西南交通大学矩阵分析概考点总结

有理数：Q 实数：R 复数：C
数域：复数的一个非空集合P含有非零的数，且任意两数的加减乘除仍属于该集合，则称数集P为一个数域。

（所有数域都包含0，1）
向量空间：设V是向量的集合，P是一个数域，若满足：
1.，，有；
2.，，，有（）；
3.一个零元素，记作，对任意，都有；
4.，，，，元素称为的负元素；
5.，都有；
6.，，；
7.，，；
8.，，，；
则称集合V为数域P上的线性空间，或向量空间。

满足加法A+B=C,C是V中唯一的，符合
满足乘法kA=C,C是V中唯一的，符合
P是实数域，V就是实线性空间
P是负数域，V就是复线性空间
基：V是数域P上的线性空间，若V中存在一组向量，满足：
1.向量组线性无关；
2.V中任意一个向量都可由这个向量组线性表示；
则称该向量组为构成V的一个基。

若V的一个基中向量个数为n，称n为V的维数，记为dimV=n;
坐标：，称为向量在基下的坐标。

取定一组基后，每个向量在这个基下的坐标是唯一确定的，的第i个坐标也称之为第i个分量。

子空间：设V是数域P上的线性空间，W是V的一个非空子集，如果W对于线性空间V所定义的加法运算及数量乘法运算也构成数域P上的线性空间，则
称W为V的线性子空间，简称子空间。

充要条件是：
1.若，，则;
2.，，则；
也就是说W关于V中定义的两个运算是封闭的。

线性变换：数域P上的线性空间V的一个变换T满足：
1.；
2.；
内积空间：设V是实数域R上的线性空间，如果对V中任意两个向量，都有一个实数(记为（，）)与它们相对应，并且满足以下条件：
1.，，；
2.，，
3.
4.，当且仅当，等号成立；
则线性空间V称为实内积空间，简称内积空间，且实数（，）成为向量（，）的内积。

又被称为欧式空间（Euclid）
内积空间具有以下性质：
1，，.
2.
3.
4.等号当且仅当，线性相关时成立
向量长度（模）（范数）：设，则非负实数称为的长度，并记为即定义长度为：
；若=1，则称为单位向量，对于任意非零向量，取则是与线性相关的单位向量，这种做法称为向量的单位化。

(C.-S.)不等式又可以表示为:
复内积空间：设V是复域C上的线性空间，如果对V中任意两个向量，都有一个复数(记为（，）)与它们相对应，并且满足以下条件：
1.，（，）；
2.，，；
3.，；
4.，当且仅当，等号成立；
则线性空间V称为复内积空间，或酉空间。

酉空间具有以下性质：
1.，，，
2.
3.
酉变换：若T是酉空间V的线性变换，且对任何，都有：
，，；
则称T为V的酉变换，即酉空间的酉变换，是保持任两向量内积不变的线
性变换。

酉矩阵：若，且，则A称为酉矩阵，这里是的共轭转置。

当A为实矩阵时，酉矩阵A也就是正交矩阵。

第三章
A的特征多项式：
1
2
12()+
n n n n f E A a a a λλλλ
λ
--=-=+++
11
=;n ii i a a trA =-=-∑在这里： (1)n n a A =-在这里：
最大公因式：()(),()()d f d g λλλλ，且没有更大的公因式
()=(),()d f g λλλ（）
：表示首项系数为1的最大公因式。

有以下性质： （1）(),f c λ（）=0 （2）(),0()f f λλ（）=
若：(),()f g λλ（）=1，则称两个多项式互素/互质。

求解约当标准型： 方法一：
(1)求出()A λ中所有非零的k 级子式，最高项系数为1的最大公因式，记为k 级行列式因子：12(),(),,()n D D D λλλ
(2)1()k D λ-能整除每个k -1级子式，从而可以整除每个k 级子式，因此1()k D λ-能整除()k D λ，即是说1()()k k D D λλ-；求()A λ的不变因子：
12(),(),
,()n d d d λλλ；
211211()
()
()(),(),,()()
()
n n n D D d D d d D D λλλλλλλλ-==
=
(3)求()A λ的初级因子。

把每个次数大于零的不变因子分解为互不相同的一次因式的方幂的乘积，所有这些一次方幂。

所有初级因子的乘积得到n 阶行列式：
12()()()()n n A D d d d λλλλ==⨯⨯⨯
(4)写出约当块。

每个初级因子()i
k i λλ- 构成一个i k 阶的约当块。

方法二（只适用于四阶及以下矩阵）：
(1)求出特征多项式：1
2
12()()()()k n n n
k f E A λλλλλλλλ=-=---；
(2)求出对应i λ的约当块个数，并求出m : ()i n R E A m λ--=；
(3)写出约当块。

