二重积分的所有变换

.
例5. 计算 xyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线 D
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2 y2 x
y
则
D
:
y2xy2 1y2
oD
1
4x yx2
Dxyd
2
1
d
y
y2
y 2 xydx
211 2x2yyy 22dy1 2 21[y(y2)2y5]dy
ax
.
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 yx,y所5x围,x成1 的区域.
yx
x 1
解 易知积分区域可表为
D :0x 1 ,xy 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
D
0x
1(xy3y2)
0
5x x
dx
176x2dx 76.
0
3
k
k
r rk x
域的面积
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k
1 2 [r k (r k r k ) r ] k k rkk
rkrkk
k
在 k 内取点(rk,k),对应有
k r k co k , k s r k si kn
rk
rk
.
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n
lim f
D o
D f(rco ,rssi)n rdrd
2
d
()f(rco ,srsin )rdr
0
0
.
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若 f ≡1 则可求得D 的面积
D d
1 22()d 20
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1) y r()
0k1
(k,k)k
n
l i0k m 1f(rkcok,s rksik n )rk rkk
即 Df(x,y)dD f(rco,srsin)rdrd
下面考虑如何把极坐标系下 的二重积分化为二次积分.
分三种情况来讨论:
.
rd d
d
dr r
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1) 极点在D之外
设 D: 1() r 2(), 则
y4x2, y3x,x1所围成. 解: 令 f(x ,y)xln y (1 y2)
y
4 y 4x2
DD1D2 (如图所示)
D1
显然,
在D1上, f( x ,y ) f(x ,y ) 在D2上, f(x , y ) f(x ,y )
y 3x
oD 2
1x
x 1
I xln y (1 y2)d x d y D 1
(2) y r()
D
D
o
x
ox
答: (1)0;
(2)
22
.
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例 9 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分
D
形式，其中积分区域
D {( x, y) | 1 x y 1 x2 , 0 x 1}.
解
在极坐标系下
x
y
r r
cos sin
x2y2 1
f(x,y)dxdyddy2(y)f(x,y)dx
D
c 1(y)
这是先对 x ，后对 的y 两次积分.
y
x 1( y)
y
d
d
y
y
c
x 2 ( y)
c
o
x
.
o
x 1( y)
x 2 ( y)
x
如果去掉以上结论中关于 zf(x ,y) 0 ,(x ,y ) D 的限制，则上述结论仍是成立的.
定积分的问题。第一次计算定积分
A(x) 2(x) f(x,y)dy 1(x)
时，x 看作是常量， y是积分变量；第二次积分时，x
是积分变量.
这是先对 y ，后对 的x 两次积分(适合于 型X区域).
.
类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y 轴的平面
去截曲顶柱体,此时D为
D :c y d 1 (y ) x 2 (y )
原式
er 2rdrd
2
d
a rer2 dr
D
0
0
2
1er 2
2
a 0
(1ea2)
由于 e x2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
.
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注: 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上
非常有用的反常积分公式
ex2dx
0
2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
第二节
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
.
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一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分定义为积分和式的极限．如果直接用二 重积分的定义去计算它的值，是相当困难的，甚至 是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义— 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方 法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积 分，即二次积分.
的面积.即 A (是x ) 一个曲边梯形的面积.
.
对固定的 x,此曲边梯形
z
的曲边是由方程 z f (x, y)
A(x)
y
确定的关于 y 的一元函数
的曲线,而底边沿着 方y
y 2(x)
向从 1 ( 变x ) 到 .2故( x )
其面 A ( 积x ) 为
A(x) 2(x) f(x,y)dy 1(x)
y 轴的直线,则该直线与 的D 边界曲线的交点不多
于两个
y
y 2 (x)
y
y 2(x)
y
y 2(x)
y 1(x)
oa x
bx
y 1(x)
oa x
.b x
y 1(x)
oa x
bx
由二重积分的几何意义知:
z
f (x,是y)d区 域 上以D 曲面
D
z f (x为, y顶) 的曲顶柱体的体积.
所以圆方程为 r 1,
直线方程为r
1
,
sin cos
xy1
f(x, y)dxd y 2d1 1 f(rco ,rssin )rd . r
D
0 sin co s
.
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例10.计算
ex2y2 dxdy,其中D:x2y2a2.
D
解: 在极坐标系下D:00r2a,故
xlny ( 1y2)dxdy0 D 2
.
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二、利用极坐标计算二重积分
在二重积分的计算中,如果积分域是圆域或部分圆 域,被积函数为 f(x2y2), f(形y)式, f,(利x)用极坐
xy
标变换来计算二重积分会十分方便.
积分的变量代换是计算积分的一个有效方法,对二
0
sixnxdx
x
d
0
y
0
sinxdx
cosx
0
2
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
.
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例7. 交换下列积分顺序
2 x 2
22 8 x 2
I 0 d x 0 2f(x ,y )d y 2 d x 0 f(x ,y )d y
解: 积分域由两部分组成:
Dr2()
D f(rco ,rssin )rdrd
d
2()f(rco ,rssin )rd or
1()
r1() r2()
2) 极点在D的边界上
D
:
0 r
()
,
o
D f(rco ,rssin )rdrd
d
()
0
f(rcos,rs. in)rdr
r1()
3) 设极点D之内
r()
D:00r2()
1y44y32y21y62 45
24 3
6 1 8
.
