊙O 中，半径 OB＝5 cm， OC＝3 cm，则弦 AB 的长为____8____ cm.
图 3－3－2
3.3 垂径定理
筑方法
类型一 运用垂径定理探索圆中的计算问题
3.3 垂径定理(选学)(课件)九年级数学上册(浙教版)
的半径为_________.
解：设弧CED所在圆的半径为r，
∵M是CD的中点，EM⊥CD，
1
∴EM过圆心O，CM= CD=2，
2
如图，连接OC，
∵EM=6，∴OM=6-r，
10
2
2
2
2
2
2
在Rt△OCM中，OC =CM +OM ，即r =2 +(6-r) ，解得：r= ．
3
当堂检测
5.如图所示，⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦， AM=BM，
由题意可知：OD=3，
∵OD⊥AB，
∴BD= AB= (AC+BC)=4（垂径定理），
∴CD=BD-BC=2，
在Rt△OCD中，OC2=CD2+OD2=22+32=13，
∴OC= .
D
当堂检测
3、如图，AB是⨀O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，
则AE的长为（ A ）
C
推导格式：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
⌒ ⌒
⌒ =BC,
⌒ AD
∴ AP=BP, AC
=BD.(结论)
O
·
A
P
D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,
形成整体,才能运用自如.
讲授新课
思考：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为
没有垂直
典例精析
例1、如图，⨀O的直径AB垂直弦CD于点P，且P为半径OB的中点，若CD=6
，则⨀O的半径长为_________.
九年级数学上册 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理课件(新版)浙教版
（2）
（3）
（5） （1）（3） （3）（4） （4）
（1） （5）
（2） （3） （4）
（2） （3）
（1） （2） （3） （5） （5）
（1） （4）
（2） （5）
（4）
每条推论如何用语言表示？
B
（1） （4） （5） （1） （2） （3）
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条 弧
AB是⊙O的一条弦，直径CD交AB于M，AM=BM
连接OA，OB，则OA=OB.
在△OAM和△OBM中， ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM
∴△OAM≌△OBM.
C
∴∠AMO= ∠ BMO.
M└
●O
D
B ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称，
∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，
⌒⌒
⌒⌒
AC和BC重合，
(2) E
A O
D
或者油的最大深度ED=OD + OE=450(mm).
练习
如图， △ABC的三个顶点在⊙O上，OE⊥AB于E
，OF ⊥AC于F.
求证：EF∥BC，EF=
1 2 BC
A
E
F
O
∵OE⊥AB ∴E为AB的中点
B
C
∵OF ⊥AC ∴ F为AC的中点
∴EF为三角形ABC的中位线
再来！你行吗？
（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？
（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的 对称轴
（2） 线段： AE=BE
弧：Ａ⌒Ｃ＝Ｂ⌒Ｃ ，Ａ⌒Ｄ＝Ｂ⌒Ｄ
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
A
2022秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3垂径定理1垂径定理课件新版浙教版
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直 线AB的距离为6，求AC的长． 解：如图，连结 OA，OC. ∵OE⊥AB，圆心 O 到直线 AB 的距离为 6，∴OE＝6. ∴CE＝ OC2－OE2＝ 82－62＝2 7， AE＝ OA2－OE2＝ 102－62＝8. ∴AC＝AE－CE＝8－2 7.
谢谢观赏
You made my day!
设 CE＝x cm，∵12AB·CE＝12AC·BC， ∴12×10·x＝12×6×8，∴x＝4.8.即 CE＝4.8cm. ∵CE⊥AB，∴在 Rt△ ACE 中， AE＝ AC2－CE2＝3.6 cm， ∴AD＝2AE＝7.2 cm.
13．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E. (1)当AB＝10，CD＝6时，求OE的长；
当 OC 的值最小时，CD 的值最大，而 OC⊥AB 时，
OC 最小，此时 OC＝ r2－12AB2，
∴CD 的最大值为 【答案】12
r2－r2－14AB2＝12AB＝12.
