一维流体动力学基础

2.湿周 水力半径 当量直径 湿周——在总流的有效截面上，流体与固体壁面的接触长度。
水力半径——总流的有效截面积A和湿周之比。
圆形截面管道的几何直径
d 2 4A d 4R d x
R
A x
非圆形截面管道的当量直径
4A 4R x
D
关于湿周和水力半径的概念在非圆截面管道的水力计算中常常用到。
dux u x u x u x u x ax ux uy uz dt t x y z duy u y u y u y u y ay ux uy uz dt t x y z duz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
x xa, b, c, t z z a, b, c, t
y y a, b, c, t
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日数。 所以，任何质点在空间的位置（x,y,z）都可看 作是（a,b,c）和时间t的函数。
（1）（a,b,c）=const ，t 为变数，可以 得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。 （2）（a,b,c）为变数，t =const，可以得 出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
dx t 1 dt dy 1 dt
1 2 由上两式分别积分可得 x t t c1 2 y t c2
t = 0时质点A 位于x =y =0，得c1= c2= 0。 质点A的迹线方程为:

1 2 x t t 2
五、一维流动模型
一维流动： 流动参数是一个坐标的函数； 二维流动： 流动参数是两个坐标的函数； 三维流动： 流动参数是三个坐标的函数。 对于工程实际问题，在满足精度要求的情 况下，将三维流动简化为二维、甚至一维 流动，可以使得求解过程尽可能简化。
二维流动→一维流 动
三维流动→二维流动
六、流量与平均流速
由欧拉法的特点可知，各物理量是空间点x，y，z和时 间t的函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为：
v v x，y，z，t ＝ x，y，z，t p p x，y，z，t T T x，y，z，t
1.速度
u ux, y, z, t
du x, y, z , t a dt
du x u x u x dx u x dy u x dz 如： a x dt t x dt y dt z dt
dx dy dz ux , u y , u z 代入上式得： dt dt dt u u u du u a ux uy uz dt t x y z
yt
消去参数t得A点的迹线方程为：
1 2 1 1 2 x y y ( y 1) 2 2 2
（2）由流线微分方程：
dx dy t 1 1
x yc 积分可得： t 1
在 t = 0时刻，流线通过原点 x = y = 0，可得C = 0，相 应的流线方程为：
xy
三.元流与总流
第三章 一维流体动力学基础
流体力学基本方程
连 续 性 方 程
动 量 方 程
动 量 矩 方 程
伯 努 利 方 程
能 量 方 程
第一节 概述
流体的流动是由充满整个流动空间的无限多个流体 质点的运动构成的。充满运动流体的的空间称为流场。
研
着眼于整个流场的状态，即研究表征流场内流体流动 欧拉法： 特性的各种物理量的矢量场与标量场
2
v x t y a，b，c，t v y t z a，b，c，t vz t
流体质点的其它流动参量可以类 似地表示为a、b、c和 t 的函数。 如： p=p(a，b，c，t) ρ=ρ(a，b，c，t)
由于流体质点的运动轨迹非常 复杂，而实用上也无须知道个别质 点的运动情况，所以除了少数情况 （如波浪运动）外，在工程流体力 学中很少采用拉格朗日法。
非定常流—又称非恒定流,是指流场中的流体流动空
间点上各水力运动要素中, 只要有任何一个随时间的变 化而变化的流动。
即：u u x, y, z
p 0 p p x, y , z t u x u y u z , , 三者中至少一个 t t t
不等于0
3.流束—过流管横截面上各点作流线，则得到充满 流管的一束流线簇，称为流束。
四.过水断面 湿周 水力半径
1.过水断面—即水道（管道、明渠等）中垂直于水流流
动方向的横断面, 如图中的 1-1，2-2 断面。又称为有效 截面，在流束中与各流线相垂直，在每一个微元流束的过 水断面上，各点的速度可认为是相同的。
流线的性质
a.同一时刻的不同流线,不能相交. b.流线不能是折线，而是一条光 滑的曲线。 c.流线的形状和位置，在定常流 动时不随时间变化；而在不定 常流动时，随时间变化。
交点
u1 u2
s1
s2
u1
折点
u2
s
d.流线簇的疏密反映了速度的大小 （流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小）。
流线的方程
二 流线与迹线
1. 流线
流线的定义——表示某
一瞬时流体各点流动趋势 的曲线: 曲线上每一点的速度矢量 总在该点与曲线相切。 右图为流线谱中显示的流 线形状。
这是欧拉方法中，用几何曲线形象描述流动的 手段。
流线的作法
在流场中任取一点（如图所示）, 绘出某时刻通 过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近的2 点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如 此下去，得一折线1234 …，若各点无限接近，其极限 就是某时刻的流线。
即
i
j k
dx dy dz 0 ux u y uz
展开后得到：
dx dy dz ——流线方程 ux u y uz
2.迹线
1Leabharlann Baidu迹线的定义
迹线—某一质点在某
一时段内的运动轨迹线。
图中烟火的轨迹为迹线。
2）迹线的微分方程
dx dy dz dt ux uy uz
式中，ux,uy,uz 均为时空t,x,y,z的函数，且t是自变量。
根据流线的定义，可以求得流 线的微分方程： 设ds为流线上A处一微元弧长:
ds dxi dyj dzk
u为流体质点在A点的流速:
u uxi u y j uz k
因为流速向量与流线相切，即没有垂直于流线的流速 分量，u 和ds重合。所以 ds u 0
1.流管—在流场中取任一封闭曲
线（不是流线），通过该封闭曲线的 每一点作流线，这些流线所组成的管 状空间称为流管。
2.元流 — 流管中的液流称为元流或微小流束元流的极限 是一条流线。
元流性质：

