组合数的性质解读

Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
注：C
0 n
=1=C
n n
=C
m m
=C nn++11
=...
例题分析
例1计算：⑴
C
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知
3
n
2 n
,求
n
．(4)求
C 38-n 3n
+ C231n+n的值.
56
②从口袋里取出3个球，使其中含有一个黑球，
有多少种取法？C
2 7
21
③从口袋里取出3个球，使其中不含黑球，有
多少种取法？C
3 7
35
从引例中可以发现一个结论：C3 C 2 C3
8
7
7
对上面的发现(等式)作怎样解释？
C
3 8
C
2 7
C73
我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的3个球，可以分为 两类：一类含有1个黑球，一类不含 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立．
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
C
1 2
从98件合格品中抽出2件的抽法有 C928
C21 • C928 9506
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种?
法1 含1件次品或含2件次品
C21 • C928 C22 • C918 9604 种
m个元素组成的，共有Cnm个
由分类计数原理，得
C C C 组合数性质2
m
m
m1
n1
n
n
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
C C m
m 1
n
n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
m!(n m 1)!
巩固练习
1．方程 C2x8
C3x 28
8
的解集为（
D
）
A ．4
B ．9
C ．
D ．4,9
2．若 Cn10 Cn8 ，则 C2n0 的值为 190
巩固练习
3．有3张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法
的种数是
10
C53
C52
54 2!
10
4．6人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自 行决定，共有多少种不同的去法？
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
C1300
100 99 98 3 2
161700种
例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多 少种?
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
C1300 C938 9604 种
例 计算
C ( 1 )
198 ;
200
C 2 200 199 19900
200
21
(2)
C C 3 2 ;
99
99
C 3 100 99 98 161700
100
321
2C C C ( 3 )
3 3 2 .
n nm n
简证:
Cm n
m
（! nn！ m）!,
m 1 nm
C m1 n
m 1 nm
(m
n! 1)!(n
m
1)!
m1
n!
(m 1)! (n m)(n m 1)!
n! m!(n m)!
Cm n
.
引例
一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球
①从口袋里取出3个球，共有多少种取法？C
3 8
解：有6类办法，第1类去1人，第2类去2人，第3类去3 人，第4类去4人，第5类去5人，第6类去6人，所以共 有不同的去法
C61 C62 C63 C64 C65 C66 63
答：(3)n=8； (4)n=10.
例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，
(1)列出所有各场比赛的双方； （2)列出所有冠亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 （2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
C C 例3 求证: m m 1 m1.
8
9
8
C C C C C 2 3 ( 3 2) 2 3 56
8
8
8
8
8
例．计wenku.baidu.com：
C
3 7
C74
C85
C
6 9
解：原式＝ (C73 C74 ) C85 C96 C84 C85 C96 (C84 C85 ) C96 C95 C96 C160 C140
1098 7 210 4!
m!(n 1 m)!
(n 1)! m![(n 1) m]!
C . m n 1
组合数性质2：
Cm Cm Cm1
n1
n
n
说明：
1、公式特征：下标相同而上标差1的两个组合 数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合 数上标较大的相同的一个组合数 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今 后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主 要应用．
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定理 1:
m
nm
n
n
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联 系．一般地，求从 n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，
可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n 个不同元素中取出 m个元素
的组合数 Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数 Amm．
根据分步计数原理，得到：Anm Cnm Amm
因这此里：mC、nm nAAmnNmm，*且nnm1，nn这个2m公!式n叫做m组合1数
公式．
概念讲解
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数 :
A C A m n
m m
n
m
组合数公式:
一般地，从a1, a2 , , an1这n 1个不同的元素中取
出m个元素的组合数是Cnm1， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
含有a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出 m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；
不含a1的组合是从a2 , a3 , , an1这n个元素中取出
组合的性质
1
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一 组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数
，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm