《概率与数据统计》习题解析

《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
P26习题一 1、写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点： 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点： （1） 同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。 解： 设三枚骰子点数之和为k ， k=3,,4,5,…,18; 则样本空间为
Ω ={k | k = 3,4,...,18} , 且事件A= {k | k = 11,12,...,18} ，
事件B= {k | k = 3, 4,...,14}。 （2） 解：设从盒子中抽取的3 只电子元件为(i,j,k) ，(i,j,k)为数 列1,2,3,4,5 的任意三个元素构成的组合。则 Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2, 4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。 2、下列式子什么时候成立？ 下列式子什么时候成立？ 解：A ∪ B=A：成立的条件是 B⊂A；（2）AB=A：成立的条件为 A⊂B。 3、设A、B、C 表示三事件， 表示三事件，试将下列事件用A、B、C 表示出 来。 解： （1） 仅A 发生： AB C ； （2） A、B、C 都发生：ABC； （3） A、B、C 都不发生： A B C ； （4） A、B、C 不都发生： ABC ； （5） A不发生，且B 与C 中至少发生一事件： A (B∪C)； （6） A、B、C 中至少有一事件发生： A ∪ B ∪ C ； （7） A、B、C 中恰好有一事件发生： ABC + ABC + ABC ； （8） A、B、C 中至少二事件发生：
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
ABC + A BC + ABC + ABC = ( AB ) ∪ ( BC ) ∪ (CA) ；
（9） A、B、C 中最多一事件发生：
A BC + A BC + ABC + A BC = ( AB) ∪ ( BC ) ∪ (CA) .
4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问： （1） 什么条件下， 什么条件下，P(AB)取得最大值， 取得最大值，最大值是多少？ 最大值是多少？ 解： P ( A ∪ B ) ≥ max{ P ( A), P ( B )} = 0.6 由P（AUB）=P（A）+P（B）−P（AB）得到 P（AB）=P（A）+P（B）−P（AUB）<=0.5+0.6−0.6=0.5，此时， P（AUB）=0.6。 （2） 什么条件下， 什么条件下，P（AB）取得最小值， 取得最小值，最小值是多少？ 最小值是多少？ 解： P ( A ∪ B ) ≤ 1 P（AB）=P（A）+P（B）−P（AUB）>=0.5+0.6−1=0.1，此时， P(AUB)=1。 5、设P(A)>0,P(B)>0，将下列四个数 P(A), P(AB), P(A)+P(B), P(AUB) 按照由小到大的顺序排序， 按照由小到大的顺序排序，用符号 ≤ 联系它们， 联系它们，并指出在什么情 况下等式成立。 况下等式成立。 解：根据概率的性质，它们的大小关系为 P(AB) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A)+P(B) 第一个等号成立时，需要A⊂B，第二个等号成立时，需要B⊂A， 第三个等号成立时，需要AB= ∅ 。 6、设A、B、C 为三个事件， 为三个事件，证明： 证明： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。 解：根据概率的性质：P（A1UA2）=P（A1）+P（A2）-P（A1A2）， 则有 P（AUBUC）=P[(AUB)U(C)]=P(AUB)+P(C)-P[(AUB)C] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P[(AC)U(BC)] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)] =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
7、设P(A)=P(B)=P(C)=1/3，P(AB)=P(AC)=0,P(BC)=1/4，求A、 B、C 至少一件事发生的概率。 至少一件事发生的概率。 解： 因为ABC⊂AB，所以P（ABC） ≤ P(AB)=0，由概率的性质 知道，P（ABC）=0，则 P(AUBUC）=P(A)+P(B)+P（C）−P（AB）−P（AC）−P（BC） +P（ABC）=1−1/4=3/4。 8、一批产品共有200 件，其中6 件废品， 件废品，求： （1）任取3 件恰好有一件是废品的概率； 件恰好有一件是废品的概率； （2）任取3 件没有废品的概率； 件没有废品的概率； （3）任取3 件产品中废品数不少于2 件的概率。 件的概率。 解：设A=“3 件中恰好有一件废品”，B=“3 件中没有废品”；C=“3 件中废品数不少于2 件”。则根据古典概型，有
2 1 3 1 2 0 3 C194 C6 C194 C194 C6 + C194 C6 P( A) = ; P( B) = 3 ; P(C ) = 3 3 C 200 C 200 C 200
9、在电话号码薄中任意取一个电话号码， 在电话号码薄中任意取一个电话号码，求后面四个数字完全 不相同的概率。 不相同的概率。 解：后面四个数字可以从0,1,2,...,9 这10 个数字中随机选取，设 A=“后面四个数字全不同”，则P（A）=
4 P10
10 4
10、从1~2000 的整数中随机地取一个数， 的整数中随机地取一个数，求 （1）这个数能够被5 整除的概率；（ 整除的概率；（2）这个数能够被4 和6 整 除的概率。 除的概率。 解：设A=“这个数能够被5 整除”；B=“这个数能够被4 整除”； C=“这个数能够被6整除”。 BC= “这个数能够被4 和6 的最小公倍 数12整除”。 则nA = 2000 / 5 = 400, nBC = [2000/12] = 166 （1）P（A）= = 400/2000= 1/5；（2）P（AB）=166/2000 11、 从0，1，2，……9 这十个数字中任取3个不同的数字， 个不同的数字，求 下列事件的概率： 下列事件的概率： A −“这三个数字中不含0 和5”，B −“这三个数字中包含0 或5”， C −“这三个数字含 这三个数字含0 但不含5”.
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