第三章 随机数的产生与检验

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注：R软件检验随机数是否服从某一分布 时，可采用这种检验方法。
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3、独立性检验：自相关系数的检验 随机数r1,r2,……,rn中的前后项是否是统计相 关性是否是显著的。相关系数反映了数据间的线 性相关程度，若独立，则相关系数必为0（反之 不一定）。 原假设H0：
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R require
泊松分布
lamda=poissfit(A,alpha); p3=poisscdf(A,lamda); [H3,s3]=kstest(A,[A,p3],alpha) if H3==0 disp('该数据源服从泊松分布。') else disp('该数据源不服从泊松分布。') end
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指数分布
mu=expfit(A,alpha); p4=expcdf(A,mu); [H4,s4]=kstest(A,[A,p4],alpha) if H4==0 disp('该数据源服从指数分布。') else disp('该数据源不服从指数分布。') end
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第二节 均匀随机数的产生

均匀随机数的产生： 主要有线性同余法（LCG），组合同余法， 反馈位移寄存器方法等

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（一）同余与线性同余法

同余

性质：
① ② ③
对称性：a≡b(mod M)，则b≡a(mod M). 传递性:若a≡b(mod M)，b≡c(mod M)，则a≡c(mod M).
F2 ( x) P{F 1 ( R) x} P{R F ( x)} FR [ F ( x)] F ( x)
因为 R ~ U (0,1) ，对任意 F ( x) [0,1] 有 FR ( F ( x)) F ( x) 。 所以 F 1 (R) 的分布函数为 F (x)
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第三节 随机数检验


检验目的：检验均匀伪随机数符合独立同均匀分布； 两种检验方法 统计检验：对生成的伪随机数进行假设检验 理论检验：从理论上讨论随机数发生器性质 统计检验常用近似正态统计量和ⅹ2统计量 以下检验方法一般假设用某发生器生成了均匀分布 伪随机数r1，r2，...，rn，来检验这些生成的随机数 的各种统计量。
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Maclaren 和 Marsaglia在1965年 提出的著名的组合发生器是组合同余 发生器,该算法的具体步骤如下：
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步骤： 1.用第一个LCG产生 k 个随机数，一般取 k 218 。这 k 个 随机数被顺序地存放在矢量 T (t1 , t 2 ,, t k ) 中。置 n 1 ;
的分布函
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证明：
设随机变量 F ( ) 的分布函数为 F1 (u ) ，当 u [0,1] 时， 1 (u) P{F ( ) u} P{ F 1 (u)} F[ F 1 (u)] u F
F 当 u 0 时，1 (u) 0 ；当 u 1时， F1 (u ) 1 所以 F ( ) ~ U (0,1) 设F 1 (R) 的分布函数为F2 ( x) ， 则
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（三）伪随机数


伪随机数：在计算机上用数学方法产生均匀随机数 是指按照一定的计算方法而产生的数列，它们具有 类似于均匀随机变量的独立抽样序列的性质，这些 数既然是依照确定算法产生的，便不可能是真正的 随机数，因此常把用数学方法产生的随机数称为伪 随机数。 伪随机数不可能真随机；

需要对产生的伪随机数进行各种检验保证其符合独 立性条件且分布为要求的分布； 7
xn (314159269n1 453806245 x )(mod2 31 ) xn rn 2 31 x0 2 31
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常用的素数模乘同余发生器 ：
x n 3125x n 1 (mod2 35 31) xn rn (2 35 31) 35 x0 2 31
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定理
定理1.1：设 F (x) 是连续且严格单调上升的分 布函数，它的反函数存在，且记为 F 1 ( x) ， 即 F[ F 1 ( x)] x
1、若随机变量 的分布函数为 F (x) ，则
F ( ) ~ U (0,1)
2、若随机变量 数为 F (x)
R ~ U (0,1)
，则
F 1 ( R)
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性质4：
例如：已知12≡60(mod 16)，M=16，取C=6，a=2， b=10，因为(M,C)=2，则有2≡10(mod 8)，其中 M/(M,C)=16/2=8。 或者，取C=12， M=16，因为(M,C)=4，则有1≡5(mod 4)，其中M/(M,C)=16/4=4。
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求余运算
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1、特征量检验（参数检验）
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：检验随机数在（0,1）区间内分布时均匀的
（一）卡方检验法：
注：若卡方值过大，则拒绝原假设（即分布不是均匀的）
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（二） Kolmogorov-Smirnov test

K-S检验是连续分布的拟合性检验。检验样 本的经验分布函数与总体的分布函数间的 差异是否显著。
第三章 随机数的产生与检验

1.概论 2.均匀随机数的产生 3.均匀随机数的检验 4.非均匀随机数的产生
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第一节 概论
（一）基本概念和定理