流体做定常流动时，元流的形状不随时间变化。 流体不能从元流的侧面流入和流出，流体只能沿元流 端面流入或流出。 元流横断面积无限小，其断面流速、压强等参数可以 认为是相等的。
流体质点速度为： x a，b，c，t
流体质点加速度为：
v x x a，b，c，t a x t t 2 v y 2 y a，b，c，t a y 2 t t vz 2 z a，b，c，t a z t 2 t
2.总流的连续性方程
将微小流束连续性方程两边对相应的过水断面A1及A2 进 行积分可得

A1
1u1dA1 2u2 dA2
A2
上式整理后可写成
1mv1 A1 2mv2 A2 1mQ1 2mQ2
——总流的連续性方程，它说明可压缩流体做定常流动时， 总流的质量流量保持不变。 其物理意义是：不可压缩流体做定常流动时，总流的体积流量 保持不变；各过水断面平均流速与过水断面面积成反比，即过 水断面积↑处，流速↓；而过水断面面积↓处，流速↑。
u x u x x, y , z , t
写成分量形式
u y u y x, y , z , t u z u z x, y , z , t
（x,y,z,t）——欧拉变量
2. 欧拉加速度
流体质点某一时刻处于流场不同位置，速度是坐标及时间的 函数，所以流速是t 的复合函数，对流速求导可得加速度:
等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度； 时变加速度（当地加速度） 流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度； 位变加速度（迁移加速度） 流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度。
在水位恒定的情况下： （1）A→A′不存在时变加速度和位变加速度。 （2）B→B′不存在时变加速度,但存在位变加速度。 在水位变化的情况下： (1) A→A′存在时变加速度,但不存在位变加速度。 (2) B→B′既存在时变加速度,又存在位变加速度。
二、欧拉法
欧拉法（euler method）是以流体质点流经流场中 各空间点的运动来研究流动的方法。 ——流场法
研究对象：流场
它不直接追究质点的运动过程，而是以充满运动
流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在 流场中的变化规律。将个别流体质点运动过程置之不 理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中 的每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多 的空间点综合起来而得出的整个流体的运动情况。
A A A
第三节
流体运动的连续方程
一、元流的连续性方程
如图所示，在总流上取一微小流束，过水断面分别为dA1 和dA2 ，相应的速度分别为u1和u2 ，密度ρ1 和ρ2 。 由于微小流束的表面是由流线围成的，所以没有流体穿 入或穿出流束表面，只有两端面dA1 和dA2有流体的流入 和流出。
dM 1u1dA1 2u2dA2 则有 由于流体做定常流动，则根据质量守恒定律得
注意：流线和迹线微分方程的异同点。
dx dy dz ux u y uz
——流线方程
【例1】已知：设速度场为 ux = t+1 ,vy = 1，t = 0时刻流 体 质点A位于原点。 求：（1）质点A的迹线方程； （2）t = 0时刻过原点的流线方程； 解：(1)由欧拉迹线方程式，迹线方程组为
第二节 流体运动的基本概念 一、定常流和非定常流 定常流—又称恒定流，是指流场中的流体流动，空间
点 上各水力运动要素均不随时间而变化即：
u 0 u u x, y , z t p 0 p p x, y , z t u x u y u z , , 三者都等于0 t t t
究
方
法
着眼于个别流体质点的运动，综合所有流体质 拉格朗日法： 点的运动后便可得到整个流体的运动规律
一、拉格朗日法
拉格朗日方法：是以流场中每一流体质点作为描述流 体运动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基 础，通过综合足够多的质点（即质点系）运动求得整 个流动。——质点系法
研究对象：流体质点
空间坐标
平均流速——体积流量与有效截面积之比值,用 v 表示。 流量——在单位时间内流过有效截面积的流体的量。
qv v dA v cos(v, n)dA vn dA
A A A
体积流量（ m 3）： /s 质量流量：
qm v dA v cos(v, n)dA vn dA
Q1 Q2 ; v1 A1 v2 A2
dM=0
1u1dA1 2u2 dA2
则
——可压缩流体微小流束的连续性方程。
对不可压缩流体的定常流动，
1 2
u1dA1 u2 dA2
dQ1 dQ2
——不可压缩流体微小流束定常流动的 连续性方程。
其物理意义是：在同一时间间隔内流过微小流束上任一过水断面的流量均相等。或 者说，在任一流束段内的流体体积(或质量)都保持不变