第四章 应力——强度分布干涉理论和机械零件的可靠度计算

可靠度的一般表达式 1）概率密度函数联合积分法
在机械零件的危险剖面上，当材料的强度值S大于应力值s
时力，值不s1存会在发于生区失间效；s反1 之d2s，, s将1 发d2s生 内失的效概。率由等图于3可面知积，A1应，
即
P(s1
ds 2
s1
s1
ds ) 2
f (s1)ds
A1
（4-2）
同时，强度值S超过应力值s1概率等于阴影面积A2，表示
力s、f强( )度S及干涉f变(s)量 f (S的) 分布函数 、 及 有关，
且与 的位置及 和 干涉区的大小有关。
）(定来a来)时衡曲衡，量线量提，，f 高(ns称与) n称为f (或S为安)的提均全相高值间对安距位S全。置系当可s数，强以。就度用另会和它外提应们也高力各可可的自用靠标均均度准值值，差的差因比（为S和值此S时ns 一干sSs
第4章 应力——强度分布干涉理论和机械零 件的可靠度计算
§4-1 概述 §4-2 应力一强度分布干涉理论 §4-3 蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟法 §4-4 机械零件的可靠度计算 §4-5 可靠度与安全系数的关系 §4-6 机械零部件的可靠性设计应用举例
（螺栓联接设计）
§4—1 概述
在机械设计中，所设计对象的安全程度，即零件本身 的强度所能承受外载荷作用的程度的重要尺度，就是安全 系数。它是机械零件设计过程中的一个十分重要的参数。
(e)应当强调的是，强度低截尾区的数据和应力高 截尾区的数据对可靠度的影响非常大，建议对低 截尾区采用某种概率分布、对高截尾区采用两参 数的指数分布。
(f)将干涉模型中应力和强度的概念推广，即凡是 引起失效的因数都称之为“应力”，凡是阻止失 效的因数都称之为“强度”，则应力-强度干涉理 论同样可以用到刚度、动作、磨损及与时间有关 的可靠性问题中。
Rt s
NT
NT
S1 1 s
1
显然，模拟的次数越多，则所得可靠度的精度越 高。
例4-1 已知一零件的应力分布和强度分布都为正态分布， 其 蒙数特据卡为罗模拟法s 计 9算4.1其MP可a,靠 s 度 2。0.7MPa; S 188.2MPa, S试 1用5.2MPa
根据流程说明的原理和步骤，编制计算机程序，并得出下列打印结果：
呈正态分布的应力和强度概率密度函数分别为:
f (s)
1
1 ( ss )2
e 2 s
s 2
f (S)
1
1( S S )2
e 2 S
S 2
（4-10） （4-11）
又知可靠度是强度大于应力的概率，表示为 R(t)=P[(S-s)>0]
模拟次数 1000 5000 10000 50000
可靠度 0.9990 0.9996 0.9998 0.99978
可见，随着模拟次数的增加，模拟结果的精度也随之提高。
§4-4 机械零件的可靠度计算
一、应力和强度分布都为正态分布时的可靠度计算
当应力和强度分布都为正态分布时，可靠度的计算大大简 化。可以用这里介绍的联结方程先求出联结系数z，然后利用标 准正态分布面积表求出可靠度。
涉面积减小。
(b)当应力和强度的均值一定时，降低它们的标准差 s 和 S
，可以提高可靠度。
(c)干涉区的大小定性地反映可靠度的大小，即干涉区小，则 失效概率小。但是干涉区的面积并不等于失效概率。
(d)干涉理论要求知道应力和强度这些随机变量的 密度函数，这些函数在实际中是难以得到的，因 而在工程应用中受到了限制。在工程中更多地应 用一些近似的概率分析方法。
S s
1
（4-1）
如能满足上式，则可保证零件不会失效，否则将出现失
效。图1表示出这两种情况。当t=0时，两个分布之间有一
定的安全裕度，因而不会产生失效。但随着时间的推移，
由于材料和环境等因素，强度会逐渐衰减恶化（沿着衰减
退化曲线移动），导致在时间t1时应力分布与强度分布发
生干涉，这时将产生失效。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
S s 0或S S s s
也就是说，强度最小值必须大于外载引起的应力最大值 才安全。
S(1 S ) s(1 s )
S
s
故安全系数:
n
S s
1 s
1
s S
S
（b）
s 与 S 为应力与强度的变化率。
s
S
假定应力与强度的变化率均为0.25
则此时零件的安全系数为:
n 1 0.25 1.67 1 0.25
基于应力与强度呈某一分布规律的观点，可以更进一步 看出在安全系数设计中存在的问题。
机械零件失效的可能性(概率)用安全系数的大小是不能 完全表征的。它取决于强度与应力的“干涉”面积的大小 (以下谈及)，如下图中的阴影部分。那么，影响该面积大小 的因素又是什么呢?
