初二上总复习几何证明举例(青岛版)

变式：你能通过证明线段相等解决下列问题吗？ 1、在⊿ABC中，∠ACB=900，AC=BC， 直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， 试说明DE=AD+BE
2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、 CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB 的长相等。在点E、F移动过程中： （1）EF的长度与BE+DF有什么等量关系？ 并说明理由。 （2）若正方形ABCD的边长为10cm， 求⊿EFC的周长。
3．（2014•南充二模）如图：已知在△ABC中， AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：DE=DF； （2）若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段？ （不说明理由）
4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC， 点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上 的点，四边形ADEF为平行四边形． 求证：AD=BF．
初二上总复习 几何证明举例
（青岛版）
课前练兵： 1．（2014•湘西州）如图，在□ABCD中，点E、F 分别在边BC和AD上，且BE=DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AE=CF．
2．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC， BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 求证：DE=DF．
证明线段相等或角相等的思路与方法
1、证明两条线段或两个角所在的三角形全等。 依据：全等三角形的对应边 相等 对应角 相等 2、如果所要证明的两条线段或两个角在同一 个三角形中，则证明这个三角形是等腰三角形。 依据：同一三角形中，等边对 等角，等角对 等边 3、若要证明相等的线段或角是平行四边形的对边 或对角，就证明该四边形是平行四边形。 依据:平行四边形的对边 相等 ，对角 相等 另外，有时也可利用“线段的垂直平分线的 性质和角的平分线的性质”来证明线段相等
典例分析
例1．（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E 分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是 AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM； （2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
请把（1）的证明过程的依据填上： （1）证明： ∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点， ∴DF⊥AE，（ 等腰三角形底边上的高与中线重合 ） DF=AF=EF，（ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ） 直角三角形的 又∵∠ABC=90°， 两个锐角互余 ∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余（ ） 同角的余角相等 ∴∠DCF=∠AMF，（ ） ∴△DFC≌△AFM（ AAS ） ∴CF=MF（全等三角形的对应边相等 ） ∴∠FMC=∠FCM（ 等边对等角 ） 请完成（2）证明：
3、在⊿ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的 直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB 交直线AC于点E。 （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC . （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点 D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出 图②③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明。 （3）若AC=6，DE=4，则DF=
判定两个三角形全等的“四种思 路” 1、已知两边 找夹角（ SAS ）
思路方法：
பைடு நூலகம்
找直角（HL ， SAS） 找另一边（SSS ） 2、已知一边一角 （1）边为角的对边时，找任一角（AAS ） （2）边为角的邻边时 找角的另一边（SAS ） 找夹边的另一角（ASA ） 找边的对角（ AAS ） 3、已知两角：找任意一边（ AAS ，ASA ） 4、有直角，找两边（ SAS ， HL ）
5．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的 中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长 BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长．
思考： 1、证明两个三角形全等，根据给出的 条件。你能有几种分析思路？ 2、要证明两条线段相等或两个角相等， 你有几种思路？
例2．（2014•靖江市模拟）如图：在正方形 ABCD中，P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ， 过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G， AP、EQ的延长线相交于R． （1）求证：DP=CG； （2）RP与RQ有什么数量关系？说明理由。
证明：（1）在正方形ABCD中 AD=DC，∠ADC=∠DCB=900 ∵DG⊥AP ∴∠APD+∠GDC=∠GDC+∠DGC=900 ∴∠APD=∠DGC ∴⊿APD≌⊿DGC ∴DP=CG （2）相等。在正方形ABCD中，∠GCE=∠QCE=450 ∵DP=CQ，DP=CG ∴CG=CQ ∵CE=CE ∴⊿CGE≌⊿CQE ∴∠CGE=∠CQE ∵∠APD=∠DGC ，∠RPQ=∠APD，∠RQP=∠CQE ∴∠RPQ=∠RQP ∴RP=RQ