【结构力学课件】7 力法 对称结构
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§7-5 对称结构的计算
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
EI
（c）
EI 对称轴 l
（ d）
l
对称中心
二、荷载对称：
正对称荷载 2P a P a a P 反对称荷载
P
a
a
P
=
+
原结构在非对称荷载作用下的内力，可由这两种情况分别进 行计算，然后将两者所得内力叠加。
三、正对称荷载作用下的对称结构的计算：
P a a EI2 EI1 EI1 P P X1 P X2 X3
P a a EI2 P P X1 P X2 X3
EI1
X1 X2 X3
M（正对称未知力） N （正对称未知力） Q （反对称未知力）
EI1
=
X2
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
内力图：
M、N图反对称 Q图正对称
变形： 对称轴截面：
反对称 M＝0、N ＝0 Q≠0
五、非对称荷载作用下的对称结构的计算：
2P X2 X3 X1 X2 P
X1 X3 0 X3
P
P
X1 X2
P
=
X2
X2
+
X2
X3 X 2 0 X1
X1 X 1 X1 X1 X2 X 2 X2 X2
力法的简化原则： 使尽可能多的副系数和自由项等于零
采取的方法：
选择合理的基本结构和基本未知量
一、结构对称：
1.结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 2.杆件截面和材料性质（E I、EA、 GA ）也对此轴对称。 对称轴 EI2 EI1 EI1 EI1
对称轴
（ a）
（ b）
EI1
EI2 EI2
对称轴
M 0 N 0 Q 0
P P
M1
正对称
M2
正对称
X3=1
反对称
MP
正对称
M3
*
Mi M j M i MP ij ds iP ds EI EI 对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力一定为0，只需
计算正对称未知力。
四、反对称荷载作用下的对称结构的计算：
M 0 N 0 Q 0
P P
X2=1
M1
正对称
M2
正对称
X3=1
反Hale Waihona Puke 称M3MP反对称
*对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力一定为0，只需
计算反对称未知力。
结论：
受正对称 荷载作用 对称 结构 受反对称 荷载作用
内力图：
M、N图正对称
Q图反对称
变形： 对称轴截面：
正对称 M≠0、N ≠0 Q ＝0
q
X1 0
q
例2：P340例题7-5
P EI1
EI2
P/2
P/2 P/2
P/2
=
M＝ 0 无弯矩状态
+
I 2h 梁 线 刚 度 I1l 柱 线 刚 度 6k Ph 6k 1 4 令 k
EI1
l
Ph 4
h
k→∞
Ph 4
k→0
Ph 2
反弯点
6k Ph 6k 2 4
§7-9 支座移动和温度改变时的计算
=
X2
基本结构 X1 X2 X3 M（正对称未知力） N （正对称未知力） Q （反对称未知力）
X2
X1 X3
11 X1 12 X 2 13 X X 3 1 1 P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
X1
11 X 1 12 X 2 1n X n 1 P 0
21 X 1 22 X 2 2 n X n 2 P 0 力法基本方程 n1 X 1 n 2 X 2 nn X n nP 0
X2 X3
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1 X2=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
X3 X 3 X3 X3
11 X 1 12 X 2 1 P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
33 X 3 3 P 0
例1：P386习题7-3（a）
EI2 EI1 EI1 q q
=
X1
q
基本结构
一、弹性支座：
q q
基本体系
X1
q
q
q
基本体系
X1
q
基本体系
X1
11 X 1 1P 0
11 X 1 1P
q
X 1h EA
11 X1 1P
q
X1 k
h ( 11 ) X 1 1P 0 EA
X1
1 ( 11 ) X 1 1P 0 k
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P
X1=1
0 0
X1 0 X2 0 X 0 3
EI
（c）
EI 对称轴 l
（ d）
l
对称中心
二、荷载对称：
正对称荷载 2P a P a a P 反对称荷载
P
a
a
P
=
+
原结构在非对称荷载作用下的内力，可由这两种情况分别进 行计算，然后将两者所得内力叠加。
三、正对称荷载作用下的对称结构的计算：
P a a EI2 EI1 EI1 P P X1 P X2 X3
P a a EI2 P P X1 P X2 X3
EI1
X1 X2 X3
M（正对称未知力） N （正对称未知力） Q （反对称未知力）
EI1
=
X2
11 X 1 12 X 2 13 X 3 1 P 0 21 X 1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 31 X 1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
内力图：
M、N图反对称 Q图正对称
变形： 对称轴截面：
反对称 M＝0、N ＝0 Q≠0
五、非对称荷载作用下的对称结构的计算：
2P X2 X3 X1 X2 P
X1 X3 0 X3
P
P
X1 X2
P
=
X2
X2
+
X2
X3 X 2 0 X1
X1 X 1 X1 X1 X2 X 2 X2 X2
力法的简化原则： 使尽可能多的副系数和自由项等于零
采取的方法：
选择合理的基本结构和基本未知量
一、结构对称：
1.结构的几何形状和支座情况对某轴对称； 2.杆件截面和材料性质（E I、EA、 GA ）也对此轴对称。 对称轴 EI2 EI1 EI1 EI1
对称轴
（ a）
（ b）
EI1
EI2 EI2
对称轴
M 0 N 0 Q 0
P P
M1
正对称
M2
正对称
X3=1
反对称
MP
正对称
M3
*
Mi M j M i MP ij ds iP ds EI EI 对称结构在正对称荷载作用下，反对称未知力一定为0，只需
计算正对称未知力。
四、反对称荷载作用下的对称结构的计算：
M 0 N 0 Q 0
P P
X2=1
M1
正对称
M2
正对称
X3=1
反Hale Waihona Puke 称M3MP反对称
*对称结构在反对称荷载作用下，正对称未知力一定为0，只需
计算反对称未知力。
结论：
受正对称 荷载作用 对称 结构 受反对称 荷载作用
内力图：
M、N图正对称
Q图反对称
变形： 对称轴截面：
正对称 M≠0、N ≠0 Q ＝0
q
X1 0
q
例2：P340例题7-5
P EI1
EI2
P/2
P/2 P/2
P/2
=
M＝ 0 无弯矩状态
+
I 2h 梁 线 刚 度 I1l 柱 线 刚 度 6k Ph 6k 1 4 令 k
EI1
l
Ph 4
h
k→∞
Ph 4
k→0
Ph 2
反弯点
6k Ph 6k 2 4
§7-9 支座移动和温度改变时的计算
=
X2
基本结构 X1 X2 X3 M（正对称未知力） N （正对称未知力） Q （反对称未知力）
X2
X1 X3
11 X1 12 X 2 13 X X 3 1 1 P 0
21 X1 22 X 2 23 X 3 2 P 0 31 X1 32 X 2 33 X 3 3 P 0
X1