高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义实用课件 北师大版选修1-1.pptx

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解释f′100的意义
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[精解详析] 当 x 从 100 变为 100+Δx 时,函数值 y 关于 x 的
平均变化率为
f100+Δx-f100 Δx
=100+Δx+
100+Δx+3-100+ 10Δx
100+3
=110+10
1 100+Δx+10
当 x 趋于 100 时,即 Δx 趋于 0 时,平均变化率趋于 0.105,
问题 1:fx1+ΔΔxx-fx1是函数 f(x)在(x1,x1+Δx)上的平 均变化率,有什么几何意义?
提示:函数 y=f(x)图像上 A,B 两点连线的斜率.
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问题 2:Δx 趋于 0 时,函数 y=f(x)在(x1,x1+Δx)上的平均 变化率即为函数 y=f(x)在 x1 点的瞬时变化率,能否看成函数 y= f(x)在(x1,f(x1))处的切线斜率?
§ 2



的 概
三念
章及





理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
知识点一 知识点二
考点一 考点二 考点三
1
§2
导数的概念及其几何意义
2
导数的概念
在高台跳水运动中,如果我们知道运动 员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s)存在关系 h(t)=-4.9t2+6.5t +10,那么我们就能计算起跳后任意一段时 间内的平均速度-v ,通过平均速度-v 来描述运动员的运动状态, 但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度.
即 f′(100)=0.105,
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f′(100)=0.105 表示当建筑面积为 100 平方米时,成本增加的 速度为 1 050 元/平方米,也就是说当建筑面积为 100 平方米时,每 增加 1 平方米的建筑面积,成本就要增加 1 050 元.
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[一点通]
利用导数定义求函数在某点处的导数的步骤:
2.导数的几何意义就是曲线上某点处的切线的斜率.
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导数的概念及应用
[例 1] 建造一栋面积为 x 平方米的房屋需要成本 y 万元,y
是 x 的函数,y=f(x)=1x0+10x+0.3,求 f′(100),并解释它的 实际意义.
[思路点拨]
导数的定义
―→
函数y=fx在x= 100处的瞬时变化率
―→
关系为
()
A.v1>v2 C.v1<v2
B.v1=v2 D.不能确定
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解析:记 v1=ΔΔxy11=tan α1,v2=ΔΔxy22=tan α2,易知 α1<α2, 所以 v1<v2. 答案:C
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2.已知函数 f(x)=x2+1,则 f′(1)=________.
解 析 : Δy = f(1 + Δx) - f(1) = [(1 + Δx)2 + 1] - [12 + 1] = 2Δx +
(Δx)2,
∴ΔΔxy=2Δx+ΔxΔx2=2+Δx,
∴f′(1)= lim Δx→0
ΔΔxy=Δlixm→0
(2+Δx)=2.
答案:2
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3.一个物体的运动方程为 s=1-t+t2,其中 s 的单位是 m,t 的
单位是 s,求物体在 3 s 末的瞬时速度.
解:物体在 3 s 末的瞬时速度,即求物体在 t=3 时的导数. ∵ΔΔst=f3+ΔΔtt-f3=1-3+Δt+3+ΔtΔt2-1-3+32 =Δt2Δ+t 5Δt=Δt+5,
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[一点通] 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤如下: (1)求出函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0); (2)根据直线的点斜式方程,得切线方程 y-y0=f′)在 x0 点的 瞬时变化率 是函数 y=f(x)在 x0 点的导 数.用符号f′(x0) 表示,记作: f′(x0)=x1l→imx0 fxx11- -fx0x0=Δlixm→0 fx0+ΔΔxx-fx0.
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导数的几何意义
在函数 y=f(x)的图像上任取两点 A(x1,f(x1)),B(x1+Δx, f(x1+Δx)).
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问题 1:怎么求运动员在 t0 时刻的瞬时速度? 提示:先求运动员在(t0,t0+Δt)间平均速度-v ,当 Δt 趋于 0 时,平均速度就趋于运动员在 t0 时刻的瞬时速度. 问题 2:当 Δx 趋于 0 时,函数 f(x)在(x0,x0+Δx)上的平均 变化率即为函数 f(x)在 x0 处的瞬时变化率,你能说出其中的原因 吗? 提示:当 Δx 趋于 0 时,x0+Δx 就无限接近于点 x0,这样(x0, x0+Δx)上的平均变化率就可以看作点 x0 处的瞬时变化率. 问题 3:函数 f(x)在 x0 点的瞬时变化率叫什么? 提示:函数 f(x)在 x0 点的导数.
第一步,求函数的增加量 Δy=f(x0+Δx)-f(x0); 第二步,求平均变化率:ΔΔxy=fx0+ΔΔxx-fx0;
第三步,求 f′(x0)=lim Δx→0
ΔΔxy.
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1.已知函数 y=f(x)的图像如图所示,设函数 y
=f(x)从-1 到 1 的平均变化率为 v1,从 1
到 2 的平均变化率为 v2,则 v1 与 v2 的大小
提示:能. 问题 3:函数 y=f(x)在 x0 处的导数的几何意义是什么? 提示:函数 y=f(x)图像上点(x0,f(x0))处的切线斜率.
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导数的几何意义 函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处 的 切线的斜率 .
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1.函数 y=f(x)在某点处的瞬时变化率就是函数在该点处的导 数.
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[精解详析] 由导数的几何意义,曲线在点(-2,-1)处的切
线的斜率就等于函数 f(x)=2x在点(-2,-1)处的导数.
而 f′(-2)=lim Δx→0
f-2+Δx-f-2 Δx
= lim Δx→0
-2+2ΔΔxx+1=Δlixm→0
-2+1 Δx=-12,故曲线在点(-2,
-1)处的切线方程为 y+1=-12(x+2),整理得 x+2y+4=0.
∴函数在 t=3 处的瞬时速度为
s′(3)= lim Δx→0
ΔΔst=Δlixm→0
(Δt+5)=5,
即物体在 3 s 末的瞬时速度为 5 m/s.
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求曲线的切线方程 [例 2] 求曲线 f(x)=2x在点(-2,-1)处的切线方程. [思路点拨] 函数 f(x)=2x在 x=-2 时的导数即为点(-2,-1) 处切线的斜率,故可先求 f′(-2),再求曲线的切线方程.
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