9．如图，AB，CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB＝8， CD＝6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点 F ， P 为 EF 上 的 任 意 一 点 ， 则 PA ＋ PC 的 最 小 值 为 ________．
【点拨】连结OB，OC，BC，PB，作CH⊥AB于点H. ∵MN⊥AB于点E，∴PA＝PB， ∴PA＋PC＝PB＋PC. ∵两点之间线段最短， ∴当点P为BC与MN的交点时，PA＋PC的值最小．
根据垂径定理，得 BE＝12AB＝4，CF＝12CD＝3， ∴OE＝ OB2－BE2＝ 52－42＝3， OF＝ OC2－CF2＝ 52－32＝4， ∴CH＝OE＋OF＝3＋4＝7，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝ 4＋3＝7.在 Rt△ BCH 中，根据勾股定理，得 BC＝7 2，即 PA＋PC 的最小值为 7 2. 【答案】7 2
浙教版数学九年级上册《3.3垂径定理》说课稿2
浙教版数学九年级上册《3.3 垂径定理》说课稿2一. 教材分析《垂径定理》是浙教版数学九年级上册第三章第三节的内容。
这一节主要介绍了圆中的一个重要定理——垂径定理。
垂径定理是指：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
这个定理在解决与圆相关的问题时非常有用，是圆的基本性质之一。
在教材中，垂径定理是通过探究活动来引导学生发现的。
首先，学生通过观察和动手操作，发现垂直于弦的直径能够平分弦。
然后，学生通过推理和证明，得出垂径定理的一般性结论。
这样的设计既有利于学生直观地理解垂径定理，又能培养学生的观察能力、动手能力和推理能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中数学的大部分内容，对数学的基本概念、基本性质和基本定理有一定的了解。
他们在学习垂径定理之前，已经学习了圆的基本概念、圆的性质和圆的运算。
这些知识为基础，学生应该能够顺利地学习垂径定理。
然而，九年级的学生在学习过程中可能会遇到一些问题。
首先，垂径定理的概念比较抽象，学生可能难以理解和接受。
其次，证明过程需要一定的逻辑推理能力，学生可能在这方面遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，帮助学生理解和掌握垂径定理。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解垂径定理的内容，并能够运用垂径定理解决与圆相关的问题。
2.过程与方法目标：学生通过观察、动手操作、推理和证明等过程，培养观察能力、动手能力和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，克服学习中的困难，增强对数学学科的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解并掌握垂径定理的内容。
2.教学难点：学生能够运用垂径定理解决与圆相关的问题，并能够进行推理和证明。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用以下方法和手段：1.探究法：引导学生通过观察、动手操作、推理和证明等方法，自主发现和理解垂径定理。
2.讲解法：在学生自主探究的基础上，进行讲解和解释，帮助学生理解和掌握垂径定理。
浙教版初中九年级上册数学精品教学课件 第3章 圆的基本性质 3.3 垂径定理
（米）.在中，（米），（米）.筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米.
知识点2 垂径定理的逆定理 重点
内容
数学语言
图示
定理1
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
定理2
平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
敲黑板在一个圆中，一条直线只要满足下列五个条件中的任意两个，那么可以推出其他三个：①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.简记为“知二推三”.
教材深挖（教材第78页作业题第6题结论）
文字语言
图示
数学语言
两条互相平行的弦所夹的弧相等.
，.
典例2如图，是的弦，是的中点，连结并延长交于点.若，，则的半径为__.
通常连半径构造直角三角形
[解析]如图，连结.
在中，，由勾股定理，得.,,，解得.
,AB=2,OC与AB垂直.
中考常考考点
难度
常考题型
内容
数学语言
图示
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
2.
也可以是半径，甚至可以是过圆心的直线或线段，常见情况如图：
3.相关概念
（1）弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点.如表中图，是的中点，是的中点.
（2）弦心距：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.如表中图，的长是弦的弦心距.
第3章 圆的基本性质
3.3 垂径定理
学习目标
1.探索并掌握垂径定理及其逆定理.
2.会运用垂径定理及其逆定理进行简单的计算和证明.
3.会利用垂径定理及其逆定理解决实际问题.
