向量法求空间距离和角

用向量方法求空间角和距离

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题．

1 求空间角问题

空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角

设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||

a b

a b （２）求线面角

设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法

向量， 则斜线l 与平

面

α所成的角

α=arcsin |

|||||

l n

l n （３）求二面角

法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角

l αβ--的平面角α=arccos

||||

a b

a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两

个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角

l αβ--的平面角α=12

12arccos

||||

n n n n 2 求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离

法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A

到α的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ．

（２）求异面直线的距离

法一、找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离．

法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）．

例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离

解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角，

（II ）如图建立空间坐标系D xyz -， 则

(1,0,2)DE =，(2,2,0)DB =

设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由0

DE n DB n ⎧

⋅=⎪

⎨

⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112

sin |cos ,||

|2||||

BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4

π

． （III ）点1B 到面EFBD 的距离ｄ等于

向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值，

1||||

BB n d n ∴=

=1

3 1

1

||||11111

1cos ||

()()|

|

||||222|

|,arccos

5555DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=

设计说明：１．作为本专题的例１，首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体，来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解． ２．解决(1)后，可让学生进一步求这两条异面直线的距离，并让学生体会一下：如果用传统方法恐怕很难（不必多讲，高考对公垂线的作法不作要求）． ３．完成这３道小题后，总结：对于易建立空间直角坐标系的立几题，无论求角、距离还是证明平行、垂直（是前者的特殊情况），都可用向量方法来解决， 向量方法可以人人学会，它程序化，不需技巧．

例2．如图，三棱柱中，已知A BCD 是边长为1的正方形，四边形 B B A A '' 是矩形，。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' （Ⅰ）若A A '＝１，求直线AB 到面'DAC 的距离．

（II ） 试问：当A A '的长度为多少时，二面角 A C A D -'-的大小为？

60 解：（Ⅰ）如图建立空间坐标系A xyz -， 则 '(1,1,)DA a =- (0,1,0)DC =

设面'

DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'1100

DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

得1(,0,1)n a =

直线AB 到面'DAC 的距离ｄ就等于点Ａ到面'

DAC 的距离， 也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值，

11||2

2||

AD n d n ∴=

=

（II ）易得面'

AAC 的法向量21

1(,,0)22

n =-

∴向量12,n n 的夹角为60

由12

1221211

2cos ,2

||||

212a n n n n n n a ⋅〈〉=

=

=

+⋅

得 1a = ∴ 当A A '＝１时，二面角A C A D -'-的大小为60．

设计说明：１．通过（Ⅰ），复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量（法向量）投影的绝对值的解题思路与方法．

２．通过（II ），复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法，也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补，就没有其他情况．

例３．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点． （Ⅰ）求证： 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直； （II ）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小． 证明：（Ⅰ）如图建立空间坐标系O xyz -，设AP a = 则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a --

1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ∴==--- 120AC B P =-≠，1B P ∴不垂直AC

∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直．

（II ）1(3,1,2)BC =-，由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面

∴

1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量