第一学期期初考试高二数学试题及答案201303

第一学期期初考试高二数学试题

姓名 得分

（全卷满分１００分 考试时间９０分钟）

一、填空题：本大题共1０小题，每小题４分，共计４0分．请把答案填写在题后的横线上．．．．．．． 1. 某企业有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，一般职员90人，现按分层抽样的方法抽取30人进行座谈，则抽取的各职称人数分别为 ． 2. 已知等差数列{}n a 的首项

11

a =，

12312

a a a ++=，则{}n a 的公 差d

= ．

3. 不等式x 2

+2x -3＜0的解集为 ． 4. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD

内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于 ． 5. 若直线l 不平行于平面α，且l α∉，则①α内的所有直线与l

异面;②α内不存在与l 平行的直线;③α内存在唯一的直线

与l 平行;④α内的直线与l 都相交．以上结论中正确的是 ．（把你认为正确的结论都填上）

6. 已知实数x 、y 满足约束条件1,

1,

x y x y x +≤⎧⎪

-≤⎨⎪⎩

≥0,则x y +2的

最大值为 ，最小值为 ． 7. 若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足

2

2

()4

a b c +-=，且C=60°，ab 的值

为 ．

8. 执行如图所示的程序框图，若输入A 的值为2，则输

出的P 值为 ．

9. 设函数122,1,

()1lo g ,1,

x

x f x x x -⎧≤=⎨

->⎩则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 ．

10. 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，a n +1 =3S n （n ≥1），则a 8= ．

二、解答题：本大题共6小题，共计60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

11.（本题满分８分）已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH ∥FG ． 求证：EH ∥BD .

12.（本题满分８分）

以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.

（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；

（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差],

)()()[(12

2

22

12x x x x x x n

s n -+-+-= 其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）

13.（本题满分1０分）

设函数f （θ）=3sin cos θθ+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P （x , y ），且0θπ≤≤． （1）若点P 的坐标为1

3(,

)22

，求()f θ的值；

（II ）若点P （x ，y ）为平面区域Ω：1,

1,1x y x y +≥⎧⎪

≤⎨⎪≤⎩

上的一个动点，试确定角θ的取值范围，

H G F

E D B

A

C

并求函数()f θ的最小值和最大值．

14.（本题满分1０分）

在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知co s 2co s 2co s A C

c a B

b

--=

．

（I ）求

sin sin C A

的值；

（II ）若cosB=14

，A B C ∆的周长为5，求b 的长．

15.（本题满分1２分）

已知公差不为0的等差数列}{n a 的首项1a 为)(R a a ∈，且1

1a ，

2

1a ，

4

1a 成等比数列．

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ ）对*

N n ∈，试比较2

2

2

2

111n

a a

a

+

++

与

1

1

a 的大小．

16.（本题满分1２分）设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为M ，若M ⊆[1,4]，求实数a 的范

围．

高二数学参考答案与评分标准

１．3,9,18 ２．3 ３．(-3,1) ４．

12

５．② ６．２，-2 ７．

43

８．4

９．[0，+∞） １0．3 × 4

6

11．证明：∵EH ∥FG ,EH ⊄平面BCD ，F G ⊂面B C D ，∴EH ∥平面B C D …………………………4分

又E H ⊂ 面A B D ，面B C D 面A B D B D =，∴EH ∥B D ………………8分 12．解（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，

所以平均数为;4

354

10

988=

+++=x (2)

分

方差为2

2

2

2

135353511[2(8)(9)(10)].4

4

4

4

16

s =⨯-+-

+-=

(4)

分

（Ⅱ）记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： （A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4）， （A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4）， （A 3，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 3），（A 1，B 4）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），（A 4，B 3），（A 4，B 4）， 用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们