蒲丰投针问题 概率论论文

Buffon投针问题

摘要

本文讨论了Buffon投针问题的解法及其不同解法之间的内在联系，同时从投针到投平面图形对Buffon投针问题给出了一些推广，并得到一般的结论，指出了其概率在探矿、近似计算中的应用。

关键词

蒲丰投针概率随机试验近似计算

一、引言

蒲丰投针问题是由法国科学家蒲丰（Buffon）在1777年提出的，它是概率中非常有代表性的问题，它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，其结论具有很强的理论与实际意义。蒲丰针问题的解决不仅较典型的反应了集合概率的特征及处理方法，而且还可以由此领略到从“概率土壤”上开出的一朵瑰丽的鲜花——蒙特卡洛（Monte-Carlo）方法。

二、Buffon投针问题及其解法

Buffon投针问题：平面上画有等距离的平行线，每两条平行线之间的距离为2a，向平面任意投掷一枚长为2l(l

解：以x表示针的中点M到最近一条平行线的距离，以φ表示该针与平行线的夹角。针与平行线的关系见图1.则有：0≤x≤a，0≤φ≤π，由它们所围成的矩形区域记为G1。针与平行线相交的充要条件是：0≤x≤lsinφ，记满足这个关系的区域为g1(图2中的阴影部分)。则所求概率为

P1=g1的面积

G1的面积

=

∫lsinφdφ

π

aπ

=

2l

aπ

三、Buffon投针问题不同解法及其内在联系

上述解法是常见解法之一(记为解法一)，这里讨论一下蒲丰针问题的其他解法及其之间的联系。

1.其他解法

解法二：以x表示针的重点M到最近一条平行线的距离，y表示该针在此平行线上投影和长度，如图3所示。易知x和y的取值范围是0≤x≤a，0≤y≤2l，这两个不等式确定了xOy平面上的矩形区域G2，针与平行线相交的充要条件是(y

2

)2+x2≤l2，该不等式确定了矩形区域G2(如图4所示)中的区域g2，从而所求概率为

P2=g2的面积

G2的面积

=

1

4·l·2l·π

2l·a

=

lπ

4a

解法三：作垂直于平行线的直线，在该直线上选定一方向为正向，用z1，z2分别表示针头与针尾关于某平行线的纵坐标(如图5所示)，该平行线的选取应使|z1+z2|≤2a。注意到z1，z2满足|z1−z2|≤2l，则在平面z1Oz2上确定了矩形区域G3中的子集g3(如图6所示)，因此，所求概率为

P3=g3的面积

G3的面积

=

2

2√2a·2√2l

=

l

2a

2.矛盾产生的原因

三种解法得出三种完全不同的结果，直观上看，是由于它们所用的随机变量不同，但本质上，则是由于它们选择的假设条件不同。

解法一依据的假设：

假设1针的中点到平行线的距离X和针与平行线的夹角∅所构成的二维随机向量(X,∅)服从G1上的均匀分布；

解法二依据的假设：

假设2 针的中点到平行线的距离X和针与平行线上的投影长度Y构成的二维随机向量(X,Y)服从G2上的均匀分布；

解法三依据的假设：

假设3针的两个端点到平行线的距离Z1，Z2构成的二维随机向量(Z1,Z2)服从G3上的均匀分布。

上述三种假设是不能同时成立的。这可由以下几个命题看出：

命题1若随机向量(X,∅)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，则

(1)随机向量(X,Y)=(X,2lcos∅)的分布密度函数为：

P1(x,y)={

1

aπ√4l2−y2

∈[0,a],y∈[−2l,2l]

0 其它

(1)

(2)随机向量(Z1,Z2)=(X+lsin∅,X-lsin∅)的分布函数为：

P 2(z 1,z 2)={1aπ√4l 2−(z 1−z 2)21−z 2|≤2l,|z 1+z 2|<2a 0 其它

(2) 命题2 若随机向量(X,Y)服从[0,a]×[-2l,2l]上的均匀分布，则

(1) 随机向量(X,∅)=(X,arccos Y

2l )的分布密度函数为：

P 3(x,φ)={sinφ2a x ∈[0,a ],y ∈[0,φ]0 其它 (3) (2) 随机向量(Z 1,Z 2)=(X+l √1−(Y 2l )2,X −l √1−(Y 2l )2)的分布密度为：

P 4(z 1,z 2)={14la 12√4l 2−(z 1−z 2)21−z 2|≤2l,|z 1+z 2|<2a 0 其它 (4) 命题3 若随机向量(Z 1,Z 2)服从区域G 3:|z 1−z 2|≤2l,|z 1+z 2|<2a 上的均匀分布，则

(1) 随机向量(X,∅)=(

Z 1+Z 22,arcsin Z 1−Z 22l )的分布密度为： P 5(x,φ)={cosφ4a x ∈[−a,a ],φ∈[−π2,π2]0 其它

(5) (2) 随机向量(X,Y)=(

Z 1+Z 22,√4l 2−(Z 1−Z 2)2)的分布密度为： P 6(x,y )={18la ·√4l 2−y 2

∈[−a,a ],y ∈[−2l,2l]0 其它 (6) 也就是说，在假设1成立时，随机向量(X,Y)和(Z 1,Z 2)已不再服从均匀分布，而是分别服从密度函数为(1)和(2)的分布；在假设2成立时，随机向量(X,∅)和(Z 1,Z 2)分别服从密度为

(3)和(4)的分布；在假设3成立时，随机向量(X,∅)和(X,Y)分别服从密度为(5)和(6)的分布。

3. 各种解法的联系

对同一问题，在相同的假设条件下，使用不同的方法求解，所得到的结果应该是一致的。对蒲丰问题也不例外，因此，我们断言：

(1) 在假设1成立的条件下，用随机向量(X,Y)或(Z 1,Z 2)求解蒲丰问题，所得到的结果

与解法一相同；

(2) 在假设2成立的条件下，用随机向量(X,∅)或(Z 1,Z 2)求解蒲丰问题，所得到的结果与

解法二相同；

(3) 在假设3成立的条件下，用随机向量(X,∅)或(X,Y)求解蒲丰问题，所得到的结果与

解法三相同；

下面给出断言1的证明，其余类似。为叙述方便，把断言1改述成如下两个问题。

问题1 设随机向量(X,∅)服从[0,a]×[0,π]上的均匀分布，并且(X,Y)=(X,2lcos ∅)(l

证 由命题一可知，随机向量(X,Y)的密度函数为(1)式。通过积分计算得

P((Y 2)2+X 2≤l 2)=∬P 1(x,y )dxdy (y 2)2+x 2≤l 2=∫1πa dx 10∫√4l 2−y 22√2l 2−x 2−2√2l 2−x 2=2l

aπ