随机变量的几种收敛及其相互关系

论文
摘要
概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：
一、随机变量的几种收敛的概念理论；
二、随机变量的几种收敛之间的关系；
从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

Abstract
The Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.
This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:
1. Convergence of random variables the concept of theory;
2. the convergence of several random variables between;
From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.
Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.
目录
引言： (4)
1 几种收敛性定义 (4)
2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)
3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)
4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)
5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)
总结 (19)
四种收敛性 (19)
四种收敛蕴涵关系 (19)
致谢 (21)
参考文献 (22)
引言：
概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

然而其公理体系只在20世纪的20至30年代才建立起来并得到迅速发展，在过去的半个世纪里概率论在越来越多的新兴领域显示了它的应用性和实用性。

概率论是根据大量同类随机现象的统计规律，对随机现象出现某一结果的可能性作出一种客观的科学判断，对这种出现的可能性大小做出数量上的描述；比较这些可能性的大小、研究它们之间的联系，从而形成一整套数学理论和方法。

特别值得一提的是，概率论是今天数理统计的基础，其结果被用做问卷调查的分析资料或者对经济前景进行预测。

概率论中的重要概念——概率的收敛性，寻找概率收敛中的随机变量序列收敛性的相互性质以及收敛性之间的相互关系，弄清楚它们之间的关系在理论和应用上都是很有意义的。

1 几种收敛性定义
定义1.1 (r 阶收敛)设对随机变量n X ,及X 有||,||r r n E X E X <+∞<+∞,其中
0r >为常数,如果
lim 0r
n n E X X →∞
-= 则称{n X }r 阶收敛于X ,并记为r n X X −−→. 当2p =是，2
lim 0n n E X X →∞
-=，称{,1}n X n ≥均方收敛到X 。

记为..m s n X X −−→. 例 1.1 设{,1k X k n ≤≤}相互独立，且满足1(1)n P X n
==，1(0)(1)n n P X n n -==≥，()0X ω≡。

则21(0)0n E X n
-=→，故2lim 00n n E X →∞-=，即..0m s n X −−→
. 定义1.2 (几乎处处收敛)如果
(lim )1n n P X X →∞
== 则称{n X }以概率1收敛于X ,又称{n X }必乎处处收敛于X ,并记为..a s n X X −−
→.
例1.2 设{n X ，1n ≥}，,X Y 是定义在[0,1]上博雷尔概率空间(,,)F P Ω= ([0,1],[0,1],)F P 上的随机变量，满足：[0,1]ω∀∈，()1Y ω=。

而()1X ω=，若B ω∈={[0,1]上理点}；()0X ω=，若B ω∈={[0,1]上有理点全体}。

而()1X ω=，若1,12ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦；()0n X ω=，若10,2n ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。

则易知(:()())()0P X Y P B ωωω≠==。

(:lim ()())n n X Y ωωω→∞==Ω；(:lim ()())n n X X B ωωω→∞
==≠Ω，但1B =，故..a s n X X −−→。

定义1.3 （依分布收敛）设随机变量n X ,X 的分布函数分别为()n F x 及()F x 。

若对()n F x 的每个连续点x 有lim ()(),n n F x F x →∞
=则称{n X }依分布函数收敛于X （()n F x 弱收敛到()F x ）。

记为L n X X −−
→，或者()()W n F x F x −−→。

例 1.3 n Z ，n Y 的记号同林德伯格-莱维（Lindeberg-Levy ）定理，令
Z ~2(0,1)N ，则L n Z Z −−→，即x R ∀∈，有lim ()()n n P Z x x →∞
≤=Φ。

