江苏省南通市高三年级期末模拟数 学试题

江苏省南通市高三年级期末模拟数 学试题
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i
B ．46i -
C ．9
D ．46-
2．设集合1|248x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，
集合{|21}B x a x a =≤≤-，且A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．[1,)+∞
D ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（ ） A ．128.4米
B ．132.4米
C ．136.4米
D ．110.4米
4．已知函数31120
x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩，（），，若()()118f f -=，那么实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．在△ABC 中，AB =4，AC =2
，BC =则∠A 的角平分线AD 的长为（ ）
A
．B
C
．
2
D
．
4
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足
120PF PF ⋅=，则a =（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
7．已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8x y +=,则
14
2x y
+的最小值是（ ）.
A ．3
B ．
94
C ．
4615
D ．9
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：
lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）
A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a >
11．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．()g x 的图象关于直线3x π
=
对称
B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,
6
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上有两个零点 12．如图PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A ．PC BC ⊥
B ．A
C ⊥平面PCB C ．平面PAB ⊥平面PBC
D ．平面PAC ⊥平面PBC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ
，若()20.8ξ<=P ，则()02P ξ<<=______．
14．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________．
15．已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值
为________．
16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x . ①若2
()(1)f x x =-，则[0,3](2)D =__________；
②若22,0,
()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩
则[,2](1)a a D +-的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题10分）
在①22cos a b c B -=
，②S =
()
222a b c +-
()212si 2n C A B +=+三个条件中选一个，
补充在下面的横线处，然后解答问题.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________. （1）求角C 的值；
（2）若4b =，点D 在边AB 上，CD 为ACB ∠的平分线，CDB △
的面积为3
，求边长a 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题12分）
已知各项均为正数的等差数列{}n a 的首项为1，且满足2
35621a a a =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为2
(1)2n n a
n n a b a a +=+，其前n 项和为{}n S ，证明1n S <.
19．（本小题12分）
如图1，矩形ABCD 中，2AB BC =，将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、
CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △向上折起，使平
面DEC ⊥平面FEC ，如图2.
（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；
（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A BE D --的正弦值. 20．（本小题12分）
近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值. （1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%
的把握认为肥
胖与不经常运动有关；
（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
21．（本小题12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上. （1）求圆M 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 22．（本小题12分） 已知函数()()2
x
f x e ax
a R =-∈.
（1）若曲线()y f x =在()()
1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ； （2）已知()f x 在[]0,1上的最大值不小于2，求a 的取值范围；
（3）写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.（请直接写出结论）
答 案
本卷满分150分，考试时间120分钟
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．复数3(23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9
D ．46-
【答案】C 【详解】
解：()()()3
2351223469i i i i +=-++=-+ 所以()323i +的虚部为9.
2．设集合1|248x A x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭
，