变时，强度与应力均值位置的变化所引起的“干涉”
安全系数一般的定义是：零件的强度与作用于它上面 应力的比值，即主强度与主应力的比值，可写成如下形式
（a）
n S s
式中，n为安全系数；S为材料强度(MPa)；s为作用 于零件上的应力(MPa)。
如果考虑到强度与应力的变化量△S与△s，那么其
最小强度值S=
与最大应力值
，
必须满足以下不等S式 S
s s s
由以上分析可以看出，以往将安全系数处理为 某一定值，就是考虑了强度与应力的变化率，其结 果也是某一常量。它忽略了强度与应力的最大值与 最小值出现的概率。
实际上，零(部)件所承受的外载荷，不管是静载荷还是动 载荷，材料的强度不管是静强度还是动强度，由于受到各 种随机因素的影响，它们都是呈某种分布规律的。应力和 强度不可能是某一个固定不变的常量，而是呈某种分布的 随机变量。
n S2 1.5 5 2.5 s2 1.5 2
由图1中的虚线部分可以看出，在安全系数不变的情况下， “干涉”面积大大地变小了。也就是说，在同样的安全系 数下，零件的失效可能性变小了。
如果强度与应力同时缩小某一倍数(如缩小0.5倍)，则图1 就变为图2的情况。这时在安全系数不变的情况下，零件 的失效可能性变大了。即安全系数:
§4-2 应力一强度分布干涉理论
载荷统计和 概率分布
几何尺寸分布和 其它随机因素
材料机械性能统 计和概率分布
应力计算
强度计算
机械强度可靠性设计过程框图
应力统计和 概率分布
干涉模型
强度统计和 概率分布
机械强度可靠性设计
论为基础的，该理论是以应力-强度分布干涉模型 为基础的，从该模型可清楚地揭示机械零件产生故 障而有一定故障率的原因和机械强度可靠性设计的 本质。
为
P S s1
s1 f (S )dS A2
（4-3）
A1、A2表示两个独立事件各自发生的概率。 如果这两个 事件同时发生，则可应用概率乘法定理来计算应力值为s1 时的不失效概率，即可靠度，得:
dR A1A2
f s1 ds
f (S )dS ]ds
s1
因为零件的可靠度为强度值S于所有可能的应力值s整个概 率，所以
R t
dR
f (s)[ f (S )dS]ds
（4-4）
s
此式即为可靠度的一般表达式，并可表示为更一般的形式
R t
b
c
f (s)[ f (S )dS ]ds
（4-5）
a
s
式中，a和b分别为应力在其概率密度函数中可以设想的最 小值和最大值； c为强度在其概率密度函数中可以设想的 最大值。
用蒙特卡罗模拟法进行可靠度计算的流程图如图所 示。
由图中第4步可知:
RNsi
si f (s)ds
Sj
RNSi
f (S )dS
（4-8） （4-9）
因此,已知 和 RNsi RNsj 便可得出相应的si和Si
如果把上述第5步的条件，改为S1>s1或
则可相应地得到:
Rt N(S s)
N ( S 1)
从干涉模型可知，由于干涉的存在，任一设计都存在故 障或失效的概率。
机械零件的可靠度主要取决于应力-强度分布曲线干涉的 程度。如果应力与强度的概率分布曲线已知，就可以根据其 干涉模型计算该零件的可靠度。
由应力分布和强度分布的干涉理论可知，可靠度是“强度 大于应力的整个概率”，表示为：
Rt
=P(S>s)=P(S-s>0)=P
(2)把安全系数本身看成某一常量是不符合实际情况 的。
(3)大的安全系数不一定有大的安全效果。
(4)小的安全系数不一定就不安全。
用安全系数设计方法的计算过程可以发现：
1 在选择安全系数上具有很大的“主观”因数。不同的 设计者设计相同的机械零件时，其结果是不同的，有时 相差悬殊，带着较大的经验色彩。
f (S)
f (s)
识计，算我出们干可涉以变通量过 强 度S S和s 应的力概s的率概密率度密函度数函f (数 )
和
