矩阵多项式的逆矩阵求法

矩阵多项式的逆矩阵求法
李春来
（玉溪师范学院理学院数学系 2008级2班 2008011215 ）
指导教师：张丰硕
摘 要 矩阵多项式的知识在很多线性代数教材中的都有所涉及，但是对于矩阵多项式的逆矩阵的计算都没有给出一般的计算方法，本文结合多项式的最大公因式理论与矩阵的相关知识，得到了求解一般的矩阵多项式逆矩阵的方法。

关键词 矩阵；多项式；逆矩阵
一、引言
矩阵多项式的定义：设n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 是关于未知数x 的
n 次多项式，A 是方阵，E 是A 的同阶单位矩阵，则称
E a A a A a A a A f n n n n ++++=--1110)( 为由多项式
n n n n a x a x a x a x f ++++=--1110)( 形成的矩阵A 的多项式，记作)(A f 。

例如523)(23++-=x x x x f ，⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=5015523)(2
3E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。

当然矩阵多项式也是矩阵。

矩阵多项式的逆矩阵的定义：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，)(A f 是矩
阵A 的多项式，如果存在矩阵多项式][)(x P A g ∈，使得()()()()f A g A g A f A =
E =，则称矩阵多项式)(A f 是可逆的，又称矩阵多项式)(A g 为矩阵多项式)(A f 的逆矩阵。

当矩阵多项式)(A f 可逆时，逆矩阵)(A g 由矩阵多项式)(A f 唯一确定，记
为1)]([-A f 。

二、矩阵多项式的逆矩阵求法
1.对于一些比较容易化解或形式比较简单的矩阵多项式的逆矩阵求法，可以
先尝试用待定系数法或分解因子法求其逆矩阵。

例如
分解因子法：
例1 若B A ,是两个n 阶方阵，且有E B A AB 532-=--成立，证明E A 3-是
可逆的，并求E A 3-的逆矩阵。

证 由
E B A AB 532-=--⇒E E A B E A =+--62)3(⇒E E B E A =--)2)(3(，故
E A 3-可逆，且E B E A 2)3(1-=--。

待定系数法：
例2 如果已知矩阵A 满足式子E A 33=,矩阵,322E A A B +-= 证明B 是可
逆的，并求它的逆矩阵。

证 由于B 的逆矩阵的次数最高只可能是二次，故可设cE bA aA B ++=-21。

由条件有
cE A c b A c b a A b a aA BB E 3)23()23()2(2341++++-++-+==-
又由于E A 33=，则有
E E c b a A c b a A c b a =++-+-+++-)336()233()23(2
得 ⎪⎩
⎪⎨⎧=++-=-+=+-。

1336,0233,023c b a c b a c b a
解得22
5,223,661===c b a ,于是 。

)159(66
121E A A B ++=- 2. 一般的矩阵多项式的逆矩阵的求法
以上的求解矩阵多项式的逆矩阵的方法虽然简单，但有一定的运算技巧，
而且并不是所有的矩阵多项式的逆矩阵的求解都可以用这些方法。

例如：设矩阵,1119053064⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=A ,652)(23E A A A A g --+=求)(A g 的逆
矩阵。

这个问题无法用分解因子法来求解，用待定系数法求解可能可以解出来，
但计算比较复杂，下面我们就来探索一下求一般矩阵多项式的逆矩阵的常用方
法。

首先，我们来分析矩阵多项式的结构特点。

例如523)(23++-=x x x x f ，
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=1011A , 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++-=5015523)(23E A A A A f ，)(A f 就是矩阵A 的多项式。

由于⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=5015)(A f ，所以)(A f 是一个矩阵，则矩阵多项式具有矩阵的性质，又因为E A A A A f 523)(23++-=，这样看来)(A f 又是一个以A 为文字的多项
式，则矩阵多项式也具有多项式的特点，于是我们来考虑能否利用多项式的一些
相关理论来处理矩阵多项式的逆矩阵问题。

