《空间向量的正交分解及其坐标表示》 课件
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牛刀小试：
uuur r uuur r
在平行六面体 ABCD A/ B/C/ D/中，AB a, AD b,
uuuur r AA/ c
uuuur
M是AC的中点，N是CC/的中点，求 MN
D/
C/
A/
B/
N
D
M
C
Auuur uuur uuur B uuuur
用AB, AC, AD能表示MN吗？
uuur uuur uuuur
ur
p
r b r a
向量共线定理 ———一维
r rr r 向量a与（ b b 0）共线，当且仅当有唯一一个
rr
实数，使a＝b．
r a
r b
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
uuur uuur uuur
下的坐标下的坐标，记作 p x, y, z
例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
BOuCuA的ur, Ou中uBur点, Ouu，Cur P表，示Q是OuuMPur N和的Ou三uQur等分。点。用向量
解
:
uuur OP
uuuur OM
uuur MP
1
uuur OA
2
uuuur MN
rk i
O
r j
y
ur r r r
rrr
p xi y j zk.我们称xi, y j, zk为向
Q
ur r r r 量 p在i, j, k上的分向量
x
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
rr r
a,b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类似的
结论吗？
D/
C/
A/
B/
D
C
A
uuuur
用AB, DC, AA/能表示MN吗？
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
镇海区r龙赛中学 盛华 k
r i r j
O
平面向量基本定理
rr
———二维
如果a, b是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任意向
ur 量 p，有且只有一对实数x, y，使
ur r r
p＝xa＋yb．
B
空间向量基本定理：
rrr
向如量果，u三pr 存个ur 在向量一r个a,唯br,一c的不有共r 序面实，数那组么对空x间, y任, z一
使
p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
rrr a, b, c都叫做基向量
探究： 请你比较空间向量基本定理与平面
向量基本定理，并说说它们的区别与联系.
单位正交基底
ur uur ur
特别地，设 e1, e2, e3 为有公共起点ur O的三个两两 垂直的单位向量, 那么对空间任一向量 p，存在一个唯
一组有序实数组
ur
urx,
y,
zuur ，使ur
p xe1 yeu2r ze3
ur uur ur
我们把 x, y, z 称作向量 p在ur 单位正交基底 e1, e2, e3
OP OQ QP
uuur uuur r uuur r r
OuuPur
OuQuur
zk.
r
OQ r
Hale Waihona Puke Baidu
xi r
y
j. r
z
OP OQ zrkr r xi y j zk.
由此可知，如果i, j, k是空间两两垂直 r
ur p
P
的向量，那么对于空间中的任意向量 ur
p, 存在一个有序实数组x, y, z,使得
uuur OC
)
2
3
2
3
6
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC
3
6
6
空间向量在现实生活中的应用 控制塔台
空间向量的拓展
空间向量的拓展
课堂小结
一维
二维
三维
向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理
道生一，一生二，二生三，三生万物。 ——老子《道德经》
数学思想方法 类比思想 化归思想
O
2
3
M
1
uuur OA
2
uuur (ON
1
uuur OA)
2
3
2
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC
A
Q
C
P
6
3
3
uuur OQ
uuuur OM
uuuur MQ
1
uuur OA
1
uuuur MN
2
3
B
N
1
uuur OA
1
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1
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1
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1
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uuur r uuur r
在平行六面体 ABCD A/ B/C/ D/中，AB a, AD b,
uuuur r AA/ c
uuuur
M是AC的中点，N是CC/的中点，求 MN
D/
C/
A/
B/
N
D
M
C
Auuur uuur uuur B uuuur
用AB, AC, AD能表示MN吗？
uuur uuur uuuur
ur
p
r b r a
向量共线定理 ———一维
r rr r 向量a与（ b b 0）共线，当且仅当有唯一一个
rr
实数，使a＝b．
r a
r b
问题：
我们知道，平面内的任意一个向量 p 都可以
用两个不共线的向量 a, b 来表示（平面向量基本定
理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
uuur uuur uuur
下的坐标下的坐标，记作 p x, y, z
例4、如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，
BOuCuA的ur, Ou中uBur点, Ouu，Cur P表，示Q是OuuMPur N和的Ou三uQur等分。点。用向量
解
:
uuur OP
uuuur OM
uuur MP
1
uuur OA
2
uuuur MN
rk i
O
r j
y
ur r r r
rrr
p xi y j zk.我们称xi, y j, zk为向
Q
ur r r r 量 p在i, j, k上的分向量
x
探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量
rr r
a,b, c
代替两两垂直的向量 i, j, k ，你能得出类似的
结论吗？
D/
C/
A/
B/
D
C
A
uuuur
用AB, DC, AA/能表示MN吗？
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
镇海区r龙赛中学 盛华 k
r i r j
O
平面向量基本定理
rr
———二维
如果a, b是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任意向
ur 量 p，有且只有一对实数x, y，使
ur r r
p＝xa＋yb．
B
空间向量基本定理：
rrr
向如量果，u三pr 存个ur 在向量一r个a,唯br,一c的不有共r 序面实，数那组么对空x间, y任, z一
使
p xa yb zc.
任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。
rrr a, b, c都叫做基向量
探究： 请你比较空间向量基本定理与平面
向量基本定理，并说说它们的区别与联系.
单位正交基底
ur uur ur
特别地，设 e1, e2, e3 为有公共起点ur O的三个两两 垂直的单位向量, 那么对空间任一向量 p，存在一个唯
一组有序实数组
ur
urx,
y,
zuur ，使ur
p xe1 yeu2r ze3
ur uur ur
我们把 x, y, z 称作向量 p在ur 单位正交基底 e1, e2, e3
OP OQ QP
uuur uuur r uuur r r
OuuPur
OuQuur
zk.
r
OQ r
Hale Waihona Puke Baidu
xi r
y
j. r
z
OP OQ zrkr r xi y j zk.
由此可知，如果i, j, k是空间两两垂直 r
ur p
P
的向量，那么对于空间中的任意向量 ur
p, 存在一个有序实数组x, y, z,使得
uuur OC
)
2
3
2
3
6
1
uuur OA
1
uuur OB
1
uuur OC
3
6
6
空间向量在现实生活中的应用 控制塔台
空间向量的拓展
空间向量的拓展
课堂小结
一维
二维
三维
向量共线定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理
道生一，一生二，二生三，三生万物。 ——老子《道德经》
数学思想方法 类比思想 化归思想
O
2
3
M
1
uuur OA
2
uuur (ON
1
uuur OA)
2
3
2
1
uuur OA
1
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1
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A
Q
C
P
6
3
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1
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1
uuur OA
1
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1
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1
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