因此，零件的可靠度可由下式求得
R
P
0 0
f
(
)d
（4-6a）
当应力和强度为更一般的分布时，可以用辛普森和高斯等数 值积分法求可靠度。
关于干涉理论的几点说明
从应力s与强度S相互干涉 的基本情况可f 以(s)看f 到(S)，可f (靠 ) 度R与应
对于对数正态分布、威布尔分布和伽玛分布， a为位置参
数，b和c为无穷大，对于 分布，a为位置参数，b和c可 能是一个有限值。
显然，应力一强度分布干涉理论的概念可以进一步延伸。
零件的工作循环次数n可以理解为应力，而零件的失效循
环次数N可以理解为强度。与此相应，有
Rt
PN
n
PN
n
0
P
N n
1
（4-6）
面积的变化如图所示。图中表明， 在 为5个单位，
为2个单位时(即图中的实线部分)，
其安全系数为:
S1
s1
n S1 5 2.5 s1 2
如果将强度及应力的分布，在标准差不变的情况下，其均 值同时增大某一倍数(如增大1.5倍)，由图1可以看出：在 安全系数不变的情况下，强度与应力的均值向右平移的幅 度是不同的。即
2 把设计的参数都看成固定不变的常量，忽略了各种随 机因数对它的影响，因而设计结果不可能更好地接近实 际工作情况。
3 设计结果的安全程度如何？一开始设计者心中还是处 于模糊的状态，往往需经过实际运行之后设计者心中才 有“底”。
在机械设备越来越庞大、越来越复杂的今天，机械 系统中往往由于某个零件的失效而带来严重的后果。因 此，有必要在机械零件设计过程中引入“可靠度”这个 度量零件失效状况的定量指标，即要求所设计的零件在 一定的可靠度下达到设计目标，或在某个设计目标下达 到最高可靠度的要求。
R t
f (n)[ f ( N )dN ]dn
（4-7）
n
式中，n为工作循环次数；N为失效循环次数
2）功能密度函数积分法求解可靠度
强度S和应力s差可用一个多元随机函数表示
S s f ( x , x ,, x )
12
n
称为功能函数。
f ( )
设随机变量 的密度函数 ，根据二维独立随机变量知
n S2 0.5 5 2.5 s2 0.5 2
(2)如果强度与应力的均值不变，而强度与应力的分散度 即标准差改变，则这时安全系数不变，但“干涉”面积 则随强度或应力的分散度增加而加大，即失效概率随之 加大，如图3
从上面的分析中可以得出以下的结论：
(1)以相同的安全系数所设计出的零件其安全程度不 一定是相同的。
在机械设计中，零件的强度S和工作应力s均为随机 变量、呈分布状态。强度与应力具有相同的量纲， 因此可以将它们的概率密度函数曲线 和 表示 在同一个坐标系中（图1)。
f (S) f (s)
通常要求零件的强度高于其工作应力，但由于零件 的强度值与应力值的离散性，使应力-强度两概率 密度函数曲线在一定的条件下可能相交，这个相交 的区域（如图中的阴影线部分），就是产品可能出 现故障的区域，称为干涉区。
需要研究的是两个分布发生干涉的部分。因此，对时间 为t1时的应力一强度分布干涉模型进行分析，如图2所示，零 件的工作应力为s，强度为S，它们都呈分布状态，当两个分 布发生干涉(尾部发生重叠)时，阴影部分表示零件的失效概率， 即不可靠度。
应当注意，两个分布险的重叠面积不能用来作为失概率 的定量表示，因为即使两个分布曲线完全重叠时，失效概率 也仅为50％，即仍有50％的可靠度。
§4-3 蒙特卡罗(Monte Carlo)模拟法
蒙特卡罗模拟法(Monte Carlo)可以用来综合两种 不同的分布，因此，可以用它来综合应力分布和强 度分布，并计算出可靠度。这种方法的实质是，从 一个分布(应力分布）中随机选取一（应力值）样本， 并将其与取自另一分布（强度分布）的（强度值） 样本相比较，然后对比较结果进行统计，并计算出 统计概率，这一统计概率就是所求的可靠度。