第五章概率解析

第五章 正态分布Z分数、T分数
正态概率分布
• 正态分布曲线
• µ-平均值 • σ-标准差
正态概率分布的性质
• 正态概率分布有一个完整家族，每一特定正态分 布通过其平均值µ、标准差σ来区分
• 正态曲线的最高点在平均值，它也是分布的中数 和众数
• 分布的平均值可以是任意数值：负数、零或正数
正态概率分布的性质
1，2，3，4，5，6
• 样本空间
– 所有可能的试验结果的集合 – 任何一个特定的试验结果都被称为样本点，它
是样本空间的组成元素
举例
• 抛掷两枚硬币的试验 – 抛掷第一枚硬币的可能结果有两种（n1=2） – 抛掷第二枚硬币的可能结果也有两种（n2=2) – 根据计数法则，共有(n1)(n2)=2×2=4种试验结 果
练习
• 利用两个月的时间观察983路公交车在早上6：50～
7：10时间段到达某车站的车辆数
•
a.事件A表示“至少有1辆车进站”，
到站 车辆
频数
请计算P（A）。
数
• b.事件B表示“有3辆或以上的车 进站”，请计算P（B）。
08 1 20 2 12
• c.恰好有2辆车进站的概率
36 43
51
合计
50
第五章 概率
什么是概率
• 确定性现象：一定条件下必然发生某种结果
– 必然现象
• 沸腾 • 乙肝， 乙肝表面抗原一定为阳性
– 不可能现象
• 随机现象random event ：一定条件下结果不定
– 如：掷硬币后哪面朝上？
• 某患者服用某降压新药后：降？不变？升
– 偶然性和必然性
什么是概率
• 概率是可能性 – 7:10出门,在路上堵车的可能性有多大? – 衡量某一特定事件的机会或可能性的数值量度
概率的特点
• 概率总是从0到1之间取值
– 接近0的概率表明事件几乎不可能发生，而接 近1的概率则表明事件几乎肯定要发生
– 介于0和1之间的概率则分别代表事件发生可能 性的不同程度
– 试验
试验结果
– 抛掷一枚硬币
正面，反面
– 对某一零件进行检测 合格，不合格
– 拨打一次销售电话 购买，不购买
– 投掷一枚骰子
• 当x=40 000时，我们有
z x 40000 36500 0.70
5000
• z=0.70,查表得 0.2580
• P(z≥0.70)=0.50-0.2580=0.2420 • 大约24.2%的轮胎将超过40 000英里的里程
举例
• 公司正在考虑一项售后服务：如果初始的轮胎没 有超过担保中设定的里程，公司将折价更换轮胎。 如果公司希望符合折价担保的轮胎不超过10%， 则担保里程应为多少？
样本：Z x X S
标准正态概率分布
• 具有均值为0，标准差为1的正态分布的随机变量被称为具 有标准正态概率分布
• 字母z通常用于表示这一特殊的正态随机变量
• 为了得出一正态随机变量在特定区间的概率，我们必须计 算曲线在那段区间的线下面积
• 对于标准正态分布，正态曲线下的面积已计算出来并可从 表中得到，这些表可用于计算概率——正态分布概率表
FN A
n N
• 概率
• 当N趋向于无穷大时，事件A发生的频率趋向于一个 固定值，这就是事件发生的概率P(A)
相对频数法
• 以多次试验的实际结果分配试验结果的概 率
• 电话市场调查 – 对每一个销售电话，有两种可能的结果：顾客 购买该产品或顾客不购买该产品 – 假设一共联系了400名潜在的顾客，结果有100 人购买了该产品，而300人未购买 – 对于顾客购买该产品的结果，我们分配以 100/400=0.25的概率。对于顾客不购买该产 品的结果，我们分配以300/400=0.75的概率
3) P(x<-1) 6) P(x>-1)
需要记住的一些Z值
Z 0.05
2
Z 0.01
2
• 在某年高考的平均分数为500，标准差为100的 正态总体中，某考生得到650分。设当年高考 录取率为10％，问该生成绩能否入围？
• 解：该生的标准分数为 Z＝(650-500)/100=1.5 查正态分布表, 当Z=1.5时，p=0.433 从低分到高分的顺序中他处于93.3%的位置 从高分到低分的顺序中他处于6.7%的位置
在均值和未知的担保里程间的面积必须 为40% 查表可知:Z=1.28时,P=0.40 也就是z=-1.28是标准正态随机变量值
z x 1.28
x 1.28 36500 1.28 50000 30100
例：X~N(0,1)，求以下概率 1)P(0<x<1) 2) P(x<1) 4)P(1<x<2) 5) P(|x|1)
试验结果的概率分配
• 试验结果（样本点）的概率是如何决定的 • 试验结果的概率就是该试验结果发生可能的数字量度 • 两个原则: • (1)每个试验结果（样本点）的概率值都必须在0和1之间
假如以Ei表示第i种试验结果，以P（Ei）表示这种结果 发生的概率，则对所有的i，必须有0≤P（Ei）≤1 • (2)所有试验结果的概率数值之和必须为1
• 正态概率分布是对称的，均值左边的线形是均值 右边的线形的镜像。曲线的尾端向两个方向无限 延伸，且理论上永远不会与横轴相交
• 标准差决定曲线的宽度。标准差值大产生较宽、 较平的曲线，表明数据有更大的变异
标准分数
• 又称为Z分数，以标准差为单位，反映了一个 原始分数在团体中所处的位置。
总体：Z x
如果样本空间含有k个试验结果，则必有
P E1 P E2 P Ek P Ek 1
• 抛掷硬币试验: 试验结果为正面或反面
– 假设这两种结果的可能性相等是十分合理的 – 观测到正面的概率为1/2即0.50
Biblioteka Baidu 频率和概率
• 频率
– N次重复试验中A事件发生的次数为n，那么事件A发生的 频率
正态概率分布的性质
• 正态概率分布曲线下的总面积是1 • 正态随机变量的概率由曲线下面积给出
正态分布概率表
P(0.00≤z≤0.90)
计算任一正态概率分布的概率
• 所有的正态分布的概率都可通过利用标准正态 分布来计算
• 标准正态分布变换
z
x
• 正态随机变量x距离其均值的标准差个数
举例
• Grear轮胎公司刚刚开发了一种新的钢带子午线轮 胎可行驶里程的均值=36500英里，标准差=5 000, 收集的数据表明正态分布是一合理的假设,轮胎里 程超过40 000英里的概率是多少？