数学物理方程第八章 非线性偏微分方程与积分方程

t ≥ 0 都存在，而只是在某个有限时间内存在，见下例
例 3 考虑瑞卡提方程的初值问题
⎧ dv 2 ⎪ =v , t>0 ⎨ dt ⎪ ⎩v(0) = v0 (v0 是常数)
容易求出它的解
v(t ) =
v0 1 − v0 t
显然， 若 v0 < 0 ， 则方程的解对所有 t ≥ 0 都存在， 简称存在整体解； 若 v0 > 0 ， 则当 t →
v∈M ϕ
(8.1.2)
这是一个变分问题 如何求出变分问题式（8.1.2）的解？我们先来看看假若 u ∈ M ϕ 是式（8.1.2）的解，那
么 u 必需满足什么样的条件。为此，我们定义 M 0 = v v ∈ c (Ω), v
1
{
∂Ω
= 0}, 任取 v ∈ M 0 ，
对任意 ε ∈ (−∞,+∞), u + εv ∈ M ϕ , 记 j (ε ) = J (u + εv) 式中， J (u ) 由式（8.1.1）确定，从 式（8.1.1）可知 j (ε ) 是定义在 R 上的一个可微函数，由于 u 是式（8.1.2）的解，所以对任 意 ε ∈ R, j (ε ) ≥ j (0) ，即 j (ε ) 在 ε = 0 处取的是最小值，故 j ′(0) = 0) 不难算出 j ′(ε ) =
∂ 2u = eu ∂x∂y
（8.2.1）
这是一个半线性的二阶方程，若令 u1 是
∂ 2 u1 =0 ∂x∂y
的解，则再构造一个偏微分方程组
1 ( u + u1 ) ⎧ ∂u ∂u1 2 = − β e ⎪ ⎪ ∂x ∂x ⎨ 1 ⎪ ∂u = − ∂u1 − 2 e 2 ( u −u1 ) ⎪ ∂y β ⎩ ∂y
− ∫∫ {
Ω
uy ux ∂ ∂ v ∂u [ ]+ [ ]}vdxdy + ∫ ds = 0 2 2 2 2 2 2 ∂n ∂x 1 + u x ∂y 1 + u x + uy + uy ∂Ω 1 + u x + u y
∂Ω
由于 v ∈ M 0 ，即 v 性可知
= 0 ，因此上式左端第二项为零，再由 v 的任意性及被积函数的连续 uy ux ∂ ∂ [ ]+ [ ]=0 2 2 2 2 ∂y 1 + u x ∂x 1 + u x + uy + uy
1 ϕ 2δ
积分得
g (ϕ ) = C1e
−
+ C2
−
1 ϕ 2δ
取 C1 = 1, C 2 = 0, 并将 g (ϕ ) 代入式（8.2.8） ，得 v = g (ϕ ) = e 即 ϕ = −2δInv 代入式（8.2.5）可得 u ( x, t ) = −2δ
∂Inv ∂x
（8.2.10）
变换式（8.2.10）称为柯勒—霍普夫变换。在处理非线性问题时，常常会用到这种变换。由 此例可看出， 选取柯勒——霍普夫变换后， 求解非线性的伯格斯方程就转化为求解线性的扩 散方程了 8.3 积分方程简介
式中
（能量方程）
∂ ∂ d = + ∑ ui , P = RρT dt ∂t ∂xi i
τ ij = η (
∂u ∂u i ∂u j 2 − δ ij ∑ l ) + ∂x j ∂xi 3 l ∂x l
式中， ρ 是流体密度； u = (u1 , u 2 , u 3 ) 是流速； T 是温度； η , ξ 是粘性系数； λ 是传热系 数； P 是压强； C P 是定压比热； R 是气体系数；τ ij 是表示粘滞力的张量； δ ij 为克罗内克 记号，即
δ ij = ⎨
⎧1, i = j ⎩0 i ≠ j
当流体不可压缩时， ρ 是常数，若不计温度的变化，则式（8.1.7）化为不可压缩流体 的纳维—斯托克斯方程
∑ ∂x
i
∂u i
i
= 0,
du i 1 ∂P η + ∆u i =− dt ρ ∂xi ρ
(8.1.8)
取 ρ ≡ 1 ，则上述方程组为
3 ∂u ∂u i ∂P =0 − η∆u i + ∑ u i i + ∂x j ∂xi ∂t j =1 3
⎧ x = x( s ) ⎨ ⎩ y = y(s)
(0 ≤ s ≤ s 0 )
式中， x(0) = x( s 0 ), y (0) = y ( s 0 ) ，即 ∂Ω 是一条闭曲线 在空间作一条闭曲线 l ，其在平面上的投影为 ∂Ω ，有