知识点1 垂径定理 重点
九年级数学上册 第三章 圆的基本性质 3.3 垂径定理(第1课时)b课件 (新版)浙教版
2020/1/1
精品课件
13
新教课学讲目 解
标
总结
1、垂径定理的几个基本图形
2020/1/1
精品课件
14
新教课学讲目 解
标
2、垂径定理的几种应用情况
(1)求弦心距
OC
(2)求半径或直径
(3)求弦长
AB
(4)求弓高
CD
两个作为条件，剩余可以求出，此时需构造Rt∆，利用勾 股定理求解
2020/1/1
2020/1/1
精品课件
16
新教课学讲目 解
标
练习
在同一个圆中，两条弦的长短与它们所对应的弦心距之间有什 么关系？
答：在同一圆中，弦心距越长，所对应的弦就越短； 弦心距越短，所对应的弦就越长。
2020/1/1
精品课件
17
巩教固学提目升
标
1、下列说法正确的是（B ） A. 直径是圆的对称轴 B. 经过圆心的直线是圆的对称轴 C. 与圆相交的直线是圆的对称轴 D. 与半径垂直的直线是圆的对称轴
2020/1/1
精品课件
2
导入新课
赵州桥的桥拱呈圆弧形的（如图），它的跨度（弧所对的弦长 ）为37.4米，拱高（弧的中点到弦AB的距离，也叫弓高）为 7.2米。请问：桥拱的半径（即弧AB所在圆的半径）是多少？
通过本节课的学习，我们将能很容易解决这一问题 。
2020/1/1
精品课件
3
新教课学讲目 解
2020/1/1
精品课件
6
新教课学讲目 解
标
例1、已知A⌒B如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点.
分析:要平分A⌒B,只要画垂直于弦
AB的直径.而这条直径应在弦AB的
九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3垂径定理第1课时垂径定理练习浙教版(2021年整理)
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3 垂径定理第1课时垂径定理同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3 垂径定理第1课时垂径定理同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.3 垂径定理第1课时垂径定理同步练习（新版）浙教版的全部内容。
第3章圆的基本性质3。
3 垂径定理第1课时垂径定理知识点1 圆的轴对称性1．圆的对称轴有( ）A．1条 B．2条C．4条 D．无数条2．下列说法中，正确的是（)A．直径是圆的对称轴B．经过圆心的直线是圆的对称轴C．与圆相交的直线是圆的对称轴D．与半径垂直的直线是圆的对称轴知识点2 垂径定理3．如图3－3－1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则CE＝________,错误!＝________，错误!＝________,△OCE≌________.3－3－13－3－24．如图3－3－2,在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC的长为（) A．3 cm B．4 cmC．5 cm D．6 cm5．如图3－3－3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝2，DE＝8，则AB的长为（）A．2 B．4 C．6 D．83－3－33－3－46．如图3－3－4，若⊙O的半径为13 cm，P是弦AB上的一个动点，且到圆心的最短距离为5 cm，则弦AB的长为________cm。
7．如图3－3－5，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8 cm,DC＝2 cm，则OC＝________cm.图3－3－58．如图3－3－6，已知AB,CD是⊙O的两条弦，OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，OE＝OF.求证:AB＝CD。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.3 垂径定理1：利用垂径定理求线段的长度考查角度132的长为
（AB= 在弦，点CAB上，且AC=）AB，则OC【例1】如图所示，?的半径为2，弦O472332 C.D.A. B. 23）CD = 6,则DE等于（1：如图所示，AB是?的直径，AB 丄CD于点E，若检测O D.6
C.5 B. 4
A. 3
OE = 3cm，则①CDAB丄于点E，?中，CD是?的直径，弦AB的长为8 cm，2检测：如图所示，已知在OO cm.
弧=AD；②?的半径为，BC = 弧O
.
CD= ，则OC= ，AB = 6检测3：如图所示，DE是?的直径，弦AB丄ED，垂足为C，若，CE= 1O：利用垂径定理求角的度数考查角度22AED?. ，则= 交于点?的直径AB与弦CD E，AE=5，BE=1，CD=4 2【例】如图，O3?OMN 的度数MN的距离及.
，半径OM = 4，求圆心O到弦检测4：如图所示，?中弦MN的长为4O考查角度3：利用垂径定理进行有关证明
?OCD为等腰三角形，求证：. 是直线，DAB上两点，且AC=BD【例3】如图，在?中，AB为?的弦，C OO?CD，垂足分别为E，F，求证CDO的直径，是弦，AE丄CD，BE:EC = FD.
检测5：如图所示，AB是半圆考查角度4：利用垂径定理作图
【例4】如图，已知弧AB，求作弧AB的中点M，并找出弧AB所在圆的圆心.
