人教版初中数学八年级下册《数的开方与二次根式》

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第4课时┃数的开方与二次根式
针对训练
2.(1)【2016·聊城】计算： 27×
8 3÷
12＝___1__2___．
(2)【2016·青岛】计算：
32－ 2
8＝____2____．
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第4课时┃数的开方与二次根式
考点5 把分母中的根号化去
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考点3 二次根式的性质
≥0
二
次
－a a≤0
根
a· b
式
化
>0
≥0
简
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第4课时┃数的开方与二次根式
考点4 二次根式的运算
类型
关键点回顾
二次根式 二 次 根 式 相 加 减 ， 先 把 各 个 二 次 根 式 化 的加减 成 最简二次根式 ，再把__同__类__二__次__根__式__合并.
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第4课时┃数的开方与二次根式
【方法模型】 比较两个二次根式的大小最常用的是平方 法和取倒数法，还可以将根号外因式移到根号内比较．
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第4课时┃数的开方与二次根式
考向探究5
二次根式的非负性
命题角度
1.由几个非负数的和为 0 求未知字母的值；
2.由二次根式的非负性求字母的取值范围．
例 5 已知实数 x,y 满足 x－1＋|y＋3|＝0,则 x＋y 的值为( A )
A.－2
B.2
C.4
D.－4
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第4课时┃数的开方与二次根式
解析
∵ x－1＋|y＋3|＝0，∴x－1＝0，y＋3＝0； ∴x＝1，y＝－3，∴x＋y＝1＋(－3)＝－2.
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二次根式 1. a • b＝ ab(a___≥__0___，b__≥__0____)；
的乘除
2.
b＝ a
ba(a___＞__0___，b___≥__0___).
二次根式 如：要估算 7在哪两个相邻的整数之间，先对 7进 的估算 行平方，因为 4＜7＜9，所以 2＜ 7＜3.
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第4课时┃数的开方与二次根式
乘以分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的，如：1＋1
＝ 2
（
12×＋（1）（2－12）－1）＝
2－1，
1 3＋
2＝（
1×（ 3－ 3＋ 2）（
2） 3－
2）＝
3
－ 2.
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第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究4
二次根式的大小比较
命题角度
1.比较二次根式与有理数的大小、比较两个二次根式的大小；
第4课时┃数的开方与二次根式
考纲链接
考试内容 1.数的开方 （1）平方根、算术平方根、立方根的概念
考试要求目标 A B CD √
（2）平方根、算术平方根、立方根的表示
√
（3）乘方与开方互为逆运算
√
（4）百以内整数的平方根和百以内整数（对应的负整数） 的立方根
√
考纲链接
考试内容
考试要求目标
知识条目
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第4课时┃数的开方与二次根式
【知识链接】 有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含
有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如： 2的有理化因式是 2；1－ x2＋2的有理化因式是 1＋ x2＋2.
分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的
根号化去，指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同
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第4课时┃数的开方与二次根式
考点聚焦 考点1 平方根、算术平方根与立方根 平方
平方
立方
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第4课时┃ 数的开方与二次根式
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考点1 平方根、算术平方根与立方根
名称
性质
算术平方根
只有_非___负__数__才有算术平方根，而 且算术平方根都是_非__负___数__.
正数的平方 根有两个
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第4课时┃数的开方与二次根式
针对训练
【2018·中考预测】 16的平方根是( C ) A．±4 B．4 C．±2 D．2
解析
根据算术平方根的意义，可得 16 的算术平方根，再 根据平方根的意义进行求解．
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第4课时┃数的开方与二次根式
义，则a≥0”，所以2x－1≥0，1－2x≥0，由此可得x＝12.
