关于循环矩阵的讨论

关于循环矩阵的讨论

学生姓名：赵志梅（0405班）

指导教师：张东艳

摘要：本文给出了一种特殊的矩阵——循环矩阵，主要利用多项式生成矩阵的思想，初步研究了循环矩阵的性质以及它在各个方面的应用．

关键词：循环矩阵；行列式；逆矩阵；对角化

Discussion on Cyclical Matrix

Student:Zhao Zhimei

Instructor:Zhang Dongyan

Abstract：This essay gives a special matrix which is called cyclical matrix ,and primarily studies the characters of cyclical matrix and its applications in different aspects according to the idea of forming matrix through multinomial．

Key words：cyclical matrix；determint；inverse matrix；diagonalization

目录

1.预备知识 (1)

2.循环矩阵的性质 (1)

2.1 性质1 (1)

2.2 性质2 (1)

2.3 性质3 (2)

3.循环矩阵的应用 (3)

3.1 循环矩阵的行列式的计算 (4)

3.2 循环矩阵的逆矩阵 (6)

3.3 循环矩阵对角化 (8)

参考文献 (11)

致谢 (12)

1.预备知识

定义1 复数域C 上的n 阶矩阵012110

1212

3

0n n n a a a a a a

a a A a a a a ---⎛⎫

⎪ ⎪

= ⎪

⎪⎝⎭

称为n 阶循环矩阵． 定义 2 设1n -次多项式210121()n n f x a a x a x a x --=+++

+，A 为n 阶矩阵，则称

()f A 为多项式()f x 关于矩阵A 的生成矩阵，()f x 为矩阵()f A 的1n -次生成多项式．

命题 令⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=00001100000010000010 ξ易知011,,

n ξξξ-,n ξ都是n 阶循环矩阵，ξ称

为基本循环矩阵,且n I ξ=．I 是n 阶单位矩阵，并记I n ==0ξξ. 任意一个n 阶循环矩阵A 都可用011,,

n ξξξ-线性表示；反之，如果A 可用011,,n ξξξ-线性表示，那么A 也

一定是n 阶循环矩阵．事实上)(ξf A =,此处，1110)(--+++=n n x a x a a x f .

2.循环矩阵的性质

2.1 性质1 若A ，B 都是n 阶循环矩阵，那么AB 也是n 阶循环矩阵，且AB =BA ．

证明 设01011n n A a a a ξξξ--=+++;1110--+++=n n b b b B ξξ

又因为n k

k ξ

ξ+=（k 为非负整数）

因而有BA h f g g f AB ====)()()()()(ξξξξξ 这里)(ξh 是一个不高于1n -次的多项式．得证．

2.2 性质2 若A 是n 阶循环矩阵，且A 可逆，那么A 的逆矩阵也是n 阶循环矩阵．

证明 由性质1，只要能找到n 阶循环矩阵1011n n B b b b ξξ--=+++（i b 为待定常

数，1,2,

,1i n =-）使得AB I =即可，其中1110--+++=n n a a a A ξξ 为可逆循环矩阵．

AB ))((11101110----++++++=n n n n b b b a a I a ξξξξ

I b a b a b a b a n n n )(11221100---++++= ++++++--ξ)(12211001n n b a b a b a b a

1

10231201)(-----+++++n n n n n b a b a b a b a ξ

要使AB I =，就要且只要⎪⎪

⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++---------001102312011

221100*********n n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a

上述方程组是以i b ()1,2,

,1i n =-为未知数，A 的转置矩阵A '为系数矩阵的线性方程

组，由于A 可逆，故A A '=det det 0≠．

从而方程组有唯一的011n b b b -'，，，，而111100--'+++=n n b b b B ξξξ 就是A 的逆矩阵，且

B 是循环矩阵.

推论 设A 为n 阶循环矩阵，且A 可逆，则A 的伴随矩阵*A 也是循环矩阵. 证明 1det -*⋅=A A A ，由性质2，1111001---+++=n n b b b A ξξξ 是循环矩阵， 因此，⋅=*A A det ()011011n n b b b ξξξ--++

+，

（det 0A ≠且是常数）也是循环矩阵. 2.3 性质3 任何一个n 阶循环矩阵A 在复数域上都可以对角化，更进一步，必然存在 一个复n 阶可逆矩阵δ，它使所有n 阶循环矩阵同时对角化.

证明 基本循环矩阵ξ的特征多项式为1)det(-=-n I λξλ，特征根为n 次单位根

n

k i n 2k cos

k π

πε2sin

+=，1,,1,0-=n k . 由于1εε≠k （1≠k ），所以ξ可以对角化. ξ的特征根为011,,

,n εεε-

ξ的特征向量依次为

()2

101111111

1,(1,,)n X X εεε-==

),,1(,),,,1(1

12111122222------==n n n n n n X X εεεεεε