命题的四种形式
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(3)非 p: 四条边相等的四边形不都是正方形.
注: “非 p”的含义有下列三条:
(1)“非 p”只否定 p 的结论; (2)“p”与“非 p”的真假必须相反;
(3)“非 p”必须包含 p 的所有对立面.
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q; 否命题: 若p, 则q;
原命题 若p则q 逆命题: 若 q, 则 p; 逆否命题: 若q, 则p. 互逆 逆命题 若q则p
典型例题
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144 或 225 的约数);
“p 且 q”形 式的复合命题 当p 与q同时为 真时为真, 其 它情形为假.
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整. ②命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判 断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言, 要同时否 定它的条件与结论.
一、命题的有关概念
1.命题 可以判断真假的语句. 2.逻辑联结词 “或”、“且”、 “非”. 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表
真 真 “非 p” 假 形式的复合 假 命题与 p 的 “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假 真假相反; 时为假, 其它情形为真; 非p 真 假 假 真 p p q p或q 真 真 假 真 真 真 假 假 p 真 真 假 假 q p且q 真 真 假 假 真 假 假 假
互
互 否 为 逆
否
为
逆 否
互 否
互
否命题 若p 则q 互逆
逆否命题 若q 则p
注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
典型例题
例1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它 们的真假: (1)若 a≤0, 则方程 x2-2x+a=0 有实根; (2)乘积为奇数 的两个整数都不是偶数. 假命题 (1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a≤0. 否命题: 若 a>0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根. 逆否命题: 若方程 x2-2x+a=0 无实根, 则 a>0. 假命题 真命题
例3 写出由下述各命题构成的“非 p” 形式的复合命题: (1) p: 有些质数是奇数; (2) p: 方程 x2-5x+6=0 有两个相等的实 根; (3) p: 四条边相等的四边形是正方形. (1)非 p: 所有的质数都是奇数或都不是奇数; ( p 即: 质数中既有奇数又有不是奇数的数)
(2)非 p: 方程 x2-5x+6=0 没有两个相等的实根;
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (2)方程 x2-1=0 的解都是 x=1, 或方程 x2-1=0 的解都是 x=-1; (3)实数的平方都是正数或实数的平方都是 0. 注: 由简单命题构成复合命题, 一定要检验是否 符合“真值 表”, 如果不符要作语言上的调整. 例2 写出由下述各命题构成的“p 且 q”形式的复合命题: (1) p: 四条边相等的四边形是正方形, q: 四个角相等的四边形是正方形; (2) p: 菱形的对角线互相平分, q: 菱形的对角线互相垂直; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是 正方形; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)实数的平方都偶数, 则这两个整数的乘积为 真命题 奇数. 否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少 真命题 有一个是偶数. 逆否命题: 若两个整数中至少有一个是偶数, 则这两个整 真命题 数的乘积不为奇数.
例2 写出下列命题的否定, 并判断其真假: (1)不论 m 取什么 实数, x2+x-m=0 必有实根; (2)存在一个实数 x, 使得 x2+x+1≤0. (1)存在一个实数 m, 使 x2+x-m=0 无实根. 真命题 真命题 (2)不论 x 取什么实数, 都有 x2+x+1>0.
注: “非 p”的含义有下列三条:
(1)“非 p”只否定 p 的结论; (2)“p”与“非 p”的真假必须相反;
(3)“非 p”必须包含 p 的所有对立面.
二、命题的四种形式
原命题: 若 p, 则 q; 否命题: 若p, 则q;
原命题 若p则q 逆命题: 若 q, 则 p; 逆否命题: 若q, 则p. 互逆 逆命题 若q则p
典型例题
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (1) p: 9 是 144 的约数, q: 9 是 225 的约数; (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)9 是 144 的约数或 9 是 225 的约数(9 是 144 或 225 的约数);
“p 且 q”形 式的复合命题 当p 与q同时为 真时为真, 其 它情形为假.