定义1.4 （依概率收敛）如果对于任意ε>0,
lim (||)0n n P X X ε→∞
-≥= 则称{X n }依概率收敛于X ，并记为P n X X −−→或lim n n p X X →∞
=. 例 1.4 设｛,1k Y k n ≤≤｝独立同分布，且1Y ~[0,1]U ，令1/n
n k k X Y n ==∑，则由大数定律可知1()2
P n X n −−→→∞. 2 依概率收敛与依分布收敛的关系
随机变量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式,弄清楚它们之间的关系是本节要讨论的.本节约定所涉及定义1.3，定义1.4。

定理2.1 若随机变量序列{}n X 依概率收敛于某随机变量X ,则{}n X 依分布收敛于X .但定理2.1的逆不成立。

证明 设x x '<，则
{n X x '≤}={n X x ≤,X x '≤}
{n X x >,X x '≤}⊂{}{,}n n n X x X x X x '≤>≤
从而 ()()(,)n n n F x F x P X x X x ''≤+>≤
设P n X X −−
→，则 (,)(||)0n n n P X x X x P X X x x ''>≤≤-≥-→
因而有
()lim ()n n n F x F x →∞
'≤ 同理可证，对x x ''<，有
lim ()()n n n F x F x →∞
''≤ 所以对x x x '''<<，有
()lim ()lim ()()n n n n n n F x F x F x F x →∞
→∞'''≤≤≤ 如果x 是()F x 的连续点，则令x '，x ''趋于x ，得
()lim ()n n F x F x →∞
= 即L n X X −−
→. 反之不然，例如，若样本空间12{,}ωωΩ=，12()()1/2P P ωω==，定义随机变量()X ω如下：12()1,()1X X ωω=-=，则()X ω的分布律为(())1/2P X k ω==，
1k =-,1,如果对一切n ，令()()n X X ωω=-，则显然()()L n X X ωω−−
→。

但是对于任意的02ε<<，(|()()|)()1n P X X P ωωε-≥=Ω=
所以{()n X ω}不依概率收敛于()X ω。

但是在特殊场合有下面结果：对于常数C ，则P n X C −−→与L n X C −−→等价。

事实上，若L n X C −−
→，则0ε∀>， (||)()()n n n P X C P X C P X C εεε-≥=≥++≤-
1(0)()n n F C F C εε=-+-+-
1100→-+=
从而P n X C −−
→。

