《概率与数据统计》习题解析

《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
P26习题一 1、写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点： 写出下列随机试验的样本空间及各个事件的样本点： （1） 同时郑三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和。

解： 设三枚骰子点数之和为k ， k=3,,4,5,…,18; 则样本空间为
Ω ={k | k = 3,4,...,18} , 且事件A= {k | k = 11,12,...,18} ，
事件B= {k | k = 3, 4,...,14}。

（2） 解：设从盒子中抽取的3 只电子元件为(i,j,k) ，(i,j,k)为数 列1,2,3,4,5 的任意三个元素构成的组合。

则 Ω={（1,2,3）,(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2, 4,5),(3,4,5)} A={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}。

2、下列式子什么时候成立？ 下列式子什么时候成立？ 解：A ∪ B=A：成立的条件是 B⊂A；（2）AB=A：成立的条件为 A⊂B。

3、设A、B、C 表示三事件， 表示三事件，试将下列事件用A、B、C 表示出 来。

解： （1） 仅A 发生： AB C ； （2） A、B、C 都发生：ABC； （3） A、B、C 都不发生： A B C ； （4） A、B、C 不都发生： ABC ； （5） A不发生，且B 与C 中至少发生一事件： A (B∪C)； （6） A、B、C 中至少有一事件发生： A ∪ B ∪ C ； （7） A、B、C 中恰好有一事件发生： ABC + ABC + ABC ； （8） A、B、C 中至少二事件发生：
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
ABC + A BC + ABC + ABC = ( AB ) ∪ ( BC ) ∪ (CA) ；
（9） A、B、C 中最多一事件发生：
A BC + A BC + ABC + A BC = ( AB) ∪ ( BC ) ∪ (CA) .
4、设P(A)=0.5,P(B)=0.6，问： （1） 什么条件下， 什么条件下，P(AB)取得最大值， 取得最大值，最大值是多少？ 最大值是多少？ 解： P ( A ∪ B ) ≥ max{ P ( A), P ( B )} = 0.6 由P（AUB）=P（A）+P（B）−P（AB）得到 P（AB）=P（A）+P（B）−P（AUB）<=0.5+0.6−0.6=0.5，此时， P（AUB）=0.6。

（2） 什么条件下， 什么条件下，P（AB）取得最小值， 取得最小值，最小值是多少？ 最小值是多少？ 解： P ( A ∪ B ) ≤ 1 P（AB）=P（A）+P（B）−P（AUB）>=0.5+0.6−1=0.1，此时， P(AUB)=1。

5、设P(A)>0,P(B)>0，将下列四个数 P(A), P(AB), P(A)+P(B), P(AUB) 按照由小到大的顺序排序， 按照由小到大的顺序排序，用符号 ≤ 联系它们， 联系它们，并指出在什么情 况下等式成立。

况下等式成立。

解：根据概率的性质，它们的大小关系为 P(AB) ≤ P(A) ≤ P(AUB) ≤ P(A)+P(B) 第一个等号成立时，需要A⊂B，第二个等号成立时，需要B⊂A， 第三个等号成立时，需要AB= ∅ 。

6、设A、B、C 为三个事件， 为三个事件，证明： 证明： P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)。

解：根据概率的性质：P（A1UA2）=P（A1）+P（A2）-P（A1A2）， 则有 P（AUBUC）=P[(AUB)U(C)]=P(AUB)+P(C)-P[(AUB)C] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P[(AC)U(BC)] =P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ABC)] =P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC).
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
7、设P(A)=P(B)=P(C)=1/3，P(AB)=P(AC)=0,P(BC)=1/4，求A、 B、C 至少一件事发生的概率。

至少一件事发生的概率。

解： 因为ABC⊂AB，所以P（ABC） ≤ P(AB)=0，由概率的性质 知道，P（ABC）=0，则 P(AUBUC）=P(A)+P(B)+P（C）−P（AB）−P（AC）−P（BC） +P（ABC）=1−1/4=3/4。

8、一批产品共有200 件，其中6 件废品， 件废品，求： （1）任取3 件恰好有一件是废品的概率； 件恰好有一件是废品的概率； （2）任取3 件没有废品的概率； 件没有废品的概率； （3）任取3 件产品中废品数不少于2 件的概率。

件的概率。

解：设A=“3 件中恰好有一件废品”，B=“3 件中没有废品”；C=“3 件中废品数不少于2 件”。

则根据古典概型，有
2 1 3 1 2 0 3 C194 C6 C194 C194 C6 + C194 C6 P( A) = ; P( B) = 3 ; P(C ) = 3 3 C 200 C 200 C 200
9、在电话号码薄中任意取一个电话号码， 在电话号码薄中任意取一个电话号码，求后面四个数字完全 不相同的概率。

