PI-内射模
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浙江大学学报（理学版） JOURNAL OF ZHEJIANG UNIVERSITY(SCIENCE EDITION) 2010,37(2) 1次
参考文献(10条) 1.WARFIELD R Purity and algebraic compactness for module 1969 2.ENOCHS E E Flat cavers and flat cotorsion module 1984(02) 3.Mao LX;Ding NQ Notes on cotorsion modules[外文期刊] 2005(1) 4.MAO Li-xin;DING Nan-qing Cotorsion modules and relative pure-injectivity 2006 5.ENOCHS E E;JENDA O M G Relative Homological Algebra 2000 6.XU J Flat Covers of modules 1996 7.ANDERSON F W;FULLER K R Ring and Categories of Module 1974 8.JOHN Dauns Modules and Rlnp 1994 9.FUCHS L Algebraically compact modules over noetherian rings 1997
为
正则环
每个 内射右 模是平坦的
每个 内射右 模是内射的
每个 内射右 模是 内射的
每个 内射右 模是绝对纯的
证明
。
。
。 显然
。
见推论
。
设 是任意右 模 由文献
定理 ～～
知 存在一个右 模短正合列 ～ ～ 其中 是纯内射右 模 是
的纯子模 由条件可得 是平坦模 从而
是平
坦右 模 因此 是平坦的
。
设 为环 的任意主右理想 则
作为右 模是有限表现的 由命题 知
是
平坦右 模 从而 是投射的 则短正合列 ～
～～
～ 是分裂的 因此 为 的直和项
。
设 为任意的右 模 存在一个
正合列 ～ ～
～ ～ 其中
为
的平坦覆盖 则 为余挠模也是 内射的 由条件
也是绝对纯模 从而上面的正合列是纯正合的 因
此 是平坦模
定理 设 为环 则下列陈述等价
环与
正
则环新的刻画 同时也推广了
环与完全环
给出弱完全环概念
本文中环 均指的是含单位元的结合环
内射模的定义及性质
定义 设 为环 的一个右理想 若 作为右
模是 的一个纯子模 则称 为环 的纯右理
想 可以类似定义纯左理想
命题
为环 的纯右理想当且仅当
作为右 模是平坦的
定义 设 为一个右 模 如果对于环 的
任何纯右理想 任意 e
引理 设 为环 下列陈述等价
每个右 模均为余挠模
每个平坦右 模均为余挠模
是右完全环
定义 设 为环 对 的任意纯右理想
作为平坦右 模是投射的 则称 为右弱完全
环 类似可定义左弱完全环与弱完全环
定理 设 为环 下列陈述等价
每个右 模均为 内射的
每个平坦右 模均为 内射的
是右弱完全环
证明
。 显然
。
设 为环 的任意纯右理想 下证
模 提出了余挠模的概念 经过数学工作者的多年研
究 余挠模在解决平坦覆盖的存在性猜想中发挥了
重要作用 左 模 称为余挠模是指对任意的平坦
左 模 都有
同时余挠模在环的
刻画上也很有效 近年来毛立新和丁南庆在这方面
做了许多工作 并得到了一些很好的结果 本文
定义了 内射模 进一步推广了余挠模 通过研究
这类模 给出了一些
一般地
环是弱完全环 反过来却不成
立 例如
例设
其中 表示实数域
表示有理数域
由文献 例
是非
的半准素
环 从而 是完全环也是弱完全环 说 不是
环 如若不然 由文献 定理
是
环 这与 是非
环矛盾
设 是环 的右理想集合 由文献 右 模
称为 内射的是指每个 同态
～ 可开
拓到 其中 e
命题 设 是环 的右理想集合 下列陈述
环也是完全
环 如整数集 作为右 模是右
环 但它不是右完全环 若
