线性分组码

(1)信息组：m=(00),(01),(10),(11) (2)求得4个许用码字为 C1=(00000),C2=(10111), C3=(01101),C4=(11010) (3)求出校验矩阵 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 H 1 1 0 0 1
(4)求出伴随式 s1=e1+e2+e3 s2=e1+e4 s3=e1+e2+e5
• 系统形式
G Gs I k Qk r I k 是k k单位矩阵，r n k , Q是k r矩阵
8.3 编码
• m为消息向量，即任意k维向量，生成矩 阵为G，码字c为 c=mG
• 系统码：编码时，信息组m乘以系统形
式的G所得的码字，这样生成的(n,k)码叫 系统码。 • 生成矩阵G的每一行也是一个码字。
2、标准阵列译码
(1)标准阵列构造方法
– 将没有任何差错时的收码r放在第一行，共2kl列， 并将全 0 码字 C1=(00…0) 放在最左面的位置上。 – 在第2到第n+1的n行中填上所有重量为1的差错 图案。如果(1+n)< 2n-k，接着在下面写出全部带 有2个差错的图案。如果仍然小于2n-k ，列出带
例：考虑一个(7,4)码，其生成矩阵是
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 G 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
对于信息组m=(1011),编出的码字是什么？
例：考虑一个(7,4)码，其生成矩阵是
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 G 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1
(5)标准阵列
S1=000 S2=111 S3=101 S4=100 E1+ C1=00000 E2=10000 E3=01000 E4=00100 C2=10111 00111 11111 10011 C3=01101 11101 00101 01001 C4=11010 01010 10010 11110
2
nk
n i i 0
t
完备码：使上等号成立的二元线性分组码。
例：已知 (7,4) 码的生成矩阵为
写出所有许用码组，并求监督矩阵。若接 收码组为1101101，计算伴随式。
例：设一分组码具有一致校验矩阵
1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 H 0 0 1 1 1 1
(1)求这分组码n=?k=?，共有多少个码字？ (2) 此分组码的生成矩阵。 (3)矢量101010是否是码字。
例： 已知某系统汉明码的校验矩阵为
1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 H 1 1 0 1 0 0 1
试求生成矩阵。当输入序列为110101101010时， 求编码器编出的码序列。
T


1 1 1 0 0 H 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
8.2.2 生成矩阵
• k行n列矩阵
g 0, 0 g 0,n 1 G g k 1, 0 g k 1,n 1 对于二进制编码，G是二元矩阵，g ij 0,1 • G的k个行矢量是线性无关的。
8.6 汉明码
(1) 纠错能力t=1，最小码距为dmin =3 (2) 码长n和信息位k服从以下规律
(n, k ) (2 1,2 1 m) 当m=3时为(7,4)汉明码，当m=4时为 (15,11)汉明码。 (3) 汉明码是完备码。
m m
8.7 码限
汉明限：任何一个二元(n,k)线性分组码都 有2n-k个伴随式，设该码的纠错能力是t,伴 随式的数目满足条件
S5=010
S6=001 S7=011 S8=110
E5=00010
E6=00001 E7=00011 E8=00110
10101
10110 10100 10001
01111
01001 01110 01011
11000
11011 11001 11100
8.4 最小距离、检错和纠错能力
1、码长n 2、信息位长k，以及由此衍生出的码率 R=k/n和校验位长r=n-k。 3、码字数M，二元分组码为M=2K 4、最小码距d，以及由此衍生出的任意纠 错数目t=[(d-1)/2]。
有3个差错的图案。直到放满2n-k行，每行一个ej
对应不同的伴随式sj 。
– 在码表的第j行、第I列填入ci +ej 。
例：某一个(5,2)系统线性码的生成矩阵是
1 0 1 1 1 G 0 1 1 0 1
设收码是r=(10101)，先构造该码的标准阵列译 码表，然后译出发码的估值C。
第8章 线性分组码
8.1wenku.baidu.com概念
8.2 监督矩阵和生成矩阵 8.3 编码 8.4 最小距离、检错和纠错能力 8.5 译码
8.6 汉明码
8.1 概念
1、线性分组码：通过预定的线性运算将长为k位的
信息码组变换成n重的码字（n>k），由2k个信息码 组所编成的2k个码字集合称为线性分组码。
2、码集C：长度为n的二进制分组码有2n 种可能组
若接收到一个7位码r=(1001101),它是否 是码字？
8.5 译码
1、伴随式
(1) 定义：伴随式是一个r（n-k)维向量
s=rHT =(c+e) HT =cHT +eHT = eHT 如果收码无误，则s=0；如果信道中产生差错，则s不等 于0。
(2) 特性：
• 在HT固定的前提下，伴随式s仅与差错图案e有关，而与 发送的具体码字无关。 • 伴随式是错误的判别式，即只能判别收码是否发生错误。
合，选择其中的2k种(k<n)构成一个许用码的集合。
3、编码：将k比特信息组一一对应地映射到许用码
码集，不同的编码算法对应不同的映射方法，这样 得到的分组码称为(n,k)码。
8.2 监督矩阵和生成矩阵
8.2.1 监督矩阵 一致校验矩阵H r行n列矩阵 cHT=0 H的标准形式
H H s (Qk r ) , I r
作业：8.2 8.3（1）（2）