集合{|21}B x a x a =≤≤-，且A B A ⋃=，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．33,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦
C ．[1,)+∞
D ．3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】D 【详解】 解：集合{}1|
24=|328x A x x x ⎧⎫
=≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭
， 因为A B A ⋃=，所以B A ⊆，
当集合B φ=时，21a a -<，解得：1a <；
当集合B φ≠时，2123
21
a a a a -≤⎧⎪≥-⎨⎪≤-⎩
解得：3
12a ≤≤， 所以a 的范围是3,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
3．埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔．令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”．如胡夫金字塔的底部周长除以其两倍的高度，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米，因年久风化，顶端剥落10米，则胡夫金字塔现在的高度大约为（ ） A ．128.4米 B ．132.4米 C ．136.4米 D ．110.4米
【答案】C 【详解】
设胡夫金字塔原来的高度为h ，
所以
2304
3.141592h
⨯=， 解得h =2304
146.42 3.14159
⨯≈⨯（米），
所以胡夫金字塔现在的高度大约为146.4－10=136.4，
4．已知函数31120
x a x f x x x -⎧+=⎨+>⎩，（），，若()()118f f -=，那么实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【详解】 解：()()
113
1314f ---=+=+=，
∴由(4)18f =，得到4218a +=，2a ∴=．
5．在△ABC 中，AB =4，AC =2
，BC =则∠A 的角平分线AD 的长为（ ）
A
．B
C
．
2
D
．
4
【答案】B 【详解】 解：因为11:sin :sin 22ABD ADC
S
S
BAD AB AD CAD AC AD ⎛⎫⎛⎫=∠⋅⋅∠⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,BAD CAD ∠=∠ 所以::2:1ABD
ADC
S
S
AB AC ==
设BC 边上的高为h
11::2:122ABD ADC
S
S
BD h DC h ⎛⎫⎛⎫
=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以:2:1BD DC =
，因为BC =
所以BD =
DC =
设AD x =，则由余弦定理得22161243
84x x x x
+-+-=
解得x =
6．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P 满足
120PF PF ⋅=，则a =（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．2
D ．4
【答案】B 【详解】
解：双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±
， 设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b b
PF c PF c a a
=--=-， 因为12
0PF PF ⋅=，
所以2
2
11()()0224b c c a
-+-+=，即2222224a c a b c a -==-， 所以22240a c c -=，
因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以1
2
a =， 故选：B
7．已知0x >,0y >,lg 4lg 2lg8x y +=,则
14
2x y
+的最小值是（ ）. A ．3 B ．
94 C ．
4615
D ．9
【答案】A 【详解】
0x ,0y >,428x y lg lg lg +=,
所以428x y =,即23x y +=,
则()14114181255232323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝3=,
当且仅当
82y x x y =且23x y +=即1
2
x =,2y =时取等号, 则
14
2x y
+的最小值是3. 故选：A
8．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的区间段12(,)33
，记为第一次操作；再将剩下的两个区间1[0,]3，2[,1]3
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于9
10
，则需要操作的次数n 的最小值为（ ）（参考数据：
lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．4 B ．5
C ．6
D ．7
【答案】C 【详解】
第一次操作去掉的区间长度为
13；第二次操作去掉两个长度为19
的区间，长度和为2
9；第三次操作去掉四
个长度为127的区间，长度和为427；…第n 次操作去掉1
2n -个长度为13n 的区间，长度和为1
23
n n -，
于是进行了n 次操作后，所有去掉的区间长度之和为1
122213933n
n n n S -⎛⎫
=++⋅⋅⋅+=- ⎪⎝⎭
，
由题意，90
2131n
⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，即21lg lg
1031n ≤=-，即()lg3lg21n -≥，解得：11
5.679lg3lg 20.47710.3010
n ≥
=≈--，
又n 为整数，所以n 的最小值为6.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的
是（ ）
A ．甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值
B ．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C ．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D ．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值 【答案】AC 【详解】
对于A 选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；
对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误； 对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()12343453466
⨯+++++=，乙的六维能力指标值的平均值为
()123
543543466
⨯+++++=>，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；
对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误.