不相同的概率。

解：后面四个数字可以从0,1,2,...,9 这10 个数字中随机选取，设 A=“后面四个数字全不同”，则P（A）=
4 P10
10 4
10、从1~2000 的整数中随机地取一个数， 的整数中随机地取一个数，求 （1）这个数能够被5 整除的概率；（ 整除的概率；（2）这个数能够被4 和6 整 除的概率。

除的概率。

解：设A=“这个数能够被5 整除”；B=“这个数能够被4 整除”； C=“这个数能够被6整除”。

BC= “这个数能够被4 和6 的最小公倍 数12整除”。

则nA = 2000 / 5 = 400, nBC = [2000/12] = 166 （1）P（A）= = 400/2000= 1/5；（2）P（AB）=166/2000 11、 从0，1，2，……9 这十个数字中任取3个不同的数字， 个不同的数字，求 下列事件的概率： 下列事件的概率： A −“这三个数字中不含0 和5”，B −“这三个数字中包含0 或5”， C −“这三个数字含 这三个数字含0 但不含5”.
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
解： 这三个数字中不含0 和5 则只能从余下的8个数字中选取， 所 以 P( A) = C83 7 = ，事件B 包含0 或5 刚好是A 的逆事件，所以 3 C10 15
8 . C 事件已经确定了选中0，又不能选中5 所 15
P ( B ) = 1 − P ( A) =
C82 7 以只能从余下的8个数字中选取2个，所以 P (C ) = 3 = . C10 30
12、 将一枚均匀的塞子掷两次， 将一枚均匀的塞子掷两次，已知出现的点数之和能被3 整 除，求恰好是两次都出现3 点的概率。

点的概率 解：出现的点数能被3 整除的样本点共有 {(1, 2), (1,5), (2,1), (2, 4), (3,3), (3, 6), (4, 2), (4,5), (5,1), (5, 4), (6,3), (6, 6)} 设A −“两次都出现三点”，B −“出现的点数能被3整除”，
P( A | B) = P ( AB ) 1 = 。

P ( B ) 12
13、某集成电路使用到2000h 还能正常使用的概率为0.94，使用 到3000h 还能正常使用的概率为0.87，求已经工作了2000h 的集 成电路还能继续工作到3000h 的概率。

的概率。

解：设A=“集成电路工作到2000h 还能正常工作”；B=“集成电路 工作到3000h 还能正常工作”。

且B 是A 的子事件。

且 P(A)=0.94,P(B)=0.87,则 P（B|A）=P(AB) / P(A)=P(B)/ P(A) = 0.87/0.94= 87/94=0.9255。

14、某人忘记了电话号码的最后一位数字， 某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨最后 一个号码， 一个号码，求它拨号不超过两次而接通电话的概率。

求它拨号不超过两次而接通电话的概率。

解：设Ai=“第i 次拨通电话”，i=1，2. 则拨号不超过两次接通的概率= P ( A1 ) + P ( A2 A1 )
= P ( A1 ) + P ( A2 | A1 )(1 − P ( A1 )) =
1 1 9 + ⋅ = 0 .2 . 10 9 10
15、设 P ( A) = 0.5, P ( B ) = 0.4, P ( A | B ) = 0.6, 求 P ( AB ), P ( A | A ∪ B ) . 解：
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
P( AB) = P( A) − P( AB) = P( A) − P( A | B) P( B) = P( A) − P( A | B)(1 − P( B)) = 0.5 − 0.6 × (1 − 0.4) = 0.14 P( A ∩ ( A ∪ B) P( A) = P( A ∪ B) P( A) + P ( B) − P( AB) P( A) 0 .5 = = = 0.676 P( A) + P( B) − P( A| B) P( B) 0.5 + 0.6 − 0.6 × 0.6 P( A | A ∪ B) = 16、 16、 盒中里有10 盒中里有10个电子元件 10个电子元件， 个电子元件，其中有7 其中有7个正品， 个正品，3个次品， 个次品，从中 每次抽取一个， ，不放回地连续抽取四次， 每次抽取一个 不放回地连续抽取四次，求第一， 求第一，第二次取得次 品且第三第四次取得正品的概率。

品且第三第四次取得正品的概率。

4 解：从10 个电子元件中不放回取四次，共有 P10 种方法，第一，
第二次取得次品且第三， 第四次取得正品的方法有 P31 P21 P71 P61 ，
4 所以有 p = P31 P21 P71 P61 / P10 = 1 / 20 = 0.05 .
方法二: P( A1 A2 A3 A4 ) = P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 ) =
3 2 7 6 × × × = 0.05 10 9 8 7
17、猎人在距离100m 处射击一动物， 处射击一动物，击中的概率是0.6；如果第 一次未击中， 一次未击中，则进行第二次射击， 则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为 150m；如果第二次又未击中， 如果第二次又未击中，则进行第三次射击， 则进行第三次射击，这时距离变为 200m。