6.注意 ①由简单命题构成复合命题时, 不一定是简单地加“或、且、 非”等逻辑联结词; 另外应注意含“或、且、非”等词汇的命 题也不一定是复合命题, 在进行命题的合成或分解时一定要检 验是否符合复合命题的“真值表”, 如果不符要作语言上的调 整. ②命题的“否定”是学习上的重点, 因为这是“反证法”证 明的第一步. 必须注意, 命题的“否定”与一个命题的“否命 题”是两个不同命题 p 的否定(即非 p )是否定命题 p 所作的判 断; 而“否命题”是对“若 p 则 q”形式的命题而言, 要同时否 定它的条件与结论.
一、命题的有关概念
1.命题 可以判断真假的语句. 2.逻辑联结词 “或”、“且”、 “非”. 3.简单命题 不含逻辑联结词的命题. 4.复合命题 含有逻辑联结词的命题. 5.复合命题真值表
真 真 “非 p” 假 形式的复合 假 命题与 p 的 “p 或 q”形式的复合命题当 p 与 q 同时为假 真假相反; 时为假, 其它情形为真; 非p 真 假 假 真 p p q p或q 真 真 假 真 真 真 假 假 p 真 真 假 假 q p且q 真 真 假 假 真 假 假 假
互
互 否 为 逆
否
为
逆 否
互 否
互
否命题 若p 则q 互逆
逆否命题 若q 则p
注: 互为逆否命题的两个命题同真假.
典型例题
例1 写出下述命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断它 们的真假: (1)若 a≤0, 则方程 x2-2x+a=0 有实根; (2)乘积为奇数 的两个整数都不是偶数. 假命题 (1)逆命题: 若方程 x2-2x+a=0 有实根, 则 a≤0. 否命题: 若 a>0, 则方程 x2-2x+a=0 无实根. 逆否命题: 若方程 x2-2x+a=0 无实根, 则 a>0. 假命题 真命题
例3 写出由下述各命题构成的“非 p” 形式的复合命题: (1) p: 有些质数是奇数; (2) p: 方程 x2-5x+6=0 有两个相等的实 根; (3) p: 四条边相等的四边形是正方形. (1)非 p: 所有的质数都是奇数或都不是奇数; ( p 即: 质数中既有奇数又有不是奇数的数)
(2)非 p: 方程 x2-5x+6=0 没有两个相等的实根;
例1 写出由下述各命题构成的“p 或 q”形式的复合命题: (2) p: 方程 x2-1=0 的解是 x=1, q: 方程 x2-1=0 的解是 x=-1; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (2)方程 x2-1=0 的解都是 x=1, 或方程 x2-1=0 的解都是 x=-1; (3)实数的平方都是正数或实数的平方都是 0. 注: 由简单命题构成复合命题, 一定要检验是否 符合“真值 表”, 如果不符要作语言上的调整. 例2 写出由下述各命题构成的“p 且 q”形式的复合命题: (1) p: 四条边相等的四边形是正方形, q: 四个角相等的四边形是正方形; (2) p: 菱形的对角线互相平分, q: 菱形的对角线互相垂直; (3) p: 实数的平方是正数, q: 实数的平方是 0. (1)四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是 正方形; (2)菱形的对角线互相垂直平分; (3)实数的平方都偶数, 则这两个整数的乘积为 真命题 奇数. 否命题: 若两个整数的乘积不是奇数, 则这两个整数至少 真命题 有一个是偶数. 逆否命题: 若两个整数中至少有一个是偶数, 则这两个整 真命题 数的乘积不为奇数.
例2 写出下列命题的否定, 并判断其真假: (1)不论 m 取什么 实数, x2+x-m=0 必有实根; (2)存在一个实数 x, 使得 x2+x+1≤0. (1)存在一个实数 m, 使 x2+x-m=0 无实根. 真命题 真命题 (2)不论 x 取什么实数, 都有 x2+x+1>0.