反之，若P n X C −−→，则由定理2.1得L n X C −−→。

例 2.1 设12,,,X X X 为独立同分布的随机变量,公共的分布列为
(0)(1)1/2.P X P X ====显然:(n=1,2,
)n X 与X 的分布函数相同,故{n X }依分布收敛X .
但对于任意0<E<1和0<R<12,对一切n,有
()(1,0)(0,1)
n n n P X X E P X X P X X -≥===+==
(1)(0)(0,1)n n P X P X P X X ===+== 1/21/21/21/21/2.R =⨯+⨯=>
可见{}n X 不依概率收敛于X .
同此可知,一般说来,并不能从随机变量序列依分布收敛肯定其依概率收敛,但在特殊情形下,它却是成立的,那就是下述定理.
定理 2.2 随机变量序列{n X }依概率收敛于X≡C (C 为常数)的充要条件是{n X }依分布收敛于X≡C .
那么,在一般情形,能不能适当地增加条件,使随机变量序列依分布收敛能保证其依概率收敛呢?考察一下上述反例知,当极限分布函数不连续时无法保证,但如果极限分布函数连续呢?回答是肯定的,这就是本文的主要结果.
定理2.3 设分布函数列{()n F x }弱收敛于连续的分布函数()F x ,则存在随机变量序列{n X }和随机变量X ,它们分别以{()n F x }和()F x 为其对应的分布函数列和分布函数,且{n X }依概率收敛于X .
定理的证明需用到下述引理.
取[0,1)Ω=,再取F 为[0,1)中Borel 点集全体,而P 取直线上的Lebesgue 测度,则(,,)F P Ω构成一概率空间.
引理2.1 在(,,)F P Ω上定义,
()=X ωω, 0ω∈Ω,
则()X ω是服从[0,1)上均匀分布的随机变量,且对任意0,1a b ><,有
(())P a X b b a ω≤<≥-.
证明 显然()X ω是(,,)F P Ω上的随机变量.又
当0x ≤时,有
()(())0P X x P ω<=∅=;
当01x ≤<时,有
(())([0,));P X x P x x ωω<=∈=
当1x ≥时,有
0(())()1P X x P ω<=Ω=,
故()X ω服从[0,1)上均匀分布.
对任意实数a,b,若a b ≥,则
()(())0,P a X b P b a ω≤<=∅=≥-
若a b <,因0,1a b ><,故01,01a b <<<<,于是
()(())[,)P a X b P a b b a ωω≤<=∈=-.
总之,有(())P a X b b a ω≤<≥-.
引理2.2设()F x 为一分布函数,对任意01y ≤<,定义1()inf{()}F y xF x y -=>,则有
(i)对任意01y ≤<和实数b , 1()F y b -<当且仅当()y F b <; (ii)对任意01y ≤<和实数1,,()a b a F y b -≤<当且仅当()()F a y F b ≤<. 证 (i)必要性.设1()F y b -<,由下确界定义知,存在0{|()}x x F x y ∈>,使0x b <.因为()F x 单调不减,故0()()F b F x y ≥>.
充分性 设()y F b <,由于()F x 单调不减,且在点b 处左连续,故存在0x b <,使0()()y F x F b <≤,
从而有
10()F y x b -≤<.
(ii)是(i)的直接推论.
引理2.3 设()F x 为一分布函数,则存在(,,)F P Ω上的随机变量()X ω,使 ()X ω的分布函数正好是()F x .
证明 在(,,)F P Ω上定义，设
0(),ηωωω=∈Ω, (2.1)
由引理2.1知, ()ηω是服从[0,1)上均匀分布的随机变量. 因为()F x 单调不减,对任意01y ≤<,定义
1()inf{()}F y xF x y -=>. (2.2)
显然1()F y -也是单调不减函数,从而是Borel 函数.令
1()(())X F ωηω-=, 0ω∈Ω, (2.3)
则()X ω是(,,)F P Ω上的随机变量,且由引理2.2(i)可知
1(())((()))(()())()P X x P F x P F x F x ωηωηω-<=<=<=.
因此, ()X ω还是以()F x 为分布函数的随机变量.
引理 2.4 若分布函数列{()}n F x 弱收敛于连续的分布函数()F x ,则这时收敛关于x 是一致的.
证明 对应于()F x 和()n F x 是同一概率空间(,,)F P Ω上,类似于引理2.3中的(2.1),(2.2)和(2.3)式,定义函数1F -, 1n F - (1,2)n =以及随机变量X 和(1,2)n X n =,存在性即得证.下证{n X }依概率收敛于X .
因()0,()1F F -∞=+∞=,对于任意给定的0ε>和0σ>,存在充分大的M>0,使有
()()1F M F M σ-->-.
对于取定的M ,可选取正整数k 和m ,使有
1/,
/,k m k M ε<>
对于取定的m ,存在0r >,使有
0/(2(21)),r m σ<<+
对于取定的r ,由引理2.4, ()()()n F x F x n →→∞关于x 是一致的,因而存在正整数N ,使当n N ≥时,有
|()()|n F x F x r -< (2.4)
对一切(,)x ∈-∞+∞成立,从而当n N ≥时,有
1111(||)(|()()|)(|()()|1/)n n n P X X P F F P F F k εηηεηη-----<=-<≥-<
11([|()/|1/(2))(()/1/(2))])m
n i m P F i k k F i k k ηη--=≥-≤-≤
11([(1/(2)()/1/(2))(1/(2)()/1/(2))])m
n i m
P k F i k k k F i k k ηη--=≥-≤-<-≤-<
=11((1/(2)()/1/(2))(1/(2)()/1/(2)))m
n i m
P k F i k k k F i k k ηη--=--≤-<-≤-<∑
([(/1/(2))(/1/(2))]
[(//(2))(/1/(2))])
m
n
n
i m
P F i k k F i k k F i k i k F i k k ηη=-≥
-≤<+-≤<+∑((/1/(2))(/1/(2)))m
i m P F i k k r F i k k r η=-≥
-+≤<+-∑
[(/1/(2))(/1/(2))2]m
i m
F i k k F i k k r =-≥
+---∑
=(/1/(2))(/1/(2))2(21)F m k k F m k k m r +----+
()()2(21)12F M F M m r σ≥---+>-.
由,εσ的任意性知{n X }依概率收敛于X ,定理得证.
对给定的分布函数()F x ,由于可以在不同的概率空间上定义随机变量X ,使X 的分布函数为()F x ,故无法讨论X 的唯一性.但我们猜测下述结论成立.
3 r 阶收敛与几乎处处收敛的关系
在一般情况下,不能由几乎处处收敛推出r 阶收敛。