假定击中的概率与距离成反比， 求猎人最多射击三次的情 假定击中的概率与距离成反比， 况下击中动物的概率 况下击中动物的概率。

动物的概率。

解： Ai : 第i次击中。

P ( A1 ) = 0.6, P ( A2 | A1 ) = 100 100 × 0.6 = 0.4, P ( A3 | A1 A2 ) = × 0 .6 = 0 .3 150 200
P(i ≤ 3) = P( A1 ) + P ( A1 A2 ) + P( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) + P( A1 ) P ( A2 | A1 ) + P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) = 0.6 + (1 − 0.6) × 0.4 + (1 − 0.6) × (1 − 0.4) × 0.3 = 0.832
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
18、 18、某射击小组共有20 某射击小组共有20 名射手， 名射手，其中一级射手4 其中一级射手4 人，二级射手8 二级射手8 人，三级射手7 三级射手7 人，四级射手1 四级射手1 人，一，二，三，四级射手能通 过选拔而进入比赛的概率分别为0.9 过选拔而进入比赛的概率分别为0.9， 0.9，0.7， 0.7，0.5， 0.5，0.2， 0.2，求任取一 位射手能通过选拔进入比赛的概率。

位射手能通过选拔进入比赛的概率。

解： Ai : i 级选手被选择，B：通过选拔进入比赛
P( B) = ∑ P( Ai B) = ∑ P( Ai ) P( B | Ai )
i =1 i =1
4
4
=
4 8 7 1 × 0.9 + × 0.7 + × 0.5 + × 0.2 = 0.645 20 20 20 20
19、 P ( D ) = P ( A) P ( D | A) + P ( B ) P ( D | B ) + P (C ) P ( D | C ) = 0.59 20、袋中有a个白球与b个黑球， 个黑球，每次从袋中任取一个球， 每次从袋中任取一个球，取出的 球不再放回去， 球不再放回去，求第二次取得的球与第一次取得的球颜色相同的 概率。

解：
2 Ca + Cb2 2 Ca +b
21、试卷中有一道选择题， 试卷中有一道选择题，共有4个答案可供选择， 个答案可供选择，其中只有1个 答案是正确的， 答案是正确的，任一考生如果会解这道题， 任一考生如果会解这道题，则一定能选出正确答 案；如果不会解这道题， 如果不会解这道题，则不妨任选1个答案。

个答案。

设考生会解这道 题的概率为0.8，求： （1） 考生选出正确答案的概率。

考生选出正确答案的概率。

（2） 已知某考生所选答案是正确的 他确实会解这道题的概率。

已知某考生所选答案是正确的， 是正确的， 他确实会解这道题的概率。

解：A：考生会做；B：做对
P( B) = P( B( A + A)) = P( A) P( B | A) + P( A) P( B | A) = 0.8 × 1 + 0.2 × 1 = 0.85 4
贝叶斯公式： P ( A | B ) = P ( A) P ( B | A) / P ( B ) = 0.8 / 0.85 = 0.941 22、设机器正常时生产的产品的合格率为0.98，当机器发生故障 时生产的合格率为0.30。

而机器正常的概率为0.95。

某天， 某天，工人 使用该机器第一件产品是合格品， 使用该机器第一件产品是合格品，求机器正常的概率。

求机器正常的概率。

解：设A=“机器正常”；B=“产品合格”。

则P(A)=0.95; P(B|A)=0.98;
P ( B | A) = 0.30 .
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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
由贝叶斯公式，第一件产品是合格品，机器正常的概率为
P( A | B) = P ( B | A) P ( A) 0.98 ⋅ 0.95 = P ( B | A) P ( A) + P ( B | A) P ( A) 0.98 ⋅ 0.95 + 0.30 ⋅ 0.05
=0.984.
23、证明 P ( A | B ) = A( A | B ) ⇒ A, B 独立。

独立。

证： P( A | B) = A( A | B) ⇒
P ( AB) P ( A) − P ( AB ) = P( B) 1 − P( B) P( AB) P( A B) = P( B) P( B)
⇒
⇒ P ( AB ) − P ( AB ) P ( B ) = P ( A) P ( B ) − P ( AB ) P ( B )
⇒ P ( AB ) = P ( A) P ( B ) ⇒ A，B独立
24、对同一靶子进行三次独立 对同一靶子进行三次独立射击 独立射击， 射击，第一， 第一，二，三次击中的概率 三次击中的概率 分别为p1 = 0.4, p2 = 0.5, p3 = 0.7，求： （1） 这三次射击中恰有一次击中的概率。