⎧ x = x( s ) ⎪ l : ⎨ y = y ( s) ⎪u = ϕ ( s ) ⎩
2 2 (1 + u y )u xx − 2u x u y u xy + (1 + u x )u yy = 0
(8.1.5)
这个方程通常称为极小曲面方程。它有什么特点？它关于二阶导数 u xx , u xy 及 u yy 是线性的， 但它们前面的系数分别含有 u y , u x u y 及 u y ，所以对 u x , u y 来说它不是线性关系，特别是， 如果把 u x , u y ， u xx , u xy 及 u yy 同等对待，则这个方程对它们不是一个线性方程，故它是一个 非线性方程。 我们以极小曲面问题为例得到了一个非线性偏微分方程。其实，在力学、物理学及几何
(i = 1,2,3)
∑ ∂x
i =1
∂u i
i
=0
（8.1.9）
这是关于 P, u1 , u 2 , u 3 的非线性方程组 在热平衡问题中， 如果热传导系数是常数， 但物体内含有一个依赖于温度及温度梯度的 热源，则可得
∆u = f ( x, u , ∇u )
在微分几何中，若要求出总曲率 k 为已知的曲面时，就需要求解下列方程
所以我们考虑式 （8.2.6）与式（8.2.7）之间的关系，令
v = g (ห้องสมุดไป่ตู้ )
（8.2.8）
代入式（8.2.7）有
ϕt − δ
g ′′(ϕ ) 2 ϕ x = δϕ xx g ′(ϕ )
（8.2.9）
对比式（8.2.6） 、式（8.2.9）两式，易知 g (ϕ ) 满足方程
−δ
g ′′(ϕ ) 1 = g ′(ϕ ) 2
⎤ ⎡ ⎥ ⎢ exp[( f ( x) − g ( y )) / 2] ⎥ u = 2 In ⎢ ⎢ − β exp f ( x)dx + 1 exp(− g ( y ))dy + 1 ⎥ ∫ ⎢ β∫ β⎥ ⎦ ⎣ 2
与线性方程相比，非线性方程还有一个特点，即它的解即使存在，也不一定对所有的时间
（8.1.10）
rt − s 2 = f ( x, y, u, p, q )
其中 p = u x , q = u y , r = u xx , s = u xy , t = u yy 这个方程称为蒙日—安培尔方程
（8.1.11）
8.2 非线性偏微分方程的概念及求解 上面我们给出了一些描述不同现象的非线性方程或方程组， 现在对它们的特点作进一步 的分析以便分类及求解。式（8.1.11）中的最高导数部分纯粹是线性的，它的非线性只出现 在函数 u 及其一阶导数项， 这样的方程称为半线性方程， 式 （8.1.10） 也是半线性的； 式 （8.1.5） 对最高阶导数来说是线性的， 但它们的系数依赖于未知函数的非最高阶导数， 这样的方程称 为是拟线性的，式（8.1.12）的特点是对最高阶导数也是非线性的，这样的方程称为完全非 线性方程，显而易见，完全非线性方程的非线性程度最高，半线性方程的非线性程度最低， 拟线性方程的非线性程度介于两者之间。 对于非线性偏微分方程，一般说来是无法求出解的表达式的，只能求其近似解。但对一 些很特殊的情形， 通过适当的未知函数的变换将方程化成线性方程， 或者经过适当的数学处 理化成可以求解的方程，下面举例说明。 例 1 在流体力学中有一个很中重要的方程叫比尔吉斯方程
第 8 章 非线性偏微分方程与积分方程 前面几章所研究的偏微分方程都是线性的， 但在工程实践中遇上的许多问题都是与非线 性方程有关的,在有些情况下,人们为了便于研究工作的展开,对实际问题补充了一些合理的 假设,略去了一些次要的非线性项,这样得出了线性方程.可是有时这些非线性项很重要,无法 略去,这样我们就必须要面对非线性方程求解的问题.在实际工作中,还经常碰上另外一类重 要的方程—积分方程，它在弹性介质理论和流体力学中应用很广，本章，我们对这两类重要 的方程做一个简单的介绍， 掌握一些基本概念和方法， 更深入的结果请查阅相关的书籍和论 文。 8.1 极小曲面问题 设 Ω 是平面上的有界区域，它的边界 ∂Ω 是充分光滑的，其方程为
u t + uu x = λu xx
