解析函数

第二章 解 析 函 数
解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．
§1．解析函数的概念
1．导数与微分 导数定义：设)(z f w
=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限
z
z f z z f z ∆-∆+→∆)
()(lim
000
存在，则称)(z f 在0z 处
可导，记为
)(0z f '，0
0 ,z z z z dz df
dz dw ==．
若
)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．
例1．求
32)(2+=z z f 的导数．
解：
z z z z
z z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]
32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，
)(C z ∈．
（处处可导）．
例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？
解：
z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．
yi
x yi
x z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim
0 0 0
． 设
z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3
lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x x
yi x yi x x z ；
设
z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为
33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yi
yi yi x yi x y z ． 所以
yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．
可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．
证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆<z 0 时，
ερ<'-∆-∆+=∆
)()
()(
000z f z
z f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而
z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000
z f z z f z =∆+→∆
，)(z f 在0z 连续． “连续
≠⇒可导”． 见例2．
求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；
(3)
)()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；
(5) ) 0)g( ( ,)()
()()()()()(2
≠'-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6)
)()(})]([{z g w f z g f ''='，
其中
)(z g w =；
(7) )(1
)(z f w '=
'ϕ， 其中
)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．
微分：若
)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．
2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；
(c ) 若
)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．
注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．
例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．
解：
)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；
)(2z f 处处不可导，无处解析． y
例2．讨论函数 )
1(1
+=
z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：
2
2)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除
0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是
w 的两个奇点． 称函数
)(z f w = 为亚纯函数．
定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)
()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．
§2．函数解析的充要条件
判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．
定理．函数
) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可
微，并且满足Riemann Cauchy
－ 方程： x
v
y u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．
此时，有导数公式
x y y x v i v iu u z f )(+=-='． （证略）
注：(1) 若) ,(y x u 、) ,(y x v 在D 内具有一阶连续偏导数，且满足R C －方程，则)(z f 解析；
(2) 将点改成区域D ，便得
)(z f 在D 内解析的充要条件．
例1．判断下列函数是否解析． (1)
z z f =)(；
(2)
)sin (cos )(y i y e z f x +=．
解：(1)
iy x z z f -==)(，y v x u -== ,． 100 ,1-====y x y x , v , v u u ．
y x v u ≠，不满足R C －方程， 故z z f =)( 无处可导， 无处解析．
(2)
y e u x cos =，y e v x sin =． 由于
⎪⎩⎪⎨⎧-=-===x x y
y x
x v y e u v y e u sin cos ， )(z f 处处解析，全纯函数． 例2．证明：若在区域D 内
0)(='z f ，则 c z f ≡)(（复常数）．
证：000 )( i v i v iu u z f x y y x +==+=-='
，
故
0====y x y x v v u u
21 c , v c u ≡≡⇒ c ic c z f Δ
=+≡⇒21)( ．
例3．函数 iy x z f -=2)( ) (iy x z += 在何处连续？何处可导？何处解析？
解：y v x u