那么,在何种场合下,以上的r 阶收敛与几乎处处收敛中一种收敛性能导致另一种收敛性呢?这就是本文要讨论的问题,本文在一定条件下得到了这两种收敛性的等价关系, 本节约定所涉及定义1.1 ，定义1.2。

具体结果表述为如下定理:
定理3.1 1)设存在0r >使r
n X X −−
→,且 1
|()()|r n
n E X
X ωω∞
=-<∞∑ (3.1)
则
..
()()a s n X X ωω−−
→ (3.2) 2)如(3.2)式成立,且n X 几乎处处有界,即存在正数 c ,使得
(|()|)1n P X c ω≤= (3.3)
则对任0r > ,
()()r n X X ωω−−→ (3.4)
证明:1)设(3.1)式成立,往证
1(|()()|)1r n n P X X ωω∞
=-<∞=∑ (3.5)
用反证法:若(3.5)式不成立,则必有
1(|()()|)0r n n P X X p ωω∞
∆=-=∞>∑ (3.6)
定义事件
1{|()()|}N
r N n i A X X ωωλ==->∑ (3.7)
其中0λ>为给定的数。

易见,N A 单调非降,因此
1
1
lim (|()()|)N
r N N n N i N A A X X ωωλ∞
→∞
====->∑∏ (3.8)
于是由概率的连续性和单调性知
1lim (lim )(|()()|)r N N n N N i P A P A P X X ωωλ∞
→∞
→∞
==≥->∑）（
1
(|()()|)r n n P X X P ωω∞
=≥-=∞=∑ (3.9)
从而
1
1
||(||)N
n
r
r n
n i i E X
X E X X ==-=-∑∑
1
(|()()|()N r n i X X P d ωωωΩ
==-∑⎰
1
|()()|1
|()()|()N r
n i n
r n X X i X X P d ωωλωωω=->=≥-∑∑⎰ ()N P A λ≥
由此得
1
lim ||lim ()N
r n N N N i E X X P A p λλ→∞
→∞
=-≥≥∑，
即
1||r
n
i E X
X p λ∞
=-≥∑，0λ∀> (3.10) 上式中令1
||r n i E X X ∞
=-=∞∑,此与(3.1)式矛盾。

这样,我们证明了(3.5)式成立。

由数字分析知,收敛级数的一般项趋于零,因此由(3.5)式得出
(lim |()()|0)1r n n
P X X ωω-==
从而有
(lim ()())1n n P X X ωω→∞
==
2)由(3.2)、(3.3)式容易推出
(|()|)1n P X c ω≤= (3.11)
于是由r C 不等式得
|()()|(|()||()|)2r r r r n r n r X X C X X C C ωωωω-≤+≤,a.s. (3.12)
其中
11,0121
r r r C r -<<⎧=⎨≥⎩如，如 (3.13)
因此由Lebegue 控制收敛定理知
lim ||lim |()()|0r r n n n n X X E E X X ωω→∞
→∞
-=-=，
证毕。

