第一讲 二次根式的概念及二次根式的乘除法

第一讲二次根式的概念及二次根式的乘除法知识与方法

1.定义：

0)

a≥

的式子叫做二次根式；特别地，有时把形如0,0

a b

≠≥）

0)

a≥表示a的算术平方根

2.二次根式的性质：

(1)二次根式的双非性

≥(0

a≥) ；

(2)2a

=( 0

a≥)；

a

=；

=0

a≥,0

b≥)；

=(0

a≥,0

b>).

3.二次根式的乘除:

=0

a≥,0

b≥)；

==0

a≥,0

b>)；

(3)=0

a≥,0

b≥)；

(4) =0

a≥,0

b>,0

n≠).

4.基本思想方法:

(1)

逆用性质2a

=( 0

a≥)可以把任何一个非负数写成一个数的平方的形式,这在

代数式的化简、计算及其它代数变换中经常会用到.

例如,化简

22

-

===

；

(2)积、商的算术平方根的两个性质是二次根式化简与运算的重要依据，逆用这两个性质可进行二次根式的乘除运算，但一定要注意它们成立的条件；

(3)合理运用(或逆用)积、商的算术平方根的两个性质,可将被开方数中开得尽方的因数(或因式)开出来,也可将根号内的分母化去，从而将二次根式化简；有时需要将它们与

2

a=（

a≥）合用，把根号外的非负因式移到根号内.

例题解析

【例1】x为何值时,下列各式在实数范围内有意义?

(1)；

(3)

234

x x --；

【巩固练习一】

1.1

1m +有意义,则m 的取值范围是____________.

2. x 为何值时,下列各式在实数范围内有意义?

(1)

x

【例20=,求20122012m n +的值.

【巩固练习二】

12690y y -+=,求()2013

2x y -的值.

2. 若a ,b 是实数，且1

3

b ≤,试求23131b b a --+-的值.

【例3】计算； (3)-

【巩固练习三】

；⎛ ⎝（0,0m n >>）.

【例4】(1) 已知x =y =求22x xy y -+的值；

(2) 已知1a =,求322a a a +-的值.

【巩固练习四】

1. 已知3a =+3b =-求22a b ab -的值；

2. 若2310x x -+=,.

能力训练一

1. ．

2.当___________时,在实数范围内有意义.

3.比较大小:

(1) (2)_____

4.1

a

0y >）

、1m n

+0m ≥，0n ≥）．

5.在实数范围内分解因式:

(1)2x -； (2)426p p +-.

6.把下列各式中根号外的因式适当改变后移到根号内:

(1)-； (2)(1a - (3)-

7.1的整数部分为a ,小数部分为b ，试求)

()1a b +的值

8.若3

22

x -<<,化简((41x x --

第二讲最简根式与二次根式的加减法

知识与方法

1.最简二次根式:(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

2.同类二次根式:化成最简后，被开方数相同

．．．．．．的几个二次根式.

3.二次根式的加减:先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

4.二次根式的混合运算顺序：先乘方，后乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的.

5.基本思想方法:

(1)一个二次根式是最简二次根式的必要条件是根号内的代数式(即被开方数)是整式，此外，还需符合以下条件:①若被开方数是单项式，则要求系数是整数，且该整数的所有质因数的指数及此单项式的所有字母因式的指数均为1；②若被开方数是多项式，则

要求此多项式的各项系数是整数，且要求将此多项式充分分解

．．

．．．．后的每一质因数

．．和因式(含多项式因式)的指数均为1.

(2)对于同类二次根式，一般只有在把每个二次根式化成最简二次根式后才能作出判断, 此时只要求被开方数相同，而根号前面的因式只要非负即可.

(3)把一个二次根式化成最简二次根式，通常先运用分式的基本性质,将被开方数等值变换成分母中的每一质因数或因式的指数均为偶数的形式，再根据二次根式的性质化去根号内的分母，进而再把被开方数分解因式或分解质因数，运用二次根式的性质把其中开得尽方的因数或因式开出来.

(4)二次根式的加减运算，要注意防止出现以下错误：①该化简的没化简，如结果中出

现等；②不能合并的却合并了，如=；③化简得不正确，如

=-.

=等；④合并错误，如a

(5)有关二次根式的计算、化简、比较大小等题型中常用方法：换元法和取倒数法.

例题解析

【例1】(1)下列各式哪些是最简二次根式，哪些不是最简二次根式.

.

(2)0

+≠).

x y