10．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（ ） A ．1:17:2a d =-
B ．180S =
C ．当0d >时，6140a a +>
D ．当0d <时，614a a >
【答案】ABC 【详解】
因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：
1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，
对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确； 对于选项B ：()
()
11891018181802
2
a a a a S ++=
=
=，故选项B⊥⊥；
对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C⊥⊥； 对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <， 所以614a a <，故选项D 不正确， 11．已知函数()sin 23g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则（ ） A ．()g x 的图象关于直线3x π
=
对称
B ．()g x 的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭对称 C ．()g x 在区间5,126ππ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭上单调递增 D ．()g x 在区间70,
6
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上有两个零点 【答案】CD 【详解】
2()sin 0333g πππ⎛⎫=+= ⎪⎝
⎭，所以A 选项错误； ()sin 0336g πππ⎛⎫
=+≠ ⎪⎝⎭
，所以B 选项错误； 5,,2,012
632x x ππππ⎛⎫⎛⎫∈--+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是正弦函数的增区间的子区间，
所以()g x 在区间5,126ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭上单调递增，所以C 选项正确； 令()sin 203g x x π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，2,3x k k Z ππ+=∈，,26k x k Z ππ=
-∈， 所以在区间70,
6
π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上有两个零点，所以D 选项正确. 12．如图PA 垂直于以AB 为直径的圆所在的平面，点C 是圆上异于A ，B 的任一点，则下列结论中正确的是（ ）
A ．PC BC ⊥
B ．A
C ⊥平面PCB C ．平面PAB ⊥平面PBC
D ．平面PAC ⊥平面PBC
【答案】AD 【详解】
AB 是圆直径，C 在圆上，则AC BC ⊥，
PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则PA BC ⊥，
PA AC A =，∴BC ⊥平面PAC ，又PC ⊂平面PAC ，
∴PC BC ⊥，A 正确；
又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．D 正确；
若AC ⊥平面PCB ，则AC ⊥PC ，而PA ⊥平面ABC ，则PA AC ⊥，,PA PC 重合，矛盾，B 错； 若平面PAB ⊥平面PBC ，作CD PB ⊥于D ，∵平面PAB ⋂平面PBC PB =，∴CD ⊥平面PAB ，而PA ⊂平面PAB ，∴CD PA ⊥，CD BC C ⋂=，∴PA ⊥平面PBC ，于是平面PBC 与平面ABC 重合．矛盾，C 错．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．设随机变量ξ服从正态分布(
)2
1,N σ，若()20.8ξ<=P ，则()02P ξ<<=______．
【答案】0.6 【详解】
由题意(2)10.80.2P ξ>=-=，∴(0)(2)0.2P P ξξ<=>=， ∴(02)1(0)(2)0.6P P P ξξξ<<=-<->=．
14．已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________． 【答案】
13
【解析】
试题分析:抽取的所有能有
共九种,其中
的数字之和都是的倍数,所以两次抽得的数字之和为的倍数的概率为,故应填答案
13
.
15．已知F 是双曲线22
1412
x y -=的左焦点，()1,4A ，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值
为________． 【答案】9 【详解】
对于双曲线22
1412
x y -=，则2a =，b =4c =，如下图所示：
设双曲线的右焦点为M ，则()4,0M ，
由双曲线的定义可得4PF PM -=，则4PF PM =+，
所以，4449PF PA PM PA AM +=++≥+=
=，
当且仅当A 、P 、M 三点共线时，等号成立. 因此，PF PA +的最小值为9.
16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x . ①若2
()(1)f x x =-，则[0,3](2)D =__________；
②若22,0,
()21,0,
x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是__________．
【答案】3 [1,4] 【详解】
①当03x ≤≤时，
()21f =，
则()2
0|()()|11f x f x x -=--
()()2
211,0211,23
x x x x ⎧--≤≤⎪⎨--<≤⎪⎩， 作出|()1|f x -的图像，如下图：
可知当3x =时，|()1|f x -取到最大值， 最大值()2
[0,3](2)3113D =--=； ②由题意得：()1121f -=-+=，
∴[]()(),2max 11a a D f x +-=-，[],2x a a ∈+，
又()()22211,0121111,0
x x x x f x x x x ⎧---=+≤⎪-=⎨---=-->⎪⎩，
可得()1f x -的图象如图所示，
∵[]1,2a a -∈+， ∴区间长度为2， 当1a =-时，
[]()[]()(),21,1max 111a a D D f x +--=-=-，
所以()max 1f x -()011f =-=； 当21a +=-时，
[]()[]()(),23,1max 111a a D D f x +---=-=-，
所以()max 1f x -()314f =--=， ∴[](),21a a D +-的取值范围为：[]1,4.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在①22cos a b c B -=，②4
S =
()
222a b c +-()212si 2n C A B +=+三个条件中选一
个，补充在下面的横线处，然后解答问题.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设ABC 的面积为S ，已知________. （1）求角C 的值；
（2）若4b =，点D 在边AB 上，CD 为ACB ∠的平分线，CDB △，求边长a 的值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【详解】
（1）如选①：由正弦定理得：2sin sin 2sin cos A B C B -=，
A B C π++=，()sin sin A B C ∴=+，
()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B B C B C B C B ∴+-=+-=，
整理得：2sin cos sin B C B =，
又()0,B π∈，sin 0B ∴≠，1cos 2
C ∴=
， ()0,C π∈，3
C π
∴=
.
