高等数学分析2.1数列极限和无穷大

Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
极限思想： 1、割圆求周
三国时期，数学
家刘徽应用极限
方法订正、计算
圆周率
圆周长
割
圆术！
播放
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则 与圆周合体而无所失矣” ——刘徽
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
§1. 数列极限和无穷大量
圆面积亦如此。 启示：
R
已知与未知 有限与无限 近似与精确 直线与曲线
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
2、截丈问题
“一尺之棰，日截其半，万世不竭”
第 一 天 截 下 后 的 杖 长 为X 1
1 2
;
第 二 天 截 下 后 的 杖 长 为X 2
n
:
1, , , , , , 2 34 5
n
,
0
1
(1)n1 n
:
2,1 1 ,1 1 ,1 1 ,1 1 , ,1 (1)n1 ,
2345
n
1
n2 : 1,4,9,16,25, , n2 ,
无限增大!
1 (1)n1 : 2,0,2,0,
考虑数列
1
(1)n1 n
Hunan City University
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
4、关于数列极限定义的几点理解
（1）正数 的任意性和相对固定性。
（2）N的存在性与非唯一性，且N仅与 有关而 与n无关。
（3）当 a 0 时，即以零为极限的数列 称为无穷小量。 无穷小量不是很小的量。
{xn }是无穷小量 对 0, N , 使n N时, 有 xn .
记为
lim
n
xn
a,
或
xn a (n ).
“ N”法
若数列不存在极限, 则称数列是发散的.
如 {1 (1)n1 } 是发散数列.
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
３、数列极限的几何解释: 由定义 xn a ，得 a xn a .
a xN3
a
x2 x1 xN 1 a xN 2 x3 x
对任意给定的邻域O(a, ) (a , a ),
总
存
在
项x
，
N
第N项 以 后 的 所 有 项
xN 1 , xN 2, 全 位 于 这 个 邻 域 内;
只 有 有 限 个(至 多 只 有N个 ) 落 在 其 外.
Hunan City University
1 22
;
第n天 截 下 后 的 杖 长 为X n
1 2n
;
1 Xn 2n
0
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
一、数列极限的定义
1.数列: 是按次序排列的一列无穷多个数
x1 , x2 ,L , xn ,L
数列是定义在自然数集N上的函数。即以N为定义域由小 到大取值所对应的一列函数值。
对 n N ，设 f (n) xn ，则
自变量： 1,2, ,2006, , n,
函数值：x1, x2 , , x2006 , , xn ,
表示为数列 { x n }， xn 为第n项或通项。
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
例如：
(1)n
1 1 1 1 (1)n
摆动！
§1. 数列极限和无穷大量
定性分析：当n无限增大时，1
(1)n1 n
无限趋近于1，数1即所谓
1
(1)n1 n
的“极限”。
Hunan City University
播放
§1. 数列极限和无穷大量
定量分析：1
(1)n1 n
无限趋近于1是指：
当 n 充分大时,
(1)n1
1
1
n
能任意小，并保持任意小。
邻域法
§1. 数列极限和无穷大量
lim
n
xn
a
对邻域O(a, ),总N ,当n N时, 有xn O(a, ).
对 0, 只有 有限项xn位于 邻域O(a, )之 外.
？ lim
n
xn
a
Hale Waihona Puke Baidu
对
0,总有无限多项xn位于邻域O(a, )之内.
可见：数列是否有极限，只与它从某一项以
后有关，而与它前面的有限个项无关。因之， 在讨论数列极限时，可添加、去掉或改变其有 限个项的数值，对收敛性和极限都无影响。
1000000
n
1000000
……
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
以上还不能说明
(1)n1
1
1
n
任意小，并保持任意小，毕
竟它们都还是确定的数。
对 0, 要 使1 (1)n1 1 才 行.
n
由不等式有 1 ，故只须 n 1 即可。
n
即对
0, 自然数
[
1
]
，当
n
[1
]时，便有
1 (1)n1 1 .
n
定量定义：若对 0,总N [ 1 ]， 当n N时， 有
1
(1)n1 n
1
.
则称数1是
1
(1)n1 n
的极限。
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
2．数列极限定义： 设数列{ xn } ，a 是实数。若对 0 , 总 正 整 数 N , 当 n N 时 , 便 有 xn a ，则称{ xn } 存在极限a ，或者收敛于a ．
例如：
对 1, 10
要 使1 (1)n1 1 1 ,
n
10
只须 n 10.
即 自然数10，当n>10时，有
1 (1)n1 1 1 .
n
10
对 1, 1000
要 使1 (1)n1 1 1 ,
n
1000
只须 n 1000.
对
1
, 要 使1 (1)n1 1
1 , 只须 n 1000000.
§C1h.a数pt 列2.极限极和限无与穷连大续量
§1. 数列极限和无穷大 §2. 函数的极限 §3. 连续函数 §4. 无穷小量和无穷大量的阶
Hunan City University
§1. 数列极限和无穷大量
§1. 数列的极限和无穷大量
一、数列极限的定义 二、数列极限的性质 三、数列极限的运算 四、单调有界数列 五、无穷大量的定义 六、无穷大量的性质和运算 七、小结 思考题
讨论圆内接正多边形与该圆周的关系
已知圆内接正多边形的周长 ln 未知的圆周长 l
（1）在任何有限的过程中，
R
即对任何确定的n， ln 皆为 l
的近似值；（2）在无限的过
程中，即当n无限增大时，ln 无限接近于常数 l 的精确值。
l 是 ln 当n无限增大时的极限
Hunan City University