向量法求空间距离和角

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

用向量方法求空间角和距离

在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点.向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题.

1 求空间角问题

空间的角主要有:异面直线所成的角;直线和平面所成的角;二面角. (1)求异面直线所成的角

设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||

a b

a b (2)求线面角

设l 是斜线l 的方向向量,n 是平面α的法

向量, 则斜线l 与平

α所成的角

α=arcsin |

|||||

l n

l n (3)求二面角

法一、在α内a l ⊥,在β内b l ⊥,其方向如图,则二面角

l αβ--的平面角α=arccos

||||

a b

a b 法二、设12,,n n 是二面角l αβ--的两

个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧,则二面角

l αβ--的平面角α=12

12arccos

||||

n n n n 2 求空间距离问题

构成空间的点、线、面之间有七种距离,这里着重介绍点面距离的求法,象异面直线间的距离、线面距离;面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离

法一、设n 是平面α的法向量,在α内取一点B, 则 A

到α的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==

法二、设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示,可确定点O 的位置,从而求出||AO .

(2)求异面直线的距离

法一、找平面β使b β⊂且a β,则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离,又转化为点A 到平面β的距离.

法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量,求n (n a ⊥,n b ⊥),则异面直线a 、b 的距离||

|||cos |||

AB n d AB n θ==(此方法移植于点面距离的求法).

例1.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是棱1111,A D A B 的中点. (Ⅰ)求异面直线1DE FC 与所成的角; (II )求1BC 和面EFBD 所成的角; (III )求1B 到面EFBD 的距离

解:(Ⅰ)记异面直线1DE FC 与所成的角为α, 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角,

(II )如图建立空间坐标系D xyz -, 则

(1,0,2)DE =,(2,2,0)DB =

设面EFBD 的法向量为(,,1)n x y = 由0

DE n DB n ⎧

⋅=⎪

⋅=⎪⎩ 得(2,2,1)n =- 又1(2,0,2)BC =- 记1BC 和面EFBD 所成的角为θ 则 1112

sin |cos ,||

|2||||

BC n BC n BC n θ⋅=〈〉== ∴ 1BC 和面EFBD 所成的角为4

π

. (III )点1B 到面EFBD 的距离d等于

向量1BB 在面EFBD 的法向量上的投影的绝对值,

1||||

BB n d n ∴=

=1

3 1

1

||||11111

1cos ||

()()|

|

||||222|

|,arccos

5555DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=

设计说明:1.作为本专题的例1,首先选择以一个容易建立空间直角坐标系的多面体―――正方体为载体,来说明空间角和距离的向量求法易于学生理解. 2.解决(1)后,可让学生进一步求这两条异面直线的距离,并让学生体会一下:如果用传统方法恐怕很难(不必多讲,高考对公垂线的作法不作要求). 3.完成这3道小题后,总结:对于易建立空间直角坐标系的立几题,无论求角、距离还是证明平行、垂直(是前者的特殊情况),都可用向量方法来解决, 向量方法可以人人学会,它程序化,不需技巧.

例2.如图,三棱柱中,已知A BCD 是边长为1的正方形,四边形 B B A A '' 是矩形,。

平面平面ABCD B B A A ⊥'' (Ⅰ)若A A '=1,求直线AB 到面'DAC 的距离.

(II ) 试问:当A A '的长度为多少时,二面角 A C A D -'-的大小为?

60 解:(Ⅰ)如图建立空间坐标系A xyz -, 则 '(1,1,)DA a =- (0,1,0)DC =

设面'

DAC 的法向量为1(,,1)n x y = 则'1100

DA n DC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩

得1(,0,1)n a =

直线AB 到面'DAC 的距离d就等于点A到面'

DAC 的距离, 也等于向量AD 在面'DAC 的法向量上的投影的绝对值,

11||2

2||

AD n d n ∴=

=

(II )易得面'

AAC 的法向量21

1(,,0)22

n =-

∴向量12,n n 的夹角为60

由12

1221211

2cos ,2

||||

212a n n n n n n a ⋅〈〉=

=

=

+⋅

得 1a = ∴ 当A A '=1时,二面角A C A D -'-的大小为60.

设计说明:1.通过(Ⅰ),复习线面距离转化为点面距离再转化为一向量在一向量(法向量)投影的绝对值的解题思路与方法.

2.通过(II ),复习面面角转化为两向量的夹角或其补角的方法,也可借此机会说明为什么这两个角相等或互补,就没有其他情况.

例3.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2,P是侧棱1AA 上任意一点. (Ⅰ)求证: 直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直; (II )当11BC B P ⊥时,求二面角11C B P C --的大小. 证明:(Ⅰ)如图建立空间坐标系O xyz -,设AP a = 则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2)(0,1,)a --

1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ∴==--- 120AC B P =-≠,1B P ∴不垂直AC

∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直.

(II )1(3,1,2)BC =-,由11BC B P ⊥,得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面

1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量

相关文档
最新文档