第期
胡江胜 等 内射模
它也是右完全环 那么有理数域 作为右 模是平坦模也是投射
模 这显然矛盾
推论 弱完全环 是完全环当且仅当环 上
的所有 内射 模是余挠的
注 显然每个完全环是弱完全环 反之却不真 否则由推论
所有 内射模是余挠的 由注 这是不可能的
胡江胜， 陈森森， 潘媛， HU Jiang-sheng， CHEN Miao-sen， PAN Yuan 胡江胜,陈森森,HU Jiang-sheng,CHEN Miao-sen(浙江师范大学数学系,浙江,金华,321004) ， 潘媛,PAN Yuan(浙江师范大学数学系,浙江,金华,321004;义乌工商职业技术学院,浙江 ,义乌,322000)
因此右 模 是 内射的
定理
环 是完全环当且仅当环
上的所有 内射 模是余挠的
证明 仅证右
环的情形 类似可证左
环情形
必要性 由引理 显然
充分性 令 为右
环 由条件及命题
每个右 模都是 内射的也是余挠的 由引理
为右完全环
注 一般地 每个余挠模是 内射模显然成立 反过来对于
内射模未必是余挠的 如若不然 由定理
推论 有
设
e 且 二 则当 ＜ 时
＜
当 ＞ 时有
＞
类似于定理 可以证明 若
是 中原点
对称的椭球 二
＞
＞ 且 羊则
参考文献
上-第 页
参考文献
贵任编辑 寿彩丽
吕家凤 冷雁 拟 版
Biblioteka Baidu
模 浙 江 犬 学 学 报理 学
贵任编辑 寿彩丽
PI-内射模
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
若 是 内射模 对环 的任意纯右理
想有
则 是 内射模
证明 设 为环 的任意纯右理想 考虑短正
合列 ～ ～ ～ 合列
～ 由长正合列定理可得正
～
～
～
因为
是 内射模 又
则
由
定理
— 因为
是 内射模 是 内射模 则
又
所以
由定理
—
是 内射模
定理 H 为 e
内射右
一个 均为 内射右 模
模当且仅当每
证 明 设 为环 的任意纯右理想 则存在同构
即
其中 e 由定理
H e
H e
—
二H e 当且仅当
定理 得证
内射模对环的刻画
命题 若 为右
环 则每个右 模
均为 内射的
证明 对环 的任意纯右理想 有右 模短
正合列 ～ ～ ～
～ 由于环 为右
的 则理想 作为右 模是有限生成的 从
而右 模 为有限表现的 则右 模 也是
投射的 对任意右 模 都有
由 的任意性可知 右 模 为 内射的
成e
使当 e 时
称 为 内射模
都可以开拓 则
定理 对于一个环 下列陈述等价
为 内射右 模
收稿日期 作 者 简 介 胡 江 胜 。通信作者
男 硕士研究生 主要从事环与模理论方面的研究 ＠
浙 江 大 学 学 报 理学版
第卷
对环 的任何纯右理想
～
是满同态
对环 的任何纯右理想
对任何平坦右 模 其中 为环 的纯右理想
证明
。 短正合列 ～ 得正合列
— 显然 设 为环 的任意纯右理想 考虑
～ ～ ～ 由长正合列定理可
～
～
～ 由
同态
的 因此
。
设
合列 ～ ～ ～
～ 由
为环 ～
～
是满
的任意纯右理想 短正 可诱导正合列
～ 因此
～
是满同态
—
由命题 显然
定理 设 ～ ～ ～ ～ 是右 模
短正合列 则
若
是 内射模 则 是 内射模
是平坦模 令分别为 的右理想 纯右理想与极大 右理想的集合 有以下几个推论
推论 设 是环 下列陈述等价
每个 内射右 模是内射的
每个余挠右 模是内射的
每个纯内射右 模是内射的
为
正则环
推论 设 是环 则
每个 内射右 模相对于所有纯右理想
是内射的
是 环当且仅当每个 内射右 模
是极大内射的
定理 设 是环 下列陈述等价
第 卷第 期 年月
浙 江 犬 学 学 报理学版
内射模
胡江胜 陈森森 。 潘 媛
浙江师范大学 数学系 浙江 金华
义乌工商职业技术学院 浙江 义乌
摘 要弓入 环与
的
内 射 模它 是 余 挠 模 的 一 种 自 然 推 广 通 过 对 内 射 模 的 研 究定 义 了 弱 完 全 环 并 给 出 了