由定理3.1 可得到下面的推论:
推论3.1 设存在0r > 使r
n X c −−
→,c 为常数,且 1
|()|r n
n E X
c ω∞
=-<∞∑,则..a s n X c −−
→;反之,若..
a s n X c −−→且()n X ω几乎处处有界,则r
n X c −−
→。

4 依概率收敛与r 阶收敛的关系
设n X 依概率收敛于X ，众所周知，此时n X 未必r 阶收敛于X ;如果给n X 附加一些另外条件，则n X 可r 阶收敛于X ，本文证明了几个这样的定理，它们推广了有关文献中的类似定理。

设(,,)F P Ω是概率空间.Ω的元素记为ω.随机变量()X ω,()n X ω常简记成
X ,n X .r
E X <+∞,(0r >)，有时简记为r X L ∈.
引理4.1 (r C 不等式)设X ,…n X 是R.V 则
r
11()r
r
n
r n E X X C E X E X ++≤++，其中1
1,
01,
1.
r r r C n r -<≤⎧⎨>⎩
注 关于数列的r C 不等式为 (
)11r
r
r
n r n
a a C a a +
+≤+
+，
其中r C 与引理2.3.1中的相同.当然，它可看作是引理4.1的特殊情形。

推论4.1如果n r X L ∈，0r
n E X X -→则r X L ∈(此推论使我们在一些情形
免除证明r X L ∈)。

引理4.2 设P n X X −−
→，g(x)为实值连续函数，则()()P n g X g X −−→.特别地，若P n X X −−→，则对r>0,有0r
P
n X X -−−→。

引理4.3 (控制收敛定理)若随机变量序列｛n X }满足(1)||n X η≤,η是可积随机变量(从而E η存在);(2) n X 以概率1(或依概率)收敛于随机变量X ，则
lim n EX EX =.
引理4.4设P
n X X −−
→，g(x)为有界实值连续函数，则 (1) lim ()()n Eg X Eg X =,
(2) lim |()()|0.(0)r n E g X g X r -=>
证 由引理4.2,()()P
n g X g X −−→.再由有界控制收敛定理，就有(1)式成立.又由()()P n g X g X −−
→，有|()()|0P
r n g X g X -−−→.由r C 不等式可知|()()|r n g X g X -有界，再由有界控制收敛定理，|()()|(0)P
r n E g X g X E -−−→.
引理4.5设P n X X −−
→,P
n ηη−−→，又()1n n P X η≤=，则()1P X η≤=. 引理4.6若P
n X X −−
→,(||)0n P X c >=，则 (i) (||)0P X c >=; (ii)(||2)0n P X X c ±>=.
证明 只证(i)，令0δ>.对自然数K ，令1K
σ=，因P
n X X −−
→，故有k N ,当k n N ≥时1(||)2
n k P X X K δ
->
<，就取K n N =，则 11
(||),()2n k P X X P X c K K δ-><>+
=11
(,||)(,||)K K N N P X c X c P X c X c K K
>+>+>+≤
11(||)(||)(||)2K K K N N N k P X c P X X P X X K K δ
≤>+->=-><.
于是，11()(||)2
K K P X c P X c K δ
δ∞
->≤>+
≤=∑∑
引理4.7 若X 为R.V 且()0P X c >=，则对任何实值函数好g(x)都有
||()0X c
g X dP >=⎰
.
下面的定理4.1说明:对有公共界的随机变量序列{n X }，依概率收敛与任何r>0阶收敛是等价的。

定理 4.1 设对某常数c 有()0n P X c >=，则对任何实数0r >而言，
L n X X −−→的充要条件是P
n X X −−→.
证明 只须证充分性。

