【精品】集合与命题名师辅导教案

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教学过程

知识点梳理

1．集合的概念、关系与运算

(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

(2)集合与集合之间的关系：A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为

2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

(3)集合的运算：∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)，∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)，∁U(∁U A)＝A.

2．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

4．简单的逻辑联结词

(1)命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的

命题．

(2)命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．

5．全称量词与存在量词

“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.

考点一集合间的关系及运算

例1(1)(2012·课标全国)已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()

A．3 B．6 C．8 D．10

(2)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图

中阴影部分表示的集合为()

A．[－1,0]B．(－1,0)

C．(－∞，－1)∪[0,1) D．(－∞，－1]∪(0,1)

弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．

答案(1)D(2)D

解析(1)∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，

∴B中所含元素的个数为10.

(2)因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，

A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1,0]，

故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0,1)．

(1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意

检验结果．

(2)对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、

韦恩(Venn)图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

(1)(2013·山东)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是

()

A．1 B．3 C．5 D．9

(2)设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln(1＋x)}，集合Q＝{y|y＝x}，则

右图中的阴影部分表示的集合为()

A．{x|－1

B．{x|－1

C．{x|x<0，x∈R}

面积为

( )

A.3

4π B.3

5π C.4

7

π D.π2

答案 D

解析 借助图形，数形结合求解．

由题意知A ∩B 所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y ＝1

x 与直线y ＝x 将圆(x －1)2＋(y －1)2＝1分成S 1，S 2，S 3，S 4四部 分．

∵圆(x －1)2＋(y －1)2＝1与y ＝1

x 的图象都关于直线y ＝x 对称， 从而S 1＝S 2，S 3＝S 4，而S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝π， ∴S 阴影＝S 2＋S 4＝π2. 10．给出下列命题：

①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；

③“若a >b >0且c <0，则c a >c

b ”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题是

( )

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③④

D ．②③④

答案 A

解析 ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，

得1a <1

b ，而

c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．