注意到多项式的最大公因式理论中有：如果((),())1f x g x =，则存在多项式
(),()u x v x 使得()()()()u x f x v x g x +=1。

上式中令()0,f x =()0g x ≠则1)()(=x g x v 。

将x 换作矩阵A ，如果保证()0,()0f A g A =≠，就有()()v A g A E =，从而()v A 就
是矩阵多项式()g A 的逆矩阵。

这一点是可行的， 于是我们有
定理1[1] 若A 是一个n 阶方阵，
C 表示复数域, ],[)(),(x C x g x f ∈ ()0f A =且方程0)(=x f 的根都是n 阶方阵A 的特征值，则)(A g 可逆⇔。

）（1)(),(=x g x f
此时存在],[)(),(x C x v x u ∈使得,1)()()()(=+x g x v x f x u 且)()]([1A v A g =-。

证：⇒ 令n λλλ，，， 21为A 的所有的特征值，
则)(,)()(21n f f f λλλ ，，就是)(A f 的全部特征值,)(,)()(21n g g g λλλ ，，就是()g A 的全部特征值，又因
为)(A g 可逆，于是有: 0)()(1≠=∏=i n
i g A g λ,但由于0)(=A f ，则
),,2,1(0)(n i f i ==λ，故）
x f (与)(x g 无公共零点，即1)(),(=）（x g x f 。

⇐ 。

）（1)(),(=x g x f 则由于0)(=A f ，所以对于每个i λ，必有0)(=i f λ 且),,2,1(0)(n i g i =≠λ，即0)()(1≠=∏=i n
i g A g λ，从而)(A g 可逆。

当）x f (与
）x g (互素时，必有),()(),(x C x v x u ∈使得,1)()()()(=+x g x v x f x u ,)()(E A g A v =
从而1)]([)(-=A g A v 。

下面我们可以利用定理1来重做例2：
例2 如果已知矩阵A 满足式子E A 33=,矩阵,322E A A B +-= 证明B
是可逆的，并求它的逆矩阵。

解：令,32)(,3)(23+-=-=x x x g x x f 则 ()0f A =且)(x f 的根都是A 的
特征值，又因为(),()f x g x 没有共同的根，说明两个多项式)(x f 与)(x g 互素，即
1)(),(=）（x g x f 。

从而由定理1可知)(A g 可逆,利用辗转相除法求得
1)()159(66
1)()7(6612=++++-x g x x x f x 。

所以 )159(66
1)]([21E A A A g ++=-。

特别地，如果）x g (表示一个一次多项式时，利用()((),f x g x q x r =+） r 是
一个非零常数，,)()(rE A q A g -= 即)(1)]([1A q r
A g -=-。

例3 已知A 表示一个方阵，且有式子0432=-+E A A 成立，求1)5(-+E A 。

解：设,5)(,43)(2+=-+=x x g x x x f 则由题意可得()0f A =，且)(x f 的
根都是A 的特征值，利用综合除法求得,6)()2()(+-=x g x x f
故 )2(6
1)5()]([11E A E A A g --=+=--。

注意到在定理1中需要0)(=A f , 这就和矩阵的零化多项式、最小多项式、 特征多项式等联系了起来。

对于定理1我们可以得到以下推论
推论1 若A 是一个n 阶方阵，)(],[)(x f x C x g A ∈为A 的特征多项式，则)(A g 可逆的充要条件是1))),(=x g x f A （（。

此时存在],[)(),(x C x v x u ∈ 使得,1)()()()(=+x g x v x f x u 且)()]([1A v A g =-。

证：设n λλλ，，， 21为A 的全部特征值，
则)(,)()(21n g g g λλλ ，，就是()g A 的全部特征值，于是()g A 可逆当且仅当0)()(1≠=∏=i n
i g A g λ，也就是对于每个
,i λ),2,1(0)(n i g i =≠λ 。