单个特征值就是一个约当块，重根根据(2)来判断个数。

()()n A d m λλ可以对角化
没有重根
没有重根
也就是初级因子全为一次
求 1P AP J -=中的P ：
1123123123(,,),,(,,)P X X X P AP J AX AX AX X X X J -==，则有（）=
写成三个方程，并求出基础解系。

方法三：
(1)写出E A λ-,
(2)根据初等变换，求出史密斯标准型，从而求出不变因子。

哈密顿-开莱定理及矩阵的最小多项式：
1212()+
n n n n f E A a a a λλλλλ--=-=+++
每个n 阶矩阵A 都是它的特征多项式的根：
1
2
12+
0n n n n A a A
a A
a E --+++=
零化多项式：()ϕλ是一个多项式， A 是一个方阵，如果有()0A ϕ=，则称()ϕλ 最小多项式：A 是一个方阵，则A 的首项系数为1的次数最小的零花多项式()m λ，(1)是唯一的，(2)其根是A 特征值，反之亦然。

(3)最小多项式是其不变因子()n d λ
矩阵A 的任何零化多项式都被其最小多项式所整除。

史密斯标准型：（求解时，行列都可以变）（唯一）
1()
0()()()00r d A J d λλλλ⎛⎫ ⎪
≅= ⎪ ⎪⎝⎭
这里1r ≥是()A λ的秩，()i d λ是首项系数为1的多项
式，且1()()(1,2,31)i i d d i r λλ+=-
()()A J λλ≅所以，这俩拥有相同的秩及相同的行列式因子12(),(),
,()n D D D λλλ
舒尔定理：
若n n
A ⨯∈
，则存在酉矩阵U ，使得：T U AU T =
这里的T 为上三角矩阵，其主对角线上的元素都是A 的特征值。

QR 分解：
若n n
A ⨯∈
为n 阶负数矩阵，则存在酉矩阵Q 及上三角矩阵R ，使得：A QR =
奇异值分解定理：
没看到
第四章
向量的长度：α
若V 是实内积空间(酉空间)， ， 为任意向量，k 为实数域R （复数域C ）中任一元素，则V 中向量的长度具有下列三个基本性质：
(1)当 时，都有α 0； (2) k k αα=⋅； (3) αβαβ+≤+
向量范数的定义：设V 是数域P 上的线性空间，若对于V 中任一向量 ，都有一非负实数α与之对应，并且满足下列三个条件：
(1)正定性：当 时，都有α 0； (2)齐次性，对于任何 ：k k αα=； (3)三角不等式：αβαβ+≤+ 则称非负实数α为向量 的范数。

11
21
1
1,;
,,();
,max ;
n
n
i i n
n
p
n
p
i p
i n
i i n
χχχ==∞
≤≤X ∈X =X ∈X =X ∈X =X ∈
X
=∑∑
范数等价：对于任何有限维向量空间V 上定义的任意两个向量范数a α和b α，都存在两个与 无关的正常数12,C C ，使得对V 中任一向量 ，都有：
12,a b b a C C αααα≤≤
两个不等式的两个向量范数称为等价的。

在有限维向量空间上的不同范数都是等价的。

矩阵范数的定义：在n n
P
⨯上定义一个非负实值函数A ，如果对于任意的
,n n
A B P ⨯∈都满足下列四个条件：
(1)正定性：0,0A A ≠>当时
(2)齐次性：对于任何k ∈P ，kA k A ≤ (3)三角不等式: A B A B +≤+ (4) AB A B ≤⨯
则称非负实数A 为方阵n n ⨯的范数。

11
21
,max ();
,);,,max ();
H n
n n
ij i j n
i n n H A A n n
F
n
n n ij i i n
j A P
A a A P A A A A P
A
A P A
a λ⨯≤≤=⨯⨯⨯∞
≤≤=∈=∈=∈=
=∈=∑∑列模和最大者是的最大特征值行模和最大者
范数等价：n n P ⨯上任意两个方阵a A 和b A 都是等价的，使得：
12,a b b a A C A A C A ≤≤
范数相容：对于任何n n A P ⨯∈和n P α∈，满足：
a
a A A α
α≤⨯
则称方阵范数A 与向量范数α是相容的。