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第4课时┃数的开方与二次根式
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3.[八下 P19 复习题 16 第 3 题节选改编] 计算： ( 24－ 12)－( 18＋ 6)＝__6_－__34___2；
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第4课时┃数的开方与二次根式
命题角度： 1．直接求一个数的平方根、算术平方根、立方根； 2．由开平方、开立方运算求字母的值．
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第4课时┃数的开方与二次根式
例 1 判断正误： (1)36 的平方根是 6；( × ) (2)±9 的平方根是±3；( × ) (3) 16＝±4；( × ) (4)0.01 是 0.1 的平方根；( × ) (5)42 的平方根是 4；( × ) (6)81 的算术平方根是±9.( × )
2.估计一个二次根式的值在哪两个整数之间．
例 4 比较大小：
(1)－3 2____>____－2 5；
(2)【2016·南京】
5－3___＜_____
5－2 2.
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第4课时┃数的开方与二次根式
解析
(1)(3 2)2＝18，(2 5)2＝20， ∵18＜20，∴3 2＜2 5，∴－3 2>－2 5； (2)∵4＜5＜9，∴2＜ 5＜3， ∴ 5－3＜0， 52－2＞0， ∴ 5－3＜ 52－2，应该填“＜”．
完成《作业手册》课时训练（四）
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A B CD
2.二次根式
（1）二次根式、最简二次根式的概念
√
（2）用有理数估计二次根式值的大致范围
√
（3）用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运
算法则进行简单四则运算
√
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1．[七下 P47 习题 6.1 第 4 题改编] 判断下列说法正确的有：( C )
(1)5 是 25 的算术平方根； (2)56是3265的一个平方根； (3)(－4)2 的平方根是－4； (4)0 的平方根与算术平方根都是 0. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
考 向 探 究 3 二次根式的化简与计算
命题角度
1.二次根式的性质运用正误判断及简单计算； 2.二次根式的运算及化简求值． 例 3 【2017·滨州】下列计算：(1)( 2)2＝2,(2) （－2）2＝2,(3)(－2 3)2
＝12,(4)( 2＋ 3)·( 2－ 3)＝－1,其中结果正确的个数为( D )
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1 （x－ห้องสมุดไป่ตู้）2.
第4课时┃数的开方与二次根式
考点2 二次根式的有关概念
a≥0
被开方数不含分母（分母中不含根号）； 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
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第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究 2 二次根式的有关概念
例 2 【2018·原创】下列二次根式中,与 3可以相
A．1 B．2 C．3 D．4
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第4课时┃数的开方与二次根式
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1.【2016·乐山】在数轴上表示实数 a 的点如图 4－1 所示，
化简 （a－5）2＋|a－2|的结果为_____3___．
解析
图 4－1
观察数轴知2＜a＜5，所以有a－5<0，a－2>0， 所以 （a－5）2 ＋|a－2|＝|a－5|＋|a－2|＝5－a＋a－2 ＝5－2＝3.
第4课时┃数的开方与二次根式
【方法模型】
(1)常见的非负数有三种形式：|a|, a(a≥0),a2. (2)若几个非负数的和等于零,则这几个数都为零．
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第4课时┃数的开方与二次根式
1.你的困惑解决了吗？ 2.谈谈你在本节课中最大的收获？
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第4课时┃数的开方与二次根式
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2．[八下 P19 复习题 16 第 1 题改编]当 x 是怎样的实数时，下列
各式在实数范围内有意义？
(1) 3＋x；(2) 2x1－1；(3) 2－13x；(4)
(1)_____x_≥_－__3___________；
(2)_____x_＞_12_____________； (3)_____x_＜__23 ____________； (4)_____x_≠_1_____________．
加减的是( B )
A. 18
1 B. 3
C. 24
D. 0.3
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|针对训练|
【2017·济宁】若 2x－1＋ 1－2x＋1 在实数范围内 有意义，则 x 满足的条件是( C )
A. x≥12 B．x≤21 C. x＝12 D．x≠12
解析
根据“二次根式的定义，要使 a 在实数范围内有意
一个正数的平方根有两个，它们 平方根 ___互__为__相__反___数__；___负__数___没有平
方根；0 的平方根是___0_____.
正数有一个___正__的___立方根；0 的
立方根 立方根是_____0___；负数有一个 ___负__的___立方根.
第4课时┃数的开方与二次根式
考 向 探 究 1 求平方根、算术平方根与立方根