又因为对于每个,i λ()0A i f λ=,所以对于每个
,0)(≠i g λ当且仅当
1))),(=x g x f A （（。

利用以上结论，如果在)(A g 可逆的情况下，再根据0)(=A f 即可用定理1的方法求出)(A g 的逆矩阵。

例4 已知矩阵,1119053064⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=A ,652)(23E A A A A g --+= 求)(A g 的逆
矩阵。

解：设)2()1()(2+-=x x x f A ，)(x f A 是A 的特征多项式，再设
)3)(2)(1()(+-+=x x x x g ，显然)(x f A 与)(x g 是互素的，由推论1可知)(A g 可逆，又因为
,32)()23()(1022=--+++-x g x x x f x x A ）（
所以 )23(32
1)]([21E A A A g --=-。

推论2 若A 是一个n 阶方阵，)(],[)(x m x C x g ∈为A 的最小多项式，则)
(A g 可逆的充要条件是
1))),(=x g x m （（。

此时存在],[)(),(x C x v x u ∈使得 ,1)()()()(=+x g x v x m x u 且)()]([1A v A g =-。

推论3 若A 是一个n 阶方阵，,)(],[)(),(O A f x C x g x f =∈且),()(x f x f A 其
中)(x f A 为A 的特征多项式，则)(A g 可逆的充要条件是
1))),(=x g x f （（。

此时存在],[)(),(x C x v x u ∈使得
,1)()()()(=+x g x v x f x u 且)()]([1A v A g =-。

其中推论2和推论3的证明可以把矩阵的零化多项式、最小多项式、
特征多项式的关系弄懂后，再结合推论1的证明过程可证得。

例5 设矩阵,87043065⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=a A 2)(2-+=x x x f ,,
652)(23E A A A A g --+=求)(A g 的逆矩阵。

解：令))(2)(1()(a x x x x f A -+-=)(x f A 是A 的特征多项式,由于),()(x f x f A 且)(x f 与)3)(2)(1()(+-+=x x x x g 是互素的，由定理1的推论3可知)(A g 可逆，又因为 ,32)()23()(1092223=--+-++-x g x x x f x x x ）（
所以 )23(32
1)]([21E A A A g --=
-。

对应于定理1， 我们知道，如果两个多项式不互素，则此时有(),(),u x v x 使得。

如果有0)(,0)(≠=x g x f ,则有)()()(x d x g x v =。

将x 换作矩阵A ，保证()0,()0f A g A =≠，我们就有)()()(A d A g A v =，此时若)(A d 可逆，则可以得到11[()][()]()g A d A v A --=。

从而)()]([1A v A d -就是矩阵多项式()g A 的逆矩阵。

从而我们可以得到以下的定理2
定理2[1] 若A 表示一个n 阶方阵，C 表示复数域，],[)(),(x C x g x f ∈且满足()0,f A =0)(≠x g ，)())),(x d x g x f =（（。

则此时存在],[)(),(x C x v x u ∈ 使得()()u x f x ()()(),v x g x d x += 若)(A g 可逆，则可以得到)(A d 一定可逆， 若)(A d 可逆，也可得)(A g 一定可逆。

且)(A g 可逆时，有)()]([)]([11A v A d A g --=。

证：假设1()()(),g x d x g x = 则有)()()(1A g A d A g =。

显然，若)(A g 可逆，则
)(A d 一定可逆。

反之，由于
)())),(x d x g x f =（（。

则有),()(),(x C x v x u ∈使得 )()()()()(x d x g x v x f x u =+。

又因为0)(=A f ，从而)()()(A d A g A v =。

若)(A d 可逆，则)(A g 也一定可逆，并且)(A g 可逆时，有).()]([)]([11A v A d A g --=命题的证。

在定理2中，要求1[()]g A -，就需要求 1)]([-A d 。

那么在具体问题中1)]([-A d 又应该怎么来求呢？下面我们给出的定理3就可以解决这个问题。

定理3[1]
如果A 表示一个n 阶方阵，C 表示复数域，
,0)(],[)(),(=∈A f x C x g x f 若)(A g 可逆，则有),,,2,1]([)(n i x C x v i =∈ 使得)()]([11
A v A g i n
i ∏=-=。

