向量组的线性相关性

0，
k2 k1
.
k1
设1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1)，1,2,3
中任两个向量线性无关。
(1) 当向量组只含一个向量时,若该向量是零向量,则它线 性相关;若该向量是非零向量,则它线性无关.
(2)两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例. (3)任一含有零向量的向量组线性相关.
3.讨论向量组的相关性：
例1：讨论1 (1,2,1),2 (2,3,1),3 (4,1,1)的相关性。
解：设 k11 k22 k33 O
k1 2k2 4k3 0
2k1 3k2 k3 0
k1 k2 k3 0.
系数行列式为
124
2 3 1 3 2 8 12 4 1 0.
(k1 k3 )1 (k1 k2 )2 (k2 k3 )3 O.
因为1,2 ,3 线性无关 k1 k3 0,
k1 k2 0, k2 k3 0.
k1 k2 k3 0, 1, 2 , 3 线性无关。
练 习
设向量组1,2,,m 线性无关，且 1 2 m ,
证明向量组 1, 2 ,， m线性无关(m 1).
1,2 ,3是线性相关的。
注 (1) 当向量组只含一个向量时,
若该向量是零向量,则它线性相关; 1 0 = 0 .
若该向量是非零向量,则它线性无关.
k 0, 0, k 0.
(2) 两个向量线性相关的充要条件是其对应分量成比例.
k1 k2 0, k1 k2. k2 =k.
若k1
1 1 1
故 方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
k11 k22 k33 O.
1,2 ,3线性相关。
例2：设向量组1,2 ,3 线性无关，1 1 2 , 2 2 3, 3 3 1，讨论向量组1, 2 , 3的相关性。
解： 设k11 k2 2 k33 O, 即
证 : 设k1( 1) k2 ( 2 ) km ( m ) O
由 1 2 m k1(2 m) k2(1 3 m) km(1 m1) = O.
即：(k2 km )1 (k1 k3 km )2 (k1 km1)m = O.
k2 km 0，
011
k1
k 3
k m
0
系数行 1 列式为
0
1 110
(m 1)
向量组 1, 2 ,， m线性无关。
向量组的线性相关性
一、线性相关性
1.定义: 设向量组1,2 ,,m，若存在一组不全为
零的数k1, k2，,km使
k11 k22 kmm 0,
则称向量组1,2 ,,m线性相关。否则，称向量组
1,2 ,,m线性无关。
设1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1)，证明 3是1,2的线性组合。