取,2,
()(2),2,r
r
x x c g x c x c ⎧≤⎪⎨>⎪⎩
当当 则g(x)为有界实值连续函数，对如此的g 及()n X X -利用引理4.4的(1)就有
lim ()(0)0n Eg X X Eg -==.由引理4.6及4.7,
||2(2)0n r X X c
c dP ->=⎰
.从而有
||2||2()()()()n n n n n n X X c
X X c
g X X dP Eg X X g X X dP g X X dP -≤->--=-=
-+
⎰⎰
⎰
||2||2||2(2)||||0n n n r r
r n n X X c
X X c
X X c
c dp X X dp X X dp -≤->-≤=
-+
=
-→⎰
⎰
⎰
.
再由引理4.6及4.7有
||2||0n r n X X c
X X dp ->-=⎰
.从而
|||0r n
X
X dp Ω
-→⎰，亦即||0r n E X X -→.证毕
若n X 受控于η，而η为0r >次可积，则r 阶平均收敛等价于依概率收敛.
定理 4.2 设{||}1(1,2,)n P X n η<==其中随机变量η满足r E η<+∞ (其中
r>0为一实数)，则对这个r 而言L n X X −−
→的充要条件是P
n X X −−→. 证明 只须证充分性.因为
-0P n X X −−→（），由引理4.2有|-|0P
r n X X −−→.因为(||)1n P X η≤=,由引理5就有(||)1P X η≤=.于是
(||1,)1r r r n P C X C η≤+=,(||1,)1r r r P C X C η≤+=.又
0(||2(1))(1)(1)0r r
r r r r n r r n r r r P X X C P C X C P C X C ηηη≤->+≤>++>+=.
故(||2(1))1r r n r P X X C η-≤+=.总之: ||2(1)r r n r X X C η-≤+以概率1成立且
2(1)r r C η+可积，还有||0P
r n X X -−−→.所以由控制收敛定理
lim ||00r n E X X E -==.
定义4.1 设(,,)F P Ω是概率空间，{n X }是R.V 序列， 若1||>a
sup
||0
()n
n n X X dp a ≥→→+∞⎰
则称{n X }的积分一致可积.若对任给0ε>，存在0δ>，使得所有满足()P A δ<的事件A ，都有1|sup ||n n A
X dp ε≥<⎰，则称{n X }的积分一致绝对连续。

若 sup n E X <+∞， 即若 1sup n n X dp ≥Ω
<+∞⎰，
则称{n X }的积分一致有界. 若1
sup {}0()n n P X a a ≥>→→+∞，
则称{n X }依概率有界.
引理 4.8 (i){n X }的积分一致可积的充要条件是{n X }的积分一致绝对连续且一致有界。

（ii ）若{n X }依分布收敛，则{n X }依概率有界。

引理4.9 若{n X }依概率有界，且{r
n X } (r>0)的积分一致绝对连续，则{r
n X }一致可积.
证明 对于0ε>，由于r
n X 的积分一致绝对连续，有0δ>存在，使当
()P A δ<时就有||(1,2,)r n A
X dp n ε→<=⎰.因为{n X }依概率有界，对于上述的
0δ>有B>0使当a >B
时就有(||>)n P X a δ< (1,2,)n =.这样一来，当a >B 时就有
||||,
(1,2,).n r n X a
X dp n ε><=⎰
证毕
定理 4.3 设对某0r >, r
n X 一致可积，则L
n X X −−
→的充要条件是
P
n X X −−→.
证明 充分性.由Riesz 定理，存在n X 的子列1n X ，使1n X 以概率1收敛于X .由Fatou 定理,有
1lim ||lim ||sup ||K K r
r r r n n n k K n X dp X dp X dp X dp →∞
→∞
≥Ω
Ω
Ω
Ω
=≤≤<+∞⎰⎰⎰⎰,
可见r
X 可积.由于r
n X 的积分一致绝对连续及r
X 可积,对任给0ε>，存在
0δ>，当F A ∈且()P A δ<时就有
||,1,2,3,||r
r
n A
A
X dp n X dp εε<=<⎰⎰. 又因P
n X X −−
→，故存在N ，当n N ≥时(||)n P X X εδ-≥<.这样一来，当n N ≥时就总有
|||||||||||n n r
r r n n n X X X X X X dp X X dp X X dp ε
ε
Ω
-<-≥-=-+
-⎰
⎰
⎰
||||(||)[
||||][]n n r r r r n r n r X X X X p X X C X dp X dp C ε
ε
εεεεε-≥-≥≤-<++
≤++⎰
⎰
.
这便证明了L
n X X −−
→. 由引理4.9及定理4.3，立即得到:若对某0r >, r
n X 的积分一致绝对连续，
则对这个r 而言L n X X −−
→的充要条件是P
n X X −−→.这条结论也可由定理4.3的证明看出, 因那里仅用到P
n X X −−
→及r
n X 的积分的一致绝对连续性。

