解析函数

第二章 解 析 函 数

解析函数是复变函数研究的主要对象．本章介绍导数、解析函数的概念，并介绍一些常用初等函数的解析性．

§1．解析函数的概念

1．导数与微分 导数定义：设)(z f w

=，D z ∈（区域），D z ∈0．若极限

z

z f z z f z ∆-∆+→∆)

()(lim

000

存在，则称)(z f 在0z 处

可导，记为

)(0z f '，0

0 ,z z z z dz df

dz dw ==．

若

)(z f 在区域D 内处处可导，称 )(z f 在D 内可导．

例1．求

32)(2+=z z f 的导数．

解：

z z z z

z z z z z f z z f z f z z z 4)Δ2(2 lim ]

32[]3)(2[lim )()(lim )(0 220 0 =+=∆+-+∆+=∆-∆+='→∆→∆→∆，

)(C z ∈．

（处处可导）．

例2．问 yi x z f 3)(+= 是否可导 )(iy x z +=？

解：

z z z ∆+→，x x x ∆+→，y y y ∆+→，y i x z ∆+∆=∆．

yi

x yi

x z yi x i y y x x z z f z z f z z z ∆+∆∆+∆=∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆3 lim ]3[])(3)[(lim )()(lim

0 0 0

． 设

z z ∆+ 沿平行于x 轴方向趋于z ，则0=∆y ，极限为 1lim 3

lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆x x

yi x yi x x z ；

设

z z ∆+ 沿平行于y 轴方向趋于z ，则0=∆x ，极限为

33lim 3 lim 0 0 =∆∆=∆+∆∆+∆→∆→∆yi

yi yi x yi x y z ． 所以

yi x z f 3)(+= 的导数不存在，无处可导．

可导与连续的关系：函数可导⇒连续； 但函数连续≠⇒可导．

证：“可导⇒连续”． 设)(z f 在0z 可导， 则 0 0, >∃>∀δε，当 δ<∆

ερ<'-∆-∆+=∆

)()

()(

000z f z

z f z z f ． 因此，0lim 0 =→∆ρz ． 而

z z z f z f z z f ∆⋅+∆'=-∆+ρ)()()(000， 所以 )()(lim 000

z f z z f z =∆+→∆

，)(z f 在0z 连续． “连续

≠⇒可导”． 见例2．

求导法则：复变函数的导数定义与实函数的导数定义一致，故求导法则也相同．罗列如下，应当牢记． (1) )( ,0)(C c c ∈='； (2) ) ( , )(1N n z n z n n ∈='-；

(3)

)()(])()([z g z f z g z f '±'='±； (4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='；

(5) ) 0)g( ( ,)()

()()()()()(2

≠'-'='⎥⎦

⎤⎢⎣⎡z z g z g z f z g z f z g z f ； (6)

)()(})]([{z g w f z g f ''='，

其中

)(z g w =；

(7) )(1

)(z f w '=

'ϕ， 其中

)(z f w =是)(w z ϕ= 的反函数，0)(≠'z f ．

微分：若

)(z f 在0z 可导， 则 )()()()(000z o z z f z f Δz z f w ∆⋅+∆'=-+=∆， 定义dz z f dw )(0'=．

2．解析函数 定义：(a ) 若)(z f 在0z 的某一邻域) ,(0δz U 内可导，称)(z f 在0z 处解析； (b ) 若)(z f 在区域D 内的每一点解析，称)(z f 在D 内解析；

(c ) 若

)(z f 在0z 不解析，称0z 为)(z f 的一个奇点．

注：函数在区域内解析与可导等价．但可导与解析并不等价．函数在一点 0z 处可导，并不意味着在0z 处解析．

例1．讨论32)(21+=z z f 和 yi x z f 3)(2+= 的解析性．

解：

)( ,4)(11z f z z f =' 在复平面上解析，称为全纯函数；

)(2z f 处处不可导，无处解析． y

例2．讨论函数 )

1(1

+=

z z w 的解析性． 解：当1 0-≠≠z z 及 时， w 可导：

2

2)1()12(++-=z z z dz dw ． x 所以，在除

0=z 及1-=z 外的复平面上，)(z f w = 解析．而1 0-==z z 和 是

w 的两个奇点． 称函数

)(z f w = 为亚纯函数．

定理．两个解析函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是解析函数；解析函数的复合函数也是解析函数． 结论：多项式在C 内处处解析；有理分式函数)

()()(z Q z P z f = 在分母不为零的区域内解析．

§2．函数解析的充要条件

判断复函数) ,() ,()(y x iv y x u z f += 是否解析，有如下的充要条件．

定理．函数

) ,() ,()(y x iv y x u z f += 在iy x z += 处可导的充要条件是：) ,(y x u 、) ,(y x v 在点 ) ,(y x 处可

微，并且满足Riemann Cauchy

－ 方程： x

v

y u y v x u , ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂．