圆锥曲线专题(定点、定值问题)

圆锥曲线专题——定点、定值问题
定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。

技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。

如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。

下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型：
模型一：“手电筒”模型
【例题】已知椭圆C ：13
42
2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。

求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22
3412
y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222
(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->，22340k m +->
2121222
84(3)
,3434mk m x x x x k k
-+=-⋅=++ 222
2
121212122
3(4)
()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+
以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ⋅=-， 1212122
y y
x x ∴⋅=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222
3(4)4(3)1640343434m k m mk
k k k
--+++=+++， 整理得：2
2
71640m mk k ++=，解得：1222,7
k m k m =-=-
，且满足22
340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当27k m =-
时，2
:()7
l y k x =-，直线过定点2(,0)7
综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2
(,0).7
◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直
线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点))
(,)((
2
222022220b a b a y b a b a x +-+-。

◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=•BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。

此模型解题步骤：
Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，∆求出参数范围；
Step2：由AP 与BP 关系（如1-=•BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

◆迁移训练
练习1：过抛物线M:px y 22
=上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。

（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）
练习2：过抛物线M:x y 42
=的顶点任意作两条互相垂直的弦OA 、OB ，求证：直线AB 过定点。

（经典例题，多种解法）
练习3：过122
2
=-y x 上的点作动弦AB 、AC 且3=•AC AB k k ，证明BC 恒过定点。

（本题参考答案：
)5
1,51(-） 练习:4：设A 、B 是轨迹C ：2
2(0)y px P =>上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且4
π
αβ+=
时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标。

（参考答案
()2,2p p -）
【答案】设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,0x x ≠，又直线OA,OB 的倾斜角,αβ满足4
π
αβ+=，
故0,4
π
αβ<<
，所以直线AB 的斜率存在，否则，OA,OB 直线的倾斜角之和为πAB 方程为
y kx b =+，显然22
12
12,22y y x x p p ==
， 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2
220ky py pb -+=
由韦达定理知121222,p pb
y y y y k k
+=⋅=
① 由4παβ+=，得1＝tan tan()4
π
αβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122
122()4p y y y y p +- 将①式代入上式整理化简可得：
212p
b pk
=-，所以22b p pk =+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=
所以直线AB 恒过定点()2,2p p -.
练习5：已知动圆过定点A (4,0), 且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. (Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)已知点B (-1,0), 设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P , Q , 若x 轴是PBQ ∠的角平分线, 证明直线l 过定点.
【答案】解:(Ⅰ) A (4,0),设圆心C
2222,2
),,(EC ME CM CA MN
ME E MN y x +===
，由几何图像知线段的中点为x y x y x 84)422222=⇒+=+-⇒（
(Ⅱ) 点B (-1,0),
22
2121212122118,8,00),,(),,(x y x y y y y y y x Q y x P ==<≠+，由题知设.
080)()(88
811211221212222112211=+⇒=+++⇒+-=+⇒+-=+⇒y y y y y y y y y y y y x y x y 直线PQ
方程为:)8(1)(2
11
21112121y x y y y y x x x x y y y y -+=-⇒---=
-
1,088)(8)()(122
112112==⇒=++⇒-=+-+⇒x y x y y y y x y y y y y y
所以,直线PQ 过定点(1,0)
练习6：已知点()()1,0,1,0,B C P -是平面上一动点，且满足||||PC BC PB CB ⋅=⋅
（1）求点P 的轨迹C 对应的方程；
（2）已知点(,2)A m 在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD AE ⊥，判断：直
线DE 是否过定点？试证明你的结论.
【解】（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-⋅=⋅化简得得代入 （5分）
).2,1(,14)2,()2(2的坐标为点得代入将A m x y m A ∴== ,044,422=--=+=t mt y x y t my x DE 得代入的方程为设直线
）（（，则设*016)44,4),(),,(221212211>+-=∆-=⋅=+t m t y y m y y y x E y x D
4)(21)()2)(2()1)(1(212121212121++-⋅+++-=--+--=⋅∴y y y y x x x x y y x x AE AD
5)(2)4
4(4421212
2212221++-⋅++-⋅=y y y y y y y y 5)(242)(16)(212121221221++-⋅+⋅-+-⋅=y y y y y y y y y y
m m t t m t t m t 845605)4(2)4(4
)4(2)4(16)4(2222+=+-=+--+----=化简得
)1(23)1(434849622
22+±=-∴+=-++=+-m t m t m m t t ）即（即 0*,1252>∆+-=+=∴）式检验均满足代入（或m t m t 1)2(5)2(+-=++=∴y m x y m x DE 或的方程为直线 ）不满足题意，定点（（过定点直线21).2,5(-∴DE ）
练习7：已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2
=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l
交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图.
（I ）证明: OM OP ⋅为定值; （II ）若△POM 的面积为
2
5
，求向量OM 与OP 的夹角； （Ⅲ）证明直线PQ 恒过一个定点.
解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(22
2
121、M 、A 三点共线， ,4
414,2
2
212
1211y y y y y y k k DM AM --=+=∴即 4,142121211=∴+=+y y y y y y 即 .54
4212
2
21=+⋅=⋅∴y y y y OP OM
(II)设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅αOP OM
.5sin ||||,2
5=⋅⋅∴=
∆αOP OM S ROM 由此可得tan α=1. 又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα
(Ⅲ)设点M y y Q ),,4(32
3
、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴ 31332222
331313
2
3133131311,,41444
(1)()4,40.11y y y y y y y y y y y y y y y y y y -+==-++-∴++=-+++=即即即分
,0444,4,432
322121=+++⋅∴=
=y y y y y y y y 即 即.(*)04)(43232=+++y y y y
,4
4
432232
2
32y y y y y y k PQ +=--=
)4(4
2
2322y x y y y y PQ -+=-∴的方程是直线
即.4)(,4))((32322
2322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即
由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y
由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.
模型二：切点弦恒过定点
例题：有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为2
00r y y y x =+”，类比也有
结论：“椭圆),()0(10022
22y x P b a b
y a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+b y y a x x ”，过椭圆C ：
14
22
=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B. （1）求证：直线AB 恒过一定点；
（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积。

