门槛回归(阈值回归)

2,δ
n=θ
2Hale Waihona Puke θ1。将式(3)进一步改写成矩阵形式:YX+X
δ
ne(4)此时模型中的回归参数为(θ,δ
n,γ)。在γ给定的前提下，式(4)中的θ和δ
n是线性关系。因此,根据条件最小二乘估计方法，用X
γ*= [X X
r]对Y回归，得到相应的残差平方和函数如下：
S
n()S
n((),(),)Y'YY'X
以上的检验过程为只有一个门槛值的检验过程，为了能确定是否存在两个门槛值或者是更多的门槛值，我们应当检验是否存在两个门槛值，拒绝L意味着至少存在一个门槛值。
ˆ
2。在确定有两个门槛值后，再寻我们可以假设己经估计ˆ
1，然后开始寻找第二个门槛值
找第三个门槛值，方法都和前面的一样，直至我们不能拒绝零假设。
将模型(1)(2)的形式改写成单一方程形式时,首先需要定义一个虚拟变量d
i(γ)={q
i≤γ} ,此处{g}是一个指示函数( indicator function)，令集合x
i(γ ) =x
id
i(γ)。因此，模型(1) (2)可写成：
y
i'x
i
n'x
i()e
i(3)通过这种添加虚拟变量的方式,可知θ=θ
Hansen(2000)将“门槛回归”模型的基本形式定义为:
y
i
1'x
ie
i,q
i≤γ(1)y
i
2'x
ie
i,q
i>γ(2)其中，作为解释变量的x
i是一个m维的列向量。q
i被称为“门槛变量”，Hansen(2000)认为门槛变量既可以是解释变量x
i中的一个回归元,也可以作为一个独立的门槛变量。根据其相应的“门槛值”γ,可将样本分成“两类”(two regimes)。
*(X
*'X
*)1X
*'Y
估计得到的门槛值就是使S
n(γ)最小的ˆ。被定义为:
ˆargminS
n()(5)
n
其中，Γ
n=Γ∩{q
1,„,q
n}。Hansen(2000)将门槛变量中的每一观测值均作为了可能的门槛值，将满足式(5)的观测值确定为门槛值。当门槛估计值确定之后,那么其他参数值也就能够相应地确定。
2、2000、2001、2002、2003、2004各年中国所有直辖市的GDP分别为：
北京市分别为8、9、10、11、12；
上海市分别为9、10、11、12、13；
天津市分别为5、6、7、8、9；
重庆市分别为7、8、9、10、11（单位亿元）。
这就是面板数据。
2门槛回归模型（阈值回归模型）
（1）模型设置
1
面板数据，即Panel Data，也叫“平行数据”，是指在时间序列上取多个截面，在这些截面上同时选取样本观测值所构成的样本数据。[1]
其有时间序列和截面两个维度，当这类数据按两个维度排列时，是排在一个平面上，与只有一个维度的数据排在一条线上有着明显的不同，整个表格像是一个面板,所以把panel data译作“面板数据”。但是,如果从其内在含义上讲,把paneldata译为“时间序列—截面数据”更能揭示这类数据的本质上的特点。也有译作“平行数据”或“TS-CS数据（TimeSeries-CrossSection）”
3.置信区间
当确定某一变量存在“门槛效应”时，还需要进一步确定其门槛值的置信区间。即对零2
ˆ进行检验，
假设H0 :“似然比统计量”( Likelihood Ratio Statistic)可表示为：LR
n()nˆ)
S
n()S
n(
(7)ˆ)
S
n(
Hansen (2000)认为，当LR
n(γ)≤c (α) = - 2ln(1 -α)时，不能拒绝零假设(α表示显著性水平)。其中，在95 %的置信水平下，c (α)等于7.35。
ˆ)，其中eˆ是式(4)的残差项。
下，模拟(Simulate)产生一组因变量序列，并使其满足N (0 ,e
每得到一个自抽样样本，就可以计算出一个模拟的LM统计量。将这一过程重复1000次，Hansen(1996)认为模拟产生的LM统计量大于式(6)的次数占总模拟次数的百分比就是“自举法”估计得到的P值。这里的BootstrapP值类似于普通计量方法得出的相伴概率P值。例如，当Bootstrap P值小于0.01时，表示在1 %的显著性水平下通过了LM检验，以此类推。
面板数据从横截面上看，是由若干个体在某一时刻构成的截面观测值，从纵剖面上看，是一个时间序列。
例：
1、城市名：北京、上海、重庆、天津的GDP分别为10、11、9、8（单位亿元）。这就是截面数据，在一个时间点处切开，看各个城市的不同就是截面数据。
如：2000、2001、2002、2003、2004各年的北京市GDP分别为8、9、10、11、12（单位亿元）。这就是时间序列，选一个城市，看各个样本时间点的不同就是时间序列。
2.显著性检验
门槛回归模型显著性检验的目的是，检验以门槛值划分的两组样本其模型估计参数是否显著不同。因此，不存在门槛值的零假设为: H0:θ
1=θ
2。同时构造LM统计量：LnS
0S
n(ˆ)
(6)ˆ
S
n()
其中，S
0是在零假设下的残差平方和。由于LM统计量并不服从标准的分布。因此，Hansen(2000)提出了通过“自举法”(Bootstrap )来获得渐进分布的想法，进而得出相应的概率p值，也称为BootstrapP值。这种方法的基本思想是：在解释变量和门槛值给定的前提