-== ,2，二元初等函数，处处连续，所以)(z f 处处连续． -
⎪⎩⎪⎨⎧=-==-===0
012x y y x v u v x u R , y x ∈-=⇒21
． 故)(z f 仅在直线 21-=x 上可导，1)(-='z f ． 但直线不含邻域，所以)(z f 无处解析．
§3．初 等 函 数
1．指数函数： 复变数指数函数：
)sin (cos exp )( y i y e e e e e z z f x y i x y i x z +=⋅====+．
它等价于关系式：x z e e = 及 πk y e Arg z
2)(+=． 故
0≠z e ．
z e z f =)( 具有性质：
(1)
)()(z f z f ='，)(z f 在C 内解析；
(2) 若
0)Im(==z y ，x e z f =)(； 若 0)Re(==z x ，y i y e z f i y sin cos )(+==；
(3)
z
e
服从加法定理：2
121
z z z z e
e e
+=⋅，
2
12
1z z z z e e e -=；
(4) z
e
以i k 2π为周期：) ( , 2 2Z k e e e e
z i k z i
k z ∈=⋅=+ππ．
例1．计算 2
2π
i e
+． 大写整数集Z
解：22
2
22sin 2cos ie i e e
i =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=+πππ
．
2．对数函数 定义：指数函数 0)( ,≠=z z e w 的反函数称为对数函数．
记作
) ,() ,()(y x iv y x u z f w +==， 而 θ
i re z =．则
θ
i iv u re e =+， 故
θ===r, v u e r u ln ,．
这样，对数函数为 ) 0( , ln ≠=+=∆
z z Ln iArgz z w （多值函数）．
若
Argz 取主值，记 z i z z arg ln ln +=， 称为 z Ln 的主值．
其它分支可表为 ) 0 ( , 2ln ≠∈+=Z, z k i k z z Ln π． 称为z Ln 的单值分支．
特别，当
x z x z ln ln , 0=>=时 （实对数函数）．
运算性质：2121 )(Lnz z Ln z z Ln +=，
212
1
Lnz z Ln z z Ln -=．
例1．求3 Ln ，)1( -Ln ，i Ln 以及相应的主值．
解：i k Ln 23ln 3
π+=，)(Z k ∈；
主值为
3ln ；
i k iArg Ln )12()1(1ln )1( π+=-+=-，)(Z k ∈； 主值为
i )1ln(π=-；
i k iArgi i i Ln )2
1
2( ln π+=+=，)(Z k ∈；
主值为
i i 2
ln π=
． 对数函数的连续性与解析性： 对于z i z z
arg ln ln +=，当 0≠z 时，z ln 连续，而z arg 则在原点与负实轴上不连续，故除原点与负实轴
外，z ln 处处连续．
w e z = 在区域 ππ<<-z arg 的反函数z w ln =单值，由反函数的求导法，有：
z
e dw de dz dw z w w
1
1)(ln 1
==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==
'-．
因此，在除去原点与负实轴的复平面内 z ln 解析， z ln 的每个单值分支也解析，且 z
Lnz 1
)(=
'． 3．幂函数
定义：)
(ln z iArg z Lnz z Ln e
e e
z w +====ααα
α
， （α
0,≠z 为复常数）．
由z Ln 的多值性，i k z Lnz e e e w 2ln απαα⋅==， )(Z k ∈． 可见，α
z 也是多值函数（当α
不是整数），
幂函数的解析性：
由于Lnz 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，由复合函数的解析性知，α
z 的每一单值分支在除去原点与负实轴的复平面内解析，且
111 )()(---⋅=⋅=⋅='='ααααααααz z z z e e z Lnz z Ln ．
例1．求
2
1
和
i i )1( - 的值．
解：
i
k iArg Ln e e
e 22
)
1 1(ln 21
221π===+，
)(Z k ∈．
)2ln sin 2ln (cos )1(2 4
) 2ln 2 4
()
4
i 22ln ( )
1( i e
e
e
e
i k i k i k i i Ln i i +====--+--+-π
π
ππ
π
π，)(Z k ∈．
4．三角函数与双曲函数
由
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=+=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-=+=---)(21sin )(21cos sin cos sin cos θθθ
θθθθθθθθθi i i i i i e e i e e i e i e ， 称为Euler 公式．
定义：)(21
sin ),(21cos z i z i z i z i e e i
z e e z ---=+=
． z
z z cos sin tan =
；
z
z
ctg sin cos =；
z z cos 1sec =
； z
z s i n 1
c s c =．
z z cos )(sin ='，z z sin )(cos -='，处处解析． 大多数三角公式对于z z cos ,sin 成立．
双曲余弦：
)(2
1cosh z
z e e chz z -+==；
双曲正弦：
)(2
1sinh z z
e e shz z --==； 双曲正切：z
z z
z e e e e chz shz thz z --+-==
=tanh ．
以上函数均在定义域（分母不为零处）内可导并且解析． 5．反三角函数与反双曲函数 三角函数的反函数称为反三角函数．
w z sin = 的反函数称为反正弦函数．下求之．
由
)(21sin iw iw e e i
w z --=
=， 得 iw
e 的二次方程：012)(2=--iw iw ize e ， 根为：
2
1z iz e w i -+=， （
2
1z - 为双值函数）． 所以)1( sin 2z iz Ln i z Arc w -+-==
．
反余弦函数：)1( cos 2-+
-=z z Ln i z Arc ； 反正切函数：iz
iz
Ln i Arctgz -+-=
112．
双曲函数的反函数称为反双曲函数． 它们是： 反双曲正弦：
)1( 2++=z z Ln Arshz ； 反双曲余弦：)1( 2-+=z z Ln Archz ；
反双曲正切：z
1z 1 21-+=
Ln Arthz ． 它们都是多值函数．
在复变函数中，常值函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、双曲函数、反三角函数等七类函数称为复基本初等函数．
复初等函数：由复基本初等函数经过有限次加、减、乘、除和复合运算，能由一个式子表示的函数称为复初等函数． 如：z
e z tgz w +=
2，
z e w z ln sin +=，
等等．。