高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义实用课件 北师大版选修1-1.pptx

解释f′100的意义
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[精解详析] 当 x 从 100 变为 100＋Δx 时，函数值 y 关于 x 的
平均变化率为
f100＋Δx－f100 Δx
＝100＋Δx＋
100＋Δx＋3－100＋ 10Δx
100＋3
＝110＋10
1 100＋Δx＋10
当 x 趋于 100 时，即 Δx 趋于 0 时，平均变化率趋于 0.105，
问题 1：fx1＋ΔΔxx－fx1是函数 f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平 均变化率，有什么几何意义？
提示：函数 y＝f(x)图像上 A，B 两点连线的斜率．
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问题 2：Δx 趋于 0 时，函数 y＝f(x)在(x1，x1＋Δx)上的平均 变化率即为函数 y＝f(x)在 x1 点的瞬时变化率，能否看成函数 y＝ f(x)在(x1，f(x1))处的切线斜率？
§ 2
导
数
第
的 概
三念
章及
其
几
何
意
义
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
1
§2
导数的概念及其几何意义
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导数的概念
在高台跳水运动中，如果我们知道运动 员相对于水面的高度 h(单位：m)与起跳后的 时间 t(单位：s)存在关系 h(t)＝－4.9t2＋6.5t ＋10，那么我们就能计算起跳后任意一段时 间内的平均速度－v ，通过平均速度－v 来描述运动员的运动状态， 但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度．
即 f′(100)＝0.105，
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f′(100)＝0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时，成本增加的 速度为 1 050 元/平方米，也就是说当建筑面积为 100 平方米时，每 增加 1 平方米的建筑面积，成本就要增加 1 050 元．
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[一点通]
利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤：
2．导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率．
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导数的概念及应用
[例 1] 建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本 y 万元，y
是 x 的函数，y＝f(x)＝1x0＋10x＋0.3，求 f′(100)，并解释它的 实际意义．
[思路点拨]
导数的定义
―→
函数y＝fx在x＝ 100处的瞬时变化率
―→
关系为
()
A．v1＞v2 C．v1＜v2
B．v1＝v2 D．不能确定
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解析：记 v1＝ΔΔxy11＝tan α1，v2＝ΔΔxy22＝tan α2，易知 α1＜α2， 所以 v1＜v2. 答案：C
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2．已知函数 f(x)＝x2＋1，则 f′(1)＝________.
解 析 ： Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ [(1 ＋ Δx)2 ＋ 1] － [12 ＋ 1] ＝ 2Δx ＋
(Δx)2，
∴ΔΔxy＝2Δx＋ΔxΔx2＝2＋Δx，
∴f′(1)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
答案：2
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3．一个物体的运动方程为 s＝1－t＋t2，其中 s 的单位是 m，t 的
单位是 s，求物体在 3 s 末的瞬时速度．
解：物体在 3 s 末的瞬时速度，即求物体在 t＝3 时的导数． ∵ΔΔst＝f3＋ΔΔtt－f3＝1－3＋Δt＋3＋ΔtΔt2－1－3＋32 ＝Δt2Δ＋t 5Δt＝Δt＋5，
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[一点通] 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下： (1)求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)； (2)根据直线的点斜式方程，得切线方程 y－y0＝f′)在 x0 点的 瞬时变化率 是函数 y＝f(x)在 x0 点的导 数．用符号f′(x0) 表示，记作： f′(x0)＝x1l→imx0 fxx11－ －fx0x0＝Δlixm→0 fx0＋ΔΔxx－fx0.
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导数的几何意义
在函数 y＝f(x)的图像上任取两点 A(x1，f(x1))，B(x1＋Δx， f(x1＋Δx))．
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问题 1：怎么求运动员在 t0 时刻的瞬时速度？ 提示：先求运动员在(t0，t0＋Δt)间平均速度－v ，当 Δt 趋于 0 时，平均速度就趋于运动员在 t0 时刻的瞬时速度． 问题 2：当 Δx 趋于 0 时，函数 f(x)在(x0，x0＋Δx)上的平均 变化率即为函数 f(x)在 x0 处的瞬时变化率，你能说出其中的原因 吗？ 提示：当 Δx 趋于 0 时，x0＋Δx 就无限接近于点 x0，这样(x0， x0＋Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0 处的瞬时变化率． 问题 3：函数 f(x)在 x0 点的瞬时变化率叫什么？ 提示：函数 f(x)在 x0 点的导数．
第一步，求函数的增加量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； 第二步，求平均变化率：ΔΔxy＝fx0＋ΔΔxx－fx0；
第三步，求 f′(x0)＝lim Δx→0
ΔΔxy.
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1.已知函数 y＝f(x)的图像如图所示，设函数 y
＝f(x)从－1 到 1 的平均变化率为 v1，从 1
到 2 的平均变化率为 v2，则 v1 与 v2 的大小
提示：能． 问题 3：函数 y＝f(x)在 x0 处的导数的几何意义是什么？ 提示：函数 y＝f(x)图像上点(x0，f(x0))处的切线斜率．
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导数的几何意义 函数 y＝f(x)在 x0 处的导数，是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处 的 切线的斜率 ．
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1．函数 y＝f(x)在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导 数．
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[精解详析] 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切
线的斜率就等于函数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－12，故曲线在点(－2，
－1)处的切线方程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
∴函数在 t＝3 处的瞬时速度为
s′(3)＝ lim Δx→0
ΔΔst＝Δlixm→0
(Δt＋5)＝5，
即物体在 3 s 末的瞬时速度为 5 m/s.
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求曲线的切线方程 [例 2] 求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程． [思路点拨] 函数 f(x)＝2x在 x＝－2 时的导数即为点(－2，－1) 处切线的斜率，故可先求 f′(－2)，再求曲线的切线方程．