证 若,1)())(),((1==x d x g x f 则有][)(),(11x C x v x u ∈，使得
1)()()()(11=+x g x v x f x u 。

由题设,0)(=A f 于是由定理1可得)()]([11A v A g =-。

若,1)())(),((1≠=x d x g x f 设11()()(),f x d x f x =11()()()g x d x g x =,
由题设)(,0)(A g A f =可逆，从而)(),(11A g A d 可逆,且0)(1=A f 。

又因为1))(),((11=x g x f ，从而有][)(1x C x v ∈使得)()]([111A v A g =-。

再设),()()(1111x f x d x f k =
其中)(1x d 不能整除)(11x f 。

由题设,0)(11=A f 且有))(())((11x f x f ∂>∂。

如果,1)())(),((2111==x d x f x d 则有],[)(2x C x v ∈使得)()]([211A v A d =-。

于是有 )()()]([)]([)]([2111111A v A v A d A g A g ==---。

如果,1)())(),((2111≠=x d x f x d 设)()()(),()()(2212211x g x d x d x f x d x f ==。

按这种方法一直做下去，又因为,0))(())((11≥>∂>∂ x f x f 则一定会做到某一步时有,1))(),((111=---x d x f n n n 并且)()]([11A v A d n n =--。

于是综上所述有
)()]([)]([)]([)]([)]([11
11112111A v A d A g A g A g A g i n
i n n ∏=-------== 。

例6 已知A 表示一个n 阶方阵,有两个多项式)(x f 与)(x g ，其中
,181573)(2345x x x x x x f +--+=,65)(23x x x x g ++=且有0)(=A f 。

当)(A g 可逆时，求)(A g 的逆。

解：首先用辗转相除法可以计算得到),(3))(),((12x d x x x g x f =+=令
)()()(),()()(1111x g x d x g x f x d x f ==。

则有,67)(31+-=x x x f ,2)(1+=x x g 又因为0)(=A f 。

则有0)(1=A f 。

再用辗转相除法可以求得
,1)()32(121)(121121=---x g x x x f 则可得)32(12
1)]([211E A A A g ---=-。

显然)(1x d 不能整除)(1x f ,又因为),(3))(),((211x d x x d x f =+=设
)()()(),()()(221221x g x d x d x f x d x f ==。

则有,23)(22+-=x x x f ,)(2x x g = 又由于0)(=A f ，则有0)(2=A f 。

又用辗转相除法求得,1)()3(21)(2122=--x g x x f 从而可得)3(21)]([12A E A g -=-， 显然)(2x d 不能整除)(2x f ，因为1))(),((22=x d x f 。

且,1)()6(201)(20122=--x d x x f 从而可得)6(20
1)]([12A E A d -=-。

于是由定理3可得)5493311(4801)]([)]([)]([)]([2341212111E A A A A A d A g A g A g --+--
==----。

本文利用了多项式的最大公因式理论来求解矩阵多项式矩阵的逆矩阵。

其中所用的方法比较好理解，但是所用的知识涉及到了多项式和矩阵的很多理论，而且在计算的时候技巧性也比较强。

领会和掌握这种方法可以加深我们对于高等代数相关知识的掌握，锻炼思维，获得数学创造的体验。

致谢：特此衷心感谢张丰硕老师在论文写作过程中给予的指导和帮助！
参考文献
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[8] 熊启才等.线性代数精解及应用[M]. 重庆: 重庆大学出版社，2006.4
Matrix polynomial inverse matrix method
Li Chunlai
(Faculty of Science, Class2, 2008. Yuxi Normal University, 2008011215)
Supervisor: Zhang Fengshuo
A bstract:Summary matrix of the knowledge of polynomials are covered in many textbooks Advanced Algebra, but did not give a general method of calculating the matrix polynomial inverse matrix calculation polynomial greatest common divisor theory, this paper knowledge matrix, solving the matrix polynomial inverse matrix method.
Keywords: matrix; polynomial; inverse matrix。