2020中考数学必备必会题型之九 几何类比、拓展、探究题(原卷版)

备战2020年中考数学十大题型专练卷

题型09 几何类比、拓展、探究题

一、解答题

1．如图1，ABC ∆（

1

2

AC BC AC <<）绕点C 顺时针旋转得DEC ∆，射线AB 交射线DE 于点F ． （1）AFD ∠与BCE ∠的关系是 ；

（2）如图2，当旋转角为60°时，点D ，点B 与线段AC 的中点O 恰好在同一直线上，延长DO 至点G ，使OG OD =，连接GC ．

①AFD ∠与GCD ∠的关系是 ，请说明理由；

②如图3，连接,AE BE ，若45ACB ∠=o ，4CE =，求线段AE 的长度．

2．（问题）

如图1，在Rt ABC V 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，过点C 作直线l 平行于AB ．90EDF ∠=︒，点D 在直线l 上移动，角的一边DE 始终经过点B ，另一边DF 与AC 交于点P ，研究DP 和DB 的数量关系．

（探究发现）

（1）如图2，某数学兴趣小组运用“从特殊到一般”的数学思想，发现当点D 移动到使点P 与点C 重合时，通过推理就可以得到DP DB =，请写出证明过程；

（数学思考）

（2）如图3，若点P 是AC 上的任意一点（不含端点A C 、），受（1）的启发，这个小组过点D 作DG CD ⊥交BC 于点G ，就可以证明DP DB =，请完成证明过程；

（拓展引申）

（3）如图4，在（1）的条件下，M 是AB 边上任意一点（不含端点A B 、），N 是射线BD 上一点，且AM BN =，连接MN 与BC 交于点Q ，这个数学兴趣小组经过多次取M 点反复进行实验，发现点M 在某一位置时BQ 的值最大．若4AC BC ==，请你直接写出BQ 的最大值．

3．小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

(1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形PQMN的边长．

(2)操作：能画出这类正方形吗?小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′,M′在BC边上，N′在△ABC内，连结B N′并延长交AC于

点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

(3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

(4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线B N上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=3

4

时，

猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

4．问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a× b的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a× b个边长为 1 的小正方形，其中a≥2 ，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4 种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2 个位置不同的2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2 ×4＝8种

不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由4 个棱长为1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2 ，b≥2 ，c≥2 ，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．

5．在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥于点D ,

（1）如图1，点M ，N 分别在AD ，AB 上，且90BMN ∠=︒，当30AMN ∠=︒，2AB =时，求线段

AM 的长；

（2）如图2，点E ，F 分别在AB ，AC 上，且90EDF ∠=︒，求证：BE AF =；

（3）如图3，点M 在AD 的延长线上，点N 在AC 上，且90BMN ∠=︒，求证：AB AN +=

;