检测6：如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友作玩具？考查角度5：在运用垂径定理解题时思考问题不严密，出现漏解的情况
【例5】用圆形纸片剪一个梯形ABCD，AB ∕∕CD，若AB = 48，CD = 20，?的半径为26，则剪
下的梯形ABCD的面O积是多少？
检测7：已知?的半径为13 cm，弦AB//CD，AB = 10 cm，CD = 24 cm,，求AB与CD间的距离.
O考查角度6：利用垂径定理的推论进行有关证明
【例6】如图所示，在?中，已知C是弧AB的中点，且OA = AC，AB，OC交于点P，求证:四边形OACB是菱形. O?OMN??ONM. 的中点，且AB，CD分别是，中的两条弦，?CDAB8检测：如图①所示，，是MN O（1）求证：AB = CD；
页 1 第，求证：于QP，延长ON交?交（2）如图②，延长OM?于OO考
查角度7：利用垂径定理的推论进行有关计算
O的半径等于（?），则?的弦AB = 8，M是AB的中点，且OM = 3【例7】如图，O A. 8 B.
4 C. 10
D. 5
检测9：如图所示，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经好经过圆O，则折痕AB的长为.
考查角度8：在运用垂径定理的推论时思考问题不严密，出现漏解的情况（易错点）
【例8】已知等腰三角形的三个顶点都在半径为5的?上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高.
O拔尖角度1：利用垂径定理及其推论进行证明
【例9】如图所示，D，E分别是的弧AB，弧AC的中点，DE交AB于点M，交AC于N，求证：AM = AN.
检测10：如图所示，P是?外一点，PB、PD分别与?相交于点A，B，C，D.
OO?BPD②AB = CD;③OE丄CD，OF丄PO①平分AB；④OE = OF.从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明.
拔尖角度2：利用垂径定理及其推论进行计算
?AED = 30°，. ，若AE = 5，CE = 1相交于点【例10】如图所示，?的直径AB与弦CDE O(1)求OE
和OA的长；
(2)求CD的长.
检测11：—座桥，桥拱是圆弧形（水面上的部分)，测童时，只测到桥拱下水面宽AB为16 m，如图所示，桥拱最高处离水面4 m.
(1)求桥拱半径；
(2)若大雨过后，桥下水面宽为12m，问水面涨高了多少？
拔尖角度3：利用垂径定理等知识解决动点问题
【例11】如图所示，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿点B以1 cm/s的速度移动，若AB的长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.
(1)求弦BC的长；
?BPC是等腰三角形（PB不能为底边）？(2)问经过几秒后
检测12：如图，AB、CD 是半径为5的?的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB丄MJV于点E，CD丄MN O于点F，P为EF上的任意一点，则PA + PC的最小值为.
拔尖角度4：利用垂径定理等知识解决实际问题
【例12】课堂上，师生一起探究知识，可以用圆柱形管子的内径去测量球的半径，小明回家后把小皮球置于保温杯页 2 第
，经过思考找到了测量方法，并画出了草图，请你根据图中的数据，帮助小明计算小皮的长为8 cm)口上（内径AD.
球的半径，最大高度：某工厂准备建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线。
已知厂门的最大宽度AB = 12 m检测13，方案一：建成拋物线形)5. 8 m.现设计了两种方案(如图所示OC = 4 m，工厂的特种运输卡车的高度是3 m，宽度是.
你认为应采用哪种设计方案？请说明理由方案二：建成圆弧形状.为确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全，状；基础巩固训练）E?的直径，弦CD丄AB于点，则下列结论一
定正确的是（1.如图所示，AB是O；③；①CE = DE；②BE =
OE DAB???CAB AC = AD. ；⑤④①②③④⑤A.①③④⑤ B. ②③④⑤D. C.①②④⑤
），则OP的长为（的5?O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB = CD2.如图所示，在半径为22 C. 3D. 4 A. 3 B. 4
3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB = 10，水面宽AB = 16，则截面圆圆心O到水面的距离OC是（）
A.4
B.5
C.6
D.8
3.如图所示，AB是?O的弦，AB的长为8，P?O是上一个动点（不与A，B重合），过点O作0C丄AP于点C，OD丄PB于点D，则CD的长为.
?PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD = 3 cm，DB = 10 cm，以DB为直径作?O交射线AP如图所
示，5.于E，F两点，则线段EF的长是cm.
6.如图所示，在?O中，已知CD是垂直平分半径0A的弦.
?A的度数；求(1)
(2)若弦CD=16 cm,求?O的半径.
页 3 第。