2020高考热点解读--递推数列的解法

高考热点解读

谈谈近几年高考中的连续热考的的递推数列问题 山东省郓城第一中学 辛庆存 274700

数列一直是高考的重点内容，也是高考的热点内容，由于数列与高等数学密切相关，特别递推数列一直是高考的重点考查内容。本文结合近几年的高考试题来谈谈常见的几种数列的处理策略。

一、形如()1n n a a f n +-=型的递推数列

这种形式的递推数列，是等差数列的一种拓广，由差为常数变为函数。可以用累差法。通过求差的和来达到求解的目的，前提条件是数列

(){}f n 是可求和的数列。

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---K

例1（2020年山东理22题 ）已知数列｛n a ｝中，111

22

n n a n a a +=-、点（、）

在直线y=x 上，其中n=1,2,3….

(Ⅰ)令{}是等比数列；求证数列n n n n b a a b ,31--=-

(Ⅱ)求数列{}的通项；n a

(Ⅲ)设分别为数列、n n T S {}

、n a {}n b 的前n 项和,是否存在实数λ，使得数列n n S T n λ+⎧⎫

⎨⎬

⎩⎭

为等差数列？若存在，试求出λ.若不存在,则说明理由。

分析：点在直线上，点的坐标满足直线的方程，就能得到递推数列关系。 解答：（1）证明：由已知得111,2,2n n a a a n +=

=+2213313

,11.4424

a a a ∴=--=--=-又11

n n n b a a +=--，

1211n n n b a a +++∴=--()11211111

1122112

n n n n n n n n n n a n a n

b a a b a a a a +++++++++----∴===---- {}n b ∴是以34-为首项，以1

2

为公比的等比数列。

（2）解：由（1）知，1

3131

4222

n n n b -⎛⎫

=-⨯=-⨯ ⎪

⎝⎭，131122n n n a a +--=-⨯

2131

122a a ∴--=-⨯

32231

122

a a --=-⨯

…

1131

122

n n n a a ----=-⨯

以上各式相加（即累差）得：

()121311112222n n a a n -⎛⎫

---=-⨯+++ ⎪⎝⎭

L ，

()1111113131221111222212

n n n a a n n --⎛⎫

- ⎪⎛⎫⎝⎭∴=+--⨯=+--- ⎪⎝⎭-

=

()11313

1122222

n n n n -⎛⎫+---=+- ⎪⎝⎭ 3

22n n

a n ∴=

+- （3）解：存在2λ=，使数列n n S T n λ+⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是等差数列。由（1）

（2）知，22n n a b n +=- ()

1222

n n n n S T n +∴+=

- ()

1223222n n

n n n n n n T T S T n T n n n λλλ+--+++-∴==+

又123113142112212n n n n T b b b ⎛⎫

-- ⎪

⎛⎫⎝⎭

=+++=

=-- ⎪⎝⎭-L =13322n +-+ 13233222n n n S T n n n λλ++--⎛⎫

∴

=+-+ ⎪⎝⎭

所以当且仅当2λ=时，数列n n S T n λ+⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

是等差数列。

例2（2020年全国高考试题）已知数列{}n a 满足()1

111,32.n n n a a a n --==+≥（Ⅰ）求

23

,a a （Ⅱ）证明：31

2

n n a -=

分析：由题意可以有1

13n n n a a ---=可以用累差法。

（Ⅰ）解：2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q

（Ⅱ）证明：由已知

1

13n n n a a ---=故累差得

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---K

=1

2

31

3

3

312

n n n ---++++=L

例3（2020年全国1高考试题 22题 ）

已知数列1}{1=a a n 中，且

a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k+1=a 2k +3k , 其中k=1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5； （II ）求{ a n }的通项公式

分析：本小题主要考查数列，等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和

推理能力. 解：（I ）a 2=a 1+(－1)1=0, a 3=a 2+31=3. a 4=a 3+(－1)2=4, a 5=a 4+32=13, 所以，a 3=3,a 5=13. (II) a 2k+1=a 2k +3k

= a 2k －1+(－1)k +3k , 所以a 2k+1－a 2k －1=3k +(－1)k ,

同理a 2k －1－a 2k －3=3k －1+(－1)k －

1, ……

a 3－a 1=3+(－1).

所以(a 2k+1－a 2k －1)+(a 2k －1－a 2k －3)+…+(a 3－a 1)

=(3k +3k －1+…+3)+[(－1)k +(－1)k －

1+…+(－1)], 由此得a 2k+1－a 1=

23(3k －1)+2

1

[(－1)k －1], 于是a 2k+1=.1)1(2

1

231--++k k a 2k = a 2k －1+(－1)k

=

21

23+k (－1)k －1－1+(－1)k =

2

1

23+k (－1)k =1.