【解】（1）设M 14),,(),(),)(,33
4(
11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ∵点M 在MA 上∴13311=+ty x ① 同理可得13
322=+ty x ② 由①②知AB 的方程为)1(3,13
3
ty x ty x -==+即 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）
（2）把AB 的方程0167,14
)1(322
=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB 又M 到AB 的距离3323
1|
334|=+=d ∴△ABM 的面积21
316||21=⋅⋅=
d AB S ◆方法点评：切点弦的性质虽然可以当结论用，但是在正式的考试过程中直接不能直接引用，可以用
本题的书写步骤替换之，大家注意过程。

◆方法总结：什么是切点弦？解题步骤有哪些？
练习1：已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离为32
2
.
设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点.
(Ⅰ) 求抛物线C 的方程;
(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程; (Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.
【答案】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为2
4x cy =,由
02
32
2
2
c --=
结合0c >,解得1c =.所以抛物线C 的方程为2
4x y =.
(Ⅱ) 抛物线C 的方程为2
4x y =,即214y x =
,求导得12y x '= 设()11,A x y ,()22,B x y (其中22
1212,44x x y y ==), 则切线,PA PB 的斜率分别为11
2
x ,212x ,
所以切线PA ：()1
112
x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=
因为切线,PA PB 均过点()00,P x y ,所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以()()1122,,,x y x y 为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++
联立方程0022204x x y y x y
--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()222
00020y y x y y +-+=
由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2
120y y y =
所以()2
2
1212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+
又点()00,P x y 在直线l 上,所以002x y =+,
所以2
2
2
2
0000001921225222y x y y y y ⎛
⎫+-+=++=++ ⎪⎝
⎭
所以当01
2
y =-
时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92.
练习2：如图,抛物线()2212:4,:20C x y C x py p ==->,点()00,M x y 在抛物线2C 上,过M 作1
C 的切线,切点为,A B (M 为原点O 时,,A B 重合于O )012x =-,切线.MA 的斜率为12
-
. (I)求p 的值；(II)当M 在2C 上运动时,求线段AB 中点N 的轨迹程.(),,.A B O O 重合于时中点为
【答案】
模型三：相交弦过定点
相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用。

但是具体解题而言，相交弦过定点涉及坐标较多，计算量相对较大，解题过程一定要注意思路，同时注意总结这类题的通法。

例题：如图，已知直线L ：)0(1:122
22>>=++=b a b
y a x C my x 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于
A 、
B 两点，点A 、B 在直线2:G x a =上的射影依次为点D 、E 。

连接AE 、BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、
BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由。

法一：解：)0,(),0,1(2
a k F = 先探索，当m=0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，
AE 与BD 相交于FK 中点N ,且)0,21(2+a N 。

猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21
(2+a N 证明：设),(),,(),,(),,(12
22
2211y a D y a E y x B y x A ，当m 变化时首先AE 过定点N
2222222
222222
2222212
22
12121222121212
2221()2(1)0 (80)
4(1)0(1)
,1122
1
()2011
()22
1
(()212(2AN EN AN EN x my a b m y mb y b a b x a y a b a b a m b a y y K K a a my a y y my y K K a a my a y y my y a mb a =+⎧+++-=⎨+-=⎩∆=+->>--==
----+--==----+--=⋅-+即分又而这是2222
2
22222222(1))(1)()0)
b a m m b a m b a mb mb a m b --⋅+-⋅-==+
∴K AN =K EN ∴A 、N 、E 三点共线 同理可得B 、N 、D 三点共线
∴AE 与BD 相交于定点)0,21
(2+a N
法2：本题也可以直接得出AE 和BD 方程，令y=0，得与x 轴交点M 、N,然后两个坐标相减=0.计算量
也不大。

◆方法总结：方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题一类的通法。

这一类题在答题过程中要注意步骤。

例题、已知椭圆C ：2
214
x y +=，若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。

方法1：点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。

动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。

解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，由
122
(2)44
y k x x y =+⎧⎨+=⎩消y 整理得222
121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，21121164214k x k -∴-=+则2
11
2
12814k x k -=+，1121414k y k =+，
即点M 的坐标为211
22
11284(,)1414k k k k -++，
同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222
22
22
824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-
12122
k k k k t -∴
=-+，直线MN 的方程为：121121
y y y y x x x x --=--，
∴令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4
x t
=
又
2t >，∴402t
<
<
椭圆的焦点为
4
t
∴
=
t =
故当t =
时，MN 过椭圆的焦点。

方法总结：本题由点A 1(-2,0)的横坐标－2是方程222
121(14)161640k x k x k +++-=的一个根，结合
韦达定理，得到点M 的横纵坐标：2
112
12814k x k -=+，1121414k y k =+；其实由222(2)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩消y 整理得222
222(14)161640k x k x k +-+-=，得到22222164214k x k -=+，即2
222
28214k x k -=+，2222414k y k -=+很快。

不过如果看到：将2112
1
164
214k x k --=+中的12k k 用换下来，1x 前的系数2用－2换下来，就得点N 的坐标2222222
824(,)1414k k k k --++，如果在解题时，能看到这一点，计算量将减少，这样真容易出错，但这样减少计算量。

本题的关键是看到点P 的双重身份：点P 即在直线1A M 上也在直线A 2N 上，进而得到1
2122
k k k k t
-=-+，由直线MN 的方程121121y y y y x x x x --=--得直线与x 轴的交点，即横截距2112
12
x y x y x y y -=-，将点M 、N 的坐标代入，化简易得4x t =
，由4
t
=
3t =
，到此不要忘了考察3t =是否满足2t >。

◆方法2：先猜想过定点，设弦MN 的方程，得出N A M A 21、方程，进而得出与T 交点Q 、S ，两坐标相减=0.
如下：
时，猜想成立。

显然，当韦达定理代入整理）（：易得、相较于若分别于得直线方程：）（）（设求出范围；）（联立椭圆方程，整理：设3
3
4)]
)(43()43(44-[)2)(2(1)
2)(2()
)(43())(3(24)2(2
)2(2))2(2
,(,)2(2,
);2(2
:),2(2:,,,,;01324,3:212
21212121212211221122
1122112221=
--+-++-=+---++-+-=
-----=-------=--=
∆=-+++=t y y t t m m
x x x x y y t y y t y my t x y
t x y y y t x y t S t x y t Q S Q l x x y y l x x y y l y x N y x M my y m my x l S Q T N A M A MN
◆方法总结：法2计算量相对较小，细心的同学会发现，这其实是上文“切点弦恒过定点”的一个特例而已。

因此，法2采用这类题的通法求解，就不至于思路混乱了。

相较法1，未知数更少，思路更明确。

练习1：在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆x 29+y 2
5
=1的左右顶点为A,B ，右焦点为F ，设过点
T(t,m)的直线TA,TB 与椭圆分别交于点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，其中m>0,y 1>0,y 2<0.
⑴设动点P 满足PF 2－PB 2=4,求点P 的轨迹
⑵设x 1=2,x 2=1
3
，求点T 的坐标
⑶设t=9,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)
解析：问3与上题同。

练习2：已知椭圆E 中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)A -、(2,0)B 、31,2C ⎛⎫
⎪⎝⎭
三点．过椭圆的右焦点F 任做一与坐标轴不平行的直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，AM 与BN 所在的直线交于点Q.
（1）求椭圆E 的方程：
（2）是否存在这样直线m ，使得点Q 恒在直线m 上移动？若存在,求出直线m 方程,若不存在,请说明理由.
解析：（1）设椭圆方程为2
2
1(0,0),mx my m n +=>> 将(2,0)A -、(2,0)B 、3(1,)2
C 代入椭圆E 的方程，得
41,
9
14
m m n =⎧⎪
⎨+=⎪⎩解得11,43m n ==. ∴椭圆E 的方程22143x y += （也可设标准方程，知2=a 类似计分） （2）可知：将直线:(1)l y k x =-
代入椭圆E 的方程22
143
x y +=并整理．得2222(34)84(3)0k x k x k +-+-= 设直线l 与椭圆E 的交点1122(,),(,)M x y N x y ，
由根系数的关系，得212122214(3)
,3434k x x x x k k -+==++
直线AM 的方程为：1111(1)
(2),(2)22
y k x y x y x x x -=
+=+++即 由直线AM 的方程为：22(2)2y y x x =
--，即22(1)
(2)2
k x y x x -=-- 由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
121212122121222(3)2[23()4]34()24
x x x x x x x x x x x x x x x -+-++==+-++-
22222222222
222
8(3)24462443434344846423434k k k x x k k k k k x x k k
⎡⎤⎛⎫-+-+-+ ⎪⎢⎥+++⎣⎦⎝⎭==
=+-+-+++ ∴直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上． 故这样的直线存在
模型四：动圆过定点问题
动圆过定点问题本质上是垂直向量的问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用。

例题 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>
2 y x b =+并且直线是抛物线x y 42=的一条切线。

（I ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点)3
1,0(-S 的动直线L 交椭圆C 于A 、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（I ）由0)42(:4222
=+-+⎩⎨⎧=+=b x b x y x y b
x y 得消去 因直线x y b x y 42=+=与抛物线相切04)42(2
2
=--=∆∴b b 1=∴b
222222
1,,2c a b e a b c a a a -===+∴=∴=.12
2
2=+y x （II ）当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：222
)3
4()31(=++y x
当L 与x 轴平行时，以AB 为直径的圆的方程：12
2
=+y x ,由⎩⎨⎧==⎪⎩
⎪⎨
⎧=+=++101
)34()31(22222
y x y x y x 解得 即两圆相切于点（0，1）
因此，所求的点T 如果存在，只能是（0，1）.事实上，点T （0，1）就是所求的点，证明如下。

当直线L 垂直于x 轴时，以AB 为直径的圆过点T （0，1）
若直线L 不垂直于x 轴，可设直线L ：3
1-
=kx y 由01612)918(:12
312222
=--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=+-=kx x k y y x kx y 得消去 记点),(11y x A 、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=
+=+9181691812),,(221221
2
2k x x k k x x y x B 则 1122(,1),(,1),TA x y TB x y =-=-又因为 1212121244
(1)(1)()()33
TA TB x x y y x x kx kx ⋅=+--=+--所以
916)(34)1(21212++-+=x x k x x k 09
16
918123491816)1(2
22=++⋅-+-⋅+=k k k k k ∴TA ⊥TB ，即以AB 为直径的圆恒过点T （0，1）,故在坐标平面上存在一个定点T （0，1）满足条件.
◆方法总结：圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出这个定点，再证明用直径所对圆周角为直角。

例题2：如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
的离心率是2
，12,A A 分别是椭圆C 的左、右两个
顶点，点F 是椭圆C 的右焦点。

点D 是x 轴上位于2A 右侧的一点，且满足
121122A D A D FD
+==。

（1）求椭圆C 的方程以及点D 的坐标；
（2）过点D 作x 轴的垂线n ，再作直线:l y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点P ，直线l 交直线n 于点Q 。

求证：以线段PQ 为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标。

解：（1）12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，设(,0)D x ，
由1211
2A D A D
+=有
112x a x a +=+-， 又1FD =，1,1x c x c ∴-=∴=+，于是
11
211c a c a +=+++-
1(1)(1)c c a c a ⇒+=+++-
，又22
c a a
=⇒
=， 1(1)(1)c c c ∴+=+++-
2
0c c
⇒-=，又0c >，1,1c a b ∴=∴==，椭圆2
2:12
x C y +=，且(2,0)D 。

（2）方法1：(2,2)Q k m +，设00(,)P x y ，由222
2
()121
2
y kx m
x kx m x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩ 222()2x kx m ⇒++=222(21)4220k x kmx m ⇒+++-=，
由于22222222
164(21)(22)021021k m k m k m m k ∆=-+-=⇒-+=⇒=+（*），
而由韦达定理：*00
222422222121km km km k
x x k k m m ---=⇒===-++由（）， 20021k y kx m m m m ∴=+=-+=，21
(,)k P m m
∴-，
设以线段PQ 为直径的圆上任意一点(,)M x y ，由0MP MQ ⋅=有
2221212()(2)()((2))0(2)(2)(1)0k k k
x x y y k m x y x k m y m m m m m +
-+--+=⇒++-++++-=由对称性知定点在x 轴上，令0y =，取1x =时满足上式，故过定点(1,0)K 。

法2：本题又解：取极值，PQ 与AD 平行，易得与X 轴相交于F （1,0）。

接下来用相似证明PF ⊥FQ 。

;22,,0000=+y y x x PQ y x P 切线方程为易得）（设)1,
0(0
y x D -易得 FD PH ⊥设
0090,;1;1;1;=∠∆∆==-=
-==PFQ FDQ PHF FD DQ
PH HF DF y x DQ x HF y PH ，易得相似于固
问题得证。

练习：（10广州二模文）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点2F 与抛物线2
2:4C y x =的焦点重
合，椭圆1C 与抛物线2C 在第一象限的交点为P ，25
||3
PF =.圆3C 的圆心T 是抛物线2C 上的动点,圆3
C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =. （1）求椭圆1C 的方程；
（2）证明:无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点.
（1）解法1：∵抛物线2
2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).
∴椭圆1C 的左焦点1F 的坐标为1(1,0)F -，抛物线2C 的准线方程为1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由
抛物线的定义可知211PF x =+,∵253
PF =
,∴1513x +=，解得123x =.由2
11843y x ==，且10y >,
得1y =
∴点P
的坐标为23,⎛ ⎝. 在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中， 1c =
.122||||4a PF PF =+==
∴2,a b ===∴椭圆1C 的方程为22143
x y +=. 解法2：∵抛物线2
2:4C y x =的焦点坐标为(1,0)，∴点2F 的坐标为(1,0).∴ 抛物线2C 的准线方程为
1x =-.设点P 的坐标为11(,)x y ，由抛物线的定义可知211PF x =+,
∵253
PF =,∴1513x +=，解得123x =.由2
11843y x ==，且10y >
得1y =
∴点P
的坐标为2(3.在椭圆1C :22221(0)x y a b a b +=>>中，1c =. 由222
221424
199c ,a b c ,.
a
b ⎧
⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩
解得2,a b ==∴椭圆1C 的方程为22143x y +=. （2）证法1: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，
∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴
||4MN ==.
∴r =
∴圆3C 的方程为222
000()()4x x y y x -+-=+.()*
∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2
004y x =(00x ≥).∴20014
x y =
. 把20014
x y =
代入()* 消去0x 整理得:22200(1)2()024x y yy x y +---+=.()**
方程()**对任意实数0y 恒成立，∴2210,220,40.
x y x y ⎧-=⎪⎪-=⎨⎪+-=⎪⎩
解得2,
0.x y =⎧⎨=⎩
∵点(2,0)在椭圆1C :22
143
x y +=上,∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0. 证法2: 设点T 的坐标为00(,)x y ,圆3C 的半径为r ，
∵ 点T 是抛物线22:4C y x =上的动点,∴ 2
004y x =(00x ≥).
∵ 圆3C 与y 轴交于,M N 两点，且||4MN =,∴
||4MN ==.∴
r =
∴ 圆3C 的方程为222
000()()4x x y y x -+-=+.()***
令00x =,则2004y x =0=,得00y =.此时圆3C 的方程为22
4x y +=.
由22224,
1,4
3x y x y
⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得2,0.x y =±⎧⎨=⎩∴圆3C :22
4x y +=与椭圆1C 的两个交点为()2,0、()2,0-. 分别把点()2,0、()2,0-代入方程()***进行检验，可知点()2,0恒符合方程()***，点()2,0-不
恒符合方程()***.∴无论点T 运动到何处,圆3C 恒经过椭圆1C 上一定点()2,0.。