作为平坦右 模是投射的 考虑短正合列 ～
～～
～ 由长正合列定理可得正合列
～ 由于右 模
～ 为平坦的 作为右 模也是
平坦的 则 作为右 模也是平坦的 从而 作为右
模也是 内射的 则有
因此
同态
～
是满的 故上述短正
合列是分裂的 即 作为平坦右 模是投射的
。
设 为环 的任意纯右理想
为平坦右 模是投射的 则对任意右 模 均有
引证文献(1条)
1.Partial crossed模[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2012(04)
引用本文格式：胡江胜.陈森森.潘媛.HU Jiang-sheng.CHEN Miao-sen.PAN Yuan PI-内射模[期刊论文]-浙江大学
学报（理学版） 2010(2)
为半单环
每个 内射右 模是投射的
而且 如 为
正则环 上述条件
也等价于
为右
环
每个右 模都是 内射的
内射右 模的直和是 内射的
证明
。
。
。 显然
。
证明类似文献 命题
。
见命题
。
环为
正则环 由定
理 知 每个 内射右 模是内射的 由条件 每
个右 模都是 内射的 所以每个右 模是内射
的 因此环 是半单环
。
因为环 为
等价
每个 内射右 模是 内射的
每个余挠右 模是 内射的
每个纯内射右 模是 内射的
对任意的 e
是平坦右 模
证明
。
。 显然
。
见文献 中命题
。
设 是任意 内射右 模 对任
意 e 考虑短正合列 ～ ～ ～
～由
长正合列定理可得正合列
～ 由条件知
～ 因此
～ 由文献
是满的 称为右
环是指每个单右 模
10.吕家凤,冷雁 拟d-Koszul模[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2008(5)
本文读者也读过(10条) 1. 殷晓斌.单方方.宋贤梅.YIN Xiao-bin.SHAN Fang-fang.SONG Xian-mei GP-V'-环的von Neumann正则性[期刊论 文]-数学杂志2009,29(6) 2. 王进伟 纯拟内射模与纯拟投射模[学位论文]2008 3. 杨仕椿.YANG Shi-chun 同余式2n-2≡1(mod n)的一些新解[期刊论文]-浙江大学学报（理学版）2010,37(3) 4. 廖贻华.易忠.LIAO Yi-hua.Yi Zhong 环的Von Neumann正则性[期刊论文]-广西师范大学学报（自然科学版） 2005,23(2) 5. 李珊珊.汪明义 关于P-平坦模[期刊论文]-广西师范大学学报（自然科学版）2004,22(4) 6. 崔顺.吴俊.CUI Shun.WU Jun 关于强正则环的一些研究[期刊论文]-安徽师范大学学报（自然科学版） 2010,33(2) 7. 周海燕.王小冬 von-Neumann正则环与左SF-环[期刊论文]-数学研究与评论2004,24(4) 8. 罗近邻 关于n-P-内射模与n-平坦模的研究[学位论文]2009 9. 朱占敏.陈建龙.ZHU Zhan-min.CHEN Jian-long FCP-投射模与某些环[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2010,37(2) 10. 曹天涯.CAO Tian-ya G-cotorsion模和G-纯内射模[期刊论文]-西北师范大学学报（自然科学版）2008,44(6)
正则环的一些新刻画 证明了 若 为 右
环则 每 个 右 模 都 是 内 射
环 是完全环当且仅当 上的所有 内射模是余挠的
关 键 词纯理想余挠模 内射模
中图分类号
文献标志码
环 文章编号
正 则 环 完 全 环 弱 完 全 环
引言
早在
年 文献 基于对紧的
群的研
究 提出了纯内射模的概念 文献 推广了纯内射
正则环
由定理 知 每个 内射右 模是内射的 由条件
内射右 模的直和也是 内射的 所以内射右
模的直和也是内射的 因此 为右
环
推论 设 是
正则环 下列陈
述等价
为
环
为半单环
为弱完全环
<=> ?