是一个半线性的三阶偏微分方程，为了解这个方程，令 u = v x , 对 x 积分一次可得
1 2 vt + v x = λv xx 2
再令
v = −2λInφ
则得
φt = λφ xx
这是一维的线性热传导方程，对它的各种定解问题可以用第 2，3 章中的方法求出它的解， 有了 φ 之后就可以求出 u 例 2 求解微分方程几何中的刘维尔方程
2 2
学中都有大量的非线性偏微分方程。例如，在热传导问题中，如果热传导系数 k 不是常数， 而是温度的函数，则三维热传导方程为
∂u ∂ ∂u ∂ ∂u ∂ ∂u = (k (u ) ) + (k (u ) ) + (k (u ) ) ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
(8.1.6)
这也是一个非线性方程 在流体力学中，描述粘性气体运动的方程是著名的纳维—斯托克斯方程，其形式为
(8.1.3)
这个方程称为变分问题（8.1.2）的欧拉方程 上面的推导说明，如果 u 是式（8.1.2）的解，且 u ∈ C (Ω) ，则 u 必满足式（8.1.3） ，当然
2
还应满足边界条件
u
∂Ω
=ϕ
(8.1.4)
因此定义在 Ω 上且以空间曲线 l 为周界的极小曲面 u = u ( x, y ) 必定在 Ω 内满足式（8.1.3） 并在 ∂Ω 上满足边界条件式（8.1.4）式（8.1.3）可以改写成
（8.2.2）
(8.2.3)
式中， β 是常数，可以验证，若 u 是式（8.2.3）的解，则 u 必是式（8.2.1）的解 而式（8.2.2）的通解为
u1 ( x, y ) = f ( x) + g ( y )
（8.2.4）
式中， f , g 是任意可微函数，将式（8.2.4）代入式（8.2.3）中，可求出
3 ∂ ( ρu i ) ∂ρ +∑ =0 ∂t i =1 ∂xi
（连续性方程）
∂τ xy du i 1 ∂P =− +∑ dt ρ ∂xi j ∂x j
（动量方程）
（8.1.7）
d u2 ∂ ∂T 1 1 ∂P + ∑ u iτ ij ) + (C p T + ) = ∑ (λ dt 2 ρ j ∂x j ∂x j ρ ∂t i
这里 ϕ (0) = ϕ ( s 0 )
(0 ≤ s ≤ s 0 )
所谓极小曲面问题就是在区域 Ω = Ω + ∂Ω 上定义一张曲面 S ，要求 （1） S 以 l 为周界 （2）在所有的 S 中，求表面积最小的曲面 S 假设空间曲面的方程为
*
v = v ( x, y )
则由微积分的理论可知，这个曲面的表面积为
2 2 J (v) = ∫∫ 1 + v x + vy dσ Ω
(8.1.1)
于是上述极小曲面问题就变成求一个函数 u ，使得
（1）u = u ( x, y ) 所表示的曲面以 l 为周界， 即u ∈ Mϕ ， 其中 M ϕ = v v ∈ c (Ω), v
1
{
∂Ω
= ϕ };
（2） J (u ) = min J (v)
1 v0
时， v(t ) → +∞, 这时解在时刻 t 0 = 局部存在的。
1 1 产生破裂，所以方程只在 [0, ) 内有解，简称解是 v0 v0
例 4 考虑伯格斯方程 u t + uu x = δu xx 式中， δ 是扩散系数
方程又可写成
∂u ∂ u2 = (δu x − )dt ∂t ∂x 2
由全微分方程存在的充要条件，有
dϕ = udx + (δu x +
显然 ϕ x = u
u2 )dt 2
（8.2.5）
ϕ t = δu x −
1 2
u2 2
这样我们得到了
ϕ t + ϕ x2 = δϕ xx
vt = δv xx
（8.2.6）
这样求解伯格斯方程的问题就转化为求解式（8.2.6）的问题，我们能求解线性扩散方程 （8.2.7）
∫∫
(u + εv) x v x + (u + εv) y v y 1 + (u x + εv x ) 2 + (u y + εv y ) 2
Ω
dxdy
∫∫ [
Ω
ux
2 2 1+ ux + uy
vx +
2
vy
2 2 1+ ux + uy
v y ]dxdy = 0
假若 u 具有更好的光滑性，例如 u ∈ C (Ω) ，则由格林公式可得