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例6. 计算 sinxdxdy, 其中D 是直线 yx,y0, Dx
x所围成的闭区域.
y
解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, 因此取D 为X – 型域 :
yx
D x
D:
0 0
yx
x
o x
Dsixnxdxdy
D3
0
x
.
由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 是如何根据区域 D去确定两次积分的上、下限.建 议读者先将区域 D的图形画出，再写出区域 上D 的 点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限.
定限法则:就 X型区域而言 后积先定限,域内穿射线, 先交为下限,后交为上限. 如右图
1 2b2(x 2 23 2x a34 xa 42)0 a2 1 4a2b2 .
⑵ 前图所示的四分之一椭圆区域可表示为
因此
D:0xa,0yb 1ax22
y
xydxdy
a
dx
b 1ax22 xydy
00
b
D
a 0
1b2(1 2
x2 a2
)xdx
o
1b2(x2 22
x4 4a2
)
a 0
12b2(a22 4aa42)81a2b2
D
例如
11
1
x y d x d yx d x
1 y d y 1 1 1
00
0
0
224
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D 是 X 型或 Y型区域，即平行于 轴y 或 轴x 的直线与区域 D边界曲线的交点不多
于两点.若 不D 满足这个条件,可将 D 分块.再应用积分的分域性质来计算.
y
D1
D2
A(x)
y
为确定曲顶柱体的体积,可在
oa x b
x
x处用垂直 轴x 的平面去截曲
顶柱体,设其截面面积为 A ( x )
.
由定积分的应用可知：已知
z
平行截面面积的立体的体积
公式为
A(x)
y
从而
b
V a A(x)dx
f(x,y)dabA(x)dx
D
oa x b
x
其中 A ( x ) 是垂直于 x 轴的平面与曲顶柱体相交部分
重积分也有类似的方法.在这类方法中极坐标变换
xrcos,yrsin
最为常用.下面介绍怎样利用极坐标变换来计算二
重积分.
.
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在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 y
及射线 =常数, 分划区域D 为
k(k 1 ,2 , ,n )
则除包含边界点的小区域外,小区 o
k k
exydxdy( 1exdx)( 2eydy)ex1ey2
0
1
01
D
(e1)(e2e)e(e1)2
或先积 y再积 x
exydxdy
1
dx
2exydy
01
e1 xy
0
2 1
dx
D
1(ex2
0
ex1)dx
(ex2
ex1)
1 0
(e3 e2)(e2 e) e(e1)2
.
例3 计算二重积分 x y.d其x d中y 积分区域 分 D
.
设函数 z f (在x,区y)域 上连D 续,且当 时(x，, y)D
f (x, y)如0果区域 是由D 直线 ，x与a曲x线 b
y1(x),y 所围2(x成) (称为 型区域X ),如下图,即
D :a x b ,1 (x ) y 2 (x )
X 型区域的特点:在 ( a内, b任) 取一点 过 x作, 平x 行于
从而
oa x b
x
y 1(x)
D f(x ,y )d D f(x ,y )d x d ya b 1 2 (( x x ))f(x ,y )d y d x(1) .
通常写成
f(x,y)dxdybdx2(x)f(x,y)dy
D
a 1(x)
(2)
这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次
几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，即D
为
D :axb ,cyd
则
bd
db
f(x ,y )d x d y a d x cf(x ,y )d y cd y af(x ,y )d x
D
（ⅱ）若函数可积，且D为
D :axb,cyd
.
且
f(x,y)f1(x)f2(y)
则
b
d
f(x ,y )d x d yaf1 (x )d xcf2 (y )d y
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2
D1
D2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
.
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例8. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
.
y
y 2(x)
y 1(x)
oa x
bx
例1
计算二重积分
D1
x 4
,3y其d中xdy
为矩形D ：
D : 2 x 2 , 1 y 1 .
解1 先积 y再积 x
D
1
x 4
y 3
dxdy
2
dx
2
1 1
1
x 4
y 3
dy
2
(y
2
xy 4
y2 6
)
1 1
dx
2
x
(2 )dx
2
2
y (2x
x2 ) 4
2 2
8
解2 先积 x 再积
D14 x3 ydxdy 11dy 2214 x3 ydx 11(xx82x3y)2 2dy 11(443y)dy(4y. 23 y2)1 18
例2 计算二重积分 ex y,d其xd中y 区域 为矩D形：
D
D :0x 1 ,1y2
解 因为 exy ,e所x以ey
别如下图所示： ⑴ 三D角形；⑵ 四分之一椭圆。
解 ⑴因为下图所示的三角形
y
区域的斜边方程是 x y 1
b
ab
所以 D 可表示为
D:0xa,0yb(1x) o
ax
Dxydxdy 0 0 a ab d 2 x 2(1 0 b( 1a x a x ))x2 y x d d y x 1 2 a 0 ab (x 22 y0 2 a( )x b 0 (1 2 a xa )x d 2 xa x3 2)d x