第期
沈亚军 截面体的性质与推广
定理 设 e 且 二 则
证明 由
的定义及
定理
】
】】
nI
】】
nI
】】
】
由
不等式 立即可以得到
参考文献(10条) 1.WARFIELD R Purity and algebraic compactness for module 1969 2.ENOCHS E E Flat cavers and flat cotorsion module 1984(02) 3.Mao LX;Ding NQ Notes on cotorsion modules[外文期刊] 2005(1) 4.MAO Li-xin;DING Nan-qing Cotorsion modules and relative pure-injectivity 2006 5.ENOCHS E E;JENDA O M G Relative Homological Algebra 2000 6.XU J Flat Covers of modules 1996 7.ANDERSON F W;FULLER K R Ring and Categories of Module 1974 8.JOHN Dauns Modules and Rlnp 1994 9.FUCHS L Algebraically compact modules over noetherian rings 1997
为
正则环
每个 内射右 模是平坦的
每个 内射右 模是内射的
每个 内射右 模是 内射的
每个 内射右 模是绝对纯的
证明
。
。
。 显然
。
见推论
。
设 是任意右 模 由文献
定理 ～～
知 存在一个右 模短正合列 ～ ～ 其中 是纯内射右 模 是
的纯子模 由条件可得 是平坦模 从而
是平
坦右 模 因此 是平坦的
。
设 为环 的任意主右理想 则
作为右 模是有限表现的 由命题 知
是
平坦右 模 从而 是投射的 则短正合列 ～
～～
～ 是分裂的 因此 为 的直和项
。
设 为任意的右 模 存在一个
正合列 ～ ～
～ ～ 其中
为
的平坦覆盖 则 为余挠模也是 内射的 由条件
也是绝对纯模 从而上面的正合列是纯正合的 因
此 是平坦模
定理 设 为环 则下列陈述等价
环与
正
则环新的刻画 同时也推广了
环与完全环
给出弱完全环概念
本文中环 均指的是含单位元的结合环
内射模的定义及性质
定义 设 为环 的一个右理想 若 作为右
模是 的一个纯子模 则称 为环 的纯右理
想 可以类似定义纯左理想
命题
为环 的纯右理想当且仅当
作为右 模是平坦的
定义 设 为一个右 模 如果对于环 的
任何纯右理想 任意 e
引理 设 为环 下列陈述等价
每个右 模均为余挠模
每个平坦右 模均为余挠模
是右完全环
定义 设 为环 对 的任意纯右理想
作为平坦右 模是投射的 则称 为右弱完全
环 类似可定义左弱完全环与弱完全环
定理 设 为环 下列陈述等价
每个右 模均为 内射的
每个平坦右 模均为 内射的
是右弱完全环
证明
。 显然
。
设 为环 的任意纯右理想 下证
模 提出了余挠模的概念 经过数学工作者的多年研
究 余挠模在解决平坦覆盖的存在性猜想中发挥了
重要作用 左 模 称为余挠模是指对任意的平坦
左 模 都有
同时余挠模在环的
刻画上也很有效 近年来毛立新和丁南庆在这方面
做了许多工作 并得到了一些很好的结果 本文
定义了 内射模 进一步推广了余挠模 通过研究
这类模 给出了一些
一般地
环是弱完全环 反过来却不成
立 例如
例设
其中 表示实数域
表示有理数域
由文献 例
是非
的半准素
环 从而 是完全环也是弱完全环 说 不是
环 如若不然 由文献 定理
是
环 这与 是非
环矛盾
设 是环 的右理想集合 由文献 右 模
称为 内射的是指每个 同态
～ 可开
拓到 其中 e
命题 设 是环 的右理想集合 下列陈述
环也是完全
环 如整数集 作为右 模是右
环 但它不是右完全环 若
第期
胡江胜 等 内射模
它也是右完全环 那么有理数域 作为右 模是平坦模也是投射
模 这显然矛盾
推论 弱完全环 是完全环当且仅当环 上