如选②：
)
2221
sin 4
2
ABC
a b c S
ab C +-=
=，
)222sin 2a b c C C ab
+-∴=
=
，sin tan cos C
C C
∴=
= ()0,C π∈，3
C π
∴=
.
()2
11cos 2cos 2
12sin
C
A C
B
C +=+-=-+=， A B C π++=，()sin sin C A B ∴=+
，2cos C C =-，
cos 2sin 26C C C π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16C π⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭，
()0,C π∈，7,666C π
ππ
⎛⎫∴+
∈ ⎪
⎝⎭
，62C ππ∴+=，解得：3C π=. （2）在ABC 中，ABC ACD BCD S S S =+△△△，
111sin sin sin 222CB CD BCD CA CD ACD CA CB ACB ∴⋅∠+⋅∠=⋅
∠1
4
a CD CD ∴⨯+=…①
又14CDB
S
a CD =
⨯=
…② 由①②得：22
43
a a =+，解得：2a =或
43a =-（舍） ∴边长a 的值为2.
18．已知各项均为正数的等差数列{}n a 的首项为1，且满足2
35621a a a =-. （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 的通项公式为2
(1)2n n a
n n a b a a +=+，其前n 项和为{}n S ，证明1n S <.
【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，
因为11a =，2
35621a a a =-，可得()()()2
21415121d d d ++=+-，
解得1d =或2117
-
， 又因为数列{}n a 的各项均为正数，所以0d >，所以1d =， 所以数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d n =+-=. （2）由（1）可得122(1)11
(1)2(1)22(1)2n n n n n
n n n b n n n n n n -++-=
==-++⋅+，
所以121111
1114412
2(1)2n n n n S b b b n n -=++
+=-+-+
+
-⋅+1
11(1)2n
n =-<+，
因为n *∈N ，可得(1)02n
n +>，所以1
11(1)2
n
n -
<+，即1n S <. 19．如图1，矩形ABCD 中，2AB BC =，
将矩形ABCD 折起，使点A 与点C 重合，折痕为EF ，连接AF 、CE ，以AF 和EF 为折痕，将四边形ABFE 折起，使点B 落在线段FC 上，将CDE △向上折起，使平
面DEC ⊥平面FEC ，如图2.
（1）证明：平面ABE ⊥平面EFC ；
（2）连接BE 、BD ，求锐二面角A BE D --的正弦值. 【详解】
在平面ABCD 中，AF FC =，2BF FC AB +=，设=AB a ，则=2BC a ，设BF x =，
在BAF △中，222(2)x a a x +=-，解得34x a =，则54AF a =，因为点B 落在线段FC 上，所以2
a BC =，
以FC 为x 轴，以F 为原点，作y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则3
(,0,0),(0,0,0),(,,0)42
a B a F E a ，设(,,)A x y z
则()2
22222222
22222
234325416916AB x a y z a AE x a y a z a AF x y z a ⎧⎛
⎫=-++=⎪
⎪⎝⎭⎪
⎪⎪⎛⎫=-+-+=
⎨ ⎪⎝⎭⎪
⎪=++=⎪
⎪⎩
，解得3(,0,)4A a a ，3(,0,0)4B a ， 则(0,0,)AB a =-，所以AB ⊥平面EFC ，又AB 平面AEB 中，所以平面ABE ⊥平面EFC .