n n P ⨯上的每一个方阵范数，在n P 上都存在与它相容的向量范数。

F A 与2α是相容的
向量的极限：
如果向量序列：()()()12(,,)(0,1,2)m m m m n n x x x C m α=∈=，如果存在极限：
()lim (1,2,
)m i i m x x i n →∞
==
则称酉空间n C 的向量序列{}()m α收敛于向量12(,,)n x x x α=记为：
()lim m m αα→∞
=或者()m αα=
也就是：()()()lim lim ()
lim ()0m m m m m m αααααα→∞→∞→∞
=⇔-=-=(对任意范数都成立)
谱半径：{}1()max i i n A ρλ≤≤= 矩阵函数：
230212135022240
1111!
2!3!!
11sin (1)(1)(21)!3!5!(21)!11cos (1)1(1)(2)!2!4!(2)!
m n
x
n
m m n n
m
n
m m n n
m
n
m x e x x x x m n x x
x x x x m n x x
x x x m n =++====++++
+=-=-++
+-++=-=-++
+-∑∑∑ 求矩阵函数： 方法一：
写出通式并计算（笨方法） 方法二：
(1)求出A 的最小多项式：1
2
12()()()()s n n n
s ϕλλλλλλλ=---
这里每个特征值都是不同的特征值，其中12s n n n m +++=
(2)写出所求函数式：(),()XXXX f XXXX f A λ==
(3)写出降阶后的多项式：210121()()()()()m m f q r r a a a a λϕλλλλλλλ--=+==++++ (4)求出各项系数：
21
01212
121()(,1,2,,)()2(1)m i i i m i
m i i m i
f a a a a i i s f a a m a λλλλλλλ----⎧=++++⎪∀=⎨'=+++-⎪⎩(求导的是复数根才可以)
(5)将各系数带入函数：210121()()()()()m m f A A q A r A r A a E a A a A a A ϕ--=+==++++
(6)求出矩阵函数。

求带参数的方式一样，无非是将0121,,,,m a a a a -写成0121(),(),(),,()m a t a t a t a t -
第四章
()22
()()
22()()
22
H H
ij n n H H
ij ij
ij n n ij H H
ij ij ij n n ij A A A A A a a a B B B b b a a C C C c ⨯⨯⨯+-==+
++===--===（）厄米特矩阵（c ）反厄米特矩阵
若n n A C ⨯∈的特征值的集合为{}12,,,n λλλ（所有特征值），则有
2
2
1
11
n
n
n
i
ij i i j a λ
===≤∑∑∑（当且仅当A 为正规矩阵时成立）
1,1,1,1,max ;
Re()max ;
Im()max ;
Im()max ()i ij i j n
i ij i j n
i ij i j n
i ij i j n n a n b n c c A n λλλλ≤≤≤≤≤≤≤≤≤⨯≤⨯≤⨯≤当为阶实矩阵。

原盘定理：
=()n n ij A a C ⨯∈，则A 的全部特征值都在复数平面上的n 个圆盘(盖尔圆)内:
(1,2,
,)ii i z a R i n -≤=(i 的话直接就是1)
123(1)(1)i i i i i i i i in
R a a a a a a -+=+++
+++
+
图示，盖尔圆如何绘制
由矩阵A 的k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连通部分，并说它是由k 个盖尔圆组成的。

矩阵A 的任意一个由k 个盖尔圆组成的连通部分中，有且只有A 的k 个特征值。

（注意：特征值是落在连通部分中，不一定两个圆都有，有可能一个有一个没有。

） 谱半径的估算：矩阵A 的每一个特征值的模都不超过矩阵A 任意一个范数。

{}1()max i a i n
A A ρλ≤≤=≤
111
()max ;n
ij j n
i A A a ρ≤≤=≤=∑
11
()max ;n
ij i n
j A A a ρ∞≤≤=≤=∑
2()A A ρ≤=(当A 是正规矩阵时，等号成立)
AX B =,若A 可逆，则有唯一解1X A B -=
若A 不可逆，或者m n ≠时，不一定有解，有解不唯一。

求解{1}-广义逆：
各数据参数：
,,m n m m n n A P Q ⨯⨯⨯
(1)将目标矩阵A 化成最简型: ()0r E A PAQ ⎛⎫
= ⎪⎝
⎭
， P 为将A 行变换的初等变换；
Q 为将A 列变换的初等变换； 例如：121100011010⎛⎫⎛⎫→
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()r E A 就是A 的秩次的单位阵。

(2)则123=Q r
E A G P A A ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭ Q ，P 交换位置
123A A A ，，为填充矩阵，补齐位置的，可以直接在空缺上设123c ，c ，c
(3)则A G -= 任意矩阵A 的{1}-广义逆不唯一，则这是所有广义逆集合。

当m=n 时，1A A --=
当AX B =有解时，通解可以写成：
()n X A B E A A Z --=+-(Z 是任意n 维列向量)
最小范数解:
A -是m n ⨯矩阵A 的一个{1}-广义逆，并且满足()H A A A A --=，那么只要AX
B =有解，
最小范数解是：
X A B *-= 最小二乘解:
A -是m n ⨯矩阵A 的一个{1}-广义逆，并且满足()H AA AA --=,那么只要AX
B =有解，
最小二乘解是：
X A B *-= A +是满足:
(1)
AGA A = (2) GAG G =
(3) ()H GA GA =
(4) ()H AG AG =
A +存在，且唯一。