的所有 内射 模是余挠的
注 显然每个完全环是弱完全环 反之却不真 否则由推论
所有 内射模是余挠的 由注 这是不可能的
胡江胜， 陈森森， 潘媛， HU Jiang-sheng， CHEN Miao-sen， PAN Yuan 胡江胜,陈森森,HU Jiang-sheng,CHEN Miao-sen(浙江师范大学数学系,浙江,金华,321004) ， 潘媛,PAN Yuan(浙江师范大学数学系,浙江,金华,321004;义乌工商职业技术学院,浙江 ,义乌,322000)
因此右 模 是 内射的
定理
环 是完全环当且仅当环
上的所有 内射 模是余挠的
证明 仅证右
环的情形 类似可证左
环情形
必要性 由引理 显然
充分性 令 为右
环 由条件及命题
每个右 模都是 内射的也是余挠的 由引理
为右完全环
注 一般地 每个余挠模是 内射模显然成立 反过来对于
内射模未必是余挠的 如若不然 由定理
推论 有
设
e 且 二 则当 ＜ 时
＜
当 ＞ 时有
＞
类似于定理 可以证明 若
是 中原点
对称的椭球 二
＞
＞ 且 羊则
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吕家凤 冷雁 拟 版
Biblioteka Baidu
模 浙 江 犬 学 学 报理 学
贵任编辑 寿彩丽
PI-内射模
作者： 作者单位：
刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
若 是 内射模 对环 的任意纯右理
想有
则 是 内射模
证明 设 为环 的任意纯右理想 考虑短正
合列 ～ ～ ～ 合列
～ 由长正合列定理可得正
～
～
～
因为
是 内射模 又
则
由
定理
— 因为
是 内射模 是 内射模 则
又
所以
由定理
—
是 内射模
定理 H 为 e
内射右
一个 均为 内射右 模
模当且仅当每
证 明 设 为环 的任意纯右理想 则存在同构
即
其中 e 由定理
H e
H e
—
二H e 当且仅当
定理 得证
内射模对环的刻画
命题 若 为右
环 则每个右 模
均为 内射的
证明 对环 的任意纯右理想 有右 模短
正合列 ～ ～ ～
～ 由于环 为右
的 则理想 作为右 模是有限生成的 从
而右 模 为有限表现的 则右 模 也是
投射的 对任意右 模 都有
由 的任意性可知 右 模 为 内射的
成e
使当 e 时
称 为 内射模
都可以开拓 则
定理 对于一个环 下列陈述等价
为 内射右 模
收稿日期 作 者 简 介 胡 江 胜 。通信作者
男 硕士研究生 主要从事环与模理论方面的研究 ＠
浙 江 大 学 学 报 理学版
第卷
对环 的任何纯右理想
～
是满同态
对环 的任何纯右理想
对任何平坦右 模 其中 为环 的纯右理想
证明
。 短正合列 ～ 得正合列
— 显然 设 为环 的任意纯右理想 考虑
～ ～ ～ 由长正合列定理可
～
～
～ 由
同态
的 因此
。
设
合列 ～ ～ ～
～ 由
为环 ～
～
是满
的任意纯右理想 短正 可诱导正合列
～ 因此
～
是满同态
—
由命题 显然
定理 设 ～ ～ ～ ～ 是右 模
短正合列 则
若
是 内射模 则 是 内射模
是平坦模 令分别为 的右理想 纯右理想与极大 右理想的集合 有以下几个推论
推论 设 是环 下列陈述等价
每个 内射右 模是内射的
每个余挠右 模是内射的
每个纯内射右 模是内射的
为
正则环
推论 设 是环 则
每个 内射右 模相对于所有纯右理想
是内射的
是 环当且仅当每个 内射右 模
是极大内射的
定理 设 是环 下列陈述等价
第 卷第 期 年月
浙 江 犬 学 学 报理学版
内射模
胡江胜 陈森森 。 潘 媛
浙江师范大学 数学系 浙江 金华
义乌工商职业技术学院 浙江 义乌
摘 要弓入 环与
的
内 射 模它 是 余 挠 模 的 一 种 自 然 推 广 通 过 对 内 射 模 的 研 究定 义 了 弱 完 全 环 并 给 出 了
作为平坦右 模是投射的 考虑短正合列 ～
～～
～ 由长正合列定理可得正合列