这三次射击中恰有一次击中的概率。

（2） 这三次射击中至少有一次击中的概率。

这三次射击中至少有一次击中的概率。

解：（1） 设 Ai 表示第i次击中， P(恰有一次击中)= P( A1 A2 A3 ) + P( A1 A2 A3 ) + p( A1 A2 A3 )
= P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) + p( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 0.4 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.3 + 0.6 × 0.5 × 0.7 = 0.36 (2) 三次射击中至少有一次击中与三次都不击中是相互对立事 件，所以所求概率为
1 − P( A1 A2 A3 ) = 1 − P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) = 1 − 0.6 × 0.5 × 0.3 = 0.91
25、甲，乙两个实验员各自独立地做同一实验，且知甲，乙实验 成功的概率分别为0.6，0.8，求实验取得成功的概率。

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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
解：A：甲成功；B：已成功； 所求概率
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A) P ( B ) = 0.6 + 0.8 − 0.6 × 0.8 = 0.92
26、设一系统由三个元件联结而成（如图1.6），各个元件独立地 工作，且每个元件能正常工作的概率均为p(0 < p <1),求系统能正 常 工作 的概率 。

解： 系统能正常工作则1， 2 中至少有一个能正常工作且3 一定要 正常工作即可。

Ai : 第i个正常工作；
1
3
P[( A1 ∪ A2 ) A3 ] = P( A1 A3 ∪ A2 A3 ) = P( A1 A3 ) + P( A2 A3 ) − P ( A1 A2 A3 ) = P( A1 ) P( A3 ) + P( A2 ) P( A3 ) − P( A1 ) P( A2 ) P ( A3 ) = 2 p 2 − p3
2
27、甲，乙，丙向同一飞机射击，设击中飞机的概率分别为0.4， 0.5，0.7.如果只有一人击中，则飞机被击落的概率是0.2；如果有 两人击中，则飞机被击落的概率是0.6；如果三人都击中，则飞机 一 定被 击落， 求飞 机被击 落的 概率。

解：A：甲击中飞机；B：乙击中飞机；C：丙击中飞机;D:飞机被 击落。

P( D) = P( D) = P[ D( ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC + ABC )] = P( ABC ) P( D | ABC ) + P( ABC + ABC + ABC ) P( D | ABC + ABC + ABC ) + P( ABC + ABC + ABC ) P( D | ABC + ABC + ABC ) = 0 .4 × 0 .5 × 0 .7 × 1 + ( 0 .4 × 0 .5 × 0 .3 + 0 .6 × 0 .5 × 0 .3 + 0 .6 × 0 .4 × 0 .7 ) × 0 .2 + ( 0 .4 × 0 .5 × 0 .3 + 0 .4 × 0 .5 × 0 .7 + 0 .6 × 0 .5 × 0 .7 ) × 0 .6 = 0.458
28、 一批产品中有20%的次品， 进行有放回地抽样检查， 共取5 件 的次品， 进行有放回地抽样检查， 样品， 样品，计算： 计算： （1）这5 件样品中恰有2 件次品的概率； 件次品的概率； （2）这5 件产品最多有2 件次品的概率。

件次品的概率。

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《概率论与数理统计》作业答案
张少强(/szhang)
解：（1）放回抽样次品数服从二项分布B（5，0.2），则5 件中 恰好有2 件次品的概率 P5(2) = C52 0.22 0.83 =0.205。

（2）5 件产品中最多有2 件次品的概率为
0 1 P5(0) + P5 (1)+ P5 (2)= C5 0.20 0.85 + C5 0.21 0.84 + C52 0.22 0.83
=0.942。

29、同时独立地向一架飞机发射4 枚地对空导弹， 枚地对空导弹，每枚导弹击中 敌机的概率为0.9，若敌机被不少于 若敌机被不少于2 枚导弹击中时就被击落， 枚导弹击中时就被击落，求 敌机被击落的概率。

敌机被击落的概率。

解：P(击落) = P(2枚击中) +P(3枚击中) +P(4枚击中) =1−P(少于2 枚击中)= 1−P4 (0) −P4 (1)
0 1 (0.1) 4 − C4 (0.1) 3 (0.9) = 0.9963 = 1− C 4
30、设每次射击时命中率为0.2，问必须进行多少次独立射击才能 使至少击中一次的概率不小于0.9？ 解：设要n 次才能使得 P(至少击中一次) =1−P(一次未中) ≥ 0.9
0 即 1 − Cn (0.8) n ≥ 0.9 ，所以 0.8n ≤ 0.1 可借助计算器算得n ≥11.
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