条件分式求值技巧例析

条件分式求值技巧例析
江西 许生友
根据已知条件求分式的值，是有关分式的重要题型，处理这类问题不能拘泥于直接代入的呆板解题模式，应根据分式的结构特点，采用灵活多变的解题技巧，才能使问题化难为易、化繁为简，达到事半功倍之效．下面举例说明．
一、整体代入
例1 若11x y -=5，求3533x xy y x xy y
+---的值． 分析：将
11x y -=5变形，得x -y=-5xy ，再将原式变形为3()5()3x y xy x y xy -+--，把x -y=-5xy 代入，即可求出其值． 解：因为11x y
-=5，所以x -y=-5xy. 所以原式=
3()5()3x y xy x y xy -+--=3(5)553xy xy xy xy ⋅-+--=108xy xy --=5.4 友情提示：在已知条件等式的求值问题中，把已知条件变形转化后，通过整体代入求值，可避免由局部运算所带来的麻烦．
二、参数法
例2 若
234a b c ==，则325a b c a b c
-+++=__________. 分析：令234
a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，代入分式可求得其值. 解：设234
a b c ===k ，则a=2k ，b=3k ，c=4k ， 因此原式=322354234k k k k k k ⨯-⨯+⨯++=2020.99k k = 友情提示：如果已知条件中出现连比的形式，通过设其比值为k ，可以建立分子和分母的关系式，然后经过适当的变形求出分式的值.
三、倒数法
例3 已知a+1
a
=5．则
2
421
a
a a
++
=__________.
分析：若先求出a的值再代入求值，显然现在解不出．如果将
2
421
a
a a
++
的分子、分
母颠倒过来，即求
42
2
1
a a
a
++
=a2+1+
2
1
a
的值，再进一步求原式的值就简单很多．
解：因为a+1
a
=5，
所以（a+1
a
）2=25，a2+
2
1
a
=23.
所以
42
2
1
a a
a
++
=a2+1+
2
1
a
=24，
所以
2
421
a
a a
++
=
1
.
24
友情提示：利用x和1
x
互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知式的联系，使一些
分式求值问题思路自然，解题过程简洁．
四、主元法
例4 已知xyz≠0，且3x－4y－z=0，2x＋y－8z=0，求
222
2
x y z
xy yz zx
++
++
的值.
解：将z看作已知数，把3x－4y－z=0与2x＋y－8z=0联立，得3x－4y－z=0，
2x＋y－8z=0.
解得x=3z，
y=2z.
所以，原式=
222
(3)(2)
(3)(2)(2)2(3)
z z z
z z z z z z
++
⋅+⋅+⋅
=
2
2
14
1.
14
z
z
=
友情提示：当已知条件等式中含有多元（未知数）时（一般三元），可视其中两个为
主元，另一个为常量，解出关于主元的方程组后代入求值，可使问题简化．
五、特殊值法
例5 已知abc=1，则1a ab a ++＋1b bc b ++＋1
c ca c ++=_________. 分析：由已知条件无法求出a 、b 、c 的值，可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值．
解：令a=1，b=1，c=1，则
原式=11111⨯+++11111⨯+++11111⨯++=13+13+13
=1. 友情提示：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果．。