～ 由于右 模
～ 为平坦的 作为右 模也是
平坦的 则 作为右 模也是平坦的 从而 作为右
模也是 内射的 则有
因此
同态
～
是满的 故上述短正
合列是分裂的 即 作为平坦右 模是投射的
。
设 为环 的任意纯右理想
为平坦右 模是投射的 则对任意右 模 均有
引证文献(1条)
1.Partial crossed模[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2012(04)
引用本文格式：胡江胜.陈森森.潘媛.HU Jiang-sheng.CHEN Miao-sen.PAN Yuan PI-内射模[期刊论文]-浙江大学
学报（理学版） 2010(2)
为半单环
每个 内射右 模是投射的
而且 如 为
正则环 上述条件
也等价于
为右
环
每个右 模都是 内射的
内射右 模的直和是 内射的
证明
。
。
。 显然
。
证明类似文献 命题
。
见命题
。
环为
正则环 由定
理 知 每个 内射右 模是内射的 由条件 每
个右 模都是 内射的 所以每个右 模是内射
的 因此环 是半单环
。
因为环 为
等价
每个 内射右 模是 内射的
每个余挠右 模是 内射的
每个纯内射右 模是 内射的
对任意的 e
是平坦右 模
证明
。
。 显然
。
见文献 中命题
。
设 是任意 内射右 模 对任
意 e 考虑短正合列 ～ ～ ～
～由
长正合列定理可得正合列
～ 由条件知
～ 因此
～ 由文献
是满的 称为右
环是指每个单右 模
10.吕家凤,冷雁 拟d-Koszul模[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2008(5)
本文读者也读过(10条) 1. 殷晓斌.单方方.宋贤梅.YIN Xiao-bin.SHAN Fang-fang.SONG Xian-mei GP-V'-环的von Neumann正则性[期刊论 文]-数学杂志2009,29(6) 2. 王进伟 纯拟内射模与纯拟投射模[学位论文]2008 3. 杨仕椿.YANG Shi-chun 同余式2n-2≡1(mod n)的一些新解[期刊论文]-浙江大学学报（理学版）2010,37(3) 4. 廖贻华.易忠.LIAO Yi-hua.Yi Zhong 环的Von Neumann正则性[期刊论文]-广西师范大学学报（自然科学版） 2005,23(2) 5. 李珊珊.汪明义 关于P-平坦模[期刊论文]-广西师范大学学报（自然科学版）2004,22(4) 6. 崔顺.吴俊.CUI Shun.WU Jun 关于强正则环的一些研究[期刊论文]-安徽师范大学学报（自然科学版） 2010,33(2) 7. 周海燕.王小冬 von-Neumann正则环与左SF-环[期刊论文]-数学研究与评论2004,24(4) 8. 罗近邻 关于n-P-内射模与n-平坦模的研究[学位论文]2009 9. 朱占敏.陈建龙.ZHU Zhan-min.CHEN Jian-long FCP-投射模与某些环[期刊论文]-浙江大学学报（理学版） 2010,37(2) 10. 曹天涯.CAO Tian-ya G-cotorsion模和G-纯内射模[期刊论文]-西北师范大学学报（自然科学版）2008,44(6)
正则环的一些新刻画 证明了 若 为 右
环则 每 个 右 模 都 是 内 射
环 是完全环当且仅当 上的所有 内射模是余挠的
关 键 词纯理想余挠模 内射模
中图分类号
文献标志码
环 文章编号
正 则 环 完 全 环 弱 完 全 环
引言
早在
年 文献 基于对紧的
群的研
究 提出了纯内射模的概念 文献 推广了纯内射
正则环
由定理 知 每个 内射右 模是内射的 由条件
内射右 模的直和也是 内射的 所以内射右
模的直和也是内射的 因此 为右
环
推论 设 是
正则环 下列陈
述等价
为
环
为半单环
为弱完全环
<=> ?
第期
沈亚军 截面体的性质与推广
定理 设 e 且 二 则
证明 由
的定义及
定理
】
】】
nI
】】
nI
】】
】
由
不等式 立即可以得到