CFD数值模拟原理课程总结

CFD 数值模拟原理课程总结

随着近代科学技术的进步，在绝大部分的研究领域内，人们对常见现象的理论研究已达到了一个崭新的境界，如力学、新材料设计的超分子建筑学、统计物理学、流体力学、传热学、化学反应流等。与此同时，这些数学物理方程、理论模型或经验模型，在大量的实验研究及工程应用中得到证实。为了在实际工程运用中能更加直观简洁的描述流体在流场中的流动情况，CFX 软件系列中的CFD ，PRO-E 等软件就能系统的解决流体的数值模拟问题。

CFD 的基本理论基础与流体力学理论基础相似，质量守恒方程，动量守恒方程(牛顿运动定律)和能量守恒方程(热力学第一定律)是CFD 理论的基石和核心。以下为粘性流体流动的基本方程组：

(1)连续性方程： (2)动量方程：

(3)能量方程：

(4)质量组分分数方程：

在粘性流体流动的系统中，以上四个方程构成的方程组是叩开理论流体力学实际问题的基础，同时在CFD 软件运用开发过程中起着理论核心的作用。

二、网格计算中的对流——扩散方程的差分格式分析

网格计算中的基本物理概念(1)节点：需要求解未知物理量的空间几何位置；

(2)控制容积：空间实体的面积或体积；(3)界面：控制容积之间的分界面；(4)网格线：连接各节点之间的连线。对于均匀网格，内节点与外节点在区域内的分布趋于一致，仅在坐标轴方向错位半个网格空间；对于不均匀网格计算，内节点永远在控制容积中心，而外节点的界面永远位于两相邻点的中间位置。在实际工程运算中，内节点网格计算处理特变物理现象比较容易，外节点状态。由能量守恒微分方程可以推出差分方程，根据工程应用数学所学知识，运用Taylor 展开得到差分方程。在均匀的网格中，对一维方程，采用不同的离散形式，可以得到相同的差分方程。但是，这不是普遍现象。一般情况下，有差别，计算结果的准确度也不有差别。运用Taylor 展开易于进行数学分析，其缺点是物理概念不清,计算()()0=⋅∇+i i i i i t u ρε∂ρε∂()()()i g s i i i i i i i i i Sc P t +-+∇-=⋅∇+u u u u u βερε∂ρε∂()()()i g s i i i i i i i i i Sc P t

+-+∇-=⋅∇+u u u u u βερε∂ρε∂()()()()∑∑==-+-=∇Γ-⋅∇+Np j ik ji jk ij Np j ik i jk j k ij ik i ik ik i i i ik i i Y m Y m Y Y Y Y t Y 11ρρβαρα∂ρα∂u

的结果可能违背基本的物理定律。运用积分法平衡求解网格计算问题：符合守恒定律，但是数学分析困难。

三、离散方程的相关性质

在实际工程运算中，运用差分格式解微分方程的解与原微分方程的真实解的差异就是截断误差。截断误差包括离散误差和数值计算的舍入误差，离散误差是主要误差。如果在网格计算中的各个节点的离散误差为零，则该差分格式(离散方程)收敛。

在实际工程计算中，为了保证差分格式具有守恒性，必须在确保控制方程守恒的基础上同时同一分界面内各物理量(Ф及物理参数)及Ф的一阶导数是连续的。采用守恒型差分方程，使计算结果与原物理问题保持一致；分析差分格式的截断误差是对任意控制体而言，如果相连的控制体的界面上的截断误差能相互抵消，则对该体积进行差分计算时，总的误差只有在边界处理时存在。否则，由于界面上误差的积累，会使总体误差增加，这与物理问题是相互远离的。

四、代数方程的求解方法

根据工程应用数学所学知识，采用差分方程与大型稀疏代数方程的相互转化可以解决空间多维矩阵数值计算问题。例如，空间一维3对角矩阵，空间二维5对角矩阵，空间三维7对角矩阵都可以用D 、L 、U 分解法求解矩阵方程组。但是，在实际工程测量与运算过程中，需要参与研究的内节点个数相当多(十万数量级)，采用直接解矩阵的方法去求解是相当困难的，甚至是不可能的。于是，必须采用代数迭代的方法求解。

常用的代数迭代方法有：(1)点迭代法：每一计算步只能改进求解区域中一个节点上的值，且该点的值是用一个显函数形式由其余各点的已知值来确定的一种数值显式迭代(2)Jacobi 迭代(3)Gauss －Seidel 迭代：用相邻点的最新值进行数值处理。

五、迭代法收敛性及收敛速度的讨论

1.收敛性的讨论

Jacobi 与G －S 迭代法收敛的一个充分必要条件：系数矩阵不可约，而且按行或按列对角占优，简记为：1nb p a

a ≤∑。

上式对各方程成立，且其中至少有一行是不等号成立。

2.收敛速度的讨论

收敛速度的定义式为： 3.提高收敛速度的方法

(1)增加迭代法中直接解法的分量，从点—>线—>ADI ；

(2)适当地选择扫描的起始边界条件，最好是第一类边界条件；

(3)亚松弛迭代：使相邻两层次间未知量的变化不太大；

(4)在稳态问题中的离散方程中加入拟非稳态项，这样可以加大系统系数矩阵的对角优势，有利于收敛。

4.块修正技术

块修正技术的基本思想是采用质量守恒或能量守恒进行物理参数的中间修正。能量、质量、点必须守恒，块按照常理讲也要守恒。

log ()R n -ρ=

近似