1. 意义：由于在统计学的不同技术中需要 使用随机数，比如从统计总体中随机抽取 样本时，或者在将实验动物随机分配到不 同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡 罗模拟法计算的时候等等，所以。。。 2.定义：设随机变量X~F(x),则称随机变量X 的抽样序列{Xi}为分布F(x)的随机数。
2 .用第二个LCG产生一个随机整数 j ,要求 1 j k
3. 令 xn t j ，然后再用第一个LCG产生一个随机数 y , 令 t j y ；置 n n 1 ;
;
4 .重复2~3，得随机数列 xn ，即为组合同余发生器产生 的数列。若第一个LCG的模为 M ，令 rn xn M ，则 rn 为 均匀随机数。
a3 764261123 a4 630360016
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补充2：组合发生器 ：

思想： 先用一个随机数发生器产生的随机数列为 基础，再用另一个发生器对随机数列进行重新 排列得到的新数列作为实际使用的随机数。这 种把多个独立的发生器以某种方式组合在一起 作为实际使用的随机数，希望能够比任何一个 单独的随机数发生器得到周期长、统计性质更 优的随机数，即组合发生器。
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R ks.test分布检验

ks.test(data, "pnorm", mean(data), sd(data))
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假设检验Matlab-require
%M-file函数f的定义：判断概率函数 function f=p_judge(A,alpha)% 判别所给数据源在 置信率为0.05时的概率分布形式。 A=A(:);%数据集A的形式为n×1。
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定理1.1说明了任意分布的随机数均可由均匀分布 U (0,1) 的随机数变换得到。常简称 U (0,1) 的随机数为均匀分布 随机数。
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（二）产生随机数的一般方法：
手工方法：抽签、掷骰子、摇号等； 随机数表法：占用内存大，目前已很少使用； 物理方法：放射性衰变、电子设备的热噪音、 宇宙射线的触发时间等等；不能重复计算； 数学方法：使用最广。
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Gama分布
phat=gamfit(A,alpha); p2=gamcdf(A,phat(1),phat(2)); [H2,s2]=kstest(A,[A,p2],alpha) if H2==0 disp('该数据源服从γ分布。') else disp('该数据源不服从γ分布。') end
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sample(1:100, 20)#从1到100中无重复抽取20个数； runif(n, min=0, max=1)#产生n个0-1的均匀分布随机数； rnorm (n, mean = 0, sd = 1) #产生n个以0为均值，1为方差的正 态分布随机数； rexp： The Exponential Distribution (wiki link) (指数分布，独立 随机事件发生的时间间隔) rf：The F Distribution (wiki link) (F分布，两个卡方分布除以各 自自由度) rbeta： The Beta Distribution (wiki link) rbinom： The Binomial Distribution (wiki link) (二项分布) rcauchy： The Cauchy Distribution (wiki link) (柯西分布，N阶矩 都不存在的分布...) rchisq： The (non-central) Chi-Squared Distribution (wiki link) (卡 方分布，正态分布平方的分布) 32






rgamma： The Gamma Distribution (wiki link) (伽玛分布) rpois： The Poisson Distribution (wiki link) (泊松分布，单位 时间内随机事件发生的次数) rgeom： The Geometric Distribution (wiki link) (几何分布， 在第n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率) rhyper： The Hypergeometric Distribution (wiki link) (超几何 分布) rlnorm： The Log Normal Distribution (wiki link) (对数正态分 布，正态分布的指数的分布) rlogis： The Logistic Distribution (wiki link) (逻辑分布) rmultinom： The Multinomial Distribution (wiki link) (多变量 正态分布) rnbinom： The Negative Binomial Distribution (wiki link) (负 二项分布)
n 1,2,...
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常用的素数模乘同余发生器 ：
x n ai x n 1 (mod2 31 1) xn rn (i 1,2,3,4) n 1,2,... (2 31 1) x 0 2 31 1
a1 16807
a2 397204094

求余运算的式子A(mod M)定义为：
when A M when A M
A A A(modM ) A M A A M M M
其中
A A M 表示求 M
的整数部分。
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线性同余法（Linear Congruence Generator，LCG） 的递推公式为：
xn (axn 1 c)(modM ) xn rn n 1,2,... M 初值x0
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线性同余法的周期：
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线性同余法产生的序列 x0 , x1, x2 , 一定会重复，因 为周期最多只有M个可能取值。
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满周期
说明：满周期是T=M时。
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补充1：混合同余发生器 与 素数模乘同余发生器 当c≠0时，下式称为混合同余发生器，当 c=0时，称为乘同余发生器，此时当模为 素数时，称它为素数模乘同余发生器。
xn (axn 1 c)(modM ) x rn n n 1,2,... M 初值x0
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两个常用的混合同余发生器：
xn (515 x n1 1)(mod2 35 ) xn rn 35 n 1,2,... 2 x0 2 35
randperm(n)%产生1到n的均匀分布随机序列
a=normrnd(0,1,1,6)%正态分布随机数
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正态分布
[mu,sigma]=normfit(A); p1=normcdf(A,mu,sigma); [H1,s1]=kstest(A,[A,p1],alpha) n=length(A); if H1==0 disp('该数据源服从正态分布。') else disp('该数据源不服从正态分布。') end