浙教版九年级数学 第三章 圆的基本性质 33垂径定理同步讲义无答案

3.3 垂径定理1：利用垂径定理求线段的长度考查角度132的长为

（AB= 在弦，点CAB上，且AC=）AB，则OC【例1】如图所示，?的半径为2，弦O472332 C.D.A. B. 23）CD = 6,则DE等于（1：如图所示，AB是?的直径，AB 丄CD于点E，若检测O D.6

C.5 B. 4

A. 3

OE = 3cm，则①CDAB丄于点E，?中，CD是?的直径，弦AB的长为8 cm，2检测：如图所示，已知在OO cm.

弧=AD；②?的半径为，BC = 弧O

.

CD= ，则OC= ，AB = 6检测3：如图所示，DE是?的直径，弦AB丄ED，垂足为C，若，CE= 1O：利用垂径定理求角的度数考查角度22AED?. ，则= 交于点?的直径AB与弦CD E，AE=5，BE=1，CD=4 2【例】如图，O3?OMN 的度数MN的距离及.

，半径OM = 4，求圆心O到弦检测4：如图所示，?中弦MN的长为4O考查角度3：利用垂径定理进行有关证明

?OCD为等腰三角形，求证：. 是直线，DAB上两点，且AC=BD【例3】如图，在?中，AB为?的弦，C OO?CD，垂足分别为E，F，求证CDO的直径，是弦，AE丄CD，BE:EC = FD.

检测5：如图所示，AB是半圆考查角度4：利用垂径定理作图

【例4】如图，已知弧AB，求作弧AB的中点M，并找出弧AB所在圆的圆心.

检测6：如图为一自行车内胎的一部分，如何利用所学知识将它平均分给四个小朋友作玩具？考查角度5：在运用垂径定理解题时思考问题不严密，出现漏解的情况

【例5】用圆形纸片剪一个梯形ABCD，AB ∕∕CD，若AB = 48，CD = 20，?的半径为26，则剪

下的梯形ABCD的面O积是多少？

检测7：已知?的半径为13 cm，弦AB//CD，AB = 10 cm，CD = 24 cm,，求AB与CD间的距离.

O考查角度6：利用垂径定理的推论进行有关证明

【例6】如图所示，在?中，已知C是弧AB的中点，且OA = AC，AB，OC交于点P，求证:四边形OACB是菱形. O?OMN??ONM. 的中点，且AB，CD分别是，中的两条弦，?CDAB8检测：如图①所示，，是MN O（1）求证：AB = CD；

页 1 第，求证：于QP，延长ON交?交（2）如图②，延长OM?于OO考

查角度7：利用垂径定理的推论进行有关计算

O的半径等于（?），则?的弦AB = 8，M是AB的中点，且OM = 3【例7】如图，O A. 8 B.

4 C. 10

D. 5

检测9：如图所示，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经好经过圆O，则折痕AB的长为.

考查角度8：在运用垂径定理的推论时思考问题不严密，出现漏解的情况（易错点）

【例8】已知等腰三角形的三个顶点都在半径为5的?上，如果底边BC的长为8，求BC边上的高.

O拔尖角度1：利用垂径定理及其推论进行证明

【例9】如图所示，D，E分别是的弧AB，弧AC的中点，DE交AB于点M，交AC于N，求证：AM = AN.

检测10：如图所示，P是?外一点，PB、PD分别与?相交于点A，B，C，D.

OO?BPD②AB = CD;③OE丄CD，OF丄PO①平分AB；④OE = OF.从中选出两个作为条件，另两个作为结论组成一个真命题，并加以证明.

拔尖角度2：利用垂径定理及其推论进行计算

?AED = 30°，. ，若AE = 5，CE = 1相交于点【例10】如图所示，?的直径AB与弦CDE O(1)求OE

和OA的长；

(2)求CD的长.

检测11：—座桥，桥拱是圆弧形（水面上的部分)，测童时，只测到桥拱下水面宽AB为16 m，如图所示，桥拱最高处离水面4 m.

(1)求桥拱半径；

(2)若大雨过后，桥下水面宽为12m，问水面涨高了多少？

拔尖角度3：利用垂径定理等知识解决动点问题

【例11】如图所示，AB是半圆O的直径，BC是弦，点P从点A开始，沿点B以1 cm/s的速度移动，若AB的长为10 cm，点O到BC的距离为4 cm.

(1)求弦BC的长；

?BPC是等腰三角形（PB不能为底边）？(2)问经过几秒后

检测12：如图，AB、CD 是半径为5的?的两条弦，AB = 8，CD = 6，MN是直径，AB丄MJV于点E，CD丄MN O于点F，P为EF上的任意一点，则PA + PC的最小值为.

拔尖角度4：利用垂径定理等知识解决实际问题

【例12】课堂上，师生一起探究知识，可以用圆柱形管子的内径去测量球的半径，小明回家后把小皮球置于保温杯页 2 第

，经过思考找到了测量方法，并画出了草图，请你根据图中的数据，帮助小明计算小皮的长为8 cm)口上（内径AD.

球的半径，最大高度：某工厂准备建新的厂门，厂门要求设计成轴对称的拱形曲线。已知厂门的最大宽度AB = 12 m检测13，方案一：建成拋物线形)5. 8 m.现设计了两种方案(如图所示OC = 4 m，工厂的特种运输卡车的高度是3 m，宽度是.

你认为应采用哪种设计方案？请说明理由方案二：建成圆弧形状.为确保工厂的特种卡车在通过厂门时更安全，状；基础巩固训练）E?的直径，弦CD丄AB于点，则下列结论一

定正确的是（1.如图所示，AB是O；③；①CE = DE；②BE =

OE DAB???CAB AC = AD. ；⑤④①②③④⑤A.①③④⑤ B. ②③④⑤D. C.①②④⑤

），则OP的长为（的5?O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB = CD2.如图所示，在半径为22 C. 3D. 4 A. 3 B. 4

3.一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB = 10，水面宽AB = 16，则截面圆圆心O到水面的距离OC是（）

A.4

B.5

C.6

D.8

3.如图所示，AB是?O的弦，AB的长为8，P?O是上一个动点（不与A，B重合），过点O作0C丄AP于点C，OD丄PB于点D，则CD的长为.

?PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD = 3 cm，DB = 10 cm，以DB为直径作?O交射线AP如图所

示，5.于E，F两点，则线段EF的长是cm.

6.如图所示，在?O中，已知CD是垂直平分半径0A的弦.

?A的度数；求(1)

(2)若弦CD=16 cm,求?O的半径.

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