5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系
在一般情况下，由随机变量序列几乎处处收敛可推出其依概率收敛 ,进而可推出其依分布收敛,可见判别几乎处处收敛的重要性.给出了它的几个等价命题,同时还证明了独立随机变量和序列几乎处处收敛等价于依概率收敛,亦等价于依分布收敛。

若存在集,()0A F P A ∈=,使当C A ω∈时，有,lim |()()|0n m m n X X ωω→∞
-=，则称
随机变量序列{()}n X ω是Cauchy a.s .收敛的。

定理5.1 ..
{}a s n n X X X Cauchy −−
→⇔是 a.s.收敛的.
证明： 必要性 设..
a s n X X −−
→则存在集,()0,A F P A ∈=当C A ω∈时，有lim ()(),n n X X ωω→∞
=进而有|()()||()()||()()|n m n m X X X X X X ωωωωωω-≤-+-
0(,),}..n m n X Cauchy a s →→∞即{是　收敛的.
充分性 设{}n X 是..Cauchy a s 收敛的。

则存在集,()0,A P A ∈
=使当
C A ω∈时，有,lim |()()|0,()limsup ()n m n m n n X X X X ωωωω→∞
→∞
-==令，对任意的C A ω∈，由于{()}n X ω是一实值Cauchy 序列，因此limsup ()lim ()n n n n X X ωω→∞
→∞
=，从而对
C A ω∈，有lim ()(),n n X X ωω→∞
=即..
a s n X X −−
→. 定理5.2 ..
a s n X X −−
→0,{||,..}0.n P X X i o εε⇔∀>-≥= 定理5.3 ..
a s n X X −−→0,lim {
||)}0.m n m n
P X X εε∞
→∞
=⇔∀>-≥=
证明： 对0,(){||},
(1,2,3,.n n A X X n εωε∀>=-≥=令…)因为
001{,}limsup (){
()}n n m n n m n
X X n A A εεεε∞∞
→∞
>>==→→∞=
=
，所以，
..
a s n X X −−→0,lim {sup ||)}0.m n m n
P X X εε→∞
≥⇔∀>-≥=
{limsup ()}lim {
()},n m n n m n
P A P A εε∞
→∞→∞
==而于是，..
a s n X X −−
→0ε⇔∀>， lim {
(||)}0.m n m n
P X X ε∞
→∞
=-≥=
推论5.1 ..
0a s n X X ε−−
→⇔∀>，lim {sup(||)}0.m n m n
P X X ε→∞
≥-≥= 证明： 由sup(||)0(||)}m m m n
m n
X X X X εε∞
=≥-≥=-≥及定理5.3可得
推论5.2 若对..
1
0,{||},.a s n n n P X X X X εε∞
=∀>∑-≥<+∞−−→有则
证明： 0,(){||},(1,2,n n A X X n εεε∀>=-≥=令…),则1
(())n n P A ε∞
=∑<+∞
因此，{
()m m n
P A ε∞
=≤(())0(),m m n
P A n ε∞
=∑→→∞由定理5.3，即得..
a s n X X −−
→. 定理5.4 设{}n X 独立，{}n a 为常数列，则
n n X a -→0 ..a s 0,ε⇔∀>1
{||}n n P X X ε∞
=∑-≥<+∞
定理5.5 设{}n X 独立，记1
(1,2,3,n k k Y X n ∞
==∑=…),则
...a s P
n n Y Y Y Y −−→⇔−−→　
定理5.6 设{}n X 独立，记1
(1,2,3,n k k Y X n ∞
==∑=…),则
...a s L n n Y Y Y Y −−→⇔−−→
总结
四种收敛性
随机变量序列的收敛性，（1）当用测度描绘时，可定义几乎必然收敛,依概率收敛；（2）用数学期望描绘时,可定义r 阶收敛；（3）用随机变量分布函数的弱收敛描绘时,可定义依分布收敛。