（2）由（1）知：3(,0,)4A a a ，3(,0,0)4B a ，(,,0)2
a E a ，
在CDE △中，点D 到EC 的距离为3
5
CD DE d a CE ⨯=
=，因为平面DEC ⊥平面FEC ，
所以1677,25100D D y a x a ==，则77163(,,)100255D a a a ，所以1(,,0)4
BE a a =-， 163
(0,0,),(,,)50255
a AB a BD a a =-=，设平面ABE 的法向量为1(,1,0)m x =，
则11
4
ax a =，得14x =-，所以(4,1,0)m =-； 设平面BDE 的法向量为22(,,1)n x y =，则2222
104
163050
255ax ay a x ay a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，所以(3,2,1)n =-
所以14cos ,17m n m n m n
⋅=
=
3sin ,1717
m n == 20．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体
质量指数(Bodv Mass Index ，缩写BMI )来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI ＝体重（单位：千克）÷身高2（单位：2m ），中国成人的BMI 数值标准为：BMI ＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI ＜24为正常；24≤BMI ＜28为偏胖；BMI ≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI 值.
（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；
（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
【详解】 （1）
2
2
100(20164024) 6.93 6.63560404456
K ⋅⨯-⨯==>⨯⨯⨯
∴有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；
（2）经常运动且不肥胖的概率为：402
1005
= X 的所有可能取值为0，1，2，3
031
2333272354(0)(),(1)()512555125P X C P X C =====⨯⨯=
223
335233628(2)(),(3)()551255125
P X C P X C ==⨯===⨯=
X 的分布列：
543686()1231251251255
E X =⨯
+⨯+⨯=. 21．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过点A （1，2），B （7，－6），且圆心在直线x ＋y －2＝0上. （1）求圆M 的标准方程；
（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于C ，D 两点，且CD =2OA ，求直线l 的方程. 【详解】
（1）由题意可解得线段AB 的垂直平分线所在的方程为：y +2=
34
(x －4)，即3
54y x =-，因为圆心在直线
x ＋y －2＝0上，且圆M 过点A （1，
2），B （7，－6），则圆心为直线3
54
y x =
-与直线x ＋y －2＝0的交点，联立20
354x y y x +-=⎧⎪
⎨=-⎪⎩
，解得42x y =⎧⎨
=-⎩，即圆心M 为（
4，－2），半径为MA
5=，所
以圆M 的标准方程为()
()2
2
4225x y -++=.
（2）由直线l 平行于OA ，可设直线l
的方程为：20y x m m =+≠，，则圆心M 到直线l 的距离为
d =
=
CD =2OA =2525d +=，所以d ==
m =－20或m =0（舍去）， 则直线l 的方程为2200x y --=.
22．已知函数()()2x f x e ax a R =-∈.
（1）若曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线与x 轴平行，求a ；
（2）已知()f x 在[]0,1上的最大值不小于2，求a 的取值范围；
（3）写出()f x 所有可能的零点个数及相应的a 的取值范围.（请直接写出结论）
【详解】
（1）因为()()2x f x e ax a R =-∈，故()2x f x e ax '=-.
依题意()120f e a =-='，解得2e a =
， 当2e a =时，()2
2
x ex f x e =-，()102e f =≠， 此时曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线不与x 轴重合，符合题意，因此2e a =
； （2）当[]0,1x ∈时，()f x 最大值不小于()222x f x e ax ⇔=-≥在[]0,1x ∈上有解，
显然0x =不是解，即22x e a x
-≤在(]0,1x ∈上有解， 设()22x e g x x -=，(]0,1x ∈，则()3
24x x xe e g x x -+='. 设()24x x
h x xe e =-+ ，(]0,1x ∈， 则()()10x h x e x =-≤'，所以()h x 在(]0,1单调递减，()()140h x h e ≥=->， 所以()0g x '>，所以()g x 在(]0,1单调递增，所以()()max 12g x g e ==-.
依题意需2a e ≤-，所以a 的取值范围为(]
,2e -∞-；
（3）当0a ≤时，()y f x =有0个零点； 当2
04
e a <<时，()y
f x =有1个零点； 当2
4
e a =时，()y
f x =有2个零点； 当2
4
e a >时，()y
f x =有3个零点.。