四种收敛蕴涵关系
随机变量序列从不同角度定义的收敛,它们内部有一定的蕴涵关系。

从定义出发，可得出以下的结果：
一般情况是不能反推的。

上面章节证明出的结果是在给出一定条件的情况下得出新结果：
（1）几乎处处收敛与r 阶收敛等价
一般不能由几乎处处收敛推出r 阶收敛，但给出一定的条件可使r 阶收敛推出几乎处处收敛，上面第3章已经证明了在一定条件下得出r 价收敛与几乎处处
收敛等价。

（2）几乎处处收敛与依概率收敛等价
一般情况几乎处处收敛推出依概率收敛，由（1）得：几乎处处收敛与依概率收敛等价
（3）r阶收敛与依概率收敛
一般情况r阶收敛可推出依概率收敛，上面第4章证明出依概率收敛
可推出r阶收敛，所有它们等价
（4）几乎处处收敛与依分布收敛等价
几乎处处收敛间接推出依分布收敛，上面第5章证出它们是等价的。

（5）依概率收敛与依分布收敛等价
一般依概率收敛推出依分布收敛，由上面第1章和（4）得：它们等价。

（6）r阶收敛与依分布收敛等价
由（3）（5）得：它们等价。

致谢
首先要感谢我的导师XXX，X老师严谨的治学态度、对我的严格要求将使我终身受益。

您严谨细致、一丝不苟的作风一直是我工作、学习中的榜样；您循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪.感谢您从本文研究开始一路指导至本文的完成，从论文题目的选定到论文写作的指导，经由您悉心的点拨，再经思考后的领悟，由衷感谢您在论文上倾注的大量心血，您宽厚待人的学者风范和对我生活工作的关心令我无比感激。

衷心感谢我的各位老师对我的淳淳教诲和悉心关怀，在我大学四年里，他给予了我生活上、学习上无微不至的关心。

各位老师对我的指导和影响之大，怎样言说都表达不尽，自己取得的点滴成绩无不凝聚着各位老师的心血。

他们严谨勤奋的治学风格，都让我永志不忘，深刻影响着我日后的工作和生活。

衷心感谢各位同学，感谢他们和我一起度过快乐与苦难的岁月。

我要向我的家人表示深深的谢意.你们的理解、支持和鼓励使我更加上进，我竭尽全力的努力，更希望的是能够让你们高兴和满意.你们的情感永远都是我上进的不竭的动力源泉。

最后，衷心感谢在百忙之中抽出时间审阅我的论文的专家教授，你们辛苦了，由于本人水平有限，文中难免有不妥之处，请各位专家、学者指正。

参考文献
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[8] 李贤平．概率论基础( 第二版)．北京：高等教育出版社，1997.
[9] 中山大学．概率论及数理统计．北京：高等教育出版社，1998 ．
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[11] 中山大学．概率论